長沙市望城區(qū)第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期12月期末考試

(練習(xí)卷)數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校：___________姓名：班級：考號：

一、選擇題

1.已知函數(shù)=y+,方程〃x)_i=o有兩解，則。的取值范圍是

(x+1)+2〃,元〉一1

()

A.(1,l)B.(0,1)C.(0,l)D.0,+8)

2.已知函數(shù)/(x)=ln2T—三，則不等式/(3—J)〉/。X—5)的解集為()

A.(T2)B.(—GO,2)

—2)(2,+oo)D.(^DO,—4)(2,+8)

3.已知函數(shù)/(x)=asinx+Z?cos%,其中QGR，b^R，如果對任意xcR,都有

/(x)2,那么在下列不等式中一定成立的是()

A.—4<〃+bv4人<4a2+b2<2a2+b2<4

4.已知角。的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與無軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)

〃)(f>0),則()

A.COS26>0B.COS26?<0C.sin26?>0D.sin26><0

5.下列函數(shù)是奇函數(shù)且在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是()

A.y=sinXB.y=3"C.y=x2D.y=—

6.已知集合4={—1,1,2,3,4,5}，B={xeN|(x-l)(x-5)<0},則。3=()

A.{3}B,{2,3}C.{2,3,5}D.{-1,1,5}

7.已知銳角。滿足百sin0-cos°=1.若要得到函數(shù)/'(x)=；-sin?(x+0)的圖像，則

可以將函數(shù)y=；sin2x的圖像().

A.向左平移4個(gè)單位長度B.向左平移E個(gè)單位長度

1212

C.向右平移辦個(gè)單位長度D.向右平移2個(gè)單位長度

1212

8.“x<l"是±_4%+3>0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

二、多項(xiàng)選擇題

9.已知是定義在R上不恒為0的函數(shù),/(x-1)的圖象關(guān)于直線工=1對稱,且函數(shù)

y=-^―的圖象的對稱中心也是/(力圖象的一個(gè)對稱中心，則()

A.點(diǎn)(-2,0)是"%)的圖象的一個(gè)對稱中心

B./(x)為周期函數(shù)，且4是/(%)的一個(gè)周期

C.〃4-力為偶函數(shù)

D./(31)+/(35)=2

10.已知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足：對

/(?+/?)+/(?-/7)=2/(?)/(/?),<=—1,貝I以下結(jié)論正確

的為()

B./(7i)=OC./(—”=D-/(%+TI)=/(%)

11.已知函數(shù)/(x)=也以^1―sin^cos1則()

A.函數(shù)/(%)的最小正周期為4兀

B.點(diǎn)l是函數(shù)八%)圖象的一個(gè)對稱中心

C.將函數(shù)/(力圖象向左平移居個(gè)單位長度，所得到的函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱

D.函數(shù)”力在區(qū)間上單調(diào)遞減

12.下列說法正確的是()

A?d>:是“a<b”的充分不必要條件

ab

B.A3=0.是4=0的必要不充分條件

22，

C.若a,"ceR,則“ac>bc”的充要條件是“a>b'

D.若岫GR,貝廣I+/?2/是“同+網(wǎng)。0”的充要條件

三、填空題

13.已知sintz-J^cosa=百，則tanc的值是---

14.角，的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(4,y),且sin6=-1，則tan8=.

15.己知是定義在R，且滿足/(x+2)=/(x-2),當(dāng)x?0,4)時(shí),

/(%)=|%2-4%+3|,若函數(shù)y=/(x)-機(jī)在區(qū)間［T,6］上有10個(gè)不同零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)加

的取值范圍是—.

四,解答題

16.已知函數(shù)〃x)=log5(-必+2&+1)的定義域?yàn)?。，g(x)=：’.

(1)若/=；，求函數(shù)/(X)的值域；

⑵若D=(m,〃)，且［g(m)-g⑺丁<10,求實(shí)數(shù)九的取值范圍.

17.如圖為函數(shù)/(力=285(5+0)［0〉0,附<最的部分圖像，且

⑴求。，(p的值；

(2)將/(力的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變)，再向右平移

里個(gè)單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖像，討論函數(shù)丁=8(%)-a在區(qū)間-兀，工的零點(diǎn)個(gè)

42

數(shù).

18.已知函數(shù)〃%)=2sinx(6cosx-sinx)+l,xeR-

⑴求曲線y=〃x)的對稱中心；

(2)在銳角三角形AB。中，。，瓦c分別是內(nèi)角A,B,C的對邊，且=2.若b+cW%恒

成立，求實(shí)數(shù)上的最小值.

19.請解答以下問題，要求解決兩個(gè)問題的方法不同.

(1)如圖1,要在一個(gè)半徑為1米的半圓形鐵板中截取一塊面積最大的矩形ABCO，如

何截??？并求出這個(gè)最大矩形的面積.

(2)如圖2,要在一個(gè)長半軸為2米，短半軸為1米的半個(gè)橢圓鐵板中截取一塊面積最

大的矩形ABCD，如何截??？并求出這個(gè)最大矩形的面積.

AOB

圖2

20.某地自2014年至2019年每年年初統(tǒng)計(jì)所得的人口數(shù)量如下表所示:

年份201420152016201720182019

人數(shù)/千人208221352203227623392385

⑴根據(jù)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算2014年至2018年每年該地人口的增長數(shù)量，并描述該地人口數(shù)

量的變化趨勢；

⑵研究人員用函數(shù)P⑺=2000+-------雪?一擬合該地的人口數(shù)量，其中/的單位是

I，4.4878e-°-6554r+l

年,2014年初對應(yīng)時(shí)刻/=0,尸⑺的單位是千人，設(shè)尸⑺的反函數(shù)為7⑺,求7(2400)的

值(精確到0]),并解釋其實(shí)際意義.

21.在△ABC中，角A,3c的對邊分別是。力?且A,民C成等差數(shù)列.

□

⑴若=b=5求a+c的值;

2

⑵求2sinA-sinC的取值范圍.

參考答案

1.答案：B

解析：因?yàn)樾?=卜?凡'"1,所以?！?且分1，

(x+1)+2〃,x>-1

當(dāng)0<QVl時(shí),/(X)在X￡(-00,-1]時(shí)單調(diào)遞增,所以/(%)1mx=/(―1)=1；

又/(%)在工￡(-1,+oo)時(shí)單調(diào)遞增，且/(x)>f(-1)=2a，

因?yàn)榉匠獭皒)-l=0有兩解，所以2〃<1，所以

當(dāng)時(shí)，/(X)在x￡(-oo,-l]時(shí)單調(diào)遞減,/(x)^=/(-1)=1;

又〃%)在x￡(-1,+co)時(shí)單調(diào)遞增，/(x)>/(-1)=2a，

因?yàn)榉匠?(力-1=0要有兩解，所以2〃<1，此時(shí)不成立.

綜上可得ae(o,g],

故選：B.

2.答案：D

解析：由題意，XGR,/(x)=-xln2-x3)

易知函數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞減(減+減)，而/(3-%2)>〃2X-5),

所以3—爐(2無一5=>(x-2)(x+4]0=>xe(-co,T)(2,+co).

故選：D.

3.答案：D

解析：當(dāng)q=0時(shí)，f(x)=bcosx)

因?yàn)閷θ我鈞eR,都有/(x)w2,

所以碼<2,所以-2<2<2,

所以一2<。+/?<2，-2<a-b<2>a2+b2<4}

、_____b

當(dāng)〃w。時(shí)，/(%)=asinx+bcosx=y/a2+b2sin(x+cp)，其中tan^7=—、

因?yàn)閷θ我鈞cR,都有/(x)w2,

所以Ja2+方2<2，所以片+》2<4，

綜上，只有/+〃<4成立，

故選：D

4.答案：D

解析：由題意知，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為。，則op=J/+(,t>0^

由三角函數(shù)的定義，得cos6=W=萬2，sine=~=不工，

OPOP7^77

、-2[t

所以sin2。=2sin6cos。=----<0，

t+1

cos20=cos26-sin20--~-，

t+1

當(dāng)0</<1時(shí),cos2。<0；當(dāng)/21時(shí),cos20>0-

故選：D.

5.答案：A

解析：對于A：y=sinx是正弦函數(shù)且為奇函數(shù)，且在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)，

故A符合題意；

對于B：>=3-，是指數(shù)函數(shù)不是奇函數(shù)，故B不符合題意；

對于C：y=/是二次函數(shù)，且為偶函數(shù)不是奇函數(shù)，故C不符合題意；

對于D：y=J■是反比例函數(shù)且是奇函數(shù)，但在區(qū)間(0,1)上是減函數(shù)，故D不符合題

X

忌、.

故選：A.

6.答案：D

解析：B={xeN|(x-l)(%-5)<0}={%eN|l<%<5}={2,3,4},A={-1,1,2,3,4,5}，

因此，^B={-1,1,5}.

故選：D.

7.答案：A

ITTTI

解析：由Gsin?！猚os°=l知：2sin(°---)=1，即sin(9—)=—，

662

所以銳角夕=色,

3

x1.|71|1八2兀、

故〃%)=；—sin2X+67)——sin2XH———cos(2xH----)

'2I3J23

T71/C2兀1./c7T1./C7兀、

乂—COS(2JVH——)———sin(2x+—)——sin(2xH——)>

17兀

???/(x)=-sin(2x+—)，

故f(x)是將y=gsin2x向左平移右個(gè)單位長度得到，

故選：A

8.答案：A

解析：解不等式丁―4%+3>0得x>3或％<1，

記A=(―co,1^_(3,+co),B，

因?yàn)樗浴埃?lt;1”是“爐_?+3>0”的充分不必要條件.

故選：A

9.答案：AC

解析：因?yàn)楹瘮?shù)/(x-1)的圖象關(guān)于直線％=1對稱，所以的圖象關(guān)于y軸對稱，即

"%)為偶函數(shù).所以〃-x)=/(x).因?yàn)閥=工的圖象的對稱中心為原點(diǎn)0(0⑼，所以

X

y=—的圖象的對稱中心為(2⑼，所以〃2+x)+/(2-力=0.對于A,由/(%)為偶函

x-2

數(shù)，知/(-2+x)+/(-2-x)=〃2-x)+/(2+x)=0,所以點(diǎn)(-2,0)是/(%)圖象的一個(gè)

對稱中心,A正確;對于B,由〃2+x)+/(2—x)=0,得“4+%)+/(—%)=0,所以

/(4+x)+〃x)=0,則/(x)=—〃x+4)=/(x+8),所以/(%)為周期函數(shù)，且8是該函數(shù)

的一個(gè)周期,B錯(cuò)誤;對于C,由/(2+力+/(2—力=0,得"4-x)+/(x)=0,即

"4-x)=-/⑺,因?yàn)?%)為偶函數(shù)，所以"4-x)為偶函數(shù),C正確;對于D,由

/(2+x)+/(2—x)=0,得/⑶+/⑴=0,所以

〃31)+/(35)=〃8x4—l)+/(8x4+3)=/(—l)+/(3)=〃3)+/⑴=0,D錯(cuò)誤.故選

AC.

10.答案：ACD

解析：因?yàn)槎x域?yàn)镽的函數(shù)八％),有〃口+⑶+〃口—

令&=￡=：,則/⑶+〃0)=2■劃，又"0)=14升-1，

所以［：］=(),故A正確；

令。=夕=|",則/(兀)+/(0)=2/圖，

所以/(兀)=1,故B錯(cuò)誤；

令a=0，則/(0+/(-⑶=2/(0)/(/?),

得到/(-/?)=/(0，即R,

所以/(%)是偶函數(shù),C正確；

44

則，)+1+〃力=/1+：+￡|+/1+：—皆=2/1+：卜)卜0

所以+=-/(X)，則〃x+兀)=-/fx+-|"|=f(x),D正確.

故選:ACD.

11.答案：BCD

解析：f(x)=A/3COS2^-sin-|cos-1=(1+cosx)—gsinx=cos[%+聿]+

/(x)的最小正周期為T=2兀，故A錯(cuò)誤；

2兀兀2兀+4等,故B正確;

COS6T

將函數(shù)f(x)圖象向左平移三57r個(gè)單位長度,

6

(57171)東為偶函數(shù)，故c正確;

所得到的函數(shù)y=COSXH---1--|+

I66

由xe[一看,0],可得%+6€，則f（x）在區(qū)間；o]上單調(diào)遞減，故D正確.

故選：BCD.

12.答案：BD

解析：A選項(xiàng)：當(dāng)「=22=-2時(shí)，滿足工＞』，但是不能推出a＜加

ab

反之當(dāng)a=—2，b=2時(shí)，滿足a＜b，但是不能推出，〉工，

ab

所以兩者既不充分也不必要，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)：當(dāng)4={1},6={2},Ai3=0,但是不能推出4=0

當(dāng)4=0時(shí)，AB=0，故B正確；

C選項(xiàng)：當(dāng)c=0時(shí)，不能由a〉Z?推出a。？＞o02,故C錯(cuò)誤；

D選項(xiàng)：儲+尸A。等價(jià)于awO，bwO等價(jià)于同+網(wǎng)*0，故D正確;

故選：BD.

13.答案：

2

解析：?:sina-J^cosa=J^sin（a-。）=班，其中tancp=^2-

.兀兀

sin（a-（p）=la-（p=—+2kMkwZ），a=0+,+2E（左eZ），

故tani=tan，0+P]=------=一^^?

I2）tan。2

故答案為：—交.

2

14.答案：—3

4

3y

解析：角，的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（4,y）,且sin”

5J16+/，

y=-3,則tanO=2=-3，

-44

故答案為一3.

4

15.答案：0（機(jī)＜1

解析：由/(x+2)=/(x-2)得/(%+4)=/(九),

所以函數(shù)八％)的周期為4,

先作出y=/(%)在區(qū)間［-4,6］上圖像：

又/(。)=3，〃2)=1，

則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為0(根<1.

故答案為：0(根<1.

16.答案：(1)(-oo,2]

(2)[-3,3]

解析：(1)當(dāng)2時(shí)，由—必+!》+1=(一%+2)]%+；]〉0解得一g<x<2,

32

令/=—+當(dāng)％=——時(shí)/取最大值—+-x-+l=—,

22x(-1)4⑷2416

所以d。，!!，從而/(%)的值域?yàn)?-8,2】.

2

(2)由于￡>=(m,n),MA=42+4>0,

所以方程一%之+2/lx+l=。的兩根分別為機(jī)，n,且加+〃=2幾，mn=-1,

又W(叨工。,即[需-黑卜。,

將根+〃=22,mn——1代入整理得

I--|2

1[/m—nn—m\\2_1mn2+.m—n3—n—m2n+.3m—n+m

41加2+1n2+1J4^m2+1)(^2+1)

從而(m+ri)2-4nm<40,

所以力-9<0o-3W2W3

即實(shí)數(shù)2的取值范圍為[-3,3].

17.答案：(1)6y=2，(p=---,

6

(2)答案見解析.

解析：⑴根據(jù)題意得，：=；，故7=兀，①=半=2,故/(X)=2COS(2X+E).

將A|一2]代入，得2x1—+°兀+2E(&eZ),

解得夕—+2E（kGZ）,

又|同<g，故夕=-g

2o

⑵依題意，g(x)=2cos[g[x-苧]=2cos[gx-笄).

函數(shù)y=g(x)-a在區(qū)間-兀弓的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為函數(shù)g(x)的圖像與直線y=a在

-it,-上的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

_2.

當(dāng)尤兀3]時(shí)，-x-—eF-—,--L結(jié)合余弦函數(shù)圖像可知，

_2]33133_

當(dāng)xe-兀,彳時(shí)，g(x)單調(diào)遞減，當(dāng)xe[-多方時(shí)，g(x)單調(diào)遞增,

作出函數(shù)g(x)在―吟上的大致圖像如圖所示.

觀察可知，當(dāng)a=—2或-L<aWl時(shí)，y=g(x)—0有1個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)—2<aW—1時(shí)，y=g(x)—a有2個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)a<-2或a〉l時(shí)，y=g(力-a有0個(gè)零點(diǎn).

18.答案：⑴1號程o],k。

(2)2.

解析：(1)由題意得/(x)=sinxcosx-2sin2x+1=V3sin2x+cos2x=2sin12x+彳

令2x+^=E，kGZ，得X=—■—+—，kGZ

6122

所以曲線產(chǎn)/(x)的對稱中心為[精+keZ.

⑵/[T]=2sin^A+^=2,即sin[A+([=1

A是銳角三角形ABC的內(nèi)角，.?.4+烏=烏，A=--

623

由正弦定理得比=sin8+sinC

asinA

=[sin(A+C)+sinC]

0<C<-

2

在銳角三角形ABC中,,解得Ce

2nn

0<——C<—

32

得"￡42，；.kN2,即實(shí)數(shù)左的最小值為2.

a

19.答案：（1）OA=Y1,面積最大為1;

2

Q）OB=BBC=昱,面積最大值為2.

2

解析：（1）設(shè)NBOC=i，（0<?<-）;

2

:.OB-cosa，BC-since，

S=2OBBC，

S—Isinacosa—sinla,

當(dāng)&=烏時(shí)，即04=變時(shí)，矩形面積最大為1；

42

2

（2）依題意可得：橢圓方程為：?+/=1（”0）；

設(shè)：點(diǎn)C坐標(biāo)為（加，制，即

S—2OB-BC=2mn

因?yàn)辄c(diǎn)C為橢圓上的點(diǎn)；

.