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6章平面向量及其應用高一數(shù)學必修第二冊同步高效課堂（人教A版2019）6.4.3第1課時

余弦定理

學習目標1.掌握余弦定理的兩種表示形式及證明方法.2.會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題．3.掌握余弦定理的幾種變形公式及應用；4.能利用余弦定理求解三角形的邊、角等問題.目錄CATALOG01.余弦定理03.題型強化訓練02.余弦定理的簡單應用04.小結及隨堂練習01余弦定理6.4.3第1課時

余弦定理

學習新知一個三角形含有各種各樣的幾何量，例如三邊邊長、三個內(nèi)角的度數(shù)、面積等，它們之間存在著確定的關系．例如，在初中，我們得到過勾股定理、銳角三角函數(shù)，這是直角三角形中的邊、角定量關系．對于一般三角形，我們已經(jīng)定性地研究過三角形的邊、角關系，得到了SSS，SAS，ASA，AAS等判定三角形全等的方法．這些判定方法表明，給定三角形的三個角、三條邊這六個元素中的某些元素，這個三角形就是唯一確定的．那么三角形的其他元素與給定的某些元素有怎樣的數(shù)量關系?下面我們利用向量方法研究這個問題．學習新知我們知道，兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等(SAS).這說明，給定兩邊及其夾角的三角形是唯一確定的.也就是說，三角形的其他邊、角都可以用這兩邊及其夾角來表示.那么，表示的公式是什么？這四個量，知三可求一學習新知【探究】在△ABC中，三個角A、B、C所對的邊分別是a、b、c,怎樣用a、b和C表示c？學習新知余弦定理的定義余弦定理:三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍.即你能用其他方法證明余弦定理嗎？利用余弦定理可以解決三角形的哪類問題？利用余弦定理，我們可以從三角形已知的兩邊及其夾角直接求出第三邊.【問題】學習新知【思考】余弦定理指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關系．應用余弦定理，我們可以解決已知三角形的三邊確定三角形的角的問題，怎么確定呢?余弦定理及其推論把用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法從數(shù)量化的角度進行了刻畫．利用推論，可以由三角形的三邊直接計算出三角形的三個角．從余弦定理及其推論可以看出，三角函數(shù)把幾何中關于三角形的定性結論變成了可定量計算的公式．學習新知【思考】勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的關系，余弦定理則指出了三角形的三條邊與其中的一個角的關系.你能說說這兩個定量之間的關系嗎？余弦定理與勾股定理的關系如果△ABC中有一個角是直角，例如C=90°，這時cosC=0.由余弦定理可得c2=a2+b2，這就是勾股定理.

由此可見，余弦定理是勾股定理的推廣，而勾股定理是余弦定理的特例.一般地，三角形的三個角A、B、C和它們的對邊a、b、c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.【解三角形的概念】學習新知【思考】勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的關系，余弦定理則指出了三角形的三條邊與其中的一個角之間的關系．你能說說這兩個定理之間的關系嗎?ACBabc如果△ABC中有一個角是直角，例如，C=90°，這時cosC=0.由余弦定理可得c2=a2+b2，這就是勾股定理.

由此可見，余弦定理是勾股定理的推廣，而勾股定理是余弦定理的特例.一般地，三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形.02余弦定理的簡單應用6.4.3第1課時

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學習新知例5：【解析】學習新知【詳解】【變式】學習新知【感悟提升】1.已知兩邊及一角解三角形的兩種情況(1)已知兩邊和兩邊夾角，直接應用余弦定理求出第三邊，然后根據(jù)邊角關系應用余弦定理求解其他角．(2)三角形中已知兩邊和一邊的對角，解法如下：利用余弦定理列出關于第三邊的等量關系建立方程，運用解方程的方法求出第三邊的長．學習新知【感悟提升】2.解決“已知兩邊及一角”解三角問題的步驟(1)用余弦定理列出關于第三邊的等量關系建立方程，運用解方程的方法求出此邊長．(2)再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求出其他兩角．學習新知例6：學習新知【詳解】【變式】學習新知【反思感悟】已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法已知三角形的兩邊及一角解三角形，必須先判斷該角是給出兩邊中一邊的對角，還是給出兩邊的夾角．若是給出兩邊的夾角，可以由余弦定理求第三邊；若是給出兩邊中一邊的對角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三邊，此時需根據(jù)題意進行檢驗，需滿足大角對大邊，兩邊之和大于第三邊．通性通法(1)若已知角是其中一邊的對角，可用余弦定理列出關于第三邊的一元二次方程求解；(2)若已知角是兩邊的夾角，則直接運用余弦定理求出另外一邊，再用余弦定理和三角形內(nèi)角和定理求其他角．已知兩邊及一角解三角形的兩種情況03題型強化訓練6.4.3第1課時

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能力提升【練習1】題型一、已知兩邊及一角解三角形能力提升題型一、已知兩邊及一角解三角形【感悟提升】已知兩邊及一角解三角形的兩種情況(1)已知兩邊和兩邊夾角，直接應用余弦定理求出第三邊，然后根據(jù)邊角關系應用余弦定理求解其他角．(2)三角形中已知兩邊和一邊的對角，解法如下：利用余弦定理列出關于第三邊的等量關系建立方程，運用解方程的方法求出第三邊的長．能力提升【練習2】題型二、已知三邊解三角形能力提升題型二、已知三邊解三角形【感悟提升】已知三邊(三邊關系)求解三角形的方法(1)已知三角形的三邊求角時，可利用余弦定理的推論求解出各角的大?。?2)若已知三角形的三邊關系，常根據(jù)邊的關系直接代入化簡或利用比例性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已知三邊求解．能力提升題型二、已知三邊解三角形若已知三角形三邊的比例關系，常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k，從而轉(zhuǎn)化為已知三邊求解．在已知三邊求三個角時，一般先求小角后求大角．【注意】通性通法先利用余弦定理的推論求出一個角的余弦，從而求出第一個角；再利用余弦定理的推論(或由求得的第一個角利用正弦定理)求出第二個角；最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個角．已知三角形三邊解三角形的方法能力提升【練習3】題型三、利用余弦定理判斷三角形形狀【詳解】能力提升題型三、利用余弦定理判斷三角形形狀【感悟提升】利用余弦定理判斷三角形形狀的方法及注意事項(1)利用余弦定理(有時還要結合三角恒等變換等知識)把已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關系，通過因式分解、配方等方法得出邊的相應關系，從而判斷三角形的形狀．(2)統(tǒng)一成邊的關系后，注意等式兩邊不要輕易約分，否則可能會出現(xiàn)漏解．能力提升題型三、利用余弦定理判斷三角形形狀【感悟提升】利用余弦定理判斷三角形形狀的方法及注意事項如何利用余弦定理判斷角的形狀通性通法判斷三角形形狀的基本思想和兩條思路04小結及隨堂練習6.4.3第1課時

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課堂總結11．知識清單：(1)余弦定理．(2)余弦定理解決的兩類問題．(3)余弦定理的簡單應用．2．方法歸納：化歸轉(zhuǎn)化、數(shù)形結合．3．常見誤區(qū)：易忽略三角形中的隱含條件．課堂總結2余弦定理：余弦定理推論：適合用余弦定理解三角形：（1