第06講實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（6種題型）

【知識(shí)梳理】

列一元二次方程解應(yīng)用題

i.利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

2.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審（審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等）；

設(shè)（設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量）；

列（根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程）；

解（解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰）；

驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問(wèn)題有意義）

答（寫(xiě)出答案，切忌答非所問(wèn)）.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)毫蟹匠探鈱?shí)際問(wèn)題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：

一是整體地、系統(tǒng)地審題；

二是把握問(wèn)題中的等量關(guān)系；

三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.

【考點(diǎn)剖析】

題型1：增長(zhǎng)率問(wèn)題

列一元二次方程解決增長(zhǎng)（降低）率問(wèn)題時(shí)，要理清原來(lái)數(shù)、后來(lái)數(shù)、增長(zhǎng)率或降低率，以及增長(zhǎng)或降低的次

數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)或降低兩次.

⑴增長(zhǎng)率問(wèn)題：

平均增長(zhǎng)率公式為a（l+x）"=6（a為原來(lái)數(shù)，x為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后的量.）

⑵降低率問(wèn)題：

平均降低率公式為a（l-X）"（a為原來(lái)數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.）

例1.（2022?寧夏）受?chē)?guó)際油價(jià)影響，今年我國(guó)汽油價(jià)格總體呈上升趨勢(shì).某地92號(hào)汽油價(jià)格三月底是6.2

元/升，五月底是8.9元/升.設(shè)該地92號(hào)汽油價(jià)格這兩個(gè)月平均每月的增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意列出方程,

正確的是（）

A.6.2（1+無(wú)）2=8.9

B.8.9(1+無(wú))2=6.2

C.6.2(1+x2)=8.9

D.6.2(l+.r)+6.2(1+x)2=8.9

例2.(2022?上海)某公司5月份的營(yíng)業(yè)額為25萬(wàn)，7月份的營(yíng)業(yè)額為36萬(wàn)，已知5、6月的增長(zhǎng)率相同，

則增長(zhǎng)率為.

例3.隨著國(guó)家"惠民政策"的陸續(xù)出臺(tái)，為了切實(shí)讓老百姓得到實(shí)惠，國(guó)家衛(wèi)計(jì)委通過(guò)嚴(yán)打藥品銷(xiāo)售環(huán)節(jié)中

的不正當(dāng)行為，某種藥品原價(jià)200元/瓶，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后，現(xiàn)在僅賣(mài)98元/瓶，現(xiàn)假定兩次降價(jià)的百

分率相同，求該種藥品平均每場(chǎng)降價(jià)的百分率.

例4.(2023?湖南?湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè))今年五一"網(wǎng)紅長(zhǎng)沙"再次火出"圈"，27個(gè)旅游景區(qū)五天

累計(jì)接待游客194.98萬(wàn)人，成為全國(guó)十大必到城市之一.長(zhǎng)沙美食也吸引了無(wú)數(shù)游客紛紛打卡，某網(wǎng)紅火

鍋店五一期間生意火爆，第2天營(yíng)業(yè)額達(dá)到10萬(wàn)元，第4天營(yíng)業(yè)額為14.4萬(wàn)元，據(jù)估計(jì)第3天、第4天

營(yíng)業(yè)額的增長(zhǎng)率相同.

⑴求該網(wǎng)紅店第3,4天營(yíng)業(yè)額的平均增長(zhǎng)率；

(2)若第1天的營(yíng)業(yè)額為4.6萬(wàn)元，第五天由于游客人數(shù)下降，營(yíng)業(yè)額是前四天總營(yíng)業(yè)額的10%,求該網(wǎng)紅

店第5天營(yíng)業(yè)額.

題型2:面積問(wèn)題

此類(lèi)問(wèn)題屬于幾何圖形的應(yīng)用問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖形，根據(jù)圖形的

面積或體積公式，找出未知量與已知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.

例5.如圖，有一面積是150平方米的長(zhǎng)方形雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻長(zhǎng)18米），墻對(duì)面有一個(gè)2米寬的

門(mén)，另三邊（門(mén)除外）用竹籬笆圍成，籬笆總長(zhǎng)33米.求雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各多少米？

例6.如圖，一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍，豬舍的一邊利用長(zhǎng)為12m的住房墻，另外三邊用25m長(zhǎng)的建筑材

料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m寬的門(mén)，所圍矩形豬舍的長(zhǎng)、寬分別為多少時(shí),

豬舍面積為80m2?

住房墻

例7.（2022?德州）如圖，某小區(qū)矩形綠地的長(zhǎng)寬分別為35祖，15m.現(xiàn)計(jì)劃對(duì)其進(jìn)行擴(kuò)充，將綠地的長(zhǎng)、寬

增加相同的長(zhǎng)度后，得到一個(gè)新的矩形綠地.

（1）若擴(kuò)充后的矩形綠地面積為800m，求新的矩形綠地的長(zhǎng)與寬；

（2）擴(kuò)充后，實(shí)地測(cè)量發(fā)現(xiàn)新的矩形綠地的長(zhǎng)寬之比為5：3.求新的矩形綠地面積.

例8.（2022?泰州）如圖，在長(zhǎng)為50/77,寬為38m的矩形地面內(nèi)的四周修筑同樣寬的道路，余下的鋪上草

坪.要使草坪的面積為1260川，道路的寬應(yīng)為多少？

50m

題型3：數(shù)字問(wèn)題

⑴任何一個(gè)多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個(gè)位、十位、百位、千位……，

它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……,數(shù)位上的數(shù)字只能是0、1、2、……、

9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個(gè)多位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位

的積的和來(lái)表示，這也就是用多項(xiàng)式的形式表示了一個(gè)多位數(shù).如：一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)為a,十位上數(shù)

為b,百位上數(shù)為c,則這個(gè)三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.

（2）幾個(gè)連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個(gè)整數(shù)相差1.

如：三個(gè)連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x,則另兩個(gè)數(shù)分別為x-1,x+1.

幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)（或奇數(shù)）中，相鄰兩個(gè)偶數(shù)（或奇數(shù)）相差2.

如：三個(gè)連續(xù)偶數(shù)（奇數(shù)），設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x,則另兩個(gè)數(shù)分別為x-2,x+2.

例9.已知兩個(gè)數(shù)的和等于12,積等于32,求這兩個(gè)數(shù)是多少.

例10.一個(gè)兩位數(shù)是一個(gè)一位數(shù)的平方，把這個(gè)一位數(shù)放在這個(gè)兩位數(shù)的左邊所成的三位數(shù)，比把這個(gè)一位

數(shù)放在這個(gè)兩位數(shù)的右邊所成的三位數(shù)大252,求這個(gè)兩位數(shù).

題型4:利潤(rùn)（利息）問(wèn)題

利息問(wèn)題

（1）概念：

本金：顧客存入銀行的錢(qián)叫本金.

利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫期數(shù).

利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.

⑵公式：

利息=本金X利率義期數(shù)

利息稅=利息乂稅率

本金x（l+利率X期數(shù)）=本息和

本金X[1+利率X期數(shù)義（1-稅率）]=本息和（收利息稅時(shí)）

利潤(rùn)（銷(xiāo)售）問(wèn)題

利潤(rùn)（銷(xiāo)售）問(wèn)題中常用的等量關(guān)系：

利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)（成本）

總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)義總件數(shù)

利潤(rùn)率=%口X100%,標(biāo)價(jià)X已等二售價(jià)

進(jìn)價(jià)（或成本）10

進(jìn)價(jià)x（l+利潤(rùn)率）=標(biāo)價(jià)x臂臀

例11.某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣(mài)出300件.市場(chǎng)調(diào)查反映：每降價(jià)1元，每星期可多賣(mài)

出20件.已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，在顧客得實(shí)惠的前提下，商家還想獲得6080元的利潤(rùn)，應(yīng)將銷(xiāo)

售單價(jià)定位多少元？

例12.商場(chǎng)某種新商品每件進(jìn)價(jià)是120元，在試銷(xiāo)期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每件商品售價(jià)為130元時(shí)，每天可銷(xiāo)售70

件，當(dāng)每件商品售價(jià)高于130元時(shí)，每漲價(jià)1元，日銷(xiāo)售量就減少1件.據(jù)此規(guī)律，請(qǐng)回答：

①當(dāng)每件商品售價(jià)定為170元時(shí)，每天可銷(xiāo)售多少件商品？商場(chǎng)獲得的日盈利是多少？

②在上述條件不變、商品銷(xiāo)售正常的情況下，每件商品的銷(xiāo)售價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)日盈利可達(dá)到1600

元？

例13.（2022?宜昌）某造紙廠為節(jié)約木材，實(shí)現(xiàn)企業(yè)綠色低碳發(fā)展，通過(guò)技術(shù)改造升級(jí)，使再生紙項(xiàng)目的生

產(chǎn)規(guī)模不斷擴(kuò)大.該廠3,4月份共生產(chǎn)再生紙800噸，其中4月份再生紙產(chǎn)量是3月份的2倍少100

噸.

（1）求4月份再生紙的產(chǎn)量；

（2）若4月份每噸再生紙的利潤(rùn)為1000元，5月份再生紙產(chǎn)量比上月增加初％.5月份每噸再生紙的利

潤(rùn)比上月增加巨％,則5月份再生紙項(xiàng)目月利潤(rùn)達(dá)到66萬(wàn)元.求m的值；

2

（3）若4月份每噸再生紙的利潤(rùn)為1200元，4至6月每噸再生紙利潤(rùn)的月平均增長(zhǎng)率與6月份再生紙

產(chǎn)量比上月增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)相同，6月份再生紙項(xiàng)目月利潤(rùn)比上月增加了25%.求6月份每噸再生紙的利

潤(rùn)是多少元？

題型5：比賽統(tǒng)計(jì)問(wèn)題

比賽問(wèn)題：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是分清單循環(huán)和雙循環(huán).

例14.（2022?黑龍江）2022年北京冬奧會(huì)女子冰壺比賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進(jìn)

行了45場(chǎng)，共有多少支隊(duì)伍參加比賽？（）

A.8B.10C.7D.9

例15.首屆中國(guó)象棋比賽采用單循環(huán)制，每位棋手與棋手比賽一盤(pán)制，已知第一輪比賽共下了105場(chǎng)，那

么參加第一輪比賽的共有幾名選手？

題型6：傳播問(wèn)題

傳播問(wèn)題：

a（l+xy=A,。表示傳染前的人數(shù)，x表示每輪每人傳染的人數(shù)，”表示傳染的輪數(shù)或天數(shù)，A表示最終的

人數(shù).

例16.（2023秋?浙江臺(tái)州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121個(gè)人患了流感，每

輪傳染中平均一個(gè)人傳染幾個(gè)人？設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染X個(gè)人.根據(jù)題意列出方程為（）

A.1+x+x2=121B.l+x（x+l）=121

C.l+x+x（x+l）=121D,+x（%+l）=121

例17.（2023?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）有一人感染了某種病毒，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后，共有256人感染了該種病

毒，求每輪傳染中平均每人傳染了多少個(gè)人.

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

一、單選題

1.（2023?湖南湘西?統(tǒng)考三模）在"雙減政策”的推動(dòng)下，我縣某中學(xué)學(xué)生每天書(shū)面作業(yè)時(shí)長(zhǎng)明顯減少，2022

年上學(xué)期每天書(shū)面作業(yè)平均時(shí)長(zhǎng)為lOOmin,經(jīng)過(guò)2022年下學(xué)期和2023年上學(xué)期兩次調(diào)整后，2023年上

學(xué)期平均每天書(shū)面作業(yè)時(shí)長(zhǎng)為70min,設(shè)該校這兩學(xué)期平均每天作業(yè)時(shí)長(zhǎng)每期的下降率為x,則可列方程

為（）

A.70（l+x2）=100B.70(1+x)2=100

C.100（1-4=70D.100（1-x2）=70

2.（2023?新疆喀什?統(tǒng)考三模）為大力實(shí)施城市綠化行動(dòng)，某小區(qū)規(guī)劃設(shè)置一片面積為1000平方米的矩形

綠地，并且長(zhǎng)比寬多30米，設(shè)綠地長(zhǎng)為x米，根據(jù)題意可列方程為（）

A.x（x+30）=1000B.x（x-30）=1000C.2x（x+30）=1000D.2x（x-30）=1000

3.（2023?重慶沙坪壩?重慶南開(kāi)中學(xué)?？级＃㎞K中學(xué)秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)上安排了8行12列的鮮花儀仗隊(duì)，后

來(lái)又增加了69人，使得隊(duì)伍增加的行、列數(shù)相同，設(shè)增加了無(wú)行，則可列方程為（）

A.（8+x）（12+x）=69B.8x+12x=69

C.（8+x）（12+x）=69+8xl2D.8元+12x—2元？=69

4.（2022秋?天津武清?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)兩位數(shù)等于它個(gè)位數(shù)字的平方，且個(gè)位數(shù)字比十位數(shù)字

大3,則這個(gè)兩位數(shù)是（）

A.25B.36C.25或36D.64

5.（2023?山東淄博?統(tǒng)考二模）如圖，在一塊長(zhǎng)92m,寬60m的矩形耕地上挖三條水渠（水渠的寬都相

等），水渠把耕地分成6個(gè)矩形小塊（陰影部分），如果6個(gè)矩形小塊的面積和為5310m2,那么水渠應(yīng)挖

多寬？若設(shè)水渠應(yīng)挖xm寬，則根據(jù)題意，下面所列方程中正確的是（）

A.（92-2x）（6。-尤）=5310B.92x60-2x60x-92x-2x2=5310

C.92x60-2x60x-92x=5310D.92x60-2x92x-60x+2x2=5310

6.（2023?寧夏銀川?校考一模）有一個(gè)人患流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有81個(gè)人患流感，每輪傳染中平均一

個(gè)人傳染幾個(gè)人？設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染尤個(gè)人，可到方程為（）

A.l+2x=81B.1+爐=81C.1+x+x2=81D.（1+x）2=81

7.（2023秋?云南昆明?九年級(jí)統(tǒng)考期末）中國(guó)男子籃球職業(yè)聯(lián)賽（簡(jiǎn)稱(chēng)：CBA）,分常規(guī)賽和季后賽兩個(gè)階

段進(jìn)行，采用主客場(chǎng)賽制（也就是參賽的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)之間都進(jìn)行兩場(chǎng)比賽）.2022-2023CB4常規(guī)賽共要賽

240場(chǎng)，則參加比賽的隊(duì)共有（）

A.80個(gè)B.120個(gè)C.15個(gè)D.16個(gè)

8.（2022秋?河南商丘?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是某月的日歷表，在此日歷表上可以用一個(gè)矩形圈出3x3

個(gè)位置相鄰的數(shù)（如6,7,8,13,14,15,20,21,22）.如果圈出的9個(gè)數(shù)中，最小數(shù)X與最大數(shù)的積

為161,那么根據(jù)題意可列方程為（）

日一二三四五六

A.x(x+8)=161B.x(x+16)=161C.(x-8)(%+8)=161D,x(x-16)=161

二、填空題

9.（2022秋?遼寧沈陽(yáng)?九年級(jí)校考期中）若某兩位數(shù)的十位數(shù)字是方程Y-7x=0的根，則它的十位數(shù)字

是.

10.（2023秋?廣東肇慶?九年級(jí)統(tǒng)考期末）在元旦慶?；顒?dòng)中，每個(gè)參加活動(dòng)的同學(xué)都給其余參加活動(dòng)的同

學(xué)各送1張賀卡，共送賀卡42張，設(shè)參加活動(dòng)的同學(xué)有x人，根據(jù)題意，可列方程是

11.（2023?江蘇蘇州?蘇州市振華中學(xué)校?？级＃┠成虉?chǎng)將進(jìn)貨價(jià)為45元的某種服裝以65元售出，平均

每天可售30件，為了盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每件降價(jià)1元，則每天

可多售5件，如果每天要盈利800元，每件應(yīng)降價(jià)元.

三、解答題

12.（2023?吉林長(zhǎng)春?長(zhǎng)春市解放大路學(xué)校?？既＃┠吵鞘?020年底已有綠化面積500公頃，經(jīng)過(guò)努

力，綠化面積以相同的增長(zhǎng)率逐年增加，到2022年底增加到605公頃，求該城市綠化面積的增長(zhǎng)率.

13.（2023?山東德州??？家荒＃┠撤b銷(xiāo)售商用48000元購(gòu)進(jìn)了一批時(shí)髦服裝，通過(guò)網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)進(jìn)行銷(xiāo)售，

由于行情較好，第二次又用100000元購(gòu)進(jìn)了同種服裝，第二次購(gòu)進(jìn)數(shù)量是第一次購(gòu)進(jìn)數(shù)量的2倍，每件的

進(jìn)價(jià)多了10元.

⑴該銷(xiāo)售商第一次購(gòu)進(jìn)了這種服裝多少件，每件進(jìn)價(jià)多少元？

⑵該銷(xiāo)售商賣(mài)出第一批服裝后，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)：若按每件300元銷(xiāo)售，每天平均能賣(mài)出80件，銷(xiāo)售價(jià)每降低10

元，則多賣(mài)出20件.依此行情，賣(mài)第二批服裝時(shí)，讓利促銷(xiāo)，并使一天的利潤(rùn)恰好為3600元，銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)

為多少？

14.（2023?陜西咸陽(yáng),統(tǒng)考三模）如圖，某小區(qū)矩形綠地的長(zhǎng)寬分別為30m,20m.現(xiàn)計(jì)劃對(duì)其進(jìn)行擴(kuò)充，

將綠地的長(zhǎng)、寬增加相同的長(zhǎng)度后，得到一個(gè)新的矩形綠地.若擴(kuò)充后的矩形綠地面積為1200m2,求新的

矩形綠地的長(zhǎng)與寬.

15.（2023?廣東廣州?統(tǒng)考二模）我市某景區(qū)今年3月份接待游客人數(shù)為10萬(wàn)人，5月份接待游客人數(shù)增加

到12.1萬(wàn)人.

⑴求這兩個(gè)月游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率；

（2）若月平均增長(zhǎng)率不變，預(yù)計(jì)6月份的游客人數(shù)是多少？

16.（2022秋?福建泉州?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）為了響應(yīng)"踐行核心價(jià)值觀，青春正能量”的號(hào)召，小穎決定

走入社區(qū)號(hào)召大家參加“傳遞正能量志愿服務(wù)者”，假定從一開(kāi)始號(hào)召，每一個(gè)人每周能夠號(hào)召相同的加個(gè)

人參加，被號(hào)召參加的人下一周會(huì)繼續(xù)號(hào)召，周后，將有121人被號(hào)召成為“傳遞正能量志愿服務(wù)者.”

⑴求出機(jī)的值；

（2）經(jīng)過(guò)計(jì)算后，小穎、小紅、小麗三人開(kāi)始起號(hào)召，但剛剛開(kāi)始，他們就發(fā)現(xiàn)了問(wèn)題，實(shí)際號(hào)召過(guò)程中，

不是每一次號(hào)召都可以成功，他們?nèi)说某晒β室哺鞑幌嗤?，已知小紅的成功率比小穎的兩倍少10%,第

一周后小麗比小穎多號(hào)召2人，三人一共號(hào)召17人，其中小穎號(hào)召了〃人.

①分別求出他們?nèi)颂?hào)召的成功率；

②求出n的值.

17.（2022秋?廣東陽(yáng)江?九年級(jí)統(tǒng)考期末）烏克蘭危機(jī)發(fā)生之后，外交戰(zhàn)線按照黨中央的部署緊急行動(dòng)，在

戰(zhàn)火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬(wàn)里歸途》正是“外交為民"的真實(shí)寫(xiě)照，如表是

該影片票房的部分?jǐn)?shù)據(jù)，（注：票房是指截止發(fā)布日期的所有售票累計(jì)收入）

影片《萬(wàn)里歸途》的部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)

發(fā)布日期10月8日10月11日10月12日

發(fā)布次數(shù)第1次第2次第3次

票房10億元12.1億元

⑴平均每次累計(jì)票房增長(zhǎng)的百分率是多少？

⑵在（1）的條件下，若票價(jià)每張40元，求10月11日賣(mài)出多少?gòu)堧娪捌?/p>

18.（2022秋?四川成都?九年級(jí)統(tǒng)考期中）由于疫情反彈，某地區(qū)開(kāi)展了連續(xù)全員核酸檢測(cè)，9月7日，醫(yī)

院派出13名醫(yī)護(hù)人員到一個(gè)大型小區(qū)設(shè)置了A、3兩個(gè)采樣點(diǎn)進(jìn)行核酸采樣，當(dāng)天共采樣9220份，已知

A點(diǎn)平均每人采樣720份，8點(diǎn)平均每人采樣700份.

⑴求A、5兩點(diǎn)各有多少名醫(yī)護(hù)人員？

（2）9月8日，醫(yī)院繼續(xù)派出這13名醫(yī)護(hù)人員前往這個(gè)小區(qū)進(jìn)行核酸采樣，這天，社區(qū)組織者將附近數(shù)個(gè)商

戶也納入這個(gè)小區(qū)采樣范圍，同時(shí)重新規(guī)劃，決定從8點(diǎn)抽調(diào)部分醫(yī)護(hù)人員到A點(diǎn)經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，8點(diǎn)每減

少1名醫(yī)護(hù)人員，人均采樣量增加10份，A點(diǎn)人均采樣量不變，最后當(dāng)天共采樣9360份，求從B點(diǎn)抽調(diào)

了多少名醫(yī)護(hù)人員到A點(diǎn)？

19.（2022秋?陜西西安?九年級(jí)校考期中）如圖，已知A、B、C、。為矩形的四個(gè)頂點(diǎn)，AB=16cm,

AD=6cm,動(dòng)點(diǎn)尸、0分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)尸以3cm/s的速度向點(diǎn)B移動(dòng)，一直到點(diǎn)B為止，點(diǎn)

。以2cm/s的速度向點(diǎn)。移動(dòng).問(wèn)：

(1)尸、。兩點(diǎn)從出發(fā)開(kāi)始幾秒時(shí)，四邊形尸3CQ的面積為33cm2?

(2)幾秒時(shí)點(diǎn)尸點(diǎn)Q間的距離是10厘米？

(3)產(chǎn)，。兩點(diǎn)間距離何時(shí)最?。?/p>

20.(2023春?山西長(zhǎng)治?九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí))小米又稱(chēng)栗米，古稱(chēng)栗，是中國(guó)古代的“五谷"之一，"人

說(shuō)山西好風(fēng)光，地肥水美五谷香"、我省晉中、晉東南、陽(yáng)泉盛產(chǎn)小米、某超市計(jì)劃用12元/kg的價(jià)格購(gòu)進(jìn)

一批優(yōu)質(zhì)小米，根據(jù)銷(xiāo)售經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)該小米的售價(jià)為14元/kg時(shí)，月銷(xiāo)售量為980kg,每千克小米售價(jià)每增

長(zhǎng)1元，月銷(xiāo)售量就相應(yīng)減少30kg.

⑴若使這種小米的月銷(xiāo)售量不低于800kg,每千克小米售價(jià)應(yīng)不高于多少元？

（2）在實(shí)際銷(xiāo)售過(guò)程中，每千克小米的進(jìn)價(jià)為15元，而每千克小米的售價(jià)比（1）中最高售價(jià)減少了a%,

月銷(xiāo)售量比（1）中最低月銷(xiāo)售量800kg增加了5a%,結(jié)果該店銷(xiāo)售該小米的利潤(rùn)達(dá)到了4000元，求在實(shí)

際銷(xiāo)售過(guò)程中每千克小米的價(jià)格.

21.（2023秋?山西太原?九年級(jí)期末）某電器商店銷(xiāo)售某品牌冰箱，該冰箱每臺(tái)的進(jìn)貨價(jià)為2500元，已知

該商店去年10月份售出50臺(tái)，第四季度累計(jì)售出182臺(tái).

⑴求該商店口，12兩個(gè)月的月均增長(zhǎng)率；

（2）調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)該冰箱售價(jià)為2900元時(shí)，平均每天能售出8臺(tái)；售價(jià)每降低50元，平均每天能多售出4

臺(tái).該商店要想使該冰箱的銷(xiāo)售利潤(rùn)平均每天達(dá)到5000元，求每臺(tái)冰箱的售價(jià).

22.（2020秋?廣東揭陽(yáng)?九年級(jí)統(tǒng)考期末）校運(yùn)動(dòng)會(huì)前夕，某班家委會(huì)準(zhǔn)備為班級(jí)學(xué)生團(tuán)體操表演方陣購(gòu)買(mǎi)

x件表演服裝，商家給出了如下優(yōu)惠條件：如果一次性購(gòu)買(mǎi)不超過(guò)10件，單價(jià)為80元；如果一次性購(gòu)買(mǎi)

多于10件，那么每增加1件，則購(gòu)買(mǎi)的所有服裝的單價(jià)降低2元，但單價(jià)不得低于50元.若商家每件運(yùn)

動(dòng)服的進(jìn)價(jià)為40元，家委會(huì)一次性購(gòu)買(mǎi)這種服裝付了1200元.

⑴當(dāng)x=10時(shí)，購(gòu)買(mǎi)單價(jià)為元；當(dāng)x=15時(shí)，購(gòu)買(mǎi)單價(jià)為元；

⑵求家委會(huì)共購(gòu)買(mǎi)了多少件服裝？

⑶若不考慮其它因素，本次銷(xiāo)售商家的利潤(rùn)率是多少？

23.（2023,湖北孝感?統(tǒng)考三模）隨著疫情防控全面放開(kāi)，"復(fù)工復(fù)產(chǎn)"成為主旋律.中航無(wú)人機(jī)公司統(tǒng)計(jì)發(fā)

現(xiàn)：公司今年2月份生產(chǎn)A型無(wú)人機(jī)2000架，4月份生產(chǎn)A型無(wú)人機(jī)達(dá)到12500架.

⑴求該公司生產(chǎn)A型無(wú)人機(jī)每月產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率；

⑵該公司還生產(chǎn)5型無(wú)人機(jī)，己知生產(chǎn)1架A型無(wú)人機(jī)的成本200元，生產(chǎn)1架B型無(wú)人機(jī)的成本是300

元.若生產(chǎn)A3兩種型號(hào)無(wú)人機(jī)共100架，預(yù)算投入生產(chǎn)的成本不高于22500元，問(wèn)最多能生產(chǎn)8型無(wú)人

機(jī)多少架？

第06講實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程（6種題

型）

【知識(shí)梳理】

列一元二次方程解應(yīng)用題

1.利用方程解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是尋找等量關(guān)系.

2.解決應(yīng)用題的一般步驟：

審（審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等）；

設(shè)（設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量）；

歹U（根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程）；

解（解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰）；

驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問(wèn)題有意義）

答（寫(xiě)出答案，切忌答非所問(wèn)）.

要點(diǎn)詮釋?zhuān)毫蟹匠探鈱?shí)際問(wèn)題的三個(gè)重要環(huán)節(jié)：

一是整體地、系統(tǒng)地審題；

二是把握問(wèn)題中的等量關(guān)系；

三是正確求解方程并檢驗(yàn)解的合理性.

【考點(diǎn)剖析】

題型1:增長(zhǎng)率問(wèn)題

列一元二次方程解決增長(zhǎng)（降低）率問(wèn)題時(shí)，要理清原來(lái)數(shù)、后來(lái)數(shù)、增長(zhǎng)率或降低率，以及

增長(zhǎng)或降低的次數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系.如果列出的方程是一元二次方程，那么應(yīng)在原數(shù)的基礎(chǔ)

上增長(zhǎng)或降低兩次.

（1）增長(zhǎng)率問(wèn)題：

平均增長(zhǎng)率公式為a（l+x）〃=b（a為原來(lái)數(shù)，X為平均增長(zhǎng)率，n為增長(zhǎng)次數(shù)，b為增長(zhǎng)后

的量.）

⑵降低率問(wèn)題：

平均降低率公式為a（l-x）"=6（a為原來(lái)數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后

的量.）

例1.（2022?寧夏）受?chē)?guó)際油價(jià)影響，今年我國(guó)汽油價(jià)格總體呈上升趨勢(shì).某地92號(hào)汽油

價(jià)格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升.設(shè)該地92號(hào)汽油價(jià)格這兩個(gè)月平均每月的

增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意列出方程，正確的是()

A.6.2(1+x)2=8.9

B.8.9(1+x)2=6.2

C.6.2(1+x2)=8.9

D.6.2(1+尤)+6.2(1+x)2=8.9

【分析】利用該地92號(hào)汽油五月底的價(jià)格=該地92號(hào)汽油三月底的價(jià)格X(1+該地92

號(hào)汽油價(jià)格這兩個(gè)月平均每月的增長(zhǎng)率/，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解.

【解答】解：依題意得6.2(1+x)2=8.9,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二

次方程是解題的感覺(jué).

例2.(2022?上海)某公司5月份的營(yíng)業(yè)額為25萬(wàn)，7月份的營(yíng)業(yè)額為36萬(wàn)，已知5、6月

的增長(zhǎng)率相同，則增長(zhǎng)率為.

【分析】設(shè)平均每月的增長(zhǎng)率為x,根據(jù)5月份的營(yíng)業(yè)額為25萬(wàn)元，7月份的營(yíng)業(yè)額為

36萬(wàn)元，表示出7月的營(yíng)業(yè)額，即可列出方程解答.

【解答】解：設(shè)平均每月的增長(zhǎng)率為X,

由題意得25(1+x)2=36,

解得xi=0.2,x2=-2.2(不合題意，舍去)

所以平均每月的增長(zhǎng)率為20%.

故答案為：20%.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量關(guān)系列出關(guān)于尤的一元二次方程是

解題的關(guān)鍵.

例3.隨著國(guó)家"惠民政策”的陸續(xù)出臺(tái)，為了切實(shí)讓老百姓得到實(shí)惠，國(guó)家衛(wèi)計(jì)委通過(guò)嚴(yán)打

藥品銷(xiāo)售環(huán)節(jié)中的不正當(dāng)行為，某種藥品原價(jià)200元/瓶，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后，現(xiàn)在僅賣(mài)

98元/瓶，現(xiàn)假定兩次降價(jià)的百分率相同，求該種藥品平均每場(chǎng)降價(jià)的百分率.

【思路點(diǎn)撥】設(shè)該種藥品平均每場(chǎng)降價(jià)的百分率是x,則兩個(gè)次降價(jià)以后的價(jià)格是200(1

-x)2,據(jù)此列出方程求解即可.

【答案與解析】

解：設(shè)該種藥品平均每場(chǎng)降價(jià)的百分率是X,

由題意得：200(1-x)2=98

解得：xi=1.7(不合題意舍去),X2=0.3=30%.

答：該種藥品平均每場(chǎng)降價(jià)的百分率是30%.

【總結(jié)升華】此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目

給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列出方程，再求解.判斷所求的解是否符合題意，舍

去不合題意的解.

例4.（2023?湖南?湖南師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）今年五一"網(wǎng)紅長(zhǎng)沙"再次火出"圈"，27

個(gè)旅游景區(qū)五天累計(jì)接待游客194.98萬(wàn)人，成為全國(guó)十大必到城市之一.長(zhǎng)沙美食也吸引

了無(wú)數(shù)游客紛紛打卡，某網(wǎng)紅火鍋店五一期間生意火爆，第2天營(yíng)業(yè)額達(dá)到10萬(wàn)元，第4

天營(yíng)業(yè)額為14.4萬(wàn)元，據(jù)估計(jì)第3天、第4天營(yíng)業(yè)額的增長(zhǎng)率相同.

（1）求該網(wǎng)紅店第3,4天營(yíng)業(yè)額的平均增長(zhǎng)率；

（2）若第1天的營(yíng)業(yè)額為4.6萬(wàn)元，第五天由于游客人數(shù)下降，營(yíng)業(yè)額是前四天總營(yíng)業(yè)額的

10%,求該網(wǎng)紅店第5天營(yíng)業(yè)額.

【答案】⑴該網(wǎng)紅店第3,4天營(yíng)業(yè)額的平均增長(zhǎng)率為20%；

⑵該網(wǎng)紅店第5天營(yíng)業(yè)額為4.1萬(wàn)元.

【分析】（1）設(shè)該網(wǎng)紅店第3,4天營(yíng)業(yè)額的平均增長(zhǎng)率為了,連續(xù)增長(zhǎng)兩次，根據(jù)第2天

的營(yíng)業(yè)額為10萬(wàn)元可列出方程求解；

（2）求得前四天營(yíng)業(yè)總額，根據(jù)“第五天的營(yíng)業(yè)額是前四天總營(yíng)業(yè)額的10%"列式計(jì)算即可

求解.

【詳解】（1）解：設(shè)該網(wǎng)紅店第3,4天營(yíng)業(yè)額的平均增長(zhǎng)率為無(wú)，則

10（l+x）2=14.4

解得西=0.2,無(wú)2=-2.2（舍）

答：該網(wǎng)紅店第3,4天營(yíng)業(yè)額的平均增長(zhǎng)率為20%；

（2）解：前四天營(yíng)業(yè)額為：4.6+10+10（1+20%）+14.4=41萬(wàn)元.

第五天營(yíng)業(yè)額：41xl0%=4.1萬(wàn)元，

答：該網(wǎng)紅店第5天營(yíng)業(yè)額為4.1萬(wàn)元.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程中求增長(zhǎng)率的方法.若設(shè)變化前的量為m變化后的量

為6,平均增長(zhǎng)率為尤，則經(jīng)過(guò)兩次變化后的數(shù)量關(guān)系為。（1+無(wú)產(chǎn)=6.

題型2：面積問(wèn)題

此類(lèi)問(wèn)題屬于幾何圖形的應(yīng)用問(wèn)題，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合成規(guī)則圖

形，根據(jù)圖形的面積或體積公式，找出未知量與己知量的內(nèi)在關(guān)系并列出方程.

例5.如圖，有一面積是150平方米的長(zhǎng)方形雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻（墻長(zhǎng)18米），墻對(duì)面

有一個(gè)2米寬的門(mén)，另三邊（門(mén)除外）用竹籬笆圍成，籬笆總長(zhǎng)33米.求雞場(chǎng)的長(zhǎng)和寬各

多少米？

|18米|

^~~I

________________________________________I

-------12米|------

解答方法：通過(guò)列出籬笆的長(zhǎng)和寬來(lái)求解面積

解：設(shè)雞場(chǎng)的寬為X。

%(33-2%+2)=150

2%2-35%+150=0

(2%-15)(%-10)=0

x=7.5(舍，不符合題意)或x=10

答：雞場(chǎng)的長(zhǎng)為15米，寬為10米。

答案：10米。

例6.如圖，一農(nóng)戶要建一個(gè)矩形豬舍，豬舍的一邊利用長(zhǎng)為12m的住房墻，另外三邊用

25m長(zhǎng)的建筑材料圍成，為方便進(jìn)出，在垂直于住房墻的一邊留一個(gè)1m寬的門(mén)，所圍矩

形豬舍的長(zhǎng)、寬分別為多少時(shí)，豬舍面積為80m2?

住房墻

解：設(shè)矩形豬舍垂直于住房墻一邊長(zhǎng)為xm可以得出平行于墻的一邊的長(zhǎng)為(25-2X+1)

m,

由題意得

x(25-2x+l)=80,

化簡(jiǎn),#x2-13x+40=0,

解得：Xl=5,X2,8,

當(dāng)x=5時(shí)，26-2x=16>12(舍去)，當(dāng)x=8時(shí)，26-2x-10<12,

答：所圍矩形豬舍的長(zhǎng)為10m、寬為81n.

【總結(jié)升華】L結(jié)合圖形分析數(shù)量關(guān)系是解決面積等幾何問(wèn)題的關(guān)鍵；

2.注意檢驗(yàn)一元二次方程的兩個(gè)解是否符合題意.

例7.(2022?德州)如圖，某小區(qū)矩形綠地的長(zhǎng)寬分別為35ml5日現(xiàn)計(jì)劃對(duì)其進(jìn)行擴(kuò)充,

將綠地的長(zhǎng)、寬增加相同的長(zhǎng)度后，得到一個(gè)新的矩形綠地.

(1)若擴(kuò)充后的矩形綠地面積為800%求新的矩形綠地的長(zhǎng)與寬；

（2）擴(kuò)充后，實(shí)地測(cè)量發(fā)現(xiàn)新的矩形綠地的長(zhǎng)寬之比為5：3.求新的矩形綠地面積.

【分析】（1）設(shè)將綠地的長(zhǎng)、寬增加切z,則新的矩形綠地的長(zhǎng)為（35+x）相，寬為（15+x）

如根據(jù)擴(kuò)充后的矩形綠地面積為800燈，即可得出關(guān)于尤的一元二次方程，解之即可得

出尤的值，將其正值分別代入（35+x）及（15+x）中，即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)將綠地的長(zhǎng)、寬增加ym,則新的矩形綠地的長(zhǎng)為（35+y）m,寬為（15+y）m,

根據(jù)實(shí)地測(cè)量發(fā)現(xiàn)新的矩形綠地的長(zhǎng)寬之比為5：3,即可得出關(guān)于y的一元一次方程，

解之即可得出y值，再利用矩形的面積計(jì)算公式，即可求出新的矩形綠地面積.

【解答】解：⑴設(shè)將綠地的長(zhǎng)、寬增加初2,則新的矩形綠地的長(zhǎng)為（35+x）m,寬為

（15+x）m,

根據(jù)題意得：（35+%）（15+x）=800,

整理得：x2+50x-275=0

解得：xi=5,X2=-55（不符合題意，舍去），

.,.35+x=35+5=40,15+尤=15+5=20.

答：新的矩形綠地的長(zhǎng)為40加，寬為20%

（2）設(shè)將綠地的長(zhǎng)、寬增加ym,則新的矩形綠地的長(zhǎng)為（35+y）m,寬為（15+y）m,

根據(jù)題意得：（35+y）：（15+y）=5：3,

即3（35+y）=5（15+y）,

解得：y=15,

（35+y）（15+y）=（35+15）X（15+15）=1500.

答：新的矩形綠地面積為1500層.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）

找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程；（2）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程.

例8.（2022?泰州）如圖，在長(zhǎng)為50加、寬為38%的矩形地面內(nèi)的四周修筑同樣寬的道路,

余下的鋪上草坪.要使草坪的面積為1260京，道路的寬應(yīng)為多少？

【分析】要求路寬，就要設(shè)路寬應(yīng)為x米，根據(jù)題意可知：矩形地面-所修路面積=草

坪面積，利用平移更簡(jiǎn)單，依此列出等量關(guān)系解方程即可.

【解答】解：設(shè)路寬應(yīng)為x米

根據(jù)等量關(guān)系列方程得：（5。-2x）（38-2x）=1260,

解得：x=4或40,

40不合題意，舍去，

所以尤=4,

答：道路的寬應(yīng)為4米.

【點(diǎn)評(píng)】解題關(guān)鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關(guān)系，列

出方程，再求解.

題型3：數(shù)字問(wèn)題

(1)任何一個(gè)多位數(shù)都是由數(shù)位和數(shù)位上的數(shù)組成.數(shù)位從右至左依次分別是：個(gè)位、十位、

百位、千位……,它們數(shù)位上的單位從右至左依次分別為：1、10、100、1000、……,數(shù)位

上的數(shù)字只能是0、1、2、……、9之中的數(shù)，而最高位上的數(shù)不能為0.因此，任何一個(gè)多

位數(shù)，都可用其各數(shù)位上的數(shù)字與其數(shù)位上的單位的積的和來(lái)表示，這也就是用多項(xiàng)式的形

式表示了一個(gè)多位數(shù).如：一個(gè)三位數(shù)，個(gè)位上數(shù)為a,十位上數(shù)為b,百位上數(shù)為c,則這

個(gè)三位數(shù)可表示為：100c+10b+a.

(2)幾個(gè)連續(xù)整數(shù)中，相鄰兩個(gè)整數(shù)相差L

如：三個(gè)連續(xù)整數(shù)，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x,則另兩個(gè)數(shù)分別為x-1,x+1.

幾個(gè)連續(xù)偶數(shù)(或奇數(shù))中，相鄰兩個(gè)偶數(shù)(或奇數(shù))相差2.

如：三個(gè)連續(xù)偶數(shù)(奇數(shù))，設(shè)中間一個(gè)數(shù)為x,則另兩個(gè)數(shù)分別為x-2,x+2.

例9.已知兩個(gè)數(shù)的和等于12,積等于32,求這兩個(gè)數(shù)是多少.

【答案與解析】設(shè)其中一個(gè)數(shù)為x,那么另一個(gè)數(shù)可表示為(12-x),依題意得x(12-x)=32,

整理得X2-12X+32=0

解得xi=4,X2=8,

當(dāng)x=4時(shí)12-x=8；

當(dāng)x=8時(shí)12-x=4.

所以這兩個(gè)數(shù)是4和8.

【總結(jié)升華】數(shù)的和、差、倍、分等關(guān)系，如果設(shè)一個(gè)數(shù)為x,那么另一個(gè)數(shù)便可以用x表

示出來(lái)，然后根據(jù)題目條件建立方程求解.

例10.一個(gè)兩位數(shù)是一個(gè)一位數(shù)的平方，把這個(gè)一位數(shù)放在這個(gè)兩位數(shù)的左邊所成的三位數(shù),

比把這個(gè)一位數(shù)放在這個(gè)兩位數(shù)的右邊所成的三位數(shù)大252,求這個(gè)兩位數(shù).

解答方法：通過(guò)數(shù)位的分析，列出方程進(jìn)行求解。本題難點(diǎn)是設(shè)X。

設(shè)這個(gè)一位數(shù)為X。

(100X+X2)-(10X2+X)=252

X2-11X+28=0

(x-4)(x-7)=0

無(wú)=4或x=7

答案：4或7

題型4：利潤(rùn)（利息）問(wèn)題

利息問(wèn)題

⑴概念：

本金：顧客存入銀行的錢(qián)叫本金.

利息：銀行付給顧客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期數(shù)：存入銀行的時(shí)間叫期數(shù).

利率：每個(gè)期數(shù)內(nèi)的利息與本金的比叫利率.

（2）公式:

利息=本金X利率X期數(shù)

利息稅=利息乂稅率

本金X（1+利率X期數(shù)）=本息和

本金X[1+利率X期數(shù)X（1-稅率）]=本息和（收利息稅時(shí)）

利潤(rùn)（銷(xiāo)售）問(wèn)題

利潤(rùn)（銷(xiāo)售）問(wèn)題中常用的等量關(guān)系：

利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)（成本）

總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)X總件數(shù)

利潤(rùn)率=%之X100%,標(biāo)價(jià)X已髻=售價(jià)

進(jìn)價(jià)（或成本）10

進(jìn)價(jià)x（l+利潤(rùn)率）=標(biāo)價(jià)X當(dāng)臀

例11.某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元，每星期可賣(mài)出300件.市場(chǎng)調(diào)查反映：每降價(jià)1

元，每星期可多賣(mài)出20件.已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，在顧客得實(shí)惠的前提下，商家

還想獲得6080元的利潤(rùn)，應(yīng)將銷(xiāo)售單價(jià)定位多少元？

【答案與解析】

解：降價(jià)x元，則售價(jià)為（60-x）元，銷(xiāo)售量為（300+20X）件，

根據(jù)題意得，（60-x-40）（300+20x）=6080,

解得Xl=l,X2=4,

又顧客得實(shí)惠，故取x=4,級(jí)定價(jià)為56元，

答：應(yīng)將銷(xiāo)售單價(jià)定位56元.

【總結(jié)升華】列一元二次方程解應(yīng)用題往往求出兩解，有的解不合實(shí)際意義或不合題意.應(yīng)

舍去，必須進(jìn)

行檢驗(yàn).

例12.商場(chǎng)某種新商品每件進(jìn)價(jià)是120元，在試銷(xiāo)期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)每件商品售價(jià)為130元時(shí),

每天可銷(xiāo)售70件，當(dāng)每件商品售價(jià)高于130元時(shí)，每漲價(jià)1元，日銷(xiāo)售量就減少1件.據(jù)

此規(guī)律，請(qǐng)回答：

①當(dāng)每件商品售價(jià)定為170元時(shí)，每天可銷(xiāo)售多少件商品？商場(chǎng)獲得的日盈利是多少？

②在上述條件不變、商品銷(xiāo)售正常的情況下，每件商品的銷(xiāo)售價(jià)定為多少元時(shí)，商場(chǎng)日盈

利可達(dá)到1600元？

解答方法：（1）首先求出每天可銷(xiāo)售商品數(shù)量，然后可求出日盈利；

（2）設(shè)商場(chǎng)的日盈利達(dá)到1600元時(shí)，每件商品的售價(jià)為X元，根據(jù)日盈利可求出方程求

解。

答案：（1）當(dāng)每件商品售價(jià)為170元時(shí)，比每件商品售價(jià)130元高出40元，即

170-130=40（元），

則每天可銷(xiāo)售商品30件，商場(chǎng)的日盈利為（170—120）x30=1500（元）；

（2）設(shè)商場(chǎng)的日盈利達(dá)到1600元時(shí)，每件商品的售價(jià)為4元，

2

（x-120）［70-（x-130）］=1600X-320X+25600=0

x=160

答：當(dāng)銷(xiāo)售價(jià)定為160元時(shí)，商場(chǎng)的日盈利可達(dá)到1600元。

例13.（2022?宜昌）某造紙廠為節(jié)約木材，實(shí)現(xiàn)企業(yè)綠色低碳發(fā)展，通過(guò)技術(shù)改造升級(jí)，使

再生紙項(xiàng)目的生產(chǎn)規(guī)模不斷擴(kuò)大.該廠3,4月份共生產(chǎn)再生紙800噸，其中4月份再生

紙產(chǎn)量是3月份的2倍少100噸.

（1）求4月份再生紙的產(chǎn)量；

（2）若4月份每噸再生紙的利潤(rùn)為1000元，5月份再生紙產(chǎn)量比上月增加加％.5月份

每噸再生紙的利潤(rùn)比上月增加巨％,則5月份再生紙項(xiàng)目月利潤(rùn)達(dá)到66萬(wàn)元.求相的

2

值；

（3）若4月份每噸再生紙的利潤(rùn)為1200元，4至6月每噸再生紙利潤(rùn)的月平均增長(zhǎng)率

與6月份再生紙產(chǎn)量比上月增長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)相同，6月份再生紙項(xiàng)目月利潤(rùn)比上月增加了

25%.求6月份每噸再生紙的利潤(rùn)是多少元？

【分析】（1）設(shè)3月份再生紙的產(chǎn)量為尤噸，則4月份再生紙的產(chǎn)量為（2x-100）噸,

根據(jù)該廠3,4月份共生產(chǎn)再生紙800噸，即可得出關(guān)于x的一元一次方程，解之即可求

出x的值，再將其代入（2x-100）中即可求出4月份再生紙的產(chǎn)量；

（2）利用月利潤(rùn)=每噸的利潤(rùn)X月產(chǎn)量，即可得出關(guān)于根的一元二次方程，解之取其正

值即可得出結(jié)論；

（3）設(shè)4至6月每噸再生紙利潤(rùn)的月平均增長(zhǎng)率為》5月份再生紙的產(chǎn)量為。噸，根

據(jù)6月份再生紙項(xiàng)目月利潤(rùn)比上月增加了25%,即可得出關(guān)于y的一元二次方程，化簡(jiǎn)

后即可得出6月份每噸再生紙的利潤(rùn).

【解答】解：(1)設(shè)3月份再生紙的產(chǎn)量為x噸，則4月份再生紙的產(chǎn)量為(2尤-100)

噸，

依題意得：x+2x-100=800,

解得：x=300,

：.2x-100=2X300-100=500.

答：4月份再生紙的產(chǎn)量為500噸.

(2)依題意得：1000(1+—%)X500(1+m%)=660000,

2

整理得：/TAGOO/W-6400=0,

解得：9=20,m2=-320(不合題意，舍去).

答：山的值為20.

(3)設(shè)4至6月每噸再生紙利潤(rùn)的月平均增長(zhǎng)率為y,5月份再生紙的產(chǎn)量為a噸，

依題意得：1200(1+y)2-a(1+y)=(1+25%)X1200(1+yAa,

.*.1200(1+y)2=1500.

答：6月份每噸再生紙的利潤(rùn)是1500元.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正

確列出一元一次方程(或一元二次方程)是解題的關(guān)鍵.

題型5：比賽統(tǒng)計(jì)問(wèn)題

比賽問(wèn)題：解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是分清單循環(huán)和雙循環(huán).

例14.(2022?黑龍江)2022年北京冬奧會(huì)女子冰壺比賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽，

單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場(chǎng)，共有多少支隊(duì)伍參加比賽？()

A.8B.10C.7D.9

【分析】設(shè)共有x支隊(duì)伍參加比賽，根據(jù)“單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場(chǎng)”列一元二次方程，

求解即可.

【解答】解：設(shè)共有x支隊(duì)伍參加比賽，

根據(jù)題意，可得x(,l)=45,

解得尤=10或X=-9(舍)，

共有10支隊(duì)伍參加比賽.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意并根據(jù)題意建立等量關(guān)系是解題的

關(guān)鍵.

例15.首屆中國(guó)象棋比賽采用單循環(huán)制，每位棋手與棋手比賽一盤(pán)制，已知第一輪比賽共

下了105場(chǎng)，那么參加第一輪比賽的共有幾名選手？

解答方法：設(shè)人數(shù)為8人，理解握手的單向性，列出方程求解

答案：設(shè)人數(shù)為8人

x(D-]05

2

爐—x—210=0

(%—15)(尤+14)=0

x=15或x=14(舍，不符合題意)

答：棋手共有15人。

題型6：傳播問(wèn)題

傳播問(wèn)題：

a(l+x)"=A,a表示傳染前的人數(shù),x表示每輪每人傳染的人數(shù),n表示傳染的輪數(shù)或天數(shù)，

A表示最終的人數(shù).

例16.(2023秋?浙江臺(tái)州?九年級(jí)統(tǒng)考期末)一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121個(gè)

人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染幾個(gè)人？設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染x個(gè)

人.根據(jù)題意列出方程為()

A.1+x+x1=121B.l+x(x+l)=121

C.1+x+x(x+1)=121D,1+(x+1)+x(x+1)=121

【答案】C

【分析】第一輪傳染后總傳染人數(shù)為(l+x),第二輪后總傳染人數(shù)為l+x+x(x+l),由此

可解.

【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染X個(gè)人，

則第一輪傳染后總傳染人數(shù)為(1+X),第二輪后總傳染人數(shù)為1+x+x(x+1),

因此l+x+龍(x+1)=121.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

例17.(2023?全國(guó)?九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí))有一人感染了某種病毒，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后，共有256

人感染了該種病毒，求每輪傳染中平均每人傳染了多少個(gè)人.

【答案】15人

【分析】有一人感染了某種病毒，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后，共有256人感染了該種病毒，設(shè)每輪

傳染中平均每人傳染了尤人，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)

論.

【詳解】設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了X人，

依題意，得l+x+x(l+x)=256,

即(1+無(wú)產(chǎn)=256,

解方程，得占=15,X2=-17(舍去).

答：每輪傳染中平均每人傳染了15人，

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題

的關(guān)鍵.

【過(guò)關(guān)檢測(cè)】

一、單選題

1.(2023?湖南湘西?統(tǒng)考三模)在"雙減政策”的推動(dòng)下，我縣某中學(xué)學(xué)生每天書(shū)面作業(yè)時(shí)長(zhǎng)

明顯減少，2022年上學(xué)期每天書(shū)面作業(yè)平均時(shí)長(zhǎng)為lOOmin,經(jīng)過(guò)2022年下學(xué)期和2023

年上學(xué)期兩次調(diào)整后，2023年上學(xué)期平均每天書(shū)面作業(yè)時(shí)長(zhǎng)為70min,設(shè)該校這兩學(xué)期平

均每天作業(yè)時(shí)長(zhǎng)每期的下降率為x,則可列方程為()

A.70(1+X2)=100B.70(1+x)2=100

C.100(1-x)2=70D.100(1-A:2)=70

【答案】C

【分析】利用2023年上學(xué)期平均每天作業(yè)時(shí)長(zhǎng)=2022年上學(xué)期每天作業(yè)平均時(shí)長(zhǎng)x(l-該

校平均每天作業(yè)時(shí)長(zhǎng)這兩學(xué)期每期的下降率『，即可得出關(guān)于尤的一元二次方程，此題得

解.

【詳解】解：根據(jù)題意得：100(1-X)2=70,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出的一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二

次方程是解題的關(guān)鍵.

2.(2023?新疆喀什?統(tǒng)考三模)為大力實(shí)施城市綠化行動(dòng)，某小區(qū)規(guī)劃設(shè)置一片面積為

1000平方米的矩形綠地，并且長(zhǎng)比寬多30米，設(shè)綠地長(zhǎng)為x米，根據(jù)題意可列方程為

()

A.x(x+30)=1000B.30)=1000C.2x(x+30)=1000D.2x(x—30)=1000

【答案】B

【分析】設(shè)綠地長(zhǎng)為x米，則寬為(％-30)米，根據(jù)矩形綠地的面積為1000平方米列出方

程即可.

【詳解】解：設(shè)綠地長(zhǎng)為x米，則寬為"-30)米，根據(jù)題意得:

x（x-30）=1000,故B正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的面積公式.

3.（2023?重慶沙坪壩?重慶南開(kāi)中學(xué)?？级＃㎞K中學(xué)秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)上安排了8行12列的

鮮花儀仗隊(duì)，后來(lái)又增加了69人，使得隊(duì)伍增加的行、列數(shù)相同，設(shè)增加了無(wú)行，則可列

方程為（）

A.（8+無(wú)）（12+無(wú)）=69B.8x+12x=69

C.（8+x）（12+x）=69+8x12D.8x+12x-2x?=69

【答案】C

【分析】根據(jù)游行隊(duì)伍的總?cè)藬?shù)=行數(shù)x列數(shù)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程.

【詳解】解：依題意，得（8+x）（12+x）=69+12x8.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找到等量關(guān)系，正確列出一元二次

方程是解題的關(guān)鍵.

4.（2022秋?天津武清?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一個(gè)兩位數(shù)等于它個(gè)位數(shù)字的平方，且個(gè)位

數(shù)字比十位數(shù)字大3,則這個(gè)兩位數(shù)是（）

A.25B.36C.25或36