第十一章三角形單元復(fù)習(xí)提升（易錯點）

易錯點1判斷鈍角三角形某邊上的高線是否正確

例題：（2023秋?浙江杭州?八年級?？奸_學(xué)考試）下列各圖中，正確畫出AC邊上的高的是（）

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市第一一三中學(xué)校?？计谥校┫旅嫠膫€圖形中，線

段雙）是,ABC的高的圖形是（）

2.（2023秋?甘肅慶陽?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在ASC中，/A是鈍角，下列圖中作邊上

的高線，正確的是（）

3.（2023?浙江?八年級假期作業(yè)）如圖，AD1BC,ECYBC,CFLAB,點、D,C,尸是垂足,

下列說法錯誤的是（)

A

A.中，A￡＞是8。邊上的高B.△ABD中，EC是BD邊上的高

C.qCEB中，EC是BC邊上的高D.CEB中，尸C是BE邊上的高

易錯點2三角形中折疊時圖形未定產(chǎn)生多解漏解易錯

例題：在,ABC中，ZACB=90°,ZA=30。，點。是A2邊上一動點，將ACD沿直線8翻折，

使點A落在點E處，連接CE交AB于點F.當(dāng)DEF是直角三角形時，NACD度數(shù)是

度.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在三角形紙片ABC中，A8=ACN8=20。，點0是邊3c上的動點，將三角形紙片沿AD

對折，使點3落在點9處，當(dāng)&D_LBC時，一歷山＞的度數(shù)為.

2.如圖，在三角形ABC中，ZACB=86。，點。為AB邊上一個動點，連接8,把三角形ACD

沿著。折疊，當(dāng)ZA，CB=20。時，貝l]ZDC3=.

A'

3.在“妙折生平--折紙與平行”的拓展課上，小潘老師布置了一個任務(wù)：如圖，有一張三角

形紙片A3C,々=30。，NC=50。，點。是A3邊上的固定點(孫央)，請在BC上找一點E,

將紙片沿DE折疊為折痕)，點8落在點歹處，使所與三角形ABC的一邊平行，則/雙汨為

________度.

易錯點3多邊形截角后的內(nèi)角和問題

例題：一個多邊形截去一個角后，形成的新多邊形的內(nèi)角和是2880。，則原多邊形的邊數(shù)是

【變式訓(xùn)練】

1.一個多邊形剪去一個角后，內(nèi)角和為540。，則原多邊形是邊形.

2.一個多邊形剪去一個內(nèi)角后，得到一個內(nèi)角和為2700。的新多邊形，則原多邊形的邊數(shù)為

3.(1)每個內(nèi)角都相等的十邊形的一個外角的度數(shù)為；

(2)一個多邊形過頂點剪去一個角后，所得多邊形的內(nèi)角和為720。，則原多邊形的邊數(shù)是

易錯點4求一內(nèi)角平分線與不相鄰?fù)饨瞧椒志€的夾角

例題：如圖，網(wǎng)和CA分別是ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，即是乙”。的角平分線，CA2

是NA。。的角平分線，B4是的角平分線，C&是N&CD的角平分線，若4=0,則/A陽=

【變式訓(xùn)練】

1./ACD為.ABC的一個外角，/ABC、/ACD的角平分線交于點尸.

A

P

B

(1)若N/WC=40。，448=110。，則NP=

(2)若NACO—/ABC=64。，則NP=

(3)若ZA=76。，貝U/P=

⑷若NP=46。，則ZA=

⑸你能找出-A與一尸之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并證明.

2.問題情境:

如圖1,ABC中，5。平分/ABC,CO平分NACD.

D

圖2

⑴探索發(fā)現(xiàn)：

若ZA=60。，則/。的度數(shù)為；若ZA=130。，則/O的度數(shù)為

(2)猜想證明:

試判斷-A與NO的關(guān)系，并說明理由.

(3)結(jié)論應(yīng)用：

如圖2,在四邊形M7VCB中，BD平分ZMBC,且與四邊形MNC3的外角NNCE的平分線8交

于點D若N3MV=130。，ZGW=100°,則/D的度數(shù)為..

過關(guān)訓(xùn)練

一、單選題

1.下列四個圖中，正確畫出ABC中3c邊上的高是()

2.如圖，在ABC中，A5邊上的高作法正確的是

二、填空題

3.如果剪掉四邊形的一個角，那么所得多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)可能是.

4.一個多邊形截去一個角后，所形成的另一個多邊形的內(nèi)角和是2160。，則原多邊形的邊數(shù)

是.

5.如圖，直角三角形ABC中，NC=9O。，4MC=70。，點。是邊上的一點，連接AD,將△ACD

沿AD折疊，使點C落在點E處，當(dāng)_3/比是直角三角形時，NCAD的度數(shù)為.

6.如圖，ABC中，ZC=90°,ZA=30°,E,R分別是邊AC,A3上的點，連接ER將

△AER沿ER折疊，得到△AEF,當(dāng)△AEF的邊AN與△ABC的一邊平行時，NAER的度數(shù)

是.

7.如圖，BA,CA分別是ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，B4,C&分別是“ABC的內(nèi)角

平分線和外角平分線，B4,C4分別是&BC的內(nèi)角平分線和外角平分線……以此類推，若

ZA=a,貝!JN>!23=

三、解答題

8.(1)如圖1,在△AOC中，N4X7的平分線和/ACD的外角平分線交于點P,若

ZADC=70°,ZACD=50°,求—P的度數(shù).

圖1圖2圖3

(2)如圖2,在四邊形A3CD中，-4DC的平分線和/BCD的外角平分線交于點

P,ZA=90°,ZB=150。，求NP的度數(shù).

(3)如圖3,若將(2)中“ZA=90。，4=150?！备臑椤?=。，〃=?”，其余條件不變，直接

寫出一尸與a+6之間的數(shù)量關(guān)系.

9.【結(jié)論探究】如圖1,在ASC中，/ABC的平分線3尸與外角/ACD的平分線CP相交于點P,

BP平分/ABC,

：.ZPBC=-Z.

2--------------------

*.*CP平分/AC。，

/.ZPCD=-ZACD.

2

"：ZACD=Z+ZABC,

ZA=AACD-AABC,

'：ZPCD=NP+/PBC,

:.NP=NPCD-NPBC=工NACD-工N=-ZA.

22--------------------2

請直接應(yīng)用上面的結(jié)論解決下面問題：

【結(jié)論應(yīng)用】如圖2,在ABC中，ZA=70。，/ABC的平分線8E與外角ZACD的平分線CE相

交于點E,外角/HBC的平分線所與EC的延長線相交于點E求4F的度數(shù).

【拓展應(yīng)用】

如圖3,已知四邊形A3CD與四邊形3B平分/ABC,CE平分外角"S.

①若ZA=100。，NO=142。，則4+//=1°；

②若ZA+/D=a,ZE+ZF=/7,則。=（用含少的代數(shù)式表示）.

第十一章三角形單元復(fù)習(xí)提升（易錯點）

答案全解全析

易錯點1判斷鈍角三角形某邊上的高線是否正確

例題：（2023秋?浙江杭州?八年級校考開學(xué)考試）下列各圖中，正確畫出AC邊上的高的是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形高的定義判斷即可得到答案.

【詳解】解：ASC中AC邊上的高即為過點5作AC的垂線段，該垂線段即為AC邊上的高,

四個選項中只有選項。符合題意，

故選：D.

【點睛】本題主要考查了三角形高線定義，解題的關(guān)鍵是熟知過三角形一個頂點作對邊的垂

線得到的線段叫三角形的高.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?黑龍江哈爾濱?七年級哈爾濱市第一一三中學(xué)校校考期中）下面四個圖形中，線

段瓦）是.ABC的高的圖形是（）

【分析】根據(jù)三角形的高的定義逐項分析即可解答.

【詳解】解：A.線段3。是△3ZM的高，選項不符合題意；

B.線段是的高，選項不符合題意；

C.線段是△ABD的高，選項不符合題意；

D.線段3。是ABC的高，選項符合題意.

故選：D.

【點睛】本題考查三角形的高的定義，從三角形的一個頂點到它的對邊作一條垂線，頂點到

垂足之間的線段叫做三角形的高.

2.（2023秋?甘肅慶陽?八年級統(tǒng)考期末）如圖，在ABC中，是鈍角，下列圖中作BC邊上

的高線，正確的是（）

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形的高的定義判斷即可.

【詳解】解：在.ABC中，/A是鈍角，8C邊上的高線就是過點A作邊的垂線得到的線段,

如圖,

故選：D.

【點睛】本題考查了三角形的高：從三角形的一個頂點向它的對邊作垂線，垂足與頂點之間

的線段叫做三角形的高.掌握定義是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?浙江?八年級假期作業(yè)）如圖，AD1BC,ECLBC,CFLAB,點、D,C,歹是垂足,

下列說法錯誤的是（）

A.中，AD是邊上的高B.中，召。是邊上的高

C..CEB中，比是BC邊上的高D.CEB中,FC是8E邊上的高

【答案】B

【分析】根據(jù)三角形高的定義依次判斷即可.

【詳解】解：A、△A3。中，AD是8。邊上的高，故此選項正確，不符合題意;

B、△ABD中，比不是山）邊上的高，故此選項錯誤，符合題意；

C、CEB中，召c是2C邊上的高故此選項正確，不符合題意；

D、CEB中，尸。是8E邊上的高，故此選項正確，不符合題意.

故選3.

【點睛】本題主要考查了三角形高的概念，應(yīng)熟記三角形的高應(yīng)具備的兩個條件：①經(jīng)過三

角形的一個頂點，②垂直于這個頂點的對邊.

易錯點2三角形中折疊時圖形未定產(chǎn)生多解漏解易錯

例題：在，A3C中，ZACB=90°,4=30。，點。是AB邊上一動點，將ACD沿直線8翻折，

使點A落在點E處，連接C￡交A3于點F.當(dāng)DEF是直角三角形時，/ACD度數(shù)是.

度.

A

【答案】30或15

【分析】分乙⑦尸=90。和/互力=90。，兩種情況進行求解即可.

【詳解】解：當(dāng)/￡E>F=90。時，如圖，則：ZEZM=90°

???折疊,

I.ZADC=ZCDE=g(360°-ZADE)=135°,

/.NACD=180?！?ADC—/A=15。；

當(dāng)NEFD=90。時，如圖，則：NBFC=90°,

VZACB=90°,ZA=30°,

/./3=60°,

/.ZBCF=30°,

ZACF=ZACB-ZBCF=60°,

???折疊，

/.ZACD=-ZACF=30°,

2

綜上：/AC。的度數(shù)為30?；?5。.

故答案為：30或15.

【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理.熟練掌握折痕是角平分線，是解題的

關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在三角形紙片ABC中，AB=AC,28=20。，點。是邊3c上的動點，將三角形紙片沿4。

對折，使點B落在點笈處，當(dāng)？8c時，N8AD的度數(shù)為.

【分析】分兩種情況考慮，利用對稱的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和等知識即可完成求解.

【詳解】解：由折疊的性質(zhì)得：ZADB'=ZADB；

"：B'DIBC,

ZBDB'=900■

①當(dāng)B在3C下方時，如圖，

ZADB+ZADB'+ZBDB'=360°,

/.ZADB=|x(360°-90°)=135°,

ZBAD=180°-ZB-ZAZ)S=25°；

ZADB+ZADB'=90。,

：.ZADB=-x90°=45°,

2

綜上，/HAD的度數(shù)為25?；?15。；

故答案為：25?；?15。.

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，注意分類討論.

2.如圖，在三角形"C中，ZACB=86。，點。為邊卜一個動點，連接。，把三角形ACD

沿著8折疊，當(dāng)ZA，CB=20。時，^]ZDCB=..

A

A'

【答案】33。或53。

【分析】根據(jù)題意分CA在三角形ACB外部和CA在三角形ACB內(nèi)部兩種情況討論，分別根據(jù)

折疊的性質(zhì)和角的和差求解即可.

【詳解】解：當(dāng)CA在三角形AC3外部，如圖:

VZ4CB=86°,ZA'CB=20。，

ZACA=ZACB+ZA'CB=860+20°=106°,

???三角形AC。沿著8折疊，

/.ZA,CD=-ZA,CA=53°

2

/.Z.DCB=ZA'CD-ZA'CS=53°-20°=33°

當(dāng)CA在三角形ACS內(nèi)部，如圖：

ZACB=86°,ZA'CB=20°,

，ZACA=ZACB-ZACB=86°-20°=66°,

三角形ACD沿著CD折疊，

ZAC￡>=-ZA,CA=33°,

2

Z.DCB=ZACB-ZACD=86°-33°=53°.

故答案為：33?；?3。.

【點睛】此題考查了折疊的性質(zhì)，角的和差，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識點.

3.在“妙折生平--折紙與平行”的拓展課上，小潘老師布置了一個任務(wù)：如圖，有一張三角

形紙片ABC,N3=30。，NC=50。，點￡）是A3邊上的固定點的<加），請在BC上找一點E,

將紙片沿DE折疊為折痕），點8落在點產(chǎn)處，使斯與三角形9C的一邊平行，則/應(yīng)定為

________度.

A

【答案】35或75或125

【分析】分三種情況：①當(dāng)3D〃EF時，②當(dāng)AC〃EF時，根據(jù)折疊性質(zhì)、平行線的性質(zhì)得答

案.

【詳解】解：①當(dāng)皮）〃EF時，

由折疊可知，ZB=ZF=30°,ZBED=ZDEF,

BD//EF,

:.ZB=ZCEF=30°9

ZBEF=180°-30°=150°,

ABED=ZDEF=-ZBEF=-xl50°=75°,

22

...ZBDE=180°-30°-75°=75°.

②當(dāng)AC〃EF時，ZC=ZBEF=50°,

ABED=ZFED=-ZBEF=-x50°=25°,

22

ZBDE=180°-ZB-ZBED=180°-30°-25°=125°,

ZBDE=125°,

③當(dāng)AC〃砂時，ZC=ZCEF=50°,

/.ZBGD=50°+30°=80°,

/.ZBDG=180?！?0°-30°=70°,

ZBDE=-ZBDG=L70°=35°,

22

綜上所述，血見=35。或75。或125。.

故答案為：35或75或125.

【點睛】此題考查的是翻折變換和平行線的性質(zhì)，掌握其性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵.

易錯點3多邊形截角后的內(nèi)角和問題

例題：一個多邊形截去一個角后，形成的新多邊形的內(nèi)角和是2880。，則原多邊形的邊數(shù)是

【答案】17,18或19

【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可得：（〃-2）」80。=2880。，求出新多邊形的邊數(shù)，然后再根

據(jù)截去一個角的情況進行討論，計算即可.

【詳解】解：設(shè)新多邊形的邊數(shù)為〃，

則（〃—2）480°=2880°,

解得：n=18,

若截去一個角后邊數(shù)增加1,則原多邊形邊數(shù)為19,

若截去一個角后邊數(shù)減少1,則原多邊形邊數(shù)為17,

若截去一個角后邊數(shù)不變，則原多邊形邊數(shù)為18,

則多邊形的邊數(shù)是17,18或19,

故答案為：17,18或19.

【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式（〃-2”80°（〃23且〃是整數(shù)），注意要分情況

進行討論，避免漏解.

【變式訓(xùn)練】

1.一個多邊形剪去一個角后，內(nèi)角和為540。，則原多邊形是邊形.

【答案】4或5或6

【分析】先求出新多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)截去一個角后的多邊形與原多邊形的邊數(shù)相等，多1,

少1三種情況進行討論.

【詳解】解：設(shè)新多邊形的邊數(shù)是〃，則（〃-2”80。=540。，

解得n=5,

截去一個角后的多邊形與原多邊形的邊數(shù)可以相等，多1或少1,

二原多邊形的邊數(shù)是4或5或6.

故答案是：4或5或6.

【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，難點在于截去一個角后的多邊形與原多邊形的邊

數(shù)相等，多1,少1,有這么三種情況.

2.一個多邊形剪去一個內(nèi)角后，得到一個內(nèi)角和為2700。的新多邊形，則原多邊形的邊數(shù)為

【答案】16或17或18

【分析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式先求出新多邊形的邊數(shù)，然后再根據(jù)截去一個角的情況進

行討論.

【詳解】解：設(shè)新多邊形的邊數(shù)為〃，

貝|］（〃_2>180。=2700。，

解得"=17,

①若截去一個角后邊數(shù)增加1,則原多邊形邊數(shù)為16,

②若截去一個角后邊數(shù)不變，則原多邊形邊數(shù)為17,

③若截去一個角后邊數(shù)減少1,則原多邊形邊數(shù)為18,

所以多邊形的邊數(shù)可以為16或17或18.

故答案為：16或17或18.

【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和公式.解題的關(guān)鍵是掌握多邊形的內(nèi)角和公式，注

意要分情況進行討論，避免漏解.

3.（1）每個內(nèi)角都相等的十邊形的一個外角的度數(shù)為；

（2）一個多邊形過頂點剪去一個角后，所得多邊形的內(nèi)角和為720。，則原多邊形的邊數(shù)是

【答案】36。/36度6或7

【分析】（1）根據(jù)正多邊形的每一個外角相等且所有的外角的度數(shù)和為360度求解即可.

（2）求出新的多邊形為6邊形，則可推斷原來的多邊形可以是6邊形，可以是7邊形.

【詳解】解：（1）一個十邊形的每個外角都相等，

???十邊形的一個外角為360-10=36°.

故答案為：36°；

(2)設(shè)內(nèi)角和為720。的多邊形的邊數(shù)是〃,則(〃-2)xl80=720,

解得：n=6.

???多邊形過頂點截去一個角后邊數(shù)不變或減少1,

???原多邊形的邊數(shù)為6或7.

故答案為：6或7.

【點睛】此題考查了正多邊形外角和多邊形的內(nèi)角和；解題的關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的內(nèi)角

和與多邊形的邊數(shù)之間的關(guān)系，熟知正多邊形外角與邊數(shù)的關(guān)系式.

易錯點4求一內(nèi)角平分線與不相鄰?fù)饨瞧椒志€的夾角

例題：如圖，網(wǎng)和CA分別是ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，24是"8。的角平分線，S

是"CD的角平分線，是幺的角平分線，C4是N&CD的角平分線，若=則/4儂=

【答案】

【分析】根據(jù)角平分線的定義可得=ZACD=|ZACZ),再根據(jù)三角形外角的性

質(zhì)可得g(448C+/A)=gNABC+/A，化簡可得4=：”,進一步找出其中的規(guī)律，即可求出

乙品23的度數(shù).

【詳解】BA1和CA分別是一ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，

11

NAB。.NABC,ZA,CD=-ZACD,

又QZACD=ZABC+ZA,=+

3(LC+NA)=|ZABC+,

.-.ZA=|ZA,

同理可得：幺

4=*A，……

則4()23=97/人，

/A=a,

?1

202301

??/4023=2，

故答案為：裝”.

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義等，找出,

/4,與NA的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1./ACD為A3C的一個外角，NABC、/ACD的角平分線交于點尸.

(1)若ZABC=40°,ZACD=110。，則/尸=；

(2)若ZACD-ZABC=64°,則NP=；

(3)若ZA=76。，則/P=；

(4)若4=46。，則4=；

⑸你能找出-A與NP之間的數(shù)量關(guān)系嗎？并證明.

【答案】(1)35。

(2)32°

(3)38°

(4)92°

⑸ZA=2NP,證明見解析

【分析】(1)由角平分線定義得到NCBP=g/ABC=20。，NDCP=gNACD=55°,再由三角形外

角的性質(zhì)即可得到答案；

(2)由角平分線定義得至=ZDCP=^ZACD,再由三角形外角的性質(zhì)即可得

到答案；

(3)由角平分線定義得到NCBP'NABC,由三角形外角的性質(zhì)得到

ZACD=ZABC+ZA,則NACD-/ABC=ZA=76。，再由三角形外角的性質(zhì)得到/尸=；乙4=38。；

(4)由角平分線定義得至U/CBP=g/A2C,〃CP=；/ACD,由三角形外角的性質(zhì)得到

ZACD=ZABC+ZA,貝ljZACD-ZABC=ZA,再由三角形外角的性質(zhì)得到/P=gzA,即可得到

NA=2/P=92。；

(5)由角平分線定義得至=乙DCP=；NACD,由三角形外角的性質(zhì)得到

ZACD=ZABC+ZA,貝ljZACD-ZABC=ZA,再由三角形外角的性質(zhì)得到4P=；NA,即可得到

ZA=2ZP.

【詳解】(1)解：,??/ABC、ZACD的角平分線交于點P.ZABC=40°,ZACD=110°,

/.NCBP=-ZABC=20°,ZDCP=-ZACD=55°,

22

■:/DCP為_BCP的一個外角，

/尸=Z.DCP-ZCBP=55°-20°=35°,

故答案為：35。

(2)'：ZABC./AC。的角平分線交于點P.

/.ZCBP=-ZABC,NDCP=-ZACD,

22

■:NDCP為8cp的一個外角，ZACD-ZABC=64°,

.*.ZP^DCP-ZCBP=lzACD-lzABC=l(ZACn-ZABC)=32o

故答案為：32。

(3),.,/ABC、NACD的角平分線交于點尸.

/.ZCBP=-ZABC,ZDCP=-ZACD,

22

ZACD=AABC+ZA,

：.ZACD-ZABC=NA=76。，

*/NDCP為.BCP的一個外角，

/.NP=ZDCP-ZCBP=-ZACD--ZABC=-(ZACD-NABC)=-ZA=38°；

222'72

故答案為：38。

(4)'：ZABC/ACO的角平分線交于點P.

/.ZCBP=-ZABC,ZDCP=-ZACD,

22

ZACD=ZABC-^-ZA9

：.ZACD-ZABC=ZA,

?：/DCP為：BCP的一個外角，

/.ZP=ZDCP-ZCBP=-ZACD--ZABC=-(ZACD-ZABC)=-ZA,

222V72

*/N尸=46。，

ZA=2ZP=92°,

故答案為：92°

(5)ZA=2ZP,

證明如下：,.?/ABC、/AGO的角平分線交于點尸.

/.ZCBP=-ZABC,ZDCP=-ZACD,

22

ZACD=ZABC+ZA,

：.ZACD-ZABC^ZA,

■:NDCP為BCP的一個外角，

ZP=ZDCP-ZCBP=-ZACD--NABC=-(ZACD-ZABC)=-ZA,

222''2

ZA=2ZP.

【點睛】此題考查了三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定義等知識，熟練掌握三角形外角的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

2.問題情境：

如圖1,ASC中，3。平分/ABC,CO平分NACD.

⑴探索發(fā)現(xiàn)：

若ZA=60。，則/。的度數(shù)為；若44=130。，則/。的度數(shù)為

⑵猜想證明：

試判斷/A與/。的關(guān)系，并說明理由.

(3)結(jié)論應(yīng)用：

如圖2,在四邊形MNCB中，BD平分NMBC,且與四邊形MNCB的外角NNCE的平分線。交

于點D若/私W=130。，ZCNM=100°,則"的度數(shù)為.

【答案】(1)30。，65°

(2)ZO=|ZA,理由見解析.

(3)25°

【分析】(1)利用三角形外角的性質(zhì)及角平分線的定義即可求解；

(2)利用三角形外角的性質(zhì)及角平分線的定義即可證明；

(3)延長即公CN交于點P,在。孫亞中，求得NP,利用(2)的結(jié)論即可解決問題.

【詳解】(1)解：30平分/ABC,CO平分/ACD,

ZOBC=-ZABC,ZOCD=-ZACD,

22

ZO=ZOCD-ZOBC=-ZACD--ZABC=-(ZACD-ZABC)=-ZA,

2222

若ZA=60。，則/0=；ZA=3O。

若NA=130。，貝l]NO=；/A=65。

故答案為：30°；65°

(2)解：NO=；/A

理由如下：

30平分/ABC,CO平分/ACD,

ZOBC=-ZABC,ZOCD=-ZACD,

22

NO=ZOCD-ZOBC=-ZACD--ZABC=-(ZACD-ZABC)=-ZA

2222

(3)解：延長3M、CN交于點P,

QZBMN=130°,ZCW=100°,

ZPMN=180°-ZBMN=50°,ZPNM=1800-ZCNM=80°,

...在PMN^P，NP=18Q0—ZPMN—NPNM=50°,

由（1）結(jié)論得：ZD=1zJP=1x50°=25°

故答案為：25。

【點睛】此題考查了三角形外角的性質(zhì)及角平分線的定義，靈活運用三角形外角的性質(zhì)是解

答此題的關(guān)鍵.

過關(guān)訓(xùn)練

一、單選題

1.下列四個圖中，正確畫出ABC中2C邊上的高是（）

PC

CD"BCD

【答案】c

【分析】從三角形一個頂點向它的對邊所在直線畫垂線，頂點和垂足間的線段叫做三角形的

高，根據(jù)三角形的高的定義逐一判斷，即可得到答案.

【詳解】解：根據(jù)三角形高線的定義，邊上的高是過點A向2c作垂線，垂足為D,

縱觀各圖形，選項A、B、D都不符合題意，只有選項C符合題意，

故選：C.

【點睛】本題考查了三角形的高，正確理解三角形的高的定義是解題關(guān)鍵.

2.如圖，在ABC中，邊上的高作法正確的是（）

B，

cNB

【答案】D

【分析】ABC中AB邊上的高線是過C點作AB的垂線，據(jù)此判斷即可.

【詳解】解：ABC中A5邊上的高線是過C點作A8的垂線，四個選項中只有D選項正確,

符合題意.

故選：D.

【點睛】本題主要考查了三角形高線的作法，正確把握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵，經(jīng)過三角形的

頂點（與底相對的點）向?qū)叄ǖ祝┳鞔咕€，頂點和垂足之間的線段就是三角形的一條高.

二、填空題

3.如果剪掉四邊形的一個角，那么所得多邊形的內(nèi)角和的度數(shù)可能是.

【答案】180°、360°、540°

【分析】分四邊形剪去一個角，邊數(shù)減少1,不變，增加1,三種情況討論求出所得多邊形的

內(nèi)角和，即可得解.

【詳解】解：剪去一個角，若邊數(shù)減少1,則內(nèi)角和為：(3-2)?180°=180°,

若邊數(shù)不變，則內(nèi)角和為：(4-2)*180°=360°,

若邊數(shù)增加1,則內(nèi)角和為：(5-2)?1800=540°,

綜上分析可知，四邊形剪去一個角，所得多邊形內(nèi)角和的度數(shù)可能是180。，360。，540°.

故答案為：180°,360°,540°.

【點睛】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是要注意剪去一個角有三種情況.

4.一個多邊形截去一個角后，所形成的另一個多邊形的內(nèi)角和是2160。，則原多邊形的邊數(shù)

是.

【答案】13或14或15

【分析】先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式(〃-2)?180。求出截去一個角后的多邊形的邊數(shù)，再根

據(jù)截去一個角后邊數(shù)增加1,不變，減少1討論得解.

【詳解】解：設(shè)多邊形截去一個角的邊數(shù)為〃，根據(jù)題意得：

(n-2)?180°=2160°

解得：77=14.

???截去一個角后邊上可以增加1,不變，減少1,

原多邊形的邊數(shù)是13或14或15.

故答案為13或14或15.

【點睛】本題考查了多邊形的內(nèi)角和公式，本題難點在于多邊形截去一個角后邊數(shù)有增加1,

不變，減少1三種情況.

5.如圖，直角三角形ABC中，NC=90。，4MC=70。，點。是8C邊上的一點，連接AD,將△ACD

沿AD折疊，使點C落在點E處，當(dāng)一3/迫是直角三角形時，/CAD的度數(shù)為.

【答案】35。或45。/45?；?5。

【分析】分兩種情況：當(dāng)/8￡?=90。時，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得NG4D=35。，當(dāng)NBDE=90。

時，即E在AACB外時，由折疊可得：AE=AC,/￡4c=90。，ZADC=ZADE=45°,AD平分NC4E,

即ZCAD=45°.

【詳解】解：分兩種情況：如圖,

①當(dāng)N3ED=90。時，

由折疊得ZAED=NC=90。，ZCAD=ZEAD,

ZAED+ZS￡D=180°,

.?.A、E、。三點在同一條直線上，點E在A8上時,

ZBAC=1O°

:.ZCAD=-ZBAC=35°

2

②當(dāng)ZBDE=90。時，即E在A4CB外時，如圖，

由折疊可得：

AE=AC,

NC=NAED=90?,/CDE挈?,

/.Z￡4C=90°,

ZADC=ZADE=-190?=45?,

2

由折疊的性質(zhì)可知：AD平分NC4E,

NOW=45°,

ND3E不可能為直角.

故答案為35?；?5。.

【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)，解本題要注意分類討論.熟練掌握折疊的性質(zhì)、直角三角形

的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和等基本知識點.

6.如圖，ABC中，ZC=90°,ZA=30°,E,R分別是邊AC,A3上的點，連接ER將

△AER沿ER折疊，得到△A￡F,當(dāng)△AEF的邊4尸與△ABC的一邊平行時，NAER的度數(shù)

是

【答案】30?；?5?；?20°

【分析】分三種情況討論，利用翻折變換和平行線的性質(zhì)可求NAER的度數(shù).

若A的〃時，

：.?MFB?B,

VZC=90°,NA=30°,

：.?BlA^FB60?,

：將^AEF沿EF折疊，得到AAEF,

ZAFE=ZAFE,

：.ZBFE=180°-ZAFE,

：.ZAFE-60°=180°-ZAFE,

：.ZAFE=120°,

AZAEF=180°-120°-30°=30°；

如圖2,設(shè)A尸與AB交于點H,

若A的〃3c時，

ZBCA=ZFHA=9Q°,

：.ZAFH=180°-ZAHF-ZA=180°-90°-30°=60°,

..?將AAER沿著ER折疊，

/.?AFE?Af/FE30?；

AZAEF=180°-ZA-ZAFE=120°；

如圖3,

c

若時，

：.1A!/EB1A30?,

150?,

?.?將△AER沿著ER折疊，

/.ZAEF=ZA'EF=75°；

綜上所述：30。或75。或120。.

【點睛】本題是翻折變換，平行線的性質(zhì)，利用分類討論思想解決問題是本題的關(guān)鍵.

7.如圖，BAt,4分別是ABC的內(nèi)角平分線和外角平分線，時,C&分別是...42C的內(nèi)角

平分線和外角平分線，即，5分別是-BC的內(nèi)角平分線和外角平分線……以此類推，若

ZA=a,則乙&023=

【答案］

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得ZACO=ZA+ZABC,/年。=乙M。+4,再根據(jù)外角的性

質(zhì)和三角形內(nèi)角可得ZACD=ZA+ZABC,4。=幺8。+”,然后等量代換即可.

【詳解】解：由題意可得：ZABC=|ZABC,ZAiCD=^ZACD,

,：ZACD=ZA+ZABC,^\CD=N&BC+,

g(ZA+ZABC)=1ZABC+幺，

/.ZA=|ZA,

同理可得乙=；4=^ZAj........

ZA=a,

111

.?.NA=5。，ZA=-a,……乙品23=尹1,

故答案為：了二。?

【點睛】本題考查了幾何規(guī)律，涉及到角平分線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)等，靈活運用所

學(xué)知識是關(guān)鍵.

三、解答題

8.(1)如圖1,在△ADC中，1ADC的平分線和/ACD的外角平分線交于點尸，若

ZADC=70°,ZACD=50。，求/P的度數(shù).

圖1圖2圖3

(2)如圖2,在四邊形A3CD中，-4OC的平分線和/BCD的外角平分線交于點

P,ZA=90°,4=150。,求NP的度數(shù).

(3)如圖3,若將(2)中“ZA=90。，4=150?！备臑椤耙?=。，〃=?”，其余條件不變，直接

寫出/尸與a+6之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】(1)30°；(2)30°；(3)a+/7=2ZP+180°

【分析】(1)先根據(jù)角平分線的定義求出NPDC=35。，NPCE=65。,則由三角形外角的性質(zhì)可

得NP=ZPCE-NPDC=30°；

(2)如圖所示，延長血交CB延長線于R,求出NBAF=90。，則由三角形外角的性質(zhì)可得

ZF=ZABC-ZBAF=60°,由角平分線的定義可得/PDC=,NPCE=；NFCE,由三角

形外角的性質(zhì)可得々=；/F=30。；

(3)同(2)求解即可.

【詳解】解：(1)TOP平分/APC,

，ZPDC=-ZADC=35°,

2

ZACD=50°,

：.ZACE=180°-ZACD=130°

CP平分/ACM

Z.ZPCE=-ZACE=65°.

2

：.ZP=ZPCE-ZPDC=30°.

圖1

(2)如圖所示，延長血交CB延長線于R

ZDAB=90°,

：.ZBAF=9Q°,

?.?ZABC=150°9

：.NF=NABC—NBAF=60°,

DP平分NFDC,

二?ZPDC=-ZFDC

29

CP平分NFCE,

：.ZPCE=-ZFCE.

2

?.*NFCE=NF+NFDC,NPCE=NP+NPDC,

：.ZP=ZPCE-ZPDC=-ZF+ZPDC-ZPDC=-ZF=30°；

22

圖2

(3)如圖所示，延長創(chuàng)交CB延長線于R,

ZDAB=a,

：.ZBAF=180°-ZDAB=180°-cr,

4ABC=/3,

：.NF=ZABC-NBAF=a+/7-180°,

OP平分"DC,

/.ZPDC=-ZFDC,

2

'：CP平分/FCE,

：.ZPCE=-ZFCE.

2

*.?ZFCE=ZF+ZFDC,NPCE=ZP+ZPDC,

/./P=NPCE-NPDC=；NF+NPDC-NPDC=gNF=；(a+0)-90。,

：.a+/3=2ZP+180o.

【點睛】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，角平分線的定義，熟知三角形一個外角的度數(shù)

等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角的度數(shù)之和是解題的關(guān)鍵.

9.【結(jié)論探究】如圖1,在ABC中，/ABC的平分線3尸與外角/ACD的平分線CP相交于點P,

,?BP平分/ABC,

：.ZPBC=-Z

2----

CP平分NACD,

/.ZPCD^-ZACD.

2

"：ZACD=Z+ZABC,

：.ZA^ZACD-ZABC,

'：ZPCD=ZP+ZPBC,

111

：.NP=NPCD—NPBC=—NACD——Z=-ZA.

22-----------------