山西省三晉卓越聯(lián)盟2024-2025學年高二上學期12月質(zhì)量檢

測數(shù)學試題（A卷）

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.拋物線*=_4y的焦點到準線的距離為（）

11

A.4B.2C.2D.-

2.若傾斜角為45。的直線/經(jīng)過兩點/（2,機），雙機,4），則加的值為（）

A.-2B.1C.2D.3

3.下列四個橢圓中，形狀與圓更接近的一個是（）

A.^+￡=iB.目+小=1

4398

C工2/D歹2

16152516

4.若廄，力，？’構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（）

a+b'a+b+c'B-a-c-a,a+c

C.b+c>b>c-bD-a+b'b+c<3+a

5.在等差數(shù)列｛叫中，若存在正整數(shù)機，",s,t,當加+"s+t時，金+為=4+生成

立，則該數(shù)列的公差.=（）

A.2B.1C.0D.-1

6.如圖，在棱長為6的正四面體/5C。中，E'歹分別為棱的中點，則異面直

試卷第11頁，共33頁

線BE，C尸所成角的余弦值為（

7.已知/，鳥為雙曲線0：4_/=1（“>0,6>0）的上、下焦點，尸為0的上支上一點，

過“作/甲”的平分線的垂線，垂足為生若［0目=：閨可（。為坐標原點），則C的漸

近線方程為（）

B.y=±y/3x

=±2x

c.y=±—xDy

2

8.已知實數(shù)"'b，c，d滿足/十/二］,c2+d2=\9ad—be=0,且則

〃+2c+2b+d的取值范圍為（）

A.[T』

D.『2,2]

試卷第21頁，共33頁

二、多選題

9.已知直線/Jax+y-1=Q,l2-2x+（a-l）j-a-l=0>點尸在（上，點0在4上，則

（）

A.的最小值為石

B.原點到4的距離的最大值為近

C的充要條件為

3

D.的充要條件為。=2或。=-1

10.已知凡為正項等比數(shù)列｛氏｝的前〃項積，若02。24<1，n2025>i.則（）

A.｛與｝的公比的取值范圍為（0,1）

B.數(shù)列｛%｝為遞增數(shù)列

c.當"=ioi2時，n最小

n

D.當”=1013時，n“最大

2

11.已知片，鳥是雙曲線C：/_2_=1（6>0）的左、右焦點，過工的直線交C的右支于A,

8兩點，若|/|=2|/匐，NAFF?=NF\BFz，貝1（）

A.c的離心率為2B.|/同=8

C.耳鳥的面積為4D./\BFXF2的周長為18

三、填空題

試卷第31頁，共33頁

12.己知1,°,b，c,4成等比數(shù)列，則6=—.

13.如圖，在平行四邊形/8CZ)中，/C=8C=1，/C_L2C，將A/CD沿/C折起到

14.已知尸為拋物線c：y2=2px(°>o)的焦點，43為C上在第一象限內(nèi)的兩點，且滿

足|“m=60，|"|-|尸可=6，線段N5的中點的縱坐標為6,則C的方程為一.

四、解答題

15.如圖，在直三棱柱/BC-44。中，AB1AC，AB=AC=a，AA、=b，有、E,尸滿

(1)當平面4EF_L平面4E尸時，求；I的值;

試卷第41頁，共33頁

(2)當2時，求直線與平面4即所成角的大小.

16.己知s“為數(shù)列｛%｝的前"項和，且s“=/+].

(1)求｛%｝的通項公式；

(2)若以喙,求低｝的前”項和勺

17.在平面直角坐標系中，點￡(-2,0)、/(1,0)，動點尸滿足陷|=陽明，記動點

P的軌跡為曲線「.

⑴求「的方程；

(2)過尸的兩條互相垂直的直線與曲線「分別相交于A、8兩點和C、〃兩點，求四邊形

/C8D面積的最大值.

18.已知圓C：(X+1)2+_/=16，點0(1,0)，點尸是圓C上任意一點?線段。尸的垂直平分線

/與半徑C尸相交于點0,當點尸在圓C上運動時，點。的軌跡為曲線「.

⑴求「的方程；

(2)證明：直線/是曲線「的切線.

19.在數(shù)列｛%｝中，記若也叫為等差數(shù)列，則稱｛%｝為二階等差數(shù)列.

⑴若4=2“2_”+3,判斷｛4｝是否為二階等差數(shù)列？并說明理由；

(2)已知二階等差數(shù)列｛%｝滿足卬=1，%=2,%=小

試卷第51頁，共33頁

①求數(shù)列｛(｝的通項公式;

②若6“=J+2記也｝的前“項和為月，證明：3Vs”<1.

+1

2"(??+1-1)4

試卷第61頁，共33頁

參考答案:

題號12345678910

答案BDCDCAABBCDBC

題號11

答案ABD

1.B

【分析】由拋物線方程求出焦點、準線方程得解.

【詳解】由題意知該拋物線的焦點為伍,一1）,準線方程為了=1,

故焦點到準線的距離為2,

故選：B.

2.D

【分析】分別用兩點式及傾斜角求斜率相等即可計算求參.

【詳解】經(jīng)過/⑵機），*加，4）的直線/的斜率左=1,又直線’的傾斜角為45°,

2—m

所以I=tan450=l,解得機=乙

2-m

故選：D.

3.C

【分析】求出所有選項的橢圓離心率，根據(jù)離心率越小，橢圓越接近圓，離心率越大，橢

圓越扁，選出離心率最小的即可.

【詳解】由橢圓的性質(zhì)知，離心率越小，橢圓越接近圓，離心率越大，橢圓越扁，

四個橢圓的離心率分別為3，其中離心率最小的為:，

23454

22

所以橢圓土+2=1的形狀與圓更接近.

1615

故選：C.

4.D

【分析】根據(jù)空間向量的基底向量的定義結(jié)合向量共面逐項分析判斷.

答案第11頁，共22頁

【詳解】對于A,因為，+彼+1=("可+仁所以a+B+仁a+b'共面，故A錯誤；

對于B,因為2=；伍-可+；伍+可，所以"一0,1,"+I共面，故B錯誤；

對于c,因為B=-;9-孫所以""b,5M共面，故C錯誤；

對于D,假設(shè)三個向量共面，則存在實數(shù)x,乃使得口+不=》(己+彼)+了伍+菊成立，

X=1,a+bb+cc+a

則b=1,顯然方程組無解，所以，，不共面，故D正確.

x+y=0.

故選：D.

5.C

【分析】將%、%、〃，q分別用4和d來表示，化簡即可得出小

【詳斛】由。團+?！?4+q,得2%+(加+〃-2)d=26+(s+/_2)d'

所以［加+〃—(s+川d=(P因為加+〃ws+/,

所以加+〃-(s+f)w0，所以。=(),

故選：C.

6.A

【分析】作月O_L平面8c￡>‘垂足為0,連接°C,以°為坐標原點，直線0C，0/分別

為y軸，z軸建立空間直角坐標系，根據(jù)空間向量的坐標運算求解而，方，再利用向量的

夾角余弦值的坐標運算得所求.

【詳解】作/OJ_平面BCZ)，垂足為°，連接°C,則0為△8CD的中心，

答案第21頁，共22頁

以O(shè)為坐標原點，直線oc，04分別為y軸，Z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則/（0,0,2癡），20，一6,0）,C（0,273,0）,。卜3「6,0）,

"3-乎，逐、

所以￡（一2,一",八｝F[-BE=

122J（2與#

一7277

CFe

BEcos0=|cos<S￡,CF>|=i——i?

設(shè)，所成的角為，所以?1”“L2J

質(zhì)11國3月x3g6

故選：A.

7.A

【分析】根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合角平分線的性質(zhì)列式得q1關(guān)系，從而可得所求?

【詳解】延長片￡交尸與于點0，

因為PE為/耳2鳥的平分線,所以|尸團=|尸5,寓同=以|,

又因HM=2a,所以四=2〃,所以|。同=;|鑿|=*

答案第31頁，共22頁

因為|?！陓=；內(nèi)外I，所以c=2。

又/=/+/,所以/=3二,即4=立

~b3

所以0的漸近線方程為v=±^-x-

3

故選：A.

8.B

【分析】設(shè)E（a,6）,F（c,d），由ad-6c=0，確定E,尸關(guān)于原點對稱，從而得到

a+2c+2b+d=c-d，再由直線與圓的位置關(guān)系求解即可.

【詳解】設(shè)E（a,6）,F（c,d），由題意知點E，廠為圓0：/+/=1上的不同兩點，

設(shè)坐標原點為。，則赤=（d6），礪=（c,d），由〃-加=0,得麗//礪，

又E,尸為圓/+/=1上兩個不同的動點，所以點E,尸關(guān)于原點對稱，

=-c,b=—d,所以a+2c+26+"=（?-"?

設(shè)＜?_[=/,故尸在直線x-y-f=O上，又尸在圓x2+j?=i上，

所以直線x-y-f=0與圓=1有公共點,

所以&41，所以一也行，

V2

故a+2c+2b+d的取值范圍為「_、萬、/7]?

故選：B.

9.BCD

【分析】利用直線過定點的求法判斷B,利用直線一般方程下垂直與平行的條件判斷CD,

答案第41頁，共22頁

利用直線可能相交直接排除A,從而得解.

【詳解】對于B,仆2x+(a-l)y-a-l=0可化為2x-y-l+a(y-l)=0,

令-1=0,得「=1,則4過定點(U),

[y-i=o1^=1

當4垂直于定點與原點的連線時，原點到4的距離最大，

最大距離為爐手=正，故B正確；

對于C,的充要條件為2。+(。-1)=°,即q=_L,故c正確；

3

對于D,/J4的充要條件為a(a-l)-2=0且a(-,即a=2或a=-l，故

D正確.

對于A,因為直線/J辦+卜-1=0,4：2x+(a-l)y-a-l=0不一定平行，

當4與相交時，兩條直線上的點之間的最小距離為0,故A錯誤；

故選：BCD.

10.BC

【分析】運用前〃項積的概念分析得到等比數(shù)列的單調(diào)性得解.

【詳解】由II]o24=%。2…a2023a2024=(。1012。1013)1"2V'得4012al013<1'同理由II2025>1,得

%013>1'

1

所以0<總<1,?1013>)所以4=駟>1,

^1012

故0<ax<a2<--<Qi?！?lt;1<。1。13<???'所以｛%｝為遞增數(shù)列，

當”=1012時，n最小，n無最大值，故A,D錯誤，B,C正確?

nn

答案第51頁，共22頁

故選：BC.

11.ABD

【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)，結(jié)合雙曲線的定義、離心率的公式、三角形

面積公式逐一判斷即可.

【詳解】如圖所示，不妨設(shè)A在第一象限，

A

2n—1

由雙曲線U/一方=1僅＞0）可得，

則H4q=2°=2，由于H周=2|/閶，得M=4，叫=2,

由于//片工=/片3丹,所以

故國=回=生」，可得阿=2|淚=8,故忸用=6,

的陰忸12

而忸耳卜|陷|=2,故防=8,

由但四=j_,得田閶=4=2cnc=2,

M2

CC

所以的離心率e=.=2；

a

由以上分析可知H同=8，

在AN月《中，|/聞=4，用=2，區(qū)丹|=4，

故邑，尸內(nèi)=：＞＜2'"平=店,

△BFF］的周長為忸耳|+|典|+寓閶=18?

故選：ABD

答案第61頁，共22頁

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理得到比例式.

12.2

【分析】因為1,a,b,c,4成等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，可得〃=4，再利用

/=3>0>確定取值，

【詳解】因為1,a，b，c，4成等比數(shù)列，

所以"=4，

所以6=2或6=2

又因為=3>0，

所以6=2，

故答案為：2

【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，還考查運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.

【分析】利用空間向量，將二面角尸-4C-3的大小用〈萬，區(qū)〉表示，將條件和目標都用

萬，就，而表示，再運用向量數(shù)量積求模長即可?

【詳解】因為二面角0一/°一'的大小為?，所以〈方,Q〉=全，

答案第71頁，共22頁

又〈耳而=〈記函=9且麗=莎+%+赤,

---、2/??>\2?2?2-2???..?

所以必=(P4+4C+CB)=PA+AC+CB+2PA,AC+2AC?CB+2CB?PA

3+2。?刀=3+2xlxlx2,

所以=

故答案為：^2

14.y2=l2x

Ax5X

【分析】設(shè)"的方程為x=⑵+“（加＞0），l^y^,82^2?，直線與拋

物線聯(lián)立后得到乂+%=2〃〃，根據(jù)焦半徑公式得到%-馬=6,進而得到必-%=@,再

m

由弦長公式求解出加=1，再由線段N8的中點的縱坐標為6,求出。的值，即可求得°的

方程.

由題意可設(shè)的方程為x=w+〃（機＞0），，BfX1,y^

答案第81頁，共22頁

將x=wy+〃代入r=2px（p>0），^y2-2pmy-2pn=0>

所以△=4p2"『+8p〃>o，且%+%=2pm，

由拋物線定義及白卜尸理=6,得叫再上+4=6,即現(xiàn)一"6,

所以制必一外）=6,即乂_%=色，

m

2

又|4B|=J+m|^1~y2\=6A/2,

所以J1+赤x9=6行,解得'”=1,

m

又〃±匹=如=6,即2H\所以0的方程為V=12x.

22

故答案為：/=12x-

2

15.（1）-

3

喏

【分析】（1）建系，求得兩平面法向量，由垂直關(guān)系即可求解；

（2）由線面角公式代入求解即可；

【詳解】（1）在直三棱柱NBC-48c中，AA,±AB-AA{1AC>又AB_LAC，

故以A為坐標原點，直線48，AC.441分別為x軸，了軸，z軸建立空間直角坐標系

（如圖所示），

則4（0,0,0）,4（。，。，6）,小見。,”尸伍應(yīng)當，

答案第91頁，共22頁

所以方=[a,0，WJ，~AF=A^E=卜,0,一§)乖十.力.

AEF1=(xQi，zJ——*b

nx-AE=ax1+—z{=0,

一一

設(shè)平面的一個法向量，貝L32b-

n-AF-ayH----4=0,

、xx3

令4=3。，解得X]=-6，yt=-2b>所以]=(-b,-2b,3ay

AEF'--------2b

\n2=(x2,y2,z2)

n2?AXE=ax2-----z2=0,

設(shè)平面的一個法向量，則:

—>—b

n2-AXF=ay2-—z2=0,

令z?=3a，解得x?=2b,y2=b,所以元=(2b,b,3aY

因為平面/￡7F平面產(chǎn)，所以),a，

所以雇0=0'即-2〃-2〃+9〃=0，

所以2=q=z.

b3

⑵當力]時‘?“‘結(jié)合⑴‘得“E二(Q,0,Q)n2=(6Q,3Q,3Q),

設(shè)直線AE與平面A.EF所成角為6，

答案第101頁，共22頁

2

AE-n29a_V3

/可卜241ax3aa2

又。e嗚'所以°g

⑹⑴%K一12

72〃+3

(2)7；=--

2n

【分析】（1）直接由S"與“”的關(guān)系，q=1%〃=1，代入計算即可；

"[Sn-Sn_x,n>2

（2）寫出6通項公式，利用錯位相減法求和，注意分類討論.

n

222

【詳解】⑴因為S"=〃+l,所以當心2時，a?=Sn-S?_}=M+1-[（?-1）+1]=2w-1,

當〃二1時，a1=S[=2，不滿足上式,

所以“；工

_J2,H=1,=

(2)由⑴知％=121,心2,所以或=祟=2"-1

12〃，

而I、J乂〃22注352/1-1

所以當時，Tn=\+-+—+---+^~

11352〃一1

所以＞+￥+…+

2"+1

答案第111頁，共22頁

113?72〃一1

兩式相減'得/=]+中+齊+…+落

2”+1

1M-l

1-

3、2n-1

=—+2x——1

42同

2n-l72〃+3

3412".2”+142"+i

所以2〃+3

2"

當〃=1時,7]=1，滿足上式.

2〃+3

所以＜

2n

17-(1)(x-4)2+y2=18

(2)27

【分析】（1）設(shè)尸（xj），由忸囿=及戶劃結(jié)合平面內(nèi)兩點間的距離公式化簡可得出曲線

r的方程;

（2）易知曲線「是以點0（4,0）為圓心，半徑為3人的圓，分別取/C、的中點M、

N，連接0M、QN，則Q0_L/C，QN1BD,由勾股定理可得出|°加『+|郃「=9，利

用基本不等式可求得四邊形NSC。面積的最大值.

【詳解】（1）設(shè)尸GM,由歸同=及戶周，得小X+2『++y2,

答案第121頁，共22頁

化簡，得（尤_盯+/=18，

所以，曲線「的方程為@_4）2+），2=18.

（2）由（1）可知，曲線「是以點0（4,0）為圓心，半徑為的圓，

分別取/C、的中點M、N，連接0M、QN，則0M_L/C，QN1BD,

因為NC/BZ），則四邊形為矩形，所以，=百，

由勾股定理可得以/f+|0叫2=\QMf+\ME（=\QEf=9,

由勾股定理可得|NC|=2jl8-@肝,忸0=2/商7,

所以，$四邊形物C°=；MC|?忸必=2?18-|。叫2）（18-|”「）

<18-|0叫2+18-|QN「=36-9=27,

}QM\=\QN\時，即當1。叫=1。用=平時,

當且僅當'=9等號成立,

因此，四邊形N8CD面積的最大值為27,

答案第131頁，共22頁

18.⑴《+Ji

43

（2）證明見解析

【分析】（1）因為|℃|+|8上|。|結(jié)合橢圓的定義求得曲線「的方程.

（2）設(shè)直線”的方程為（X。_1）1-怨1+外,-會1=0再結(jié)合判別式得出，是「的切線.

【詳解】（1）由線段的垂直平分線的性質(zhì)，得|0可=|。必，

所以|0C|+\QD\=\QC\+\QP\=\CP\=4>2=\CD\^

所以點。的軌跡，即曲線「是以點G。為焦點的橢圓，設(shè)「的方程為

貝12a=4，焦距=即a=2,

221C0丫

所以什=2-----—=3,

\27

答案第141頁，共22頁

(2)設(shè)尸h/o。，則加的中點為(鋁,又赤=(X°T，K),

所以直線/的方程為(x°_l)[x—怨]+%(>—會)=0，

因為點p在圓C上，所以?+iy+y；=i6，

所以直線/的方程可化為伉_1卜+%尸7+X。=0，

所以%y=7-x°-(x0-l)x，

由《+片=1，得34，+4//_12/=0,

43一

將為了=7-%-(尤0-1)》代入上式，得

2

國+4(%-I)?>2+8(X0-1)(X0-7)X+4(X0-7)-12^=0,

由(0+曰+需=16,得心=15-%-2%，

22

所以-7)2x+8(xo-l)(xo-7)x+16(xo-l)=O'

2

所以A64⑷一)(x07-J4(x07-)1區(qū)(xj-了0=>

所以/是「的切線.

19.(1)是，理由見解析

(2)①.=〃?+2；②證明見解析

"2

【分析】(1)根據(jù)二階等差數(shù)列的概念計算Aa“，從而判斷；

(2)①根據(jù)二階等差數(shù)列的概念結(jié)合累加法求解通項公式；②根據(jù)裂項相消法求｛4｝的前