第11講直線與圓錐曲線綜合

【人教A版2019】

1.直線與橢圓的位置關(guān)系

(1)直線與橢圓的三種位置關(guān)系

類比直線與圓的位置關(guān)系，直線與橢圓有相離、相切、相交三種位置關(guān)系，如圖所示.

(2)利用方程討論直線與橢圓的位置關(guān)系：

A>0G臺(tái)直線與橢圓相交。今有兩個(gè)公共點(diǎn)；

A=O弋合直線與橢圓相切。今有且只有一個(gè)公共點(diǎn);

A<0<?=>直線與橢圓相離"今無公共點(diǎn).

2.直線與雙曲線的位置關(guān)系

(1)研究直線與雙曲線的位置關(guān)系：

y=kx+m,?

式_zi一偽的解的個(gè)數(shù)進(jìn)行判斷.

{百一百2

①代入②得(62—a2k2)x"-2a2mkx—a2m2—a2b2=0.

當(dāng)b2—a2k2=0,即左=±2時(shí)，直線與雙曲線的漸近線平行時(shí)，直線與雙曲線交于一點(diǎn).

a

當(dāng)〃一。之后2，0,即厚時(shí)，△=(-1a2mkx)2—4(Z>2—a2k2)■(-a2m2—a2b2).

△>0O直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，稱直線與雙曲線相交；

A=0O直線與雙曲線有一個(gè)交點(diǎn)，稱直線與雙曲線相切；

A<0O直線與雙曲線沒有交點(diǎn)，稱直線與雙曲線相離.

(2)對(duì)直線與雙曲線的交點(diǎn)位置分以下三種情況進(jìn)行討論：

(A>0

①若一條直線與雙曲線的右支交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則應(yīng)滿足條件(x,+x2>0；

[XiX2>0

'A>0

②若一條直線與雙曲線的左支交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，則應(yīng)滿足條件，/+冷<0；

、%1%2>0

③若一條直線與雙曲線的左、右兩支各有一個(gè)交點(diǎn)，則應(yīng)滿足條件

Kxlx2<U

3.直線與拋物線的位置關(guān)系

(1)直線與拋物線的三種位置關(guān)系：

(2)設(shè)直線/:產(chǎn)fcc+m，拋物線:/=2叫3>0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，整理成關(guān)于尤的方程

k2x2+(2km—2p)x+m2=0.

①若原0,當(dāng)A>0時(shí)，直線與拋物線相交，有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)△=()時(shí)，直線與拋物線相切，有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)A<0時(shí)，直線與拋物線相離，無交點(diǎn).

②若仁0,直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)直線平行于拋物線的對(duì)稱軸或與對(duì)稱軸重合.

因此直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)是直線與拋物線相切的必要不充分條件.

?題型歸納

【題型1判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系】

22

【例1.1]（23-24高二上?重慶?期末）已知直線/的方程為加久+曠+2爪=1,橢圓C的方程為"+?=1,則

直線1與橢圓C的位置關(guān)系為（）

A,相離B.相交C.相切D.不能確定

【例1.2]（23-24高二上.全國(guó)?課后作業(yè)）已知直線=k（x+l）,拋物線C:y2=4x,/與C有一個(gè)公共點(diǎn)

的直線有（）

A.1條B.2條C.3條

D.1條、2條或3條

【變式1.1]（23-24高二上?遼寧大連?期中）已知橢圓C:9+y2=1,直線%-2y+/=0,貝〃與C的位

置關(guān)系為（）

A.相交B.相切C.相離D.以上選項(xiàng)都不對(duì)

【變式1.2]（24-25高二上?全國(guó)?假期作業(yè)）過點(diǎn)P（-1,2）的直線與雙曲線9-*=1的公共點(diǎn)只有1個(gè)，則

滿足條件的直線有（）

A.2條B.3條C.4條D.5條

【題型2根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求參數(shù)】

【例2.1]（23-24高二下?山東煙臺(tái)?階段練習(xí)）已知直線y=kx+1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓7n/+2y2=2m總

有公共點(diǎn)，則小的取值范圍（）

A.（0,1）B.&2）C.&1）D.[1,2）

【例2.2】（23-24高二下?上海?階段練習(xí)）如果直線/經(jīng)過雙曲線9/一4y2=36的中心，且與該雙曲線不相

交，貝〃的斜率的取值范圍是（）

A-[-?!]B.（-8,—,u[|,+8）C.[o,|]D,[-j,o]

【變式2.1]（23-24高三?遼寧沈陽(yáng)?階段練習(xí)）設(shè)拋物線必=舐的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q,若過點(diǎn)Q的直線I與

拋物線有公共點(diǎn)，則直線/的斜率的取值范圍是（）

A.[-B.[―2,2]C.[―1?1]D.[―4,4]

【變式2.21（24-25高三上?湖南?開學(xué)考試）已知直線/:%=m（y-3）與曲線C:%=汽4-y2有兩個(gè)公共點(diǎn),

則m的取值范圍是（）

A?（-半彎）B-（T。］C.（.W，。）D.（T。］

模塊三_

?知識(shí)梳理

1.橢圓的弦長(zhǎng)問題

（1）定義：直線與橢圓的交點(diǎn)間的線段叫作橢圓的弦.

（2）弦長(zhǎng)公式：設(shè)直線l\y=kx+m交橢圓定+*=1（a>fr>0）于尸i（%Qi），尸2但,為）兩點(diǎn)，

/

則出p2\=vi+P|x1-X2|或IRBI=,1+表=-列.

2.雙曲線的弦長(zhǎng)問題

①弦長(zhǎng)公式：直線廣丘+b與雙曲線相交所得的弦長(zhǎng)d=一x?|=’1+工公一.

②解決此類問題時(shí)要注意是交在同一支，還是交在兩支上.

③處理直線與圓錐曲線相交弦有關(guān)問題時(shí)，利用韋達(dá)定理、點(diǎn)差法的解題過程中，并沒有條件確定直

線與圓錐曲線一定會(huì)相交，因此，最后要代回去檢驗(yàn).

④雙曲線的通徑：

過焦點(diǎn)且與焦點(diǎn)所在的對(duì)稱軸垂直的直線被雙曲線截得的線段叫作雙曲線的通徑.無論焦點(diǎn)在天軸上還

是在y軸上，雙曲線的通徑總等于2子b之.

3.拋物線的弦長(zhǎng)問題

設(shè)直線與拋物線交于4（%,%,2（尤2,%）兩點(diǎn)，則

|AB|=，（1+左2）（西一）2=?，01+必）2—4%也或

|AB|=J（1+1）QL力尸=J+}+為尸—依為直線的斜率，厚0）.

?題型歸納

【題型3橢圓的弦長(zhǎng)問題】

【例3.1］（23-24高二上?浙江紹興?期末）已知橢圓C:=+y2=1,過原點(diǎn)。且傾斜角為;的直線交橢圓于力,B

兩點(diǎn)，則依例二（）

V1O口2V10Q3V10門4710

AA.D.-----C.---D.-------

5555

【例3.2】（23-24高二上.浙江?期中）瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）在1765年在其所著作的《三角形的幾何學(xué)》

一書中提出：三角形的外心（中垂線的交點(diǎn)）、重心（中線的交點(diǎn)）、垂心（高的交點(diǎn)）在同一條直線上，

后來，人們把這條直線稱為歐拉線.已知AABC的頂點(diǎn)C（0,3，S.AC=BC,貝必ABC的歐拉線被橢圓E:J+

y2=1截得的弦長(zhǎng)的最大值為（）

AV79DV23cV30cV122

A.D.C.D.--------

4224

【變式3.1]（23-24高二下.江蘇南京.期末）已知橢圓C:，+^=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為后4,

上頂點(diǎn)為A,麗?布=0.

（1）求C的離心率；

（2）若射線26交橢圓。于點(diǎn)B，且2B=（,求a的值.

【變式3.2]（23-24高二下.湖南?期末）已知橢圓C:5+《=l（a>b〉0）過點(diǎn)且離心率為冬

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線2過點(diǎn)Q（0,-1）,且與C交于4B兩點(diǎn)，當(dāng)|力用最大時(shí)，求直線[的方程.

【題型4雙曲線的弦長(zhǎng)問題】

【例4.1]（23-24高二上.天津河西?期末）過雙曲線1的右焦點(diǎn)尸2,傾斜角為30。的直線交雙曲線于

A,2兩點(diǎn)，則|4洌的值為（）

A.-V3B.-V3C.—V3D.—V3

5555

【例4.2]（2024?山東?模擬預(yù)測(cè)）過雙曲線/—y2=2的左焦點(diǎn)作直線1,與雙曲線交于4,8兩點(diǎn)，若|4B|=4,

則這樣的直線，有（）

A.1條B.2條C.3條D.4條

【變式4.1]（2024?安徽蚌埠?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線E:/-箕=l（a>0">0）的左頂點(diǎn)是4（一1,0）,一條

漸近線的方程為y=x.

（1）求雙曲線E的離心率;

（2）設(shè)直線y=2x—T與雙曲線E交于點(diǎn)P,Q,求線段P。的長(zhǎng).

22

【變式4.2］（2024?安徽?一模）已知雙曲線C：5-巳=1（。>°，6>。）的離心率為2.且經(jīng)過點(diǎn)（2,3）.

⑴求C的方程；

⑵若直線/與C交于A,B兩點(diǎn),且瓦5?加=0（點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)），求|AB|的取值范圍.

【題型5拋物線的弦長(zhǎng)問題】

【例5.1］（2024?山東聊城?三模）已知拋物線C:久2=2py（p>0）的焦點(diǎn)F到其準(zhǔn)線的距離為2,過F的直線I

與C交于4,B兩點(diǎn)，則|4B|的最小值為（）

A.2B.4C.6D.8

【例5.2］（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線p=2px（p>0）的一條弦4B恰好以P（l,l）為中點(diǎn)，弦4B的長(zhǎng)

是vn貝！jp=（）

A.1B.2C.3D.4

【變式5.1］（23-24高二下.貴州黔南.期中）已知拋物線必=6乃過點(diǎn)4（4,1）作一條直線交拋物線于B,C兩

點(diǎn)，且點(diǎn)4為線段BC的中點(diǎn).

（1）求線段BC所在的直線方程.

（2）求線段8c的長(zhǎng).

【變式5.2］（23-24高二下?湖北孝感.開學(xué)考試）已知曲線C位于y軸右側(cè)，且曲線C上任意一點(diǎn)尸與定點(diǎn)

F(1,O)的距離比它至Uy軸的距離大1.

(1)求曲線C的軌跡方程；

(2)若直線/經(jīng)過點(diǎn)孔與曲線C交于A,8兩點(diǎn)，S.\AB\=8,求直線/的方程.

【題型6圓錐曲線中的面積問題】

【例6.11(24-25高三上?江蘇南通?開學(xué)考試)分別過橢圓C：0+<=1的左、右焦點(diǎn)％,尸2作兩條平行直線,

與C在x軸上方的曲線分別交于點(diǎn)P,Q.

(1)當(dāng)尸為C的上頂點(diǎn)時(shí)，求直線P。的斜率；

(2)求四邊形P&F2Q的面積的最大值.

【例6.2](2024?陜西安康?模擬預(yù)測(cè))已知拋物線必=2Px(p>0)上的動(dòng)點(diǎn)與M(2,0)距離的最小值為舊.

⑴求P；

(2)過點(diǎn)Q(2,l)的直線I交拋物線于4B兩點(diǎn)，直線廠平行于I,且與拋物線僅有一個(gè)公共點(diǎn)N,求AABN面積的

最小值.

22

【變式6.1](2024?甘肅酒泉?三模)已知雙曲線C+一a=l(a>0/>0)的一條漸近線方程為x+2y=0,

且焦點(diǎn)到漸近線的距離為1.

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若雙曲線C的右頂點(diǎn)為4,B(0,-6),過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線1與C交于E,尸兩點(diǎn)，與直線A8交于點(diǎn)M,且點(diǎn)

E,M都在第一象限，AAFM的面積是AAEM面積的5倍，求直線Z的斜率.

【變式6.2]（2024?陜西寶雞?三模）已知橢圓E:\+《=l（a>b>0）和圓C:/+y2=1,C經(jīng)過E的右焦點(diǎn)

F,點(diǎn)48為E的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，原點(diǎn)。到直線的距離為率.

⑴求橢圓E的方程；

（2）設(shè)D,力是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，過F的直線/交E于M,N兩點(diǎn)（其中M點(diǎn)在無軸上方），求AM4F與ADNF的

面積之比的取值范圍.

【題型7圓錐曲線中的向量問題】

2

【例7.1]（23-24高二上?北京?期中）已知橢圓v+V=1的上、下頂點(diǎn)為A,B,過點(diǎn)P（0,2）的直線/與橢

圓M相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)C,D（C在線段PD之間），則方?南的取值范圍為（）

A.（-1,16）B.[-1,16]C.（-1,^）D.[-1,^）

【例7.2]（2024?湖北黃石?二模）已知用Oo/o）為雙曲線/—y2=4上的動(dòng)點(diǎn)，x0>0,y0>0,直線

尤oX-y°y=4與雙曲線的兩條漸近線交于P,Q兩點(diǎn)（點(diǎn)P在第一象限），R與Q在同一條漸近線上，則而?而

的最小值為（）

A.-8B.-4C.0D.-2

【變式7.1]（2024?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C的中心是坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且過4（一2,0）,B（-4,3）

兩點(diǎn).

⑴求C的方程；

（2）設(shè)尸，M,N三點(diǎn)在C的右支上，BM||AP,AN||BP,證明：

（i）存在常數(shù)人滿足麗+ON=AOP；

（ii）△MNP的面積為定值.

【變式7.2］（23-24高二下.上海?階段練習(xí)）設(shè)點(diǎn)6，/分別是橢圓。5+券=1（t〉0）的左、右焦點(diǎn)，

且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)尸2的距離的最小值為2近-2點(diǎn)M,N是橢圓C上位于x軸上方的兩點(diǎn)，且向量物

與向量取平行.

（1）求橢圓C的方程；

（2）當(dāng)瓦N?取=0時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；

⑶當(dāng)|可|-|物|=遍時(shí)，求直線F?N的方程.

A課局鼾（19題）

一、單選題

22

1.（23-24高二上.江西?期末）直線2+7=1與橢圓京+a=l（a>6>0）的位置關(guān)系為（）

A.相離B.相切C.相交D.無法確定

2.（23-24高三下?四川綿陽(yáng)?階段練習(xí)）過雙曲線C：/一?=1左焦點(diǎn)為尸和點(diǎn)力（。之四）直線嗚雙曲線c的

交點(diǎn)個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

3.（2024.安徽馬鞍山?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C:y2=4”的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M,直線1過其焦點(diǎn)產(chǎn)

且與C交于A,B兩點(diǎn)，若直線4M的斜率為《，則|4B|=（）

A.—B.—C.4D.5

55

4.（2024?廣西桂林?三模）已知橢圓C：。+<=1的右焦點(diǎn)為凡過尸的直線與C交于A、8兩點(diǎn)，其中

43

點(diǎn)A在無軸上方且方=2而，則8點(diǎn)的橫坐標(biāo)為（）

2

5.（23-24高二上.江蘇泰州?期中）已知雙曲線C：二v―y2=i的右焦點(diǎn)為尸，過尸的直線/與雙曲線C交

4

于A,8兩點(diǎn)，若|48|=4,則這樣的直線/有（）

A.。條B.2條C.3條D.4條

6.（23-24高二下?陜西渭南?期末）已知直線-y+1=0與橢圓=1交于a,B兩點(diǎn)，當(dāng)|48|取

4

最大值時(shí)小的值為（）

A.+—B.+—C.+—D.+-

~2~2~2~2

7.（2024?重慶?模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,過尸且斜率為1的直線與拋物線交于4、B兩

點(diǎn)（4在久軸上方），過點(diǎn)4、B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為4、B'線段4次中點(diǎn)為E,四邊形44EF和四邊形

BB,EF的面積分別記為SiS，貝U科=（）

A.3-2V2B.3-V2C.3+V2D.3+2或

8.（2024?陜西榆林.模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線E：/=2px（p>0）的焦點(diǎn)為R過點(diǎn)M（p,0）的直線4,"與

E分別相交于力（久1，乃），8（久2，先）和心。兩點(diǎn)，直線經(jīng)過點(diǎn)「當(dāng)直線A8垂直于x軸時(shí)，\AF\=3.下

列結(jié)論正確的是（）

B.y，2=-6

C.若AD,BC的斜率分別為k2,則燈=2卜2

D.若△凡4B的面積為2&,則AFCD的面積為

二、多選題

9.（23-24高二下.河北唐山?期末）已知拋物線C過點(diǎn)4（1,-4）,則（）

A.拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為必=16%

B.撻物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為/=-ly

4

C.過點(diǎn)4與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有一條

D.過點(diǎn)4與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩條

10.（2024?安徽?模擬預(yù)測(cè)）已知雙曲線C：/_?=1的左、右焦點(diǎn)分別為尸1，F(xiàn)2,直線八x-my-l（meR）

與C的左、右兩支分別交于N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在第一象限），點(diǎn)2（，見）在直線I上，點(diǎn)。在直線NF2上，

且Q&IIPF2,則（）

A.C的離心率為3B.當(dāng)根=W時(shí)，|MN|=學(xué)

C.NP&M=NNF2PD.IQF2I為定值

22

11.（23-24高二上?浙江臺(tái)州?期中）已知橢圓C：a+S=l（a>6>0）的左，右兩焦點(diǎn)分別是尻,F2，其中

\FrF2\=2c.直線=k（x+c）（fceR）與橢圓交于4B兩點(diǎn)，則下列說法中正確的有（）

A.△ABB的周長(zhǎng)為4a

2

B.若AB的中點(diǎn)為M,則岫時(shí)/=h*

C.若麗?麗=4c2,則橢圓的離心率的取值范圍是[彳,g]

D.若k=l時(shí)，則△力8F2的面積是呼鬻

三、填空題

22

12.（2024高二上?江蘇?專題練習(xí)）直線y=-—k+ladR）與焦點(diǎn)在無軸上的橢圓篙+±=1總有公共

點(diǎn)，則機(jī)的取值范圍是.

13.（24-25高二上?上海?課堂例題）已知雙曲線C：2x2-y2=2,過點(diǎn)P（l,2）的直線/與雙曲線C交于M、

N兩點(diǎn)，若P為線段MN的中點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|MN|=.

14.（24-25高三上?河南?開學(xué)考試）如圖，已知拋物線E：/=4y,點(diǎn)p是E的準(zhǔn)線/上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作E的

兩條切線，切點(diǎn)分別為M,