直角三角形的邊角關(guān)系壓軸專練（九大題型）

題型1:解答證明題

1.如圖，在矩形480中，E為AB邊上一點,EC平分NDEB,尸為CE的中點，連接BF,過點￡

作分別交Nb，CD于G,H兩點.

⑴求證：DE=DC-

（2）求證：AF±BF；

⑶設(shè)AD-CD=3.5,AF與DE相交于點M,求sin/EMG.

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

⑴--------

50

【分析】⑴根據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義即可得到"CE=NZ）EC,進而得到。E=DC；

（2）連接。尸，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出=90。，再根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)得出

BF=CF=EF=^EC,再根據(jù)SAS判定△4B尸2△DC/，即可得出=/DFC=90°,據(jù)此可得

AF±BF-,

（3）過取DE的中點N,連接成，與0E交于點N,過點A作4PLDE于點E,設(shè)/D=5C=3a,

1

CD=AB=5a,貝!JDE=DC=5a,AE=a,BE-3a,CE=VlOa,BF—^19-a,由（2）中的/尸_18/，

2

則△ABF為直角三角形，由勾股定理得：4d=（5a）2-半aj=羋°，中位線定理可知五N〃/2,求

出網(wǎng)/初=乜?〃，再求出/尸=^^=^^=乜0,因止匕sinNEMG=sinNNMP的值.

2213DE5a5

【解析】（1）證明：：四邊形/BCD為矩形，

AB//CD,

ZDCE=ZCEB,

：.EC平分NDEB,

/DEC=/CEB,

???ZDCE=/DEC,

???DE=DC

(2)證明：連接。尸，如圖所示:

?：DE=DC,/為C￡的中點，

???DF1EC,

；?NDFC=90。,

在矩形45CQ中，AB=DC,/ABC=90。,

：.BF=CF=EF=-EC,

2

/ABF=/CEB,

???ZDCE=/CEB,

???/ABF=ZDCF,

BF=CF

在AABF和&DCF中，＜/ABF=ZDCF

AB=DC

：.A^SF^ADCF(SAS),

；./AFB=/DFC=90。,

：.AF±BF；

(3)解：過取DE的中點N,連接/W,與DE交于點N,過點A作于點E,如圖所示:

設(shè)AD=BC=3。，CD=AB=5a,

DE=DC=5a,=^DE2-AD2=4Q，BE=AB-AE=a,

在RMEBC中，由勾股定理得：CE=yjBE2+BC2=^a2+（3a）2=VlOa,

:尸為CE的中點,

：.BF=-a,

2

AF1.BF,

由勾股定理得：AF=YAB-BF2=卜）2_1羋a=孚

:尸為CE的中點，點N為DE的中點N,

FN//AB,FN=-CD=-a,

22

.FMNF

.AF-AMNF

一~AM—一~AE，

3V105

,-------a—AM—a

??2_2

AM4Q

解得：AM=^y/iOa,

,：APIDE,DA1.AE,BPZAPD=ZEAD=90°,NADP=NEDA,

小APDS^EAD,

,AP_AD

,^E~~DE

ADAE3a'4a12

AP=--------=—a,

DE5a5

12

~a13-Vio

sinZEMG=sinZAMP=-----

AM

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三

角函數(shù)值，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)銳角三角函數(shù)的求法是解題的關(guān)鍵.

2.已知邊長為4的正方形/BCD的對角線交于點O,8c邊所在的直線上有兩個動點尸、Q,

ZPAQ=45°,N0和BD交于點N.

圖1圖2圖3

ON

⑴如圖1,當點尸運動到線段8c上時，4P和BD交于點求力的值；

⑵在(1)的條件下，當8c=3AP時，求MV的長；

(3)如圖2,圖3,若/尸所在直線與BD所在直線交于點所在直線與CD所在直線交于點E,"E和K4

的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系為，當點尸為8c的三等分點時，PE=.

【答案】(噂；

⑵平；

10-52

(3)ME=MA,ME1MA-,5或記.

【分析】(1)由正方形的性質(zhì)可知NA4C=45。，由等式的性質(zhì)即可得=結(jié)合正方形性質(zhì)和勾

股定理求得4。=20,證明A/PBSA/ON可得到答案；

ON

(2)先證明△/DA/SAPBW,計算出■的長度，由而■的值，可得出ON的長度，最后算出MN的長度；

(3)證明由相似比以及NK4E=45。可得△/腔為等腰直角三角形從而得解；當

BP=^BC,利用叢ADMs叢PBM得出尸A/、AM的長度，再通過為等腰直角三角形，得到AM=ME,

2

最后用勾股定理計算出PE;當=時，同上可得.

【解析】(1)解；???四邊形/BCD為正方形，

AC平分/BAD,NBAD=90°,

/.ABAC=-ZBAD=45°,

2

???/尸40=45。，

/.ABAC-ABAQ=APAQ-ABAQ,

/.ZPAB=ZCAQ；

???四邊形Z5CQ為正方形，邊長為4,

:.AB=BC=CD=AD=4,ZABC=90°,AC±BD,AO=BO=CO=DO,

：.BD=AC=」AB、BC2="+42=4后，^OCB=45°,

AO=BO=CO=DO=2亞,

■：NPAB=ZCAQ,

又?；NABP=NAON=9Q0,48=4,AO=242,

AAPBS^AON,

.AOON2V2

?------=-----=------,

ABBP4

.ONV2

,,----——;

BP2

(2)解：VBC=3BP=4,

48

:?BP=—,PC=—,

33

??,AD//BC

/DAM=ZBPM,ZADM=ZPBM

AADMsAPBM

AD_DM43

i

BM=—BD=—x4^2=y/2

44

???BO=242

;.0M=BO-BM=20-6=6

ONV2f、

???——=——(已證)

BP2

223

，MN=OM+ON=>j2+-y/2=^!^；

33

(3)解：如圖2,vZOBC=ZOCB=45°,/ABC=/BCD=90。,

1.Z.ABP=180?！?ABC=90°,ZQCE=180°-/BCD=90°,

ZABM=ZABP+ZPBM=90°+ZOBC=135°,

ZACE=NOCB+ZQCE=45°+90°=135°,

??.ZABM=NACE

/PAB=ZCAQ,

???AABMsAACE,

AMAB_4

1F-^C-Z72

AM_42

~AE~^2

在中，/MAE=45。，作收_L4E,

不妨設(shè)AM=ga，AE=2a,

,42_AK42_MK

241a2y[la

AK=a,MK=a

EK=AE-AK=2a-a=a,

/.EK=MK=a

是等腰直角三角形，

/.NAEM=45。,

/.ZAEM=/MAE=45°,ZAME=90°

：.4MAE是等腰直角三角形，

ME=MA,MEIMA,

如圖3,同理可證△ZME為等腰直角三角形，ME=MA,MEIMA,

148

當8P=—5C=—時，PC=_,

333

???AD//BC

ZDAM=/BPM,AADM=ZPBM

二.AADM^APBM

AMADDM43

3

13

PM=-PA,AM=—PA,

44

4

???45=4,BP=＜ZABC=90°,

PA=NAB?+BP2=[2+g[=1V10,

.DA/1EM14/TZV10

…PM=—PA=—x—vlO=-----9

4433

AM=-PA=-x-y/10=y/w,

443

VAAME為等腰直角三角形，ZAME=90°,

ME=AM=41Q,ZEMP=180°-ZAME=90°,

PE=y/ME2+MP2=J(MY+(坐?=y,

同理可得：當==g時，P4=NAB?+BP?=卜+=g屈，△尸s加且相似比為3：2,

ZEMP=90°,ME=MA,

-2D」4后一8用“-3°/一34/77_4V13

,,PA1——PA——x—yj\3--------,A//4——PA.——x—，13—--------,

553155535

?A/Z7A/TA4\/15

??ME=MA=-------,

5

PE=4ME1+MP1=J(^^-)2+(^^-)2=—.

V51515

故答案為：ME=MA,MEIMA；5或

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰直角三角形的判定與性質(zhì),

解直角三角形的相關(guān)計算，熟知正方形的性質(zhì)與等腰直角三角形的性質(zhì)的解題的關(guān)鍵.

題型2：旋轉(zhuǎn)問題

3.如圖，在RtZUBC中，ZACB=90°,乙4=60。，點。為4B的中點，連接CD,將線段CD繞點。順時

針旋轉(zhuǎn)研60°＜。＜120。)得到線段E。，且ED交線段8c于點G,NCDE的平分線。M交8c于點8.

圖1圖2圖3

（1）如圖1,若a=90。，則線段成）與AD的數(shù)量關(guān)系是，

（2）如圖2,在（1）的條件下，過點C作C廠〃OE交。M于點尸，連接E尸，BE.求不7的值；

FH

BE

（3）如圖3,若/C=2,tan（a-60。）="，過點。作C尸〃。石交DM于點尸，連接E尸，BE,請求出"的

FH

值（用含加的式子表示）.

【答案】0）ED=BD；—

3

⑵*

A/3-W

J2

【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半可以得到“C=CD=3D,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到

CD=DE,則=又在RtACGD中，含30。的直角三角形邊之間的關(guān)系可得結(jié)論；

（2）由NCFD=NEDW=NCDW,得CF=CD=ED,又CF〃DE,則四邊形CD昉是菱形，又

NCDE=9Q。,可得結(jié)論：菱形CDEF是正方形；由題意可得，NEGB=NFCH,NEBG=NCFD,則

xBEGsxFHC,又DG=BG,CD=CF,所以變=變=變=走；

FHFCCD3

（3）過點。作ZW_L3C于點N,由1211/%06=1211（4-60。）=箓="，得NG=m,所以8G=6-〃］，又

△BEGSAFHC,DG=BG,CD=CF,所以空=些=殷=^1^.

FHFCCD2

【解析】（1）解：在RtZUBC中，N/C8=90。，點D為4B的中點，

AD=CD=BD,

■：N4=60°,

.?./8=30°,是等邊三角形，

:.ZDCB=30°,

/CDE=a=90。,

tan/CGD=tan60°=——=,

DG

.GDV3

??---=—.

CD3

???線段CD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)。（60。＜。＜120°）得到線段ED,

ED=CD=BD,

故答案為：ED=BD；—.

3

（2）解：由（1）可知，4。。=60。，NCGQ=60。，BD=DE,

ZBDE=30°fZEGB=60°,

NDBE=NDEB=75。,

NEBG=45。,

?rZGDB=180°-ZADE=30°,/ABC=30°,

NGDB=NABC,

DG=BG,

'：DM”4CDE,/CDE=9。。,

ZCDM=NEDM=45°,

???CF//DE,

ZCFD=ZEDM=45°,

ZCFD=ZEDM=ZCDM,

:.CF=CD=EDf

???四邊形CD跖是菱形，

ZCDE=90°,

?.?菱形CQ跖是正方形.

/.ZCFD=ZCDF=4509ZZ）CF=90°,

??.ZFCH=60°,

:.NEGB=NFCH,NEBG=NCFD,

:.ABEGsAFHC,

.BEBG

'~FH~~FC"

vDG=BG,CD=CF,

,BEBG_GD43

(3)解：如圖3,過點。作。N1BC于點N,

\E.-.AC//DN,

圖3

:.ZACD=ZCDNf

???MS是等邊三角形，AC=2,

：.FC=CD=AC=2fZCDN=ZACD=60°,

:./NDG=a-60°,DN=1,

NG

tan/NDG=tan(a-60°)==m,

DN

/.NG=m,

在RtZkZBC中，ZACB=90°,ZA=60°,AC=2,

."=4,BC=20

：.BN=CN=6,

BG=6-m，

?「ZADC=60°,ZCDG=a,

ZBDE=nO0-a,

(y

ZBEG=30°+—

2f

ty

:.NEBG=—,

2

/.ZBGE=150°-a,

DM平分Z-CDE,ZCDE=a,

(y

ZCDM=ZEDM=—,

2

CF//DE,

a

:.NCFD=NEDM=—,ZDCF+ZCDE=130°

2f

/.ZDCF=\S00-af

ZFCG=150°-a,

:.NEGB=NFCG,ZEBG=ZCFD,

:ABEGsAFHC,

,BEBGy/3-m

一麗—記――2--

【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，含30。的直角三角形的邊角關(guān)

系，正方形的性質(zhì)與判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和等內(nèi)容，得到ABEGsAmc是解題關(guān)鍵.

4.如圖，在等腰直角ZUBC中，AB=AC,NA4c=90。，點E為NC的中點，EF=EC,將線段E尸繞點

E順時針旋轉(zhuǎn)90。，連接尸G、FC；點。為8c中點，連接GD,直線GD與直線C尸交于點N.

(1)如圖1,若NFC/=30。，DC=46,求CF的長；

(2)連接5G并延長至點M,使3G=MG,連接CN.

①如圖2,若NG1MB,求證：AB=^-CM；

2

4FG

②如圖3,當點G、F、5共線時，ABCH=90°,連接S,8請直接寫出^的值.

5FH

【答案］⑴3

⑵①證明見解析②:

O

【分析】(1)連接。E,過點K作EJLC尸于/求出EC=EO=EF=g,再求出

3

CJ=FJ=EC-cos300=-,即可得解；

(2)①連接DE,EN.先證明四邊形CMGN是正方形，得出NC=CM=GN=MG=2CF,設(shè)

CF=DG=DN=FN=m,則BG=GW=2"z,求出CM,48的長，即可得解；②可以假設(shè)2C=5左，

CH=4k.貝U/C=還后再求出FG,證明〃F="C,即可得解.

2

【解析】(1)解：如圖1中，連接。￡,過點￡作尸于/

G

圖1

VAB=AC,ZA=90°f

ZACB=/B=45°,

?.*AE=EC,BD=DC,

DE//AB,

???NDEC=ZA=90。,

：./EDC=/ECD=45°,

：.ED=EC,

丁CD=布,

???EC=ED=EF=Y5,

ZECF=30°,EJ.LCF,

3

：.CJ=FJ=EC-cos30°=-,

2

:,CF=2CJ=3.

(2)解：①如圖2中，連接QE,EN.

圖2

VAB=AC,NN=90。，

???ZACB=/ABC=45°,

AE=EC,BD=DC,

：.DE//AB,

???NDEC=ZA=90。，

ZEDC=ZECD=45°,

ED=EC,

ZGEF=/DEC=90°,

???AGED=ZFEC,

VEG=EF,ED=EC,

AGED知FEC(SAS),

???ZEGD=ZEDG=/EFC=ZECF,

DG=CF,NEFC+ZEFN=180°,

NEGN+NEW=180。，

:?E,G,N,b四點共圓，

/ENF=/EGF=45°,ZGNE=ZEFG=45°

ZENC=ZENG=45°,

：.ZGNC=90°,

???EG=EC,

：.ANEC^ANEG(AAS),

???NG=NC,

NG1BM,

：./NGB=90°,

YBG=GM,BD=DC,

/.DG//CM,DG=^CM,

：.ZM=NDGB=90°,

，四邊形CMGN是矩形，

NG=NC,

，四邊形CA/GN是正方形，

/.NC=CM=GN=MG=2CF,

設(shè)CF=DG=DN=FN=m,貝(jBG=GAf=2m,

BD=yjBG2+DG2=45m，

/.BC=2DB=2sl5m,

???AB=—BC=4i0m,

2

.AB_VlOm_VlO

^~CM~2m~~2~'

AB=—CM.

2

②如圖3中，

圖3

4

CH=-BC,

5

???可以倨（設(shè)5。=5左，CH=4k.則4C=土上，

2

AE=EC=EF=EG=^-k,

4

：.FG=y/2EG=-k,

2

?:CHLCB,NACB=45。,

???/BCH=90°,

???/4CH=45。,

?；EF=EC,

：.ZEFC=ZECF,

ZHCF=ZHCA+ZECF=45°+ZECF,ZHFC=ZEFG+ZEFC=45°+ZEFC,

：.ZHCF=ZHFC,

???HF=HC=4k,

5

：.FG=T^=5,

FH-4k—8

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換，正方形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性

質(zhì)、解直角三角形等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用，添加適當?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵.

5.在數(shù)學綜合與實踐活動課上，小紅以“矩形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展探究活動.

(1)操作判斷

小紅將兩個完全相同的矩形紙/5CD和CEFG拼成“乙”形圖案，如圖①.試判斷：的形狀為

圖①

(2)深入探究

小紅在保持矩形4SCD不動的條件下，將矩形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)，若9=2,AD=4.

圖②圖③

探究一：①若矩形CEFG繞點C順時針旋轉(zhuǎn)，當點尸恰好落在ND的延長線上時，設(shè)CG與。尸相交于點

M,如圖②，求ACMF的面積.

探究二：②若矩形CKFG繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)機。，邊CG與邊40交于點連接8M,當

N5MC+N/MC=180。時，如圖③.請直接寫出加的值.

【答案】(1)等腰直角三角形

⑵探究一：探究二：15

【分析】(1)正確“8C0ACEF(SAS),可得/C=FC,ZACB=NCFE,進而可得//C尸=90。，據(jù)此即可

求解;

(2)探究一：證明ACDA￡AFGM(AAS)可得/，又由三線合一可得尸，得到

DM=4-MF=4-CM,在Rt^CDM利用勾股定理可得CM,最后根據(jù)三角形的面積公式計算即可求

解；

探究二：由補角性質(zhì)可得//MC=/8MG,即可得=進而由平行線的性質(zhì)得到

AU1

ZBCM=ZAMG,即到/BMC=/BCM,得到=8C=4。=4,即得到sinN4Affl=—=-,得到

BM2

乙4MB=30。，進而由平行線的性質(zhì)得到/C3W=//A"=30。，即得/BMC=/8CN=75。，最后求出

〃CG即可求解.

【解析】(1)解：???四邊形48CD和CEFG是兩個完全相同的矩形，

:?AB=CE,AB=AE=90°,BC=EF,

：.AABC^ACEF(SAS),

AC=FC,/ACB=NCFE,

'：ZCFE+ZECF=90°,

???ZACB+ZECF=90°f

：.ZACF=90°,

?;AC=FC,ZACF=90°,

???△/CF為等腰直角三角形，

故答案為：等腰直角三角形；

ZDMC=ZGMF

(2)解：探究一：VZCDAf=ZG=90°,

CD=GF

.??△81修△尸GM(AAS),

???CM=MF,

?；AC=CF,CD1AFf

：.AD=DF,

,:AB=CD=2,AD=DF=4,

:?DM=4—MF=4—CM,

在中，CD?+DM?=CM?,

：.22+(4-CM)2=CM2,

解得CM=g,

：.MF=-,

2

ACMF的面積=LMFCD=LX*X2=*；

2222

探究二：VABMC+ZAMC=1^0°,NBMC+NBMG=180°,

???AAMC=/BMG,

：.ZAMC-/AMB=ZBMG-/AMB,

即=

??,AD//BC,

：./BCM=ZAMG,

???/BMC=/BCM,

：.BM=BC=AD=4,

?Z=9。。，坐二」，

BM42

：.sinZAMB=-

2f

：.ZAMB=3Q°,

：.AD//BC,

：.ZCBM=ZAMB=30°f

/BMC=/BCM=18?！?30。=

2

AZDCG=90°-75°=15°,

即機=15.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定，等腰三角形的判定

和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，勾股定理，三角形函數(shù)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵.

題型3：翻折問題

6.△ABC中，/8=8C,點。在邊/C上，連接8。，將AD繞點。順時針旋轉(zhuǎn)至。E,且點E落在直線48

⑴如圖1,若443。=90。，點E是線段48的中點，若8=2a,求4D的長.

(2)如圖2,若/48C=60。，點M是線段AD的中點，連接ME,求證：CMLME.

(3)如圖3,若/ABC=60。，BC=4,同一平面內(nèi)將△/皿沿著50翻折得到△尸皮)，使得點P落在5c下

方，連接尸。，過點尸做尸”，3c交于點〃，點C關(guān)于陽的對稱點為點C',連接尸C'，AC,當PH-HC

最大時，直接寫出△/8C'的面積.

【答案】(1)6亞

(2)見解析

⑶4

【分析】(1)作。7248于T,DK上BC于K,則四邊形是矩形，得到DK=2T,由等腰三角形的

性質(zhì)可得ET=3T,由題意得出乙4=/C=45。，推出A4DT、ACDK為等腰直角三角形，再由等腰直角三

角形的性質(zhì)計算得出OK=8T=ET=2,結(jié)合題意得出4&=2￡=4,求出NT=/E+ET=6,即可得解；

(2)連接CE,延長EM到點J,使得=連接區(qū)/、CJ、DJ,設(shè)“交BC于P,證明四邊形￡2㈤

是平行四邊形，得出助=",EB//DJ,由題意得出△4BC為等邊三角形，得到4C=5C,

NB4C=NACB=60。,證明△尸DC為等邊三角形，得出CP=CD=DP,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得。8=0E,由等

邊對等角得出NDBE=NBE4,推出/DE/=NADP,先證明A￡Z。絲AOP3(AAS),得出

AE=DP=CP=CD,再證明之ACPJ(SAS),得出C￡=C7,最后由等腰三角形的性質(zhì)即可得證；

(3)以8為圓心，R4為半徑作。8,過點8作3Kle3交。8于K,連接CK交用于R,貝IJAC8K為等

腰直角三角形，證明出=由軸對稱的性質(zhì)得出CH=CH,得到HR=HC,貝lj

PH-HC'=PH-HR=PR,推出PR的值最大時，尸打-8C的值最大，過點尸作尸。，賀于。，貝必尸。尺

為等腰直角三角形，推出當尸。的值最大時，尸火的值最大，連接80,由三角形三邊關(guān)系可得：

PQ<BP-BQ,推出當8、P、。三點在同一直線上時，即成，CK時，尸。的值最大，令BP交CK于

M,貝i]/BMC=90°,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出BC'=4行-4，由題意得出△ZBC為等邊三角形，

得至!J/8=8C=4,連接/C,作NG,8c于G,則8G=CG==2,由勾股定理得出/G=26，再

由三角形面積公式計算即可得解S/BC，=；6C'2G.

【解析】(1)解：如圖，作。71/8于T,于K,

NDTB=NTBK=NDKC=90°,

???四邊形577)K是矩形,

DK=BT,

?：DE=DB,DT±AB,

：.ET=BT,

VZABC=90°fAB=BC,

???△45。是等腰直角三角形，

：.ZA=ZC=45°f

?.?ZDKC=ZDTA=90°,

???△4DT、ACDK為等腰直角三角形，

CD=2V2,

：.DK=CK=2,

：.BT=ET=2,

：.BE=4,

???E為4g中點，

???AE=BE=4,

：.AT=AE+ET=6,

AD=41AT=642;

(2)證明：如圖，連接CE,延長現(xiàn)f到點J,使得W=￡M,連接B7、CJ、DJ,設(shè)DJ交BC于P,

???點“是線段的中點，

:,BM=DM,

MJ=EM,

???四邊形片乙㈤是平行四邊形,

:?EB=DJ,EB〃DJ,

9：ZABC=60°,AB=BC,

：.△/臺。為等邊三角形，

AC=BC,ABAC=AACB=60°,

EB//DJ,

：.ZDPC=ZABC=60°,/EBD=/BDP,

???△PDC為等邊三角形，

CP=CD=DPf

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DB=DE,

：.ZDBE=/BEA,

ZDEA=ZBDP,

AC—CD=BC—CP,

：.BP=AD,

'：ZEAD=180?！狝BAC=120°,/BPD=180?！猌DPC=120°,

???ZEAD=/BPD,

.??注△DPB(AAS),

???AE=DP=CP=CD,

\BE-AE=DJ-DP,

：.PJ=AB=AC,

丁ZCPJ=180°-ZDPC=120°,

ZCPJ=ZEAC=no0,

,.?AE=CP,

：.AEAC^CPJ(SAS)F

???CE=CJ,

EM=MJ,

：.CMLEM；

(3)解：如圖，以5為圓心，A4為半徑作。過點5作5K1C3交。8于K,連接CK交PH于R,

BC=BK,NCBK=90°,

???△CBK為等腰直角三角形，

???ZBCK=45°,

?；PH人BC,

：./CHR=90°,

/.ZHCR=ZCRH=45°,

???CH=HR,

點C關(guān)于PH的對稱點為點C,

：.CH=CH,

???HR=HC,

???PH-HC'=PH—HR=PR,

?,?夕火的值最大時，9-HC的值最大，

過點P作于。，

,.?ZPRQ=ZCRH=45°,

.??△PQH為等腰直角三角形，

???當?shù)闹底畲髸r，尸火的值最大，

連接陽，由三角形三邊關(guān)系可得：PQ<BP-BQ,

???當3、尸、。三點在同一直線上時，即5尸，CK時，?。的值最大,

令BP交CK于M,則/BMC=90。，

???ZBCM=45°,

???△以%/為等腰直角三角形，

；?BM=JBC=2也,NCBN=45。，

2

?.PQ=PM=BP-BM=4-2母

：.PR=4iPQ=4近-4,

同理可得ABHP為等腰直角三角形，

22

:.HR=HP-BP=2C-(4柩-4)=4-2血,

"=4-2亞，

BC'=BH-C'H=4s/2-4,

,：ZABC=60°,BC=AB,

/.△4BC為等邊三角形，

AB=BC=4,

連接/C,作/G,8c于G,則3G=CG=』BC=2,

2

??AG-yjAB2—BG2=2y/3，

S.ABC=^BC'-AG=^X(4V2-4)X2V3=476-473.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、

矩形的判定與性質(zhì)、解直角三角形、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識點，熟練掌握以上知識點并靈活運用,

添加適當?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵.

7.在綜合與實踐課上，王老師以“等腰直角三角形的折疊”為主題開展數(shù)學活動.

圖1圖2圖3

⑴操作驗算

如圖1,△4BC是等腰直角三角形紙片，4cB=90,。為4B上一點，ZACD=30°.甲同學沿E尸對折，使

點C的對應點落在射線8上，折痕分別交射線CN、射線C8于點￡、點?

CFAD

①求三的值，②若ND=拒，求3。、筋的值；

(2)遷移探究

如圖2,△4BC是等腰直角三角形紙片，ZACB=90°,。為線段AB上任意一點.乙同學沿環(huán)對折，使點

C的對應點落在射線CZ)上，折痕分別交射線C/、射線C2于點E、點尸.

探究C三F與二AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由;

CAJJD

(3)拓展應用

AV)1

如圖3,△N8C是等腰直角三角形紙片，ZACB=90°,丙同學在N8取點。，使了工=彳，沿即對折，使

BD2

點C的對應點落在射線8上，折痕交線段。于點￡,連結(jié)求證：BE=3DE.

【答案】⑴①旦②娓,顯

33

嗒嗡理由見解析

(3)見解析

【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，折疊的性質(zhì)，三角形函數(shù)等

知識點,

(1)①先得出NECD=/C尸￡=30。，得至ljC￡=tan3(T=巫；②過點。作。G，/C交NC于點G,

CF3

CB=CA=43+1,AB=6cB=a+6,BD=AB-AD=a+6-^=&，—=^=—;

BD3

(2)過點。作。交/C于點，，DK上BC交BC于■點、K,AD=42DH，BD3DK，得出

AD42DHDH根據(jù)C4=OK,得出迎=2^=tan/NCD,再根據(jù)tanNCEE=笠,

BD亞DKDK'BDCHCF

NCFE=NACD,得出槳=||；(3)過點/作BC的平行線交CD的延長線于點根據(jù)saRDC,

DL)Cr

得出亞=#?=:，得到CM=3Z)M,再證明△4MC絲△CEB,得到CN=3E,LAEDm乙AMD,得到

BDCD2

DM=ED,得出BE=3DE；

掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

【解析】(1)①由題意得：CD1EF,

'：ZACD=30°,

：.ZECD=NCFE=30°,

:.笠=tan3O0=0

CF3

②過點。作。GL4C交/C于點G,

C

E.

D

AG=DG=—AD=1

2

，CG=&G=5

，C8=C4=G+1,AB=&CB=&&,

/.BD=AB-AD^46+42-42^46,

.AD

,?茄一耳一1"；

⑵：=券’理由如下:

過點。作。交/C于點〃，DK上BC交BC于■點、K,

：.CH=DK,

,:AD=4iDH，BD=41DK，

,AD_42DH_DH

"BD~亞DK~DK

"：CH=DK,

ADDH/…

----=-----=tanZACD,

BDCH

CF

?：tanACFE=—

CF

又?:ZCFE=ZACD,

.AD_CE

*,5D-CF

(3)過點/作5c的平行線交CO的延長線于點M,

c

A\；D

CE1

CA2

??.AE=CE,

丁AM//BC

AADMs/\BDC,

.ADDM

「BD~~CD~^^

：.CM=3DM,

在“MC和aCEB中，

'/ACM=ZCBE

?：\AC=BC,

/CAM=/BCE=90。

??.△4MC^AC￡5（ASA）,

CM=BE,AM=CE=AE,

在△4E。和△/〃7）中，

AE=AM

<ZEAD=ZMAD=45°,

AD=AD

：."EDRZMD（SAS）,

DM=ED,

BE=3DE.

8.折紙是富有趣味和有意義的一項活動，折紙中隱含著數(shù)學知識與思想方法，深入探究折紙，可以用數(shù)學

的眼光發(fā)現(xiàn)，用數(shù)學的思維思考，用數(shù)學的語言描述，提升同學們的綜合素養(yǎng).

(1)如圖1,一張等邊三角形△N2C紙片，點。是邊/C上一動點，將△2CO沿AD翻折，點C的對應點為

E.若BELBC,CD=2,求線段BE的長；

⑵如圖2,一張正方形48。紙片，AB=2,M是AD的中點，將四邊形4BCW沿四翻折得到四邊形

EFCM,連接。尸，求線段。尸的長；

(3)如圖3,一張菱形4BCD紙片，48=60。，點￡是邊上一動點，將ABCE沿CE翻折得到ACEF,射

線E尸與直線ND交于點/，若4B=6,FM=\,請直接寫出線段3E的長.

【答案】⑴G+1

⑵|麗

⑶型或絲

-1311

【分析】⑴過點。作DQ^BC于點。，由折疊知=ZEBC=90°,則

ZDBC=45°,由△4BC為等邊三角形得/C=60。，解△DSC即可；

(2)過點下作/G48C交8,。/于點。,6,可證明尸G=/C=2,MD=-AD=-DC,貝lj

22

tanZMCD=MH.==Lt設(shè)OG=a,貝!|OC=2a,FO=2-a,在RMFOC中，由勾股定理得，

CDOC2

,,4622i—

(2a)-+(2-?)2=22,解得:a=-,則尸。=不。。=不，在RtADO尸中，由勾股定理得FD=5W；

(3)當點”在D4延長線上時，連接MC,NC,過點C作的垂線，垂足為K,尸，過點M作品"，

于點H,則NCP9=NCK4=90。，先證明△“戶也△CM,再證明RtZXCPM烏RtZXCKN,最后證明

/1CFM^/\CAM,貝設(shè)BE=FE=x,則^￡=6—x,ME=l+x,在RtZ\Affi4中，

Z3=60°,4HEH=--x,由勾股定理得，MH=旦在RtAkffi〃中，由勾股定理得，

222

=(l+x)\解得：x='；當點"在線段ND上時，同理x若.

【解析】(1)解：過點。作3c于點0,

由折疊知BE=BC,/DBC=/DBE,

?.,BELBC,

：.ZEBC=90°,

???/DBC=45。,

???△/5C為等邊三角形，

???ZC=60°,

?.?DQLBC,

.??NQDC=30。，

：.CQ=^CD=\,由勾股定理得。0=6，△DQB為等腰直角三角形,

二BQ=DQ=6,

BE=BC=41；

(2)解：過點尸作FG/8C交。。。11于點。,6,

:四邊形是正方形，

/.AB=BC=CD=AD=2,/BCD=ZADC=90°

由折疊得，2BCM=2FCM,CF=BC=2,

?：FG〃BC,

：.NFGC=NBCM,

：.ZFGC=ZFCM,

：.FG=FC=2,

???點M為中點,

：.MD=-AD=-DC,

22

八…MDOG1

??tanZMCD=-----=-----=—,

CDOC2

設(shè)OG=a,則OC=2。，F(xiàn)O=2—a,

在RtA尸。C中,由勾股定理得,（2a）2+（2-a）2=22,

4

解得：tz=-,

：.F0=-,D0=2-0C=-

551

.?.在Rt^OO9中，由勾股定理得，F(xiàn)D=^DO2+OF2=-Vio；

（3）解：當點〃r在延長線上時，

連接過點C作"ME的垂線，垂足為篦尸，過點M作于點〃，則

ZCPF=ZCKA=90°,

..?四邊形是菱形，

:.BA=BC,AD//BC

?：Z5=60°,

△N8C為等邊三角形，/3=48=60。，

:.AC=BC,ZACB=60°,

由翻折得，CB=CF,Z.l=ZB=60°,BE=FE

：.CA=CF,

?：AD//BC,

：.Z2=NACB=60°,

，Z1=Z2,

ACPF會4CKA,

：?CP=CK,

'：CM=CM,

：.RtACPM^RtACKM,

???ZFMC=ZAMC,

N1=N2,

???ZCFM=ZCAM

：.ACFM經(jīng)MAM,

：.AM=FM=\,

設(shè)BE=FE=x,則々=6—%,ME=\+x,

在RtZ\M￡4中，N3=60。，

...NAMH=30。,

二.同卜可求4H=—,EH=6------x=------x,

222

由勾股定理得，MH=—,

2

在RtZXM即中，由勾股定理得,

30

解得:X=-

13

當點〃在線段4D上時,

同上可得：MA=MF=1,

113

設(shè)BE=FE=x,則4E=6-x,ME=x-\,HE=-+6-x=——x,