直線與圓的位置關(guān)系（七大模塊）

目錄：

模塊1:判斷直線與圓的位置關(guān)系及應(yīng)用

模塊2：利用切線的性質(zhì)、切線長定理求解（I）

模塊3：利用切線的性質(zhì)、切線長定理求解（II）

模塊4：三角形的內(nèi)切圓

模塊5：三角形的內(nèi)心有關(guān)的應(yīng)用

模塊6：內(nèi)切圓與外接圓綜合

模塊7：解答綜合題

模塊1：判斷直線與圓的位置關(guān)系及應(yīng)用

1.已如。。的直徑為6cm，點。到直線/的距離為4cm,貝!]/與。。的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相切C.相交D.相切或相交

【答案】A

【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)點到直線的距離與半徑之間的大小關(guān)系，進行判斷即可.

【解析】解：：。。的直徑為6cm,點。到直線/的距離為4cm,

QO的半徑為3cm,

■,-4>3,

???/與。。的位置關(guān)系是相離；

故選A.

2.已知平面內(nèi)有與直線48,的半徑為3cm,點。到直線的距離為3cm（）

A.相切B.相交C.相離D.不能判斷

【答案】A

【分析】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵.根據(jù)點O到直線的距離與圓

的半徑大小作比較即可.

【解析】解：?.?點。到直線N8的距離為3cm,且。。的半徑為3cm,

.??點。到直線AB的距離等于。。的半徑，

???直線AB與OO的位置關(guān)系是相切，

故選：A.

3.已知OO的半徑為J§cm,直線/與圓有公共點，且直線/和圓心。的距離為dem，則（）

A.d=y/3B.Q<d<V3C.d>V3D.Q<d<y/3

【答案】B

【分析】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系，一般地，直線到圓心的距離為心圓的半徑為r,則當d〉r

時，直線與圓沒有交點；當1=7?時，直線與圓有一個交點；當時，直線與圓有兩個交點，據(jù)此求解即

可.

【解析】解：???直線/與圓有公共點，

???直線/與圓的圓心的距離小于等于半徑，

G>O的半徑為J§cm，

■-0<d<y/3,

故選：B.

4.如圖，若。。的半徑為6,點。到某條直線的距離為6,則這條直線可能是（）

A.4B.4C.I3D.

【答案】B

【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系判斷即可.

【解析】解：:O。的半徑為6,點O到某條直線的距離為6,

這條直線與圓相切，

??.這條直線可能是4；

故選：B.

【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是熟記：當。。的半徑為心圓心。到直線/的距離為

d.①直線/和OO相交②直線/和。。相切=③直線/和。。相離

模塊2：利用切線的性質(zhì)、切線長定理求解（I）

5.如圖，4B是。。的直徑，ZABC=45°,/C是OO的切線，則//C3的度數(shù)為（）

A.45°B.50°C.90°D.135°

【答案】A

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)可知結(jié)合N/BC=45。即可獲得答案.

【解析】解：???4B是。。的直徑，/C是。。的切線，

AC1AB,

■:ZABC=45°,

ZACB=90°-NABC=45°.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)定理以及直角三角形兩銳角互余，理解并掌握切點的性質(zhì)定理是解題

關(guān)鍵.

6.如圖，PA,尸5是OO的兩條切線，A,2是切點，若202=120。，則/尸的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【答案】C

【分析】直接根據(jù)切線的性質(zhì)作答即可.

【解析】解：--PA,必是OO的兩條切線，A,2是切點，

ZOAP=ZOBP=90°,

???NP=360?！猌AOB-ZOAP-ZOBP=360?！?20°-90°-90°=60°,

故選C.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑，即切線與半徑成90。角.

7.如圖，的直徑與弦4C的夾角為25。，過點。的切線尸。與的延長線交于P,則/P的度數(shù)為

()°,

A.25B.30C.35D.40

【答案】D

【分析】連接OC,證明NOC尸=90。，利用NC/尸=25。，求出NCOP=50。，即可求出

/尸=90?！?0。=40。.

【解析】解：連接OC,

???尸。切。。與點C

??.ZOCP=90°,

???NC/尸=25。，

??.NCOP=50。，

.?./尸=90?！?0。=40。.

故選：D

【點睛】本題考查圓周角定理，切線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出NOC尸=90。，/COP=50。.

8.如圖，是。。的直徑，弦4。平分/A4C,過點。作。。的切線交4C于點區(qū)若NBAD=23。,則

ZADE=°.

c.

【答案】67

【分析】本題考查切線的性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于過切點的半徑是解題的關(guān)鍵.

【解析】連接如,

???過點D作OO的切線交AC于點E,

又，；0A=0D,

NODA=NOAD=23°,

；"ADE=90°-NODA=90°-23°=67°,

故答案為：67.

T,O尸=10,尸7=30°,則。。的半徑為

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，掌握在直角三角形中，30。角所對的直

角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)切線的性質(zhì)得到/O7P=90°，根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可求解.

【解析】解：如圖，:PT與。。相切于點7,

ZOTP=90°

\-OP=10,ZOPT=30°,

OT=-OP=-x1Q=5，

22

故答案為：5.

10.如圖，4B是。O切線，8為切點，4。與。。交于點C,ZABC=35°,則/05C度數(shù)為（）

A.65°B.55°C.35°D.50°

【答案】B

【分析】本題考查切線的性質(zhì)，根據(jù)42是。。切線，可得NOA4=90。，結(jié)合43c=35。即可求解.

【解析】解：是。。切線，

/.ZOBA=90°,

a45c=35。，

/.AOBC=AOBA-/ABC=90?！?5。=55°.

故選B.

11.如圖，PA,心切。。于點A、B,直線尸G切。。于點E,交PA于F,交所于點G,若尸4=8cm,

則△PFG的周長是（）

A.8cmB.12cmC.16cmD.20cm

【答案】C

【分析】根據(jù)切線長定理得到4/=尸瓦G￡=5G,結(jié)合題意，即可求得△PFG的周長.

【解析】???尸4PB、產(chǎn)G是。。的切線，

:.FA=FE,GE=GB,PA=PB=8cm.

??.△萬戶G的周長尸+/G+G5

=PF+FE+EG+GP

=PF+FA+GB+GP

=PA+PB

=16cm.

故選：C.

【點睛】本題考查了切線長定理，理解切線長定理是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，AB為。。的直徑，點C為OO上的一點，過點C作。。的切線，交直徑力B的延長線于點D；若

乙4=23。，則ND的度數(shù)是（）

A.23°B.44°C.46°D.57°

【答案】B

【分析】連接。C,由切線的性質(zhì)可得NOCD=90。由圓周角定理可求得NCOZ）的度數(shù)，再由直角三角形兩銳

角互余即可求得答案.

【解析】解：連接。C,如圖，

0c為。。的切線,

0C1CD,

:.ZOCD=90°,

ZC0D=2ZA=46°,

.1ZD=90。-46。=44。.

故選：B.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理等，正確添加輔助線，熟練運用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，已知尸/、尸8分別切。。于A、B,CD切。。于E,尸。=13,40=5,則△尸CD周長為（）

A

D

CB

A.20B.22C.24D.26

【答案】C

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到根據(jù)勾股定理求出尸/的長，根據(jù)切線長定理、三角形周長公式計

算即可.

【解析】???PA、尸8分別切。。于A、B,

：.PA=PB,OA1PA,

■■■PA=ylPO^OA2=12，

PA,P8分別切O。于A、B,CD切。。于E,

DA=DE,EC=CB,

C.PCD=PD+DC+PC=PD+DE+EC+PC

=PD+DA+CB+PC=PA+PB

=24,

故選：C.

【點睛】本題考查切線的性質(zhì)、切線長定理，掌握圓的切線垂直經(jīng)過切點的半徑以及切線長定理是解題的

關(guān)鍵.

14.如圖，A8是OO的直徑，C為。。上一點，過點C作。。的切線C。，且交于點。，若

/ABC=56°,求NC4D的度數(shù)是（）

A.34°B.38°C.56°D.68°

【答案】A

【分析】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理.連接。C,根據(jù)切線的性質(zhì)得到OCL8,根據(jù)平行線

的性質(zhì)得到NC4O=N4c。，根據(jù)圓周角定理求出N4CB=90。，進而求出N/CO,得到答案.

【解析】解：連接。。，

/C。是。。的切線,

/.OC1CD,

???ADLCD,

OC//AD,

/CAD=/ACO,

???OB=OC,

/./OCB=/ABC=56。,

?.?43是。。的直徑，

:.ZACB=90°,

ZACO=90°-56°=34°,

ZCAD=34°,

故選：A.

模塊3：利用切線的性質(zhì)、切線長定理求解(II)

15.如圖，在中，NC=90。，點。在上，以點。為圓心，。4為半徑的圓恰好與2c相切于

點。，連接AD,若NB/C=60。，08=6,則/C的長為()

DC

B.4.5

【答案】B

【分析】本題主要考查了由圓的切線定理，直角三角形兩銳角互余以及含30。直角三角形的性質(zhì)，掌握這些

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

連接OD,由圓的切線定理可得出0。，3C,由直角三角形兩銳角互余可得出48=30。，由含30。直角三

角形的性質(zhì)可得出。。=g08=3,進一步可得出=CM+02=9,再利用含30。直角三角形的性質(zhì)可得出

答案.

【解析】解：如圖，連接。。，則0。1BC,

vZC=90°,ABAC=60°,

??./B=30°,

OB-6,

：.OD=-OB=3,

2

OA-OD-3,

AB—OA+OB=9,

AC=-AB=4.5

2

故選：B.

16.如圖，在△48C中，AC=BC,N/C8=100。,。。與48,3c分別切于點DC,連接CD.則N/CD

的度數(shù)為.

【答案】30730S

【分析】本題主要考查圓的基礎(chǔ)知識，掌握圓的切線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理的運

用是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理可求出的度數(shù)，根據(jù)切線的性質(zhì)可得3。=2C,可求出

/BCD的度數(shù)，由此即可求解.

【解析】解：???/C=BC,ZACB=W0°,

4=NN=gx（180。一100°）=40°,

?:QO與4B,8C分別切于點。,C,

：.BD=CD,

ZBCD=ZBDC=|x(180°-40°)=70°,

ZACD=ZACB-/.BCD=100°-70°=30°,

故答案為：30°.

17.如圖，AB為。。的直徑，BD為OO的切線，/C4B=56°,則5c的度數(shù)為

【答案】56。/56度

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，先根據(jù)直徑所對的圓周角為直角，得出NC=90。，根

據(jù)/C48=56。，求出445c=90。-56。=34。，根據(jù)切線的性質(zhì)得出乙4AD=90°,最后求出結(jié)果即可.

【解析】解：:/臺為。。的直徑，

ZC=90°,

■.■ZCAB^56°,

ZABC=90°-56°=34°,

■■BD為OO的切線，

???AB工BD,

.-.ZABD=90°

:.ZDBC=90°-34°=56°.

故答案為：56°.

18.如圖，AB為的切線，點A為切點，OB交于點C,點D在上，連接AD、CD、OA,若NADC

=40°,貝ijNABO的度數(shù)為（）

A.10°B.20°C.30°D.40°

【答案】A

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)和圓周角定理即可得到結(jié)論.

【解析】「AB為圓0的切線，

.-.AB10A,即NOAB=90。，

■.■ZADC=40",

.?.NAOB=2NADC=80°,

.-.Z.ABO=90°-80o=10°.

故選：A.

【點睛】此題考查了切線的性質(zhì)，以及圓周角定理，熟練掌握切線的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

19.如圖，為OO的切線，切點為4,3。交。。于點C,點。在。。上，若NNBO=32。，則

【答案】29°

【分析】本題考查了切線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，圓周角定理.熟練掌握切線的性質(zhì)，圓周角定理是

解題的關(guān)鍵.

由題意知，^OAB=90°,則44。3=180。-/。48-448。=58。，由圓周角定理可得/4DC=g4O2,計

算求解即可.

【解析】解：???48為。。的切線，切點為4

.-.ZOAB=90°,

ZAOB=1800-NOAB-NABO=58°,

AC=AC'

ZADC=-ZAOB=29°,

2

故答案為：29°.

20.如圖，尸是。。外一點，P/是。。的切線，A為切點，尸。與O。相交于8點，已知N3C/=34。，C

為。。上一點，連接C4,C8,則/尸的度數(shù)為（）

【答案】C

【分析】本題考查的是切線的性質(zhì)定理，圓周角定理，根據(jù)切線的性質(zhì)可得：ZOAP=9Q°,利用圓周角定

理可得/。=2ZC是解題的關(guān)鍵.

【解析】解：，

.-.Z0=2ZC=68°,

又?.?我是OO的切線，

.-.ZOAP=90°,

："P=90°一/。=90°-68°=22°,

故選C.

21.如圖，48是O。的切線，切點為3,連接4。與。。交于點C,點。為嬴上一點，連接AD,

CD.若NN=36。，則/8OC的度數(shù)為一°.

【答案】27

【分析】本題考查了圓周角定理，三角形內(nèi)角和定理，切線的性質(zhì)等知識點.連接由切線的性質(zhì)得出

ZABO=90°,由圓周角定理可得出答案.

【解析】解：連接03,

D

OBVAB,

:.ZAB0=9Q°,

???/Z=36。，

/.ZAOB=90°-ZA=90°-36°=54°,

:.ABDC=-AAOB=2T,

2

故答案為：27.

22.如圖，△/8C為。。的內(nèi)接三角形，4c為。。的直徑，BD切OO于點B,交4c的延長線于點。.若

ZACB=70°,則，。的度數(shù)為（）

【分析】本題考查切線的性質(zhì)，連接08,根據(jù)切線的性質(zhì)，推出/O8C+/CBD=90。，等邊對等角，得

到NO3C=NOC8=70。，求出NCAD的度數(shù)，利用外角的性質(zhì)，求出的度數(shù)即可.

【解析】解：連接08,

???BD切OO于點B,

OB1BD,

.-.ZOBC+ZCBD=90°,

?：OB=OC,

：.AOBC=NOCB=70°,

NCBD=20°,

又：NOCB=ZCBD+ND,

ND=50°,

故選D.

23.如圖，已知4B是。。的直徑，點C、。分別在兩個半圓上，若過點C的切線與48的延長線交于點

/E=50。，則/。的度數(shù)為.

D

【答案】70度/70。

【分析】本題主要考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)切線的性質(zhì)求出NOCE=90。，然后根

據(jù)三角形外角的性質(zhì)求出NNOC=140。，最后根據(jù)圓周角定理求出結(jié)果即可.

【解析】解：rCE為。。的切線，

NOCE=90°,

?：4E=50°,

ZAOC=90°+50°=140°,

.-.ZADC=-ZAOC=10°.

故答案為：70度.

模塊4：三角形的內(nèi)切圓

24.如圖，在中，ZC=90°,AC=6,8c=8,且△4BC的三邊都與。。相切，則OO的半徑為.

【答案】2

【分析】本題考查的是三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，。。與△NBC的三邊的切點分別為D、E、F,連接8、

OE、OF,OB,0C,根據(jù)勾股定理求出48,根據(jù)三角形的面積公式求出。。，掌握內(nèi)切圓與內(nèi)心和勾

股定理是解題的關(guān)鍵.

【解析】解：設(shè)O。與△/BC的三邊的切點分別為。、E、F,連接。D、OE、OF,OB,OC,

.■.OD1AC,OEYBC,OFYAB,OD=OE=OF,

由勾股定理得，AB=yjAC2+BC2=762+82=10-

.-.-xACxBC=-xACxOD+-xBCxOE+-xABxOF,

2222

即gx6x8=；x(6+8+10)xOZ),

解得8=2,即。。的半徑為2,

故答案為：2.

25.在菱形48co中，對角線NC與3。相交于點O,AC=8,BD=6,則菱形ABCD的內(nèi)切圓半徑為.

12

【答案】y/2.4

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，可得NC15。，AO=^AC,DO=^BD,再由勾股定理可得/D=5,然后設(shè)菱

形N2CD的內(nèi)切圓半徑為r,根據(jù)三角形的面積，即可求解.

【解析】解：在菱形ABCD中，AC1BD,AO=^AC,DO=^BD,

?；/C=8、BD=6,

DO=3,

■■AD^yiAO1+DO1=5>

設(shè)菱形/8CO的內(nèi)切圓半徑為r,

S=—AOxDO7,

AACU)Dn2

1112

—x5r=—x3x4,解得：r=—,

12

即菱形/BCD的內(nèi)切圓半徑為了?

12

故答案為：—

【點睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，內(nèi)切圓，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

26.如圖，在ZUBC中，已知NC=90。，BC=3,AC=4,。。是△/BC的內(nèi)切圓，點￡、尸、。分別為切

點，則03的長為.

【答案】V5

【分析】先由勾股定理求得N2,再根據(jù)三角形的內(nèi)切圓性質(zhì)證得四邊形0ECD是正方形，再利用等面積法

求得8、BD,再利用勾股定理求解即可.

【解析】解：???NC=90。，BC=3,AC=4,

■,-AB=yjAC2+BC2=A/42+32=5，

???OO是△/BC的內(nèi)切圓，點E、F、。分別為切點，

ZOFB=ZOEC=ZODC=/C=90°,OE=OD=OF,

???四邊形OECD是正方形，

CD=OD,

連接CM,OC,

B

■：s=-AC-BC=-AC-OE+-BC-OD+-AB-OF,

“ABKer2222

x4x3=-x4O￡,+-x3-OD+-x5-OF=6OD,

2222

解得：OD=1,則CD=1,

在瓦△08。中，BD=BC-C3-1=2,

OB=yj0D2+BD2=V1+22=V5，

故答案為：Vs.

【點睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓、正方形的判定與性質(zhì)、勾股定理，三角形的面積公式，熟練掌握三角

形的內(nèi)切圓和正方形的判定與性質(zhì)，作輔助線，利用等面積法求解是解答的關(guān)鍵.

模塊5：三角形的內(nèi)心有關(guān)的應(yīng)用

27.如圖，在直角三角形48c中，ZC=90°,AC=12,BC=16,點。為△4BC的內(nèi)心，點M為斜邊

的中點，則0M的長為.

【答案】2百

【分析】如圖（見解析），先根據(jù)三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)可得尸=/。,5￡=82廢=。尸，再根據(jù)

勾股定理可得48=20,從而可得5A/=10,然后根據(jù)線段的和差可得應(yīng)＞=12,從而可得D0=2,最后利

用三角形的面積公式可得。。=4,據(jù)此在中，利用勾股定理即可得.

【解析】如圖，設(shè)△/呂。內(nèi)切圓。。與N8,8C,NC的切點分別為點。,及尸，連接。4。民。。,。。，

則OD1AB,AF=AD,BE=BD,CE=CF,

???在比AABC中,ZC=90°,AC=12,BC=16,

AB;y/AC2+BC2=20，

???點M為斜邊4B的中點，

:.BM=-AB=10,

2

設(shè)BD=BE=x,貝!]/尸=/D=20-x,

.-.CE=CF=AC-AF=12-(2Q-x)=x-^,

;CE+BE=BC,

:.x-S+x=16,解得x=12,

:.DM=BD—BM=1270=2,

,SAABO+SAACO+SABCO=5c，

:.^(AB+AC+BC)-OD=^AC-BC,gp|x(20+12+16)-OD=|xl2xl6,

解得00=4,

22

在RtxODM中，OM=y/OD+DM=A/42+22=275，

故答案為：2#).

【點睛】本題考查了三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)、勾股定理等知識點，熟練掌握三角形內(nèi)切圓的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

28.如圖，。。是四邊形45CQ的內(nèi)切圓.若乙4。5=70。，則NCOD=()

A.110°B.125°C.140°D.145°

【答案】A

【分析】根據(jù)內(nèi)切圓得到四條角平分線，結(jié)合四邊形內(nèi)角和定理求解即可得到答案；

【解析】解：是四邊形48co的內(nèi)切圓，

:.NOAB=NOAD,Z0DA=Z0DC,ZOCD=ZOCB,NOBC=NOBA,

???AOAB+ZOAD+NODA+ZODC+NOCD+ZOCB+ZOBC+AOBA=360°,

ZOAB+NOBA+NODC+NOCD=ZOAD+ZODA+AOCB+ZOBC=180°,

ZAOB=70°,NOAB+NOBA+ZAOB=180°,NODC+ZOCD+ZDOC=180°,

??./COD=180°-70°=110°,

故選：A；

【點睛】本題考查圓內(nèi)切四邊形及四邊形的內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是得到

ZOAB+ZOBA+ZODC+ZOCD=180°.

29.如圖，在△ABC中，NBAC=70°,/是△ZBC的內(nèi)心，連接血并延長至點。，使JD=BD.則ND2C的

度數(shù)是（）

A.30°B.35°C.40°D.45°

【答案】B

【分析】根據(jù)題意連接血，利用內(nèi)心性質(zhì)可知=35。，再利用等腰三角形性質(zhì)得

NDBI=ADIB,利用外角和定理即可得到本題答案.

【解析】解：連接班,

?在△48C中，ABAC=10°,/是△48C的內(nèi)心,

:"BAD=ACAD=35°,NABI=AIBC,

vID=BD,

：-ADBI=ADIB,

ADIB=ABAD+NABI=35°+NABI,

???NDBI=ZIBC+ZDBC,

ZDBC=35°,

故選：B.

【點睛】本題考查內(nèi)心定義，角平分線性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，外角和定理等.

30.如圖，在一張RtZX/BC紙片中，ZACB=90°,BC=5,AC=12,。。是它的內(nèi)切圓.小明用剪刀沿著

。。的切線DE剪下一塊三角形則△/￡>￡■的周長為（）

A.19B.17C.22D.20

【答案】D

【分析】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，勾股定理，切線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握切線的性

質(zhì).設(shè)△4BC的內(nèi)切圓切三邊于點尸，H,G,連接OROH,OG,得四邊形O8CG是正方形，由切線長

定理可知4F=/G,根據(jù)DE是OO的切線，可得尸，EM=EG,根據(jù)勾股定理可得48=13,再

求出內(nèi)切圓的半徑=進而可得的周長.

【解析】解：如圖，設(shè)a/BC的內(nèi)切圓切三邊于點尸、H、G,連接OF、OH、OG,

???四邊形。HCG是正方形，

由切線長定理可知/尸=NG,

,:DE是。。的切線，

：.MD=DF,EM=EG,

■.■ZACB=90°,BC=5,AC=12,

???AB=dAC?+BC?=13，

?.?G>O是△48C的內(nèi)切圓，

???內(nèi)切圓的半徑=；(/C+8C-48)=2,

CG=2,

AG=AC-CG=12-2=10,

,-.AF=AG=10,

??.AIDE的周長為：AD+DE+AE=AD+DF+EG+AE=AF+AG=W+10=2.0.

故選：D.

31.如圖，點。是ZUBC的內(nèi)心，也是△D5C的外心，若乙4=84。，則/。的度數(shù)為（）

A.42°B.66°C.76°D.82°

【答案】B

【分析】本題考查了三角形的外心與內(nèi)心，三角形內(nèi)角和定理，圓周定理，連接。2,OC,由點。是△NBC

的內(nèi)心，44=84。，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出Z80C=132。，再根據(jù)點。也是△D2C的外心，結(jié)合圓周

角定理即可得出答案，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵.

【解析】解：如圖，連接02,OC,

???點。是△4BC的內(nèi)心，4=84°,

是，Z8C的平分線，0c是N/C3的平分線,

:.ZOBC=-ZABC,ZOCB=-ZACB,

22

...ZBOC=180°-ZOBC-40cB

=180°--ZABC--ZACB

22

=180。-；(N/BC+NNC3)

=180°-1(180°-Z^)

=90°+-ZA

2

=132°,

??,點。也是△DBC的外心，

:.ZD=-ZBOC=66°,

2

故選：B.

32.如圖所示，OO內(nèi)切于△4BC,切點分別為點。，點￡,點尸，已知/8=8C,48=40。，連接。E,

EF,則ZDEF的度數(shù)為()

A.40°B.55°C.65°D.70°

【答案】B

【分析】先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和計算出乙4=70。，連接8、OF,利用切線的性質(zhì)得到

ZADO=ZAFO=90°,則根據(jù)四邊形內(nèi)角和計算出ZDOF=110。，然后利用圓周角定理得到NDE尸的度數(shù).

【解析】解：???54=5。，

ZA=ZC,而=40°,

.?./^=1(180°-/5)=70°,

連接OD、OF,

內(nèi)切于△ABC,切點分別為點。，點、E,

A

ODLAB,OFLAC,

ZADO=ZAFO=90°,

.??"O尸=360°-2x90°-70°=110°,

/DEF=-ZDOF=55°.

2

故選：B.

【點睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等；三角形的內(nèi)心與三

角形頂點的連線平分這個內(nèi)角.也考查了切線的性質(zhì)和圓周角定理.

33.點/為△4BC的內(nèi)心，連H交△4BC的外接圓于點。，若4=2CD,點E為弦NC的中點，連接

若/C=6,〃）=5，則=的長為（）

A.5B.4.5C.4D.3.5

【答案】C

【分析】本題考查三角形的內(nèi)心、三角形的外接圓、三角形的中位線定理、直角三角形的判定、勾股定理

等知識，延長70到使得=連接CN.求出CN,證明"是△4Q0的中位線即可解決問題；

【解析】解：延長/D到使得DM=,連接CW.

???/是△45C的內(nèi)心，

A1AC=/IAB,ZICA=ZICB,

???ZDIC=/L4C+Z/CA,ZDCI=/BCD+/ICB,/BCD=AIAB,

/.4DIC=NDCI,

..DI=DC=DM,

.-.Z/CM=90°,

:.CM=y]lM2-IC2=8,

：AI=2CD=W,

：.AI=IM,

???AE=EC,

:.IE=-CM=4,

2

故選：C.

模塊6：內(nèi)切圓與外接圓綜合

34.已知△/8C的內(nèi)切圓半徑,=百，D、E、尸為切點，NABC=60。,BC=8,S^ABC=10>/3,則

AB=.

【答案】5

【分析】連接。/、OB、OC,OE、OF、OD,根據(jù)題意得到/48。=/C8。=30。，即

BE=BD=4iOE=3,進而得出CF=5,S"%=106=g(/C+3C+/C>r即可求解.

【解析】解：如圖，連接。4、OB、OC、OE、OF、OD,

???△48。的內(nèi)切圓半徑r=G，D、E、尸為切點，ZABC=60°,

:.NABO=NCBO=3Q°,

BE=BD=拒OE=3,

???BC=8,

：.CD=8—3=5=CF,

.?.%"=log，

:.^AC+BC+ACyr=\^,

—(AE+3+8+5+/尸)xsf3=1Oy/3,AE=AF=2,

即/C=5+2=7,AB=3+2=5,

故答案為：5.

【點睛】本題考查圓的外接三角形，等腰三角形的性質(zhì)，圓的切線定理，準確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

35.如圖所示的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長均為1,點。，B,C,。均在小正方形的頂點上，以點。為

原點建立平面直角坐標系，則過5,C,。三點的圓的半徑為.

【答案】岳

【分析】根據(jù)直角坐標系找到3C、CD的垂直平分線，交點即為圓心/點，再根據(jù)勾股定理即可求出半徑

的長.

【解析】如圖，作8C、CD的垂直平分線交于/點

故/點是3,C,。三點的圓的圓心

故半徑為A/22+32=V13

故答案為：V13.

【點睛】此題主要考查直角坐標系與圓的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)直角坐標系找到圓心的位置.

36.如圖，在UBC中，AB=AC,ZA=SO°,。。是△NBC的內(nèi)切圓，與邊8C,/C分別相切于點〃，E,DE

與2。的延長線交于點尸，則NAFD=.

【分析】本題考查三角形內(nèi)切圓、切線長定理，根據(jù)內(nèi)切圓的定義和切線長定理，可以計算出NCO3的度

數(shù)和ZOGE的度數(shù)，然后即可計算出ZBFD的度數(shù).

【解析】解：連接。。,?！?。。,。。交互＞于點6,

:.ZABC+ZACB=WO°,

?點。為△A8C的內(nèi)切圓的圓心,

NOBC+NOCB=50°,

.?.405=130。，

■：OE=OD,CD=CE,

.：。。垂直平分。石，

:.ZOGE=90°,

ZBFD=ZCOB-ZOGF=130°-90°=40°,

故答案為：40°.

37.如圖，在△48C中，/C:8C:4tf=3:4:5,當半徑為1的。。在△4?C內(nèi)自由移動時，圓心。在△Z8C

內(nèi)所能到達的區(qū)域面積為6,則△4BC的外接圓面積為.

【答案】25無

【分析】先判斷出44BC是直角三角形，進而判斷出ADE尸的面積是6,再判斷出ADEFSA24c8,進而求出

ADEF的三邊，再用切線長定理得出NC=x+4,BC=y+5,AB=x+y+5,最后用NC：8c:48=3:4:5,

求出x,y,進而求出48,AC,2C即可得出結(jié)論.

【解析】解:如圖，?.?/C:BC:4B=3:4:5,

設(shè)ZC=3〃z,BC=4m,AB=5m,

AC2+BC2=9m°+16，"2=25m2=AB2,

48c是直角三角形，且44c8=90。，

由題意，OD,QE,。尸和2MBe的兩邊相切，此時，點。所能到達的區(qū)域是ADE尸，連接DE、EF、

DF,

???圓心。在44BC內(nèi)所能到達的區(qū)域的面積為6,

■：DE//AC,DFHAB,EFHBC,

NDEF=NACB=90°,ZDFE=ZABC,

NDEF^\ACB,

DE:EF:DF=AC:BC:AB=3:4:5,

設(shè)DE=3k(k>0),則￡尸=4左，DF=5k,

S^EF=5DE?EF=gx3左?4k=6,

.?.后=1或-1(舍)，

DE=3,EF=4,DF=5,

設(shè)切點分別為G、H、P、Q、M、N,

連接￡)〃、DG、EP、EQ、FM、FN,

得矩形DEPG、矩形EQVF、矩形。EM/,

DE=GP=3,EF=QN=4,DF=HM=5,

根據(jù)切線長定理四邊形CPEQ是正方形，

PC=PE=EQ=CQ=\,

根據(jù)切線長定理，

設(shè)AG=AH=x,BN=BM=y,

貝1]/。=/6+6尸+。9=%+3+1=%+4,

BC=CQ+QN+BN=\+^+y=y+5,

AB-A.H+HM+BM=%+5+y=x+y+5,

AC:BC:AB=3:4:5,

(x+4):(y+5):(%+y+5)=3:4:5,

解得x=2,y=3,

:.AC=6,BC=8,AB=\O,

ZACB=90°,

48c的外接圓的半徑=5,

...A42C的外接圓面積為25萬，

故答案為：25萬.

A

NB

【點睛】本題考查了三角形的外接圓與外心，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，切線長定理,

求出DE,Z）廠是解本題的關(guān)鍵.

模塊7：解答綜合題

38.如圖，尸4尸8是的切線，A,B為切點、,/C是O。的直徑，ABAC=25°,求/尸4B和/P的度數(shù).

cB

【答案】ZPAB=65°,ZP=50°

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)，得到ZOAP=90°,利用互余關(guān)系求出APAB的度數(shù)，利用切線長定理，得到△形尸

是等腰三角形，利用三角形內(nèi)角和求出/P的度數(shù)即可.

【解析】解：???加,總是O。的切線，

.-.PA=PB,ZOAP=9G°,

APAB=AOAP-ABAC=90°-25°=65°,

ZPAB=NPBA=65°,

.?./P=180°-65°-65°=50°.

【點睛】本題考查切線的性質(zhì)和切線長定理.熟練掌握切線的性質(zhì)和切線長定理是解題的關(guān)鍵.

39.如圖，OA,。2為O。的半徑，NC為。。的切線，連接48.若乙8=25。，求乙B/C的度數(shù).

AC

【答案】65。.

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到4。/C=90。，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NO42=M=25。，進一步計算即可求

解.

【解析】解：?MC為O。的切線，

.-.AOAC=90°.

■：OA=OB,N8=25°,

:.乙OAB=LB=25°.

.?.乙BAC=4O4C-乙OAB

=90°-25°

=65°.

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)與等腰三角形的性質(zhì).此題比較簡單，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

40.如圖，ZABM=90°,OO分別切/8、BM于點、D、E./C切。。于點尸，交由/于點C（C與3不重

合）.

（1）用直尺和圓規(guī)作出NC；（保留作圖痕跡，不寫作法）

（2）若OO半徑為1,AD=4,求NC的長.

17

【答案】（1）見解析；（2）y

【分析】（1）以/為圓心，4。為半徑畫弧交。。于F，作直線/月交由/于點C,直線NC即為所求.

（2）設(shè)CF=CE=x,利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題.

【解析】解：（1）如圖，直線/C即為所求.

(2)連接OE,OD.

???。。是A48C的內(nèi)切圓，D,E,尸是切點，

ZOEB=Z.ODB=4B=90°,

???四邊形OE8D是矩形，

?「OE=OD=\,

四邊形是正方形，

:.BD=BE=1,

AF=AD=4,設(shè)CF=CE=x,

在RtAABC中，AC2=AB2+BC2,

(4+x)2=52+(1+x)2,

5

:.x=—,

3

:.AC=AF+CF=4+-5=—17,

33

【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，切線的性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學

知識解決問題，屬于中考常考題型.

41.如圖，是。O直徑，。為上一點，/T平分NA4D交。。于點T,過T作40的垂線交40的延

長線于點求證：CT為。。的切線.

【答案】見解析

【分析】本題考查的是切線的判定，平行線的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握經(jīng)過半徑的外端且垂

直于這條半徑的直線是圓的切線是解題的關(guān)鍵.連接07,根據(jù)角平分線的定義和等腰三角形的性質(zhì)得到

NCAT=NOTA,根據(jù)平行線的判定定理得到,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到。T，TC,根據(jù)切線的判定

定理證明即可.

【解析】證明：連接07,

OT=OA,

NOTA=ZBAT,

ZCAT=NOTA,

:.OT\\AC,又TC_LNC,

OTLTC,又。T為。。的半徑，

：.CT為00的切線.

42.如圖，在△ASC中，ZABC=90°.

⑴作/NC2的平分線交48邊于點。，再以點。為圓心，的長為半徑作。。；（要求：不寫作法，保留

作圖痕跡）

（2）判斷（1）中4C與。。的位置關(guān)系，并說明理由.

【答案】⑴見詳解

（2）/C與。。相切，理由見詳解

【分析】（1）首先利用角平分線的作法得出C。，進而以點。為圓心，02為半徑作。。即可;

⑵利用角平分線的性質(zhì)以及直線與圓的位置關(guān)系進而求出即可.

此題考查了復(fù)雜作圖以及角平分線的性質(zhì)與作法和直線與圓的位置關(guān)系，正確利用角平分線的性質(zhì)求出

d=r是解題關(guān)鍵.

【解析】⑴解:如圖所示：

(2)解：相切；過。點作L/C于。點；

■：CO^^ZACB,

OB=OD,即d=r,

與直線/C相切.

43.如圖，AB是。。的直徑，點。是延長線上的一點，。。與相切于點C.連接3C,AC.

⑴求證：ZA=NBCD；

(2)若/。=45。，OO的半徑為2,求線段的長.

【答案】⑴證明過程見詳解

(2)272+2

【分析】本題主要考查的是切線的性質(zhì)以及圓的基本性質(zhì)，掌握圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑是解題的

關(guān)鍵.

(1)連接。C,根據(jù)切線的性質(zhì)得到48。+/OC8=90。，根據(jù)42是。。的直徑，得到

N/+N。3c=90°,根據(jù)NOC8=NOBC,ZA=ZBCD；

(2)根據(jù)NO=45。，G>O的半徑為2,求出OD,進而求出40.

【解析】(1)證明：連接。C,

[)■.-DC是。。的切線,

B

ZOCD=90°,即N2CZ)+NOCB=90°,

AB是。。的直徑，

ZACB=90°,

.-.ZA+ZOBC=90°,

：OC=OB,

NOCB=ZOBC；

(2)解：在Rtaoco中，ZD=45°,OC=2,

OC=CD=2,

OD=V2OC=2>/2,

AD=OA+OD=2+2y/2.

44.已知，四邊形N3C。內(nèi)接于。。，為OO直徑，4D與3。的延長線相交于點E,AC平分NB4D,

NC與8。相交于點F.

(1)如圖1,若4D=BD,求證：AF=BE；

⑵如圖2,若DE=4,CE=6,求OO的半徑.

【答案】⑴見解析

(2)9

【分析】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)、圓與三角形的綜合、勾股定理:

(1)利用ASA證得△AD尸之△2DE,進而可求證結(jié)論；

(2)利用ASA先證得A/CE空A/C5,進而可得3C=C￡=6,BE=2BC=12,設(shè)4D=a,AB=b,利用

fC爐_|_CB2=4B2

勾股定理得。/=5+4)2_62,DB2=122-42,再結(jié)合?2「J,2,即可求解;

[DB+DA=AB

熟練掌握全等三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。

【解析】(1)證明：?.??3為。。直徑，

ZADB=/BDE=ZACB=90°,

NDAF+ZDFA=/CFB+ZCBF=90°,

?;/DFA=/CFB,

ZDAF=NEBD,

在△D4C和△ESQ中，

ZDAC=ZEBD

<AD=BD,

NADF=/BDE

:AADF%BDE(ASA)

AF=BEo

(2)???2C平分工840,

ABACZEAC,

由(1)得：ZACE=ZACB=90°,

在△/CE和△/C2中，

'NEAC=NBAC

<AC=4C(公共邊)，

ZACE=ZACB

...AZCE取ANCB(ASA),

;CE=6,

:.BC=CE=6,BE=1BC=n,

設(shè)AD=a,AB=b,

由勾股定理得：EA2-CE2=CA2,BE2-DE2=DB2，

G42=(a+4)2-62,DB2=122-42，

2222222

_[CA+CB^AB^a+4)-6+6=b

■[DB2+DA2^AB2):I122-42+a2=b2，

解得：b=18,

AB為O。直徑，

。。的半徑為?=9。

45.在。。中，直徑8。垂直于弦NC,垂足為E,連接48,BC,CD,DA.

圖①圖②

⑴如圖①，若/48C=110。，求/R4E和NCLD的大小；

(2)如圖②，過點C作。。的切線交N8的延長線于點?若/C=4D,BF=2,求此圓半徑的長.

【答案】(1)NBNE=35。；ACAD=55°

⑵。。半徑為4

【分析】本題考查了切線的性質(zhì):圓