第四章三角形

第19講直角三角形

（思維導(dǎo)圖+4考點(diǎn)+4命題點(diǎn)18種題型（含5種解題技巧））

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航關(guān)的規(guī)律探究問題

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航??題型05勾股定理與網(wǎng)格問題

03考點(diǎn)突破?考法探究??題型06勾股定理與折疊問題

考點(diǎn)一直角三角形＞題型07勾股定理與無理數(shù)

考點(diǎn)二勾股定理??題型08利用勾股定理證明線段平方關(guān)系

考點(diǎn)三勾股定理逆定理??題型09勾股定理的證明方法

考點(diǎn)四勾股定理的實(shí)際應(yīng)用＞題型10趙爽弦圖

04題型精研?考向洞悉＞題型11利用勾股定理構(gòu)造圖形解決實(shí)際問題

命題點(diǎn)一直角三角形的性質(zhì)與判定命題點(diǎn)三勾股定理逆定理

??題型01由直角三角形的性質(zhì)求解??題型01在網(wǎng)格中判定直角三角形

??題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形＞題型02利用勾股定理逆定理求解

命題點(diǎn)二勾股定理命題點(diǎn)四勾股定理的實(shí)際應(yīng)用

??題型01利用勾股定理求解??題型01用勾股定理解決實(shí)際生活問題

＞題型02判斷勾股數(shù)問題＞題型02用勾股定理逆定理解決實(shí)際生活問題

??題型03以直角三角形三邊為邊長的圖形面積??題型03求最短路徑問題

??題型04與直角三角形三邊為邊長的圖形面積有

考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

中考考點(diǎn)考查頻率新課標(biāo)要求

直角三角形★★★理解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理；

勾股定理★★

探索勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決一些簡單的實(shí)際

問題.

勾股定理逆定理★★

【考情分析】該模塊內(nèi)容在中考中一直是較為重要的幾何考點(diǎn)，考察難度為中等偏上，?？伎键c(diǎn)為:直角三

角形的性質(zhì)定理、勾股定理及其逆定理、勾股定理與實(shí)際問題等，特別是含特殊角的直角三角形，更加是

考察的重點(diǎn).出題類型可以是選擇，填空題這類小題，也可以是各類解答題，以及融合在綜合壓軸題中，作

為問題的幾何背景進(jìn)行拓展延伸.結(jié)合以上考察形式，需要考生在復(fù)習(xí)這一模塊時(shí)，準(zhǔn)確掌握有關(guān)直角三角

形的各種性質(zhì)與判定方法，以及特殊直角三角形?？嫉目疾旆较?

知識(shí)導(dǎo)圖?思維弓I航

直角三角形

兩直角邊的平方和=斜邊的平方

知相關(guān)概念

222直角邊：a,b

識(shí)公式a^-b=c

斜邊：

捺c

理兩銳角互余

斜邊的中線等于斜邊的一半

30°角所對的邊等于斜邊的一半

兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

直角三角形的性質(zhì)與判定

f角是直角

兩個(gè)內(nèi)角互余

判定三角形

一邊上的中線等于這條邊的一半

勾股定理a2+b2=c2

iE^a,b,c

勾股數(shù)定義

222

學(xué)滿足a+6=c

法

指2

逆定理內(nèi)容a\b'=c三角形是直角三角形

導(dǎo)

要明確該三角形是直角三角形

解題技巧

考點(diǎn)突破?考法探究I

Ax

考點(diǎn)一直角三角形

定義：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形.

性質(zhì)：

性質(zhì)直角三角形兩個(gè)銳角互直角三角形斜邊上的中線等于斜邊在直角三角形中，30°角所對的

余.的一半.直角邊等于斜邊的一半.

2）三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

3）有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形.

4）勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a?+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角

形.

面積公式：S^ab=lcm（其中：c為斜邊上的高，m為斜邊長）

針對訓(xùn)練

1.（2024?海南?中考真題）設(shè)直角三角形中一個(gè)銳角為x度（0<%<90）,另一個(gè)銳角為y度，則y與x

的函數(shù)關(guān)系式為（）

A.y=180+xB.y=180—xC.y=90+%D.y=90—x

【答案】D

【分析】本題考查了函數(shù)關(guān)系式.利用直角三角形的兩銳角互余可得到y(tǒng)與尤的關(guān)系式.

【詳解】解：???直角三角形中一個(gè)銳角的度數(shù)為x度，另一個(gè)銳角為y度，

/.y=90—X.

故選：D.

2.（2024?青海?中考真題）如圖，在RtAABC中，。是4C的中點(diǎn)，乙BDC=60°,AC=6,貝!|BC的長是（）

A.3B.6C.V3D.3V3

【答案】A

【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì).根據(jù)直

角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半結(jié)合等邊三角形的判定得到△BDC等邊三角形，據(jù)此求解即可.

【詳解】解：：在RtAABC中，AABC=90°,。是2C的中點(diǎn)，

1

：.BD=-AC=CD,

2

■:（BDC=60°,

???△80C等邊三角形，

11

:?BC=CD=-AC=-x6=3.

22

故選：A.

3.（2023?浙江衢州?中考真題）如圖是脊柱側(cè)彎的檢測示意圖，在體檢時(shí)為方便測出Cobb角N。的大小，

需將N。轉(zhuǎn)化為與它相等的角，則圖中與乙。相等的角是（）

A.乙BEAB.Z.DEBC.Z.ECAD.Z.AD0

【答案】B

【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知：N。與立力。?；ビ?，乙DEB與乙ADO互余,根據(jù)同角的余角相等可得

結(jié)論.

【詳解】由示意圖可知：ADOA和ADBE都是直角三角形，

.??乙。+/.ADO=90°,乙DEB+^ADO=90°,

???乙DEB=LO,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)的應(yīng)用，掌握直角三角形的兩個(gè)銳角互余是解題的關(guān)鍵.

4.（2023?貴州?中考真題）5月26日，“2023中國國際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)”在貴陽開幕，在“自動(dòng)化立體庫”

中有許多幾何元素，其中有一個(gè)等腰三角形模型（示意圖如圖所示），它的頂角為120。，腰長為12m,則

底邊上的高是（）

A

A.4mB.6mC.10mD.12m

【答案】B

【分析】作于點(diǎn)。，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可得NB=NC=［（180。一

ZBXC）=30°,再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)￡）,

A

DCLABC^,^BAC=120°,AB=AC,

1

???NB=zC=j（180°-zBXC）=30°,

AD1BC,

AD=-AB=-x12=6m,

22

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)等，解題的關(guān)

鍵是掌握30度角所對的直角邊等于斜邊的一半.

5.（2023?湖南?中考真題）《周禮考工記》中記載有：“……半矩謂之宣（xuan）,一宣有半謂之榴（zhu）……”

意思是：”……直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做橘……即：1宣=3矩，1榴=1號宣（其中，1

矩=90。），問題：圖（1）為中國古代一種強(qiáng)弩圖，圖（2）為這種強(qiáng)弩圖的部分組件的示意圖，若42=1

矩，Z-B=1楣，貝!J/C=度.

【答案】22.5/22號.

【分析】根據(jù)矩、宣、楹的概念計(jì)算即可.

【詳解】解：由題意可知，

N力=1矩=90°,

乙B=1楣=1［宣=l|x［矩=67.5°,

ZC=90°-67.5°=22.5°,

故答案為：22.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了新概念的理解，直角三角形銳角互余，角度的計(jì)算；解題的關(guān)鍵是新概念的理解，并

正確計(jì)算.

考點(diǎn)二勾股定理

文字語言：直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

符號語言：如果直角三角形的兩直角邊分別為a,b,斜邊為c,那么a?+爐=。2.

變式：a2=c2-b2,b2=c2-a2,

c=Va2+b2,a=Vc2—b2,b=Vc2—b2.

【易錯(cuò)點(diǎn)】

1）勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，因而在應(yīng)用勾股定

理時(shí)，必須明了所考察的對象是直角三角形；

2）如果已知的兩邊沒有指明邊的類型，那么它們可能都是直角邊，也可能是一條直角邊、一條斜邊，求解

時(shí)必須進(jìn)行分類討論，以免漏解.

3）應(yīng)用勾股定理時(shí)，要分清直角邊和斜邊，尤其在記憶42+爐=。2時(shí)，斜邊只能是C.若b為斜邊，則關(guān)

系式是。2+°2=。2；若a為斜邊，則關(guān)系式是房+c2=a2.

勾股定理的驗(yàn)證

方法一：如圖一，用4個(gè)全等的直角三角形，可以得到一個(gè)以?！猘）為邊長的小正方形和一個(gè)以C為邊長

的大正方形.即4S4+S正方形EFGH=S正方形ABCD，所以4x[ab+(b-a)?=c?,化簡可證.

方法二(圖二)：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.

四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為S=4x|ab+c2=2ab+c2

大正方形面積為S=(a+b)2=a2+2ab+b2,所以a?+b2=c2

方法三：如圖三，用兩個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)等腰直角三角形，可以得到一個(gè)直角梯形.

S梯形=[(a+b)?(a+b),S梯形=2S&ADE+SAABE=2x[ab+#,化簡得證22+b?=c?

圖一圖二圖三

針對訓(xùn)練

1.(2024.青海?中考真題)(1)解一元二次方程：久2一4久+3=0；

(2)若直角三角形的兩邊長分別是(1)中方程的根，求第三邊的長.

【答案】(1)x=1或x=3

(2)第三邊的長是畫或2企

【分析】本題考查解一元二次方程，勾股定理.

(1)用因式分解法解即可；

(2)分情況討論，一是兩根都是直角邊，二是兩根一個(gè)是直角邊，一個(gè)是斜邊，再用勾股定理分別計(jì)算

即可.

【詳解】解：(1)/一4久+3=0

(x—1)(%-3)=0

x=1或x=3；

(2)當(dāng)兩條直角邊分別為3和1時(shí)，

根據(jù)勾股定理得，第三邊為序不N=

當(dāng)一條直角邊為1,斜邊為3時(shí)，

根據(jù)勾股定理得，第三邊為=N=2迎.

答：第三邊的長是VIU或2魚.

2.（2023?遼寧大連?中考真題）如圖，在數(shù)軸上，OB=1,過。作直線Z1OB于點(diǎn)0,在直線Z上截取=2,

且2在。C上方.連接以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑作弧交直線OB于點(diǎn)C,則C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

【答案】1+V5/V5+1

【分析】根據(jù)勾股定理求得4B,根據(jù)題意可得BC=4B=近，進(jìn)而即可求解.

【詳解】解：1OB,OB=1,OA=2,

在Rt△AOB中，4B=yjAO2+BO2=Vl2+22=V5,

：.BC=AB=法,

：.OC=OB+BC=1+療

。為原點(diǎn)，。。為正方向，則C點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1+隗；

故答案為：1+*.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與無理數(shù)，實(shí)數(shù)與數(shù)軸，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

3.（2023?湖南郴州?中考真題）在AaBC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,則AB邊上的中線CD=.

【答案】5

【分析】本題主要考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì).先利用勾股定理求出28的長，再

根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：在△ABC中，NC=90。，AC=6,BC=8,

：.AB=y/AC2+BC2=10,

.?.HB邊上的中線CD=^AB=5,

故答案為：5.

4.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?中考真題）《九章算術(shù)》中記載：“今有勾八步，股一十五步.問勾中容圓，徑幾何？”

譯文：現(xiàn)在有一個(gè)直角三角形，短直角邊的長為8步，長直角邊的長為15步.問這個(gè)直角三角形內(nèi)切圓

的直徑是多少？書中給出的算法譯文如下：如圖，根據(jù)短直角邊的長和長直角邊的長，求得斜邊的長.用

直角三角形三條邊的長相加作為除數(shù)，用兩條直角邊相乘的積再乘2作為被除數(shù)，計(jì)算所得的商就是這個(gè)

直角三角形內(nèi)切圓的直徑.根據(jù)以上方法，求得該直徑等于步.（注：“步”為長度單位）

股15弦

勾8

【答案】6

【分析】根據(jù)勾股定理求出直角三角形的斜邊，根據(jù)直角三角形的內(nèi)切圓的半徑的求法確定出內(nèi)切圓半徑,

得到直徑.

【詳解】解：根據(jù)勾股定理得：斜邊為482+152=17,

則該直角三角形能容納的圓形（內(nèi)切圓）半徑「=若==3（步），即直徑為6步，

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，掌握RtAABC中，兩直角邊分別為a、b,斜邊為c,其內(nèi)切

圓半徑r=/是解題的關(guān)鍵.

5.（2024?江蘇南通?中考真題）“趙爽弦圖”巧妙利用面積關(guān)系證明了勾股定理.如圖所示的“趙爽弦圖”是

由四個(gè)全等直角三角形和中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形.設(shè)直角三角形的兩條直角邊長分別為

n（m>n）.若小正方形面積為5,（m+n）2=21,則大正方形面積為（）

A.12B.13C.14D.15

【答案】B

【分析】本題考查勾股定理的證明，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用勾股定理以及完全平方公式，本題屬于基礎(chǔ)題

型.由題意可知，中間小正方形的邊長為6-71,根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)即可求出大正方

形的面積為爪2+招.

【詳解】解：由題意可知，中間小正方形的邊長為m-n,

/.（m—n）2=5,即nt?+/—2mn=5①，

(m+ri)2-21,

.*.m2+九2+2mn=21@,

①+②得2（血2+n2）=26,

，大正方形的面積TH?+4=13,

故選：B.

考點(diǎn)三勾股定理逆定理

L勾股數(shù)

勾股數(shù)：能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即滿足關(guān)系a?+=?2的3個(gè)正整數(shù)a,

b,c稱為勾股數(shù).

勾股數(shù)需要滿足的兩個(gè)條件：1）這三個(gè)數(shù)均是正整數(shù)；

2）兩個(gè)較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方.

常見的勾股數(shù)：1）3,4,5；2）6,8,10；3）5,12,13等.

2.勾股定理的逆定理

內(nèi)容：如果三角形三邊長a,b,c滿足a2+》2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中c為斜邊.

【補(bǔ)充說明】

1）勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法；

2）勾股定理的逆定理通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平

方和。2+》2與較長邊的平方c2作比較，①若a2+》2=c2時(shí)，以0,上。為三邊的三角形是直角三角形；

②若a2+爐<?2時(shí)，以a,b,C為三邊的三角形是鈍角三角形；

③若a2+b2>c2時(shí)，以a,b,c為三邊的三角形是銳角三角形

針對訓(xùn)練

1.（2024.江蘇揚(yáng)州?三模）下列幾組數(shù)中不能作為直角三角形三邊長度的是（）

A.3,4,5B.9,15,17C.25,7,24D.8,6,10

【答案】B

【分析】本題考查了勾股定理逆定理的運(yùn)用，掌握勾股定理逆定理判定直角三角形的方法是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)若三角形的三邊a,b,c（較長邊）滿足，a2+b2=c2,則該三角形時(shí)直角三角形，由此即可求解.

【詳解】解：A、32+42=9+16=25=52,能作為直角三角形的三邊，不符合題意；

B、92+152=81+225=306^172,不能作為直角三角形三邊，符合題意；

C、72+242=49+576=625=252,能作為直角三角形的三邊，不符合題意；

D、62+82=36+64=100=102,能作為直角三角形的三邊，不符合題意；

故選：B.

2.（2024?江蘇南京.三模）下列各組數(shù)中是勾股數(shù)的為（）

A.V3,V4,V5B.1,1,V2C.7,8,9D.13,84,85

【答案】D

【分析】本題主要考查了勾股數(shù)的知識(shí)，理解勾股數(shù)的定義是解題關(guān)鍵.勾股數(shù)就是可以構(gòu)成一個(gè)直角三

角形三邊的一組正整數(shù)，據(jù)此逐項(xiàng)分析判斷即可.

o27

【詳解】解：A.V（V3）+（V4）=7,（V5）=5,又：7力5,.?.舊,聲,尤不是勾股數(shù)，不符合題意；

B.V/不是正整數(shù)，企不是勾股數(shù)，不符合題意；

C.V72+82=113,92=81,又；113K81,；.7,8,9不是勾股數(shù)，不符合題意;

D.V132+842=7225=852,13,84,85是勾股數(shù)，符合題意.

故選：D.

3.（21-22八年級下?湖北省直轄縣級單位?階段練習(xí)）如圖，每個(gè)小正方形的邊長為1,則48C的度數(shù)為

度.

【分析】連接AC,利用勾股定理計(jì)算出AC?、BC\AB2,然后利用勾股定理逆定理可判斷出△ABC是直

角三角形，進(jìn)而可得答案.

【詳解】解：連接AC,

由勾股定理得：AC2=22+12=5,

BC2=22+12=5,

AB2=l2+32=10,

：.AC2+BC2^5+5=10=BA2,

.?.△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,

：.ZABC=45°,

故答案為：45.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理逆定理，以及勾股定理，關(guān)鍵是掌握運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問題的

實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角.

4.(2023?吉林白城?模擬預(yù)測)正方形網(wǎng)格中的每個(gè)小正方形的邊長都是1,每個(gè)小格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).以

格點(diǎn)為頂點(diǎn).

圖①圖②

(1)在圖①中，畫一個(gè)邊長為魚的線段；

(2)在圖②中，畫一個(gè)直角三角形，使它的三邊長分別是a、2&、V10.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】本題考查利用勾股定理畫圖.

(1)借助格點(diǎn)，根據(jù)勾股定理構(gòu)長為a的線段即可；

(2)借助格點(diǎn)，根據(jù)勾股定理構(gòu)造三邊長分別為魚、2V2,VTU的三角形即可。

【詳解】(1)解：如圖①，線段4B即為邊長為a的線段；

圖①

(2)解：如圖②，直角三角形ABC即為所求,

圖②

三邊長分別是AB=&、BC=2應(yīng)、AC=V10.

2

5.（2024?廣東.模擬預(yù)測）若而工+la-6|+（c—&）=0,則以a,b,c為邊長的三角形的形狀

是.

【答案】等腰直角三角形

【分析】本題考查非負(fù)性，勾股定理的逆定理，根據(jù)非負(fù)性，求出a,b,c的值，再利用勾股定理逆定理進(jìn)

行求解即可.

______2

【詳解】解：:7a—1+|a—b|+（c—=0,

yja-1=0,\a-b\=0,（c—V2）=0,

?\a-l=0,a—b=0,c—V2=0,

^,a=l,a=b=l,c=V2,

VI2+12=（V2）2,

：.a2+b2=c2,

又a=b,

...以a,b,c為邊長的三角形的形狀是等腰直角三角形；

故答案為：等腰直角三角形.

考點(diǎn)四勾股定理的實(shí)際應(yīng)用

1.利用勾股定理解決實(shí)際問題的一般步驟：

1）從實(shí)際問題中抽象出幾何圖形；

2）確定與問題相關(guān)的直角三角形；

3）找準(zhǔn)直角邊和斜邊，根據(jù)勾股定理建立等量關(guān)系；

4）求得符合題意的結(jié)果.

2.利用勾股定理解決實(shí)際問題的常見類型

1）直接利用勾股定理列方程解決實(shí)際問題；

2）利用勾股定理解決幾何體表面最短距離問題；

3）利用勾股定理和方程思想解決與“翻折”相關(guān)的問題；

4）利用勾股定理解決有關(guān)幾何圖形的面積問題.

針對訓(xùn)練

1.（2024?四川巴中?中考真題）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問：水深

幾何？”這是我國數(shù)學(xué)史上的“葭生池中”問題.即4C=5,DC=1,BD=BA,則BC=()

A.8B.10C.12D.13

【答案】C

【分析】本題考查勾股定理的實(shí)際應(yīng)用.設(shè)=貝/。=B4=(x+l),由勾股定理列出方程進(jìn)行求解

即可.

【詳解】解：設(shè)BC=x,貝ijBD=BA=(x+1),

由題意，得：(x+I)2=52+%2,

解得：%=12,即BC=12,

故選：C.

2.(2021?江蘇宿遷?中考真題)《九章算術(shù)》中有一道“引葭赴岸”問題：“僅有池一丈，葭生其中央，出水一

尺，適與岸齊.問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個(gè)池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AB

生長在它的中央,高出水面部分BC為1尺.如果把蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，則水深為尺.

【答案】12

【分析】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，我們可以將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形，根據(jù)題意，可知EB，的長為

10尺，則夕C=5尺，設(shè)出x尺，表示出水深4C,在RtAZC夕中，根據(jù)勾股定理建立方程，是

解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：依題意畫出圖形，設(shè)蘆葦長28=49=x尺，貝MC=(x—l)尺，

???B'E=10尺,

B'C=5尺

在RtAACB，中，5Z+(x-I)2=x2,

解得x=13,

即蘆葦長13尺,

???水深為13-1=12（尺），

故答案為：12.

3.（2024?上海寶山?一模）在馬拉松比賽過程中，嘉琪和李明之間一直用最遠(yuǎn)對講距離為300米的對講設(shè)備

聯(lián)系.嘉琪運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)，嘉琪用對講機(jī)與朋友李明聯(lián)系，李明告知嘉琪正在通過路口2向C運(yùn)動(dòng)后，就

失去了聯(lián)系，已知嘉琪的跑步速度為2m/s,李明的跑步速度為4m/s,乙4BC=90。，8C足夠長，多少秒后

他們再次取得聯(lián)系？（）

8b-------------C

A.150sB.60sC.100sD.不會(huì)再取得聯(lián)系

【答案】B

【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用及勾股定理的應(yīng)用，理解題意并畫出相應(yīng)的圖形是解題的關(guān)鍵.設(shè)

萬秒后他們再次取得聯(lián)系，依題意，AB^PQ^300m,然后用含刀的代數(shù)式表示出8P和BQ,利用勾股定理

列方程求解.

【詳解】解：如圖，設(shè)x秒后他們再次取得聯(lián)系，此時(shí)嘉琪運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)P,李明運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)Q,

依題意：AB=300m,

則BP=(300—2x)m,BQ=4xm,PQ=300m

由勾股定理有Bp2+BQ2=PQ2,

即(300-2x)2+(4x)2=3002,

解得x=60或x=0（不合題意，舍去）,

■??60秒后他們再次取得聯(lián)系.

故選：B.

4.（2023?陜西西安?二模）如圖，透明的圓柱形容器（容器厚度忽略不計(jì)）的高為12cm,底面周長為10cm,

在容器內(nèi)壁離容器底部3cm的點(diǎn)B處有一飯粒，此時(shí)一只螞蟻正好在容器外壁，且離容器上沿3cm的點(diǎn)力處,

則螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是cm.

螞蟻」

【答案】13

【分析】本題考查了最短路徑問題，將圓柱側(cè)面展開，作出點(diǎn)4關(guān)于EF的對稱點(diǎn)4,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短

可知4B的長度即為所求，利用勾股定理求出4B即可求解，利用軸對稱找到螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路

徑是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：將圓柱側(cè)面展開，作出點(diǎn)4關(guān)于EF的對稱點(diǎn)4,如圖，

,高為12cm,底面周長為10cm,

此時(shí)螞蟻正好在容器外壁，離容器上沿3cm與飯粒相對的點(diǎn)2處，

.".A'D=5cm,BD=12-3+3=12cm,

連接貝必'B即為最短距離，

'：A'B=yjA'D2+BD2=V122+52=13cm,

螞蟻吃到飯粒需爬行的最短路徑是13cm,

題型精研?考向洞悉

命題點(diǎn)一直角三角形的性質(zhì)與判定

A題型01由直角三角形的性質(zhì)求解

1.（2024?江蘇徐州?中考真題）如圖，28是。。的直徑，點(diǎn)C在4B的延長線上，CD與。。相切于點(diǎn)。，若“=

【分析】本題利用了切線的性質(zhì)，三角形的外角與內(nèi)角的關(guān)系，等邊對等角求解.連接。。，構(gòu)造直角三角

形，利用。4=。。，從而得出NQ4D的度數(shù).

【詳解】解：連接OD,

CD與。。相切于點(diǎn)

"DC=90°,

???zC=20°,

.-./.COD=70°；

???OA=OD,

???/如=皿。=2。。=35。,

故答案為：35

2.（2024?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?中考真題）如圖，在AaBC中，ZC=90°,ZB=30°,以點(diǎn)力為圓心，適當(dāng)長為半

徑畫弧分別交4B,4C于點(diǎn)M和點(diǎn)N,再分別以點(diǎn)M,N為圓心，大于aMN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P,連

接4P并延長交BC于點(diǎn)0.若△4CD的面積為8,則△4BD的面積是（）

w

A.8B.16C.12D.24

【答案】B

【分析】本題考查了尺規(guī)作圖，含30。的直角三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識(shí)，由作圖知4D平分

Z.BAD,貝IJ可求NCW=ND4B=30。，利用含30。的直角三角形的性質(zhì)得出CD=豺￡）,利用等角對等邊得

出4D=BD,進(jìn)而得出CD=^BD,然后利用面積公式即可求解.

【詳解】解：VzC=90°,ZS=30°,

：.^CAB=60°,

由作圖知：4。平分484O,

^.CAD=4DAB=30°,

.".CD=-AD,ZB=/.BAD,

2

：.AD=BD,

：.CD=-BD,

2

?S"CD_^CDAC_CD_1

S^ABD^BDACBD2

又△2CD的面積為8,

△4BD的面積是2X8=16,

故選B.

3.（2023?湖南郴州?中考真題）在A4BC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,則4B邊上的中線CD=.

【答案】5

【分析】本題主要考查了勾股定理，直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì).先利用勾股定理求出4B的長，再根

據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：在△ABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,

：.AB=V4C2+BC2=10,

邊上的中線CD=^AB=5,

故答案為：5.

4.（2023?海南?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（6,0）,將△45。繞著

點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得至必DBC,則點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）

A.（3V3,3）B.（3,3V3）C.（6,3）D.（3,6）

【答案】B

【分析】過點(diǎn)C作CE1OB,由題意可得：ZOBC=60°,OB=OC=6,再利用含30度直角三角形的性質(zhì)，

求解即可.

【詳解】解：過點(diǎn)C作CE1OB,如下圖：

貝此CEB=90°

由題意可得：^OBC=60°,OB=OC=6,

."BCE=30°,

：.BE=-BC=3,

2

ACE=y/CB2-BE2=3V3,OE=OB-BE=3,

點(diǎn)的坐標(biāo)為（3,3⑹,

故選：B

【點(diǎn)睛】此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，含30度直角三角形的性質(zhì)，以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是

作輔助線，構(gòu)造出直角三角形，熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì).

5.（2024?海南?中考真題）如圖，菱形2BCD的邊長為2,^ABC=120°,邊力B在數(shù)軸上，將AC繞點(diǎn)A順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)C落在數(shù)軸上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)E表示的數(shù)是3,則點(diǎn)A表示的數(shù)是（）

D

A.1B.1-V3C.0D.3-2V3

【答案】D

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理.作CF1AE于點(diǎn)尸，利用菱形的性質(zhì)，直

角三角形的性質(zhì)，勾股定理計(jì)算即可.

【詳解】解：作CF1AE于點(diǎn)F,

V/.ABC=120°,

：.Z.FBC=60°,

'：BC=2,

：.BF=-BC=1,CF=VBC2-BF2=V3,

2

：.AF=ABBF=3,

：.AE=AC=VXF2+CF2=J32+（V3）2=2V3,

?.,點(diǎn)E表示的數(shù)是3,

點(diǎn)A表示的數(shù)是3-2百，

故選：D.

＞題型02根據(jù)已知條件判定直角三角形

1.（2022?湖南株洲?中考真題）如圖所示，在菱形4BCD中，對角線4C與BD相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)C作CEIIBD交4B

的延長線于點(diǎn)E,下列結(jié)論不一定正確的是（）

D

E

A.OB=^CEB.AACE是直角三角形

C.BC=-AED.BE=CE

2

【答案】D

【分析】由菱形的性質(zhì)可知AC1DB,AO=0C,由兩直線平行，同位角相等可以推出乙4CE=乙4。8=90°,

再證明RtAACE?RtAHOB,得出。B=^CE,AB=\AE,由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半可以得出

BC=\AE.現(xiàn)有條件不足以證明BE=CE.

【詳解】解：：在菱形4BCD中，對角線"與相交于點(diǎn)。，

：.AC1DB,AO=OC,

J./-AOB=90°,

,/CEWBD,

：.^ACE=Z.AOB=90°,

.??△2CE是直角三角形，故B選項(xiàng)正確；

/.ACE=/.AOB=90°,/.CAE=/.OAB,

：.Rt△ACE?Rt△AOB,

.OB_AB_OA_1

**CE-AE~AC_29

：.OB=^CE,AB=^AE,故A選項(xiàng)正確；

.;BC為Rt△4CE斜邊上的中線，

：.BC=^AE,故C選項(xiàng)正確；

現(xiàn)有條件不足以證明BE=CE,故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，

難度一般，由菱形的性質(zhì)得出力C1DB,力。=。(?是解題的關(guān)鍵.

2.(2024?福建南平?一模)如圖1,點(diǎn)。是A/IBC的邊力8上一點(diǎn).AD=AC,/.CAB=a,。。是ABC。的外

接圓，點(diǎn)E在kC上(不與點(diǎn)C,點(diǎn)D重合)，且NCED=90。-a.

(1)求證：AABC是直角三角形；

(2)如圖2,若CE是。。的直徑，且CE=2,折線力。尸是由折線"E繞點(diǎn)4順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a得到.

①當(dāng)a=30。時(shí)，求△￡?￡)￡1的面積；

②求證：點(diǎn)C,D,F三點(diǎn)共線.

【答案】(1)見解析

⑵①苧；②見解析

【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，圓的基本性質(zhì)，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的特征，三

點(diǎn)共線判定方法等；

(1)由圓的基本性質(zhì)得NCBD=NCED=90。-a,從而可得NC4B+4CBD=90。，即可求證；

(2)①由圓的性質(zhì)得NCDE=90°,從而可求NDCE=a=30°,有直角三角形的特征得DE==1,由

勾股定理得CO="E2-DE?可求出CD的長,由叉曲=\DE-CD即可求解；②由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得"=AD,

AADF=/-ACE,從而可求N4DF=N4CD+a,由三角形內(nèi)角和定理得NC4B+NACD+乙4DC=180。，等

量代換得乙4DF+/-ADC=180°即可求證；

掌握相關(guān)的性質(zhì)及三點(diǎn)共線判定方法，能證出乙4DF=^ACD+a是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)證明：6=8,

??.Z.CBD=Z-CED

=90°—a,

???乙CAB+乙CBD=90°,

???4"8=180。-90。=90。,

???△是直角三角形；

（2）解：①,.?CE是。。直徑，

???乙CDE=90°,

???Z.CED=90°-Z,DCE,

vZ.CED=90°—a,

???Z-DCE=a=30°,

在Rt△COE中，

???DE=-CE=1,

2

???CD=VCE2-DE2

=^22—l2

=V3,

1

=

S〉CDE2DE,CD

1「

=-x1xV3

=叵

一2；

②???折線ADF由折線4CE旋轉(zhuǎn)得到,

:.AC=4。，

NZD尸=^ACE,

???Z.ACD=Z.ADC,

由①得NOCE=a,

???Z.ACE=Z.ACD+乙DCE

=Z.ACD+a,

???Z.ADF=Z.ACD+a,

???匕CAB+Z.ACD+/.ADC=180°,

???a+Z.ACD+Z.ADC=180°,

???^ADF+Z.ADC=180°,

???點(diǎn)C,D,歹三點(diǎn)共線.

3.（2024?山東濟(jì)南.模擬預(yù)測）如圖1,拋物線乙：丫=日（尤-2）2+6與天軸交于點(diǎn)4B,與y軸交于點(diǎn)C,

已知。4=1.

(2)點(diǎn)。是直線8C下方拋物線L上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ABC。的面積最大時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖2,在(2)條件下，將拋物線乙向右平移1個(gè)單位長度后得到拋物線設(shè)拋物線/與拋物線乙的

交點(diǎn)為E,AF1BC,垂足為足證明ADEF是直角三角形.

【答案】⑴-g

(2)”|,一Q

(3)見解析

【分析】

(1)由題意可知4(1,0),將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線工即可得出機(jī)的值；

(2)設(shè)點(diǎn)。的坐標(biāo)，表達(dá)△BCD的面積，并根據(jù)二次根式的性質(zhì)可得出結(jié)論；

(3)由題可知AC=28,則點(diǎn)尸是BC的中點(diǎn)，可求出BF的長，取。B的中點(diǎn)X,貝“FH是△B。。的中位線,

則FH1X軸，由平移可得出拋物線/的解析式，聯(lián)立可得點(diǎn)E的坐標(biāo)，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，即可得出DEIIx軸，

進(jìn)而可得結(jié)論.

【詳解】(1)解：：OA=1,

4(1,0),

4(1,0)在拋物線乙：y=~(x—2)2+m,

0=y(1—2)2+m,解得：m=-*

故答案為：一當(dāng)；

(2)令—2)2-9=0,

解得：x=1或第=3,

???8(3,0),

令久=0,則y=V3,

C（0,V3）,

lec-y=-y%+V3；

過點(diǎn)。作y軸的平行線BC于點(diǎn)G,

設(shè)O(%—2>_彳)，則_gx+V5),

???DG=-fx+百一[F(久一2尸—?]=-J/+V3x,

SABCD=|-OB-DG=1X3X(-yx2+百久)=-y-1)+等，

二當(dāng)x=|時(shí)，ABC。的面積最大，

V3/3?\2V3V3

..?丹=丁匕_21_3=一丁，

???嗚-丹

???24(1,0),B(3,0),C(0,V3),

AC=AB=2,BC=2V3,

vAF1BC,

■?.F是BC的中點(diǎn),，

:???BF—BC=5

2

在RtABOC中，OC=浜，

??.Z.OBC=30°,

過點(diǎn)尸作尸”于點(diǎn)H,

rjV3r，3

*'?BDH=—BDF=一，

22

.??點(diǎn)“G，0）是08的中點(diǎn)，

FH是ABOC的中位線，

.___3

孫=XH=Xp=-9

???DF1%軸，

將拋物線L向右平移1個(gè)單位長度后得到拋物線M,

則:M:y=y（x-3）2-y,

令q（x_3）2_q=q（x_2）2_],解得：%=|,

__V3

???如=y。=一丁，

???OE||%軸，

.?.DEIDF,即^EOF是直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理等，中位線性質(zhì)定理,

含30。角直角三角形特征，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

命題點(diǎn)二勾股定理

＞題型01利用勾股定理求解

1.（2024?山東濟(jì)寧?中考真題）如圖，邊長為2的正六邊形力BCDEF內(nèi)接于。0,則它的內(nèi)切圓半徑為（）

A.1B.2C.V2D.V3

【答案】D

【分析】本題考查了正多邊形與圓，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理;

連接。4OF,作。G14F于G,證明A/lOF是等邊三角形，可得FG=[AF=1,然后利用勾股定理求出。G

即可.

【詳解】解：如圖，連接。4OF,作。G尸于G,

*.?OF=OA,^AOF=360°X三=60°,

6

△40F是等邊三角形，

：.OF=OA=AF=2,

9：OG1AF,

：.FG=-AF=1,

2

OG=V22-I2=V3,

即它的內(nèi)切圓半徑為百，

故選：D.

2.（2024?遼寧?中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形力OBC的頂點(diǎn)4在x軸負(fù)半軸上，頂點(diǎn)B在直

線y=4久上，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是8,為點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）

4

【答案】B

【分析】過點(diǎn)2作BDlx軸，垂足為點(diǎn)。，先求出8（8,6）,由勾股定理求得80=10,再由菱形的性質(zhì)得到

BC=B。=10,BC||x軸，最后由平移即可求解.

【詳解】解：過點(diǎn)2作軸，垂足為點(diǎn)。，

?.?頂點(diǎn)B在直線y=|無上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是8,

?2

,'.yB—8x--6,即8。=6,

8(8,6),

■:BD1X軸,

由勾股定理得：BO=yjBD2+DO2=10,

:四邊形ABC。是菱形，

：.BC=BO=10,BC||x軸，

.,?將點(diǎn)B向左平移10個(gè)單位得到點(diǎn)C,

.?.點(diǎn)C(-2,6),

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的圖像，勾股定理，菱形的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)平移，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)，正確添

加輔助線是解題的關(guān)鍵.

3.(2024?廣東廣州?中考真題)如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為72。的扇形，若扇形的半徑/是5,

2V6

C.2V6TTD.——TT

3

【答案】D

【分析】本題考查了弧長公式，圓錐的體積公式，勾股定理，理解圓錐的底面周長與側(cè)面展開圖扇形的弧

長相等是解題關(guān)鍵，設(shè)圓錐的半徑為r,則圓錐的底面周長為2仃，根據(jù)弧長公式得出側(cè)面展開圖的弧長，

進(jìn)而得出r=l,再利用勾股定理，求出圓錐的高，再代入體積公式求解即可.

【詳解】解：設(shè)圓錐的半徑為r,則圓錐的底面周長為2〃，

???圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為72。的扇形，且扇形的半徑/是5,

.?.扇形的弧長為陪=2兀，

180

???圓錐的底面周長與側(cè)面展開圖扇形的弧長相等，

2nr=2TT,

???r=1,

???圓錐的高為V52-#=2V6,

二圓錐的體積為［兀xI2x2A/6=乎兀，

故選：D.

4.（2024?內(nèi)蒙古包頭.中考真題）如圖，在菱形4BCD中，^ABC=60°,AB=6,2C是一條對角線，E是4C上

一