專(zhuān)題30三角形綜合練習(xí)（基礎(chǔ)）

一.選擇題

1.如圖，在△ABC中，AO_L8C于點(diǎn)。，平分NABC交于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)RAC=13,4。=12,

BC=14,則AE的長(zhǎng)等于（）

15

C.7D.

2

2.如圖，在△A8C中，ZACB=9Q°，AC=BC=l,E、/為線段AB上兩動(dòng)點(diǎn)，且/ECV=45°,過(guò)點(diǎn)E、

尸分別作BC、AC的垂線相交于點(diǎn)M,垂足分別為H、G.現(xiàn)有以下結(jié)論：①②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B

EF-,④MG?MHJ其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

C.3D.4

3.如圖，△ABC和△AOE都是等腰直角三角形，ZBAC^ZDAE^9Q°,連接CE交AD于點(diǎn)R連接3。

交CE于點(diǎn)G,連接BE.下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有（）

①CE=BD；

②△AZ）C是等腰直角三角形；

@ZADB=ZAEB；

④S四邊形5CZ）E=]BD?CE；

⑤B&Dm=BE^+CD2.

B

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4.如圖，△ABC中，ZABC=45°,CDLABD,BE平分/ABC,且BE_LAC于E,與C￡>相交于點(diǎn)R

“是8c邊的中點(diǎn)，連接?！迸cBE相交于點(diǎn)G,下列結(jié)論正確的有（）個(gè).

①2IF=AC；②AE=%F；③NA=67.5°；④△■DGP是等腰三角形；⑤S四邊形ADGE=S四邊形GHCE.

A.5個(gè)B.2個(gè)C.4個(gè)D.3個(gè)

5.如圖，射線42〃射線C￡）,NCAB與NAC。的平分線交于點(diǎn)E,AC=4,點(diǎn)尸是射線A3上的一動(dòng)點(diǎn),

連接PE并延長(zhǎng)交射線CD于點(diǎn)Q.給出下列結(jié)論：①△ACE是直角三角形；②S四邊形APQC=2SAACE；

③設(shè)AP=x,CQ=y,則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是y=-x+4（0WxW4）,其中正確的是（）

A.①②③B.①②C.①③D.②③

6.如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形COE,

AD與BE交于點(diǎn)O,AD與BC交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)、Q,連接尸。，以下五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；

@PQ//AE；@AP^BQ；④DE=DP；（5）ZDOE=60°,其中正確的結(jié)論數(shù)是（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

7.如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=90°,直角/“尸的頂點(diǎn)尸是BC的中點(diǎn)，兩邊PE,產(chǎn)尸分別

交AB,AC于點(diǎn)E,F,連接斯交AP于點(diǎn)G,給出以下五個(gè)結(jié)論:

@ZB=ZC=45°；

②AE=CR

③AP=EF,

④△￡/斤是等腰直角三角形，

⑤四邊形AEPP的面積是△ABC面積的一半.

其中正確的結(jié)論是（）

A.只有①B.①②④C.①②③④D.①②④⑤

8.如圖，在△ABC中，NC=90°,AC=2C=4,。是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)、E、尸分別在AC、2C邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)

E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CR連接?！?、DF、EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，有下列結(jié)論：①

XDFE是等腰直角三角形；②四邊形CEDF不可能為正方形；③四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改

變而發(fā)生變化；④點(diǎn)C、E、D、F四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，且該圓的面積最小為4m其中錯(cuò)誤結(jié)論的個(gè)數(shù)

是（）個(gè).

C.3D.4

9.如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△0￡）《，與

BE交于點(diǎn)、O,A。與BC交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)Q,連接P。，以下五個(gè)結(jié)論：①AD=BE；@PQ

//AE；@CP=CQ；@BO=OE-,?ZAOB=6Q°,恒成立的結(jié)論有（）

A.①③⑤B.①③④⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤

10.如圖所示，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AC=4,BC=3,AB上有一動(dòng)點(diǎn)。以每秒4個(gè)單位的速度從

點(diǎn)A向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)。作。E_LA8,垂足為點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)E作跖〃

交8c于點(diǎn)孔連接BE交。/于點(diǎn)G,設(shè)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為3當(dāng)S&BOG=4SAEFG時(shí)，r的值為（）

ADB

A14「12c10n8

A.t=yyB.t=YQC.t—yyD.^17

11.如圖，。為等腰Rt^ABC的斜邊AC的中點(diǎn)，E為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接ED并延長(zhǎng)交BA的延長(zhǎng)線于

點(diǎn)、F,過(guò)。作DALEP交AB于G,交C3的延長(zhǎng)線于H,則以下結(jié)論①DE=DG；②BE=DG；@DF

=DH；④BG=CE.其中正確的是()

cEBH

A.②③B.③④c.①③④D.①③

1

12.在等腰RtAABC,ZA=90°,AC=AB=2,。是8C邊上的點(diǎn)且力CD,連接ADAD±AEf

AE=AD,連接BE.下列結(jié)論：

?AADC^AA￡B；

@BE±CB；

③點(diǎn)B到直線AD的距離為手；

④四邊形AEBC的周長(zhǎng)是2+2；

⑤）S四邊形AZ）BE=2?

其中正確的有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

二.填空題

13.如圖，在△ABC中，BA=BC,ZABC=9Q°,BN平分/ABC,AE平分/BAC,AE交BN于G,EF

_LAC于凡連接GF.①△AEBQAEF；@ZEFG=ZAFG；③圖中有3對(duì)全等三角形；@EF=GF；

⑤SAAEF=2SMGN.上述結(jié)論正確的序號(hào)有.

14.如圖，△ABC的內(nèi)部有一點(diǎn)P,且點(diǎn)。，E,B是點(diǎn)尸分別以AB,BC,AC為對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).若4

ABC的內(nèi)角/84C=70°,ZABC=60°,ZACB=50°,PD.PE恰好分別為邊AB、8C的中垂線，則

下列命題中正確的是.

(1)4C兩點(diǎn)關(guān)于直線尸尸對(duì)稱(chēng)；

(2)PF=BE；

(3)ZADB+ZBEC+ZCFA^360°；

(4)ZDBA+ZFAC=ABAC.

15.如圖所示，已知△ABC中，ZB=90°,BC=16cm,AC=20cm,點(diǎn)P是△ABC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸

從點(diǎn)A開(kāi)始沿A-8-C-A方向運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒4cm,設(shè)出發(fā)的時(shí)間為f(s),當(dāng)點(diǎn)尸在邊CA上運(yùn)

動(dòng)時(shí)，若△A8尸為等腰三角形，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間/=.

16.如圖，ZABC=90°,尸為射線8c上任意一點(diǎn)(點(diǎn)尸和點(diǎn)8不重合)，分別以AB,AP為邊在N4BC

內(nèi)部作等邊和等邊△APQ,連接?！瓴⒀娱L(zhǎng)交8尸于點(diǎn)F,連接EP,若尸0=11,A￡=4>/3,則

EP

17.如圖，在RtZkACB中，ZACB=90°,AC=BC,。是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,B重合），連接

CD,將CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CE,連接。E,OE與AC相交于點(diǎn)尸，連接AE.下列結(jié)論：

?AACE^ABC￡）；

②若/2?）=25°,則/4即=65°；

③DE?=2CF?CA；

④若AB=3侑AD=2BD,貝!I東

其中正確的結(jié)論是.（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）

18.如圖，在Rt^ABC中，BC=2,ZBAC=30°,斜邊AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在相互垂直的射線。/、ON

上滑動(dòng)，下列結(jié)論：

①若C、。兩點(diǎn)關(guān)于A8對(duì)稱(chēng)，則04=2百；

②C、O兩點(diǎn)距離的最大值為4；

③若A8平分C0,則AB_LC。；

Tl

④斜邊AB的中點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為5；

其中正確的是（把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上）.

19.如圖，AABC,ZACB=90°,點(diǎn)。，E分別在AB,BC±.,AC^AD,ZCDE^45°,CD與

AE交于點(diǎn)R若/AEC=/DEB,CE=區(qū)更，則CP=

q

A

20.如圖，已知△ABC中，AB=AC=2,NA4C=90°，直角NEPF的頂點(diǎn)P是BC的中點(diǎn)，兩邊PE、PF

分別交A3、AC于點(diǎn)E、F,給出以下四個(gè)結(jié)論:

①圖中只有2對(duì)全等三角形

@AE^CF；

③&EPF是等腰直角三角形；

]

④S四邊形AEPF=2sAABC；

⑤EF的最小值為魚(yú).

上述結(jié)論始終正確的有（填序號(hào)）.

21.如圖，D、E分別是△A8C的邊和A8上的點(diǎn)，△A3。與的周長(zhǎng)相等，△CAE與△C8E的

周長(zhǎng)相等，設(shè)BC=a,AC—b,4B=c,給出以下幾個(gè)結(jié)論：

①如果是BC邊中線，那么CE是邊中線；

②AE的長(zhǎng)度為二型；

@BD的長(zhǎng)度為"；-c；

④若/BAC=90°,ZVIBC的面積為S,則S=AE"D

其中正確的結(jié)論是（將正確結(jié)論的序號(hào)都填上）

22.如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=3C=1,E、P為線段AB上兩動(dòng)點(diǎn)，且/ECB=45°,過(guò)點(diǎn)E、

尸分別作BC、AC的垂線相交于點(diǎn)垂足分別為H、G.現(xiàn)有以下結(jié)論：①A8=虎；②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B

重合時(shí)，MH=-[@AF+BE=EF-,?MG'MH=1其中正確結(jié)論為

23.如圖，等腰RtZVIOB在平面直角坐標(biāo)系尤Oy上，NB=90：04=4.點(diǎn)C從原點(diǎn)。出發(fā)，以每秒1

個(gè)單位的速度沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)C作直線直線/與射線OB相交于點(diǎn)N.

(1)點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

(2)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是f秒.

①當(dāng)2W/W4時(shí)，△AOB在直線/右側(cè)部分的圖形的面積為S,求S(用含t的式子表示);

②當(dāng)f>0時(shí)，點(diǎn)M在直線/上且是以AB為底的等腰三角形，若CN=^CM,求r的值.

,AC^BC,AE=DE.

BD

(1)若。為AC的中點(diǎn)，求百的值;

(2)將圖1中的△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)。落任4B上，如圖2,尸為DB的中點(diǎn).

①畫(huà)出關(guān)于點(diǎn)廠成中心對(duì)稱(chēng)的圖形,

FF

②求法的值;

(3)如圖3,將△AOE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),產(chǎn)為8。的中點(diǎn)，當(dāng)AC=6,AO=4時(shí)，則CE的最大值為

(直接寫(xiě)出結(jié)果).

1

25.如圖，△ABC中，AB^AC,tanB=會(huì)作AD_LAC交3c于E,且AD=AC,連接CD

(1)若C￡)=4&,求BE的長(zhǎng)度；

(2)如圖2,NBA。的角平分線交8c于R作CG_LAF的反向延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,求證：＜2BF+AG=CG-,

(3)如圖3,將“tan8=★"改為"sinB=*"，AD±AC,S.AD=AC,連接2。，CD,延長(zhǎng)ZM交BC

BF-GC

于E,NBA。的角平分線的反向延長(zhǎng)線交BC于R作CG,A尸于G,直接寫(xiě)出-----的值.

BDBE

26.(1)問(wèn)題探究

①如圖1,在直角△ABC中，ZBAC=90°,BC=13,AB=5,若P是3C邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP,則

AP的最小值為.

②如圖2,在等腰直角△ABC中，ZABC=90°,AC=a,求邊A2的長(zhǎng)度(用含a的代數(shù)式表示).

(2)問(wèn)題解決

如圖3,在等腰直角△ABC中，ZABC=90°,AC=4,。是邊BC的中點(diǎn)，若P是A8邊上一動(dòng)點(diǎn)，E

是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，試求PD+PE的最小值.

圖2圖3

27.如圖，點(diǎn)。是等邊△ABC內(nèi)一點(diǎn)，ZAOB=105°，/8OC=a,點(diǎn)。是等邊△ABC外一點(diǎn)，ZOCD

=60°,OC=OD,連接。。、AD.

(1)求/A。。的度數(shù)(用含a的式子表示)；

(2)求證：△BOC之△ADC；

(3)探究：當(dāng)a為多少度時(shí)，△A。。是等腰三角形?

28.如圖，△ABC是等邊三角形.

(1)如圖1,于H,點(diǎn)尸從A點(diǎn)出發(fā)，沿高線AH向下移動(dòng)，以CP為邊在CP的下方作等邊

三角形CP。，連接BQ.求NC8。的度數(shù)；

(2)如圖2,若點(diǎn)。為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接ZM,DB,DC.證明：以ZM,DB,。。為邊一定能組

成一個(gè)三角形；

(3)在(1)的條件下，在P點(diǎn)的移動(dòng)過(guò)程中，設(shè)x=AP+2PC,點(diǎn)。的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度為y,當(dāng)無(wú)取最小

值時(shí)，寫(xiě)出x,y的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

圖1圖2

29.如圖，己知A(a,0)、B(0,b),且a、b滿足a2-6a+9+la—6=0

(1)求A、2兩點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)如圖1,若C(5,0),連C8,過(guò)3點(diǎn)作8O_LBC,且8O=8C,求點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(3)如圖2,若點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，E為線段AO上一動(dòng)點(diǎn)，尸點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上，當(dāng)NEA加=45°時(shí),

試判斷線段AE、OF、所具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.

30.在△ABC與△&1)￡中，ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC,AD=AE,延長(zhǎng)OE交8c于點(diǎn)凡連接。C,

BE.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)B,A,。在同一直線上時(shí)，且NABE=30°,AE=2,求3P的長(zhǎng).

(2)如圖2,當(dāng)/BEA=90°時(shí)，求證：BF=CF.

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)E在/A8C的平分線上時(shí)，BE交DC于點(diǎn)、G,請(qǐng)直接寫(xiě)出EG、DG、CG之間的數(shù)量

關(guān)系.

專(zhuān)題30三角形綜合練習(xí)（基礎(chǔ)）

一.選擇題

1.如圖，在△ABC中，AO_L8C于點(diǎn)。，平分NABC交于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)RAC=13,4。=12,

BC=14,則AE的長(zhǎng)等于（）

15

A.5B.6C.7D.—

2

【分析】利用勾股定理可得DC和AB的長(zhǎng)，由角平分線定理可得EG=ED,證明RtABD￡^RtABG￡

（HL）,可得8G=BO=9,設(shè)AE=H則ED=12-x,根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論.

【解答】解：

VAD=12,AC=13,

：.DC=<AC2-AD2=V132-122=5,

；BC=14,

；.BD=14-5=9,

由勾股定理得：AB=V92+122=15,

過(guò)點(diǎn)E作EGLAB于G,

?.如平分/ABC,ADIBC,

:.EG=ED,

在RtABDE和RtABGE中，

..(EG=ED

?iBE=BE'

:.Rt/XBDE咨RtLBGE(HL),

:.BG=BD=9,

.*.AG=15-9=6,

設(shè)AE=x,貝i|E￡)=12-x,

：.EG=n-x,

RtZXAGE中，?=62+(12-尤)2

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是

解題的關(guān)鍵.

2.如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC=1,E、/為線段AB上兩動(dòng)點(diǎn)，且NECP=45°,過(guò)點(diǎn)E、

尸分別作BC、AC的垂線相交于點(diǎn)垂足分別為X、G.現(xiàn)有以下結(jié)論：?AB=V2；②當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B

重合時(shí)，③AF+BE=EF；④MG，MH=3,其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）

A

【分析】①由題意知，△ABC是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形即可作出判斷；

②如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)2重合時(shí)，點(diǎn)X與點(diǎn)8重合，可得MG〃BC,四邊形MGCB是矩形，進(jìn)一步得

到FG是△ACB的中位線，從而作出判斷；

③如圖2所示，&4S可證經(jīng)根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理即可作出判斷；

④根據(jù)44可證△ACES^BFC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得A>8F=AC?BC=1,由題意知四邊形

CHMG是矩形，再根據(jù)平行線的性質(zhì)和等量代換得到MG'MH=^AEx^BF=^AE-BF=^AC'BC=

依此即可作出判斷.

【解答】解：①由題意知，aABC是等腰直角三角形，

：.AB^VXC2+BC2=V2,故①正確；

②如圖1,當(dāng)點(diǎn)石與點(diǎn)8重合時(shí)，點(diǎn)”與點(diǎn)3重合,

：.MBLBC,ZMBC=90°,

9：MG±AC,

：.ZMGC=90°=ZC=ZMBC,

：.MG//BC,四邊形MGC5是矩形，

：.MH=MB=CG,

VZFCE=45°=ZABCfZA=ZACF=45°,

：.CF=AF=BF,

???FG是AACB的中位線，

：.GC=^AC=MH,故②正確；

③如圖2所示,

圖2

9：AC=BC,ZACB=90°,

AZA=Z5=45°.

將△AC尸順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△3C。，

貝IJC尸=CD,N1=N4,NA=N6=45°；BD=AF；

VZ2=45°,

???N1+N3=N3+N4=45°,

：.ZDCE=Z2.

在/和中，

CF=CD

Z.2=乙DCE,

CE=CE

：.AECF^/\ECD(SAS),

；?EF=DE.

VZ5=45°,

AZDBE=90°,

；.DE2=BD2+BE2,gpEF2^AF2+BE2,故③錯(cuò)誤；

@VZ7=Zl+ZA=Zl+45°=Zl+Z2=ZACE,

VZA=Z5=45°,

AACE^ABFC,

.AEAC

?.—,

BCBF

：.AE'BF=AC'BC=1,

由題意知四邊形CHMG是矩形，

J.MG//BC,MH=CG,

MG=CH,MH//AC,

CHAECGBF

BC~AB,AC-AB

AEMHBF

MG————?

1收1V2

：.MG^^AE；MH=^BF,

:.MG，MH=￥AEx.BF=y174c皿=1,故④正確；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了三角形綜合題，涉及的知識(shí)點(diǎn)有：等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平行線的判定和

性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的

判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度.

3.如圖，△A8C和△ADE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,連接CE交于點(diǎn)F連接5D

交CE于點(diǎn)G,連接BE.下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有（）

①CE=BD；

②△ADC是等腰直角三角形;

@ZADB^ZAEB；

④S四邊形BCDE=]BD，CE；

@BC2+DE2=BEr+CD1.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得AB=AC,AD=AE,然后求出NC4E,再利用“邊角

邊”證明和全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得CE=2Z),判斷①正確；根據(jù)全等三角

形對(duì)應(yīng)角相等可得NACE,從而求出/8CG+NCBG=/ACB+/A8C=90°,再求出/8GC=

90°,從而得到BOLCE,根據(jù)四邊形的面積判斷出④正確；根據(jù)勾股定理表示出BC2+DE2,B^+CD1,

得到⑤正確；再求出AE〃CD時(shí)，ZADC=90°,判斷出②錯(cuò)誤；/AEC與N2AE不一定相等判斷出

③錯(cuò)誤.

【解答】解：：，△ABC和△?!￡)￡都是等腰直角三角形，

：.AB^AC,AD=AE,

VZBAD^ZBAC+ZCAD^90°+ZCAD,

ZCAE=ZDAE+ZCAD=9O°+ZCAD,

：.ZBAD=ZCAE,

AB=AC

在△ABD和ZkACE中，\/LBAD=/.CAE,

.AD=AE

：.AABD^AACE(SAS),

：.CE=BD,故①正確；

ZABD=ZACE,

：.ZBCG+ZCBG^ZACB+ZABC^9Q°,

在ABCG中，ZBGC=180°-(ZBCG+ZCBG)=180°-90°=90°,

：.BD1CE,

S四邊形BCDE=CE,故④正確；

由勾股定理，在RtZXBCG中，BC2=BG2+CG2,

在Rtz\DEG中，￡)E2=DG2+￡G2,

BC^+DEr=BG1+CG1+DG1+EG1,

在RtZ\BGE中，BE1=BG2+EG2,

在RtZkCQG中，CD1=CG1+DG1,

：.BE^+CD2=BG2+CG2+￡>G2+EG2,

:.Bd+D呼=BE^+CD2,故⑤正確；

只有AE〃C。時(shí)，NAEC=NDCE,

ZADC=ZADB+ZBDC=9Q°,

無(wú)法說(shuō)明AE〃CD,故②錯(cuò)誤；

AABD^AAC￡,

NADB=NAEC,

,/ZAEC與ZAEB相等無(wú)法證明，

不一定成立，故③錯(cuò)誤；

綜上所述，正確的結(jié)論有①④⑤共3個(gè).

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題，主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定

理的應(yīng)用，對(duì)角線互相垂直的四邊形的面積等于對(duì)角線乘積的一半的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，ZXABC中，ZABC=45°,CDLABD,8E平分/ABC,且BE_LAC于E,與CD相交于點(diǎn)尸，

X是BC邊的中點(diǎn)，連接與BE相交于點(diǎn)G,下列結(jié)論正確的有()個(gè).

@BF^AC；②人公于/；③NA=67.5°；④△■DG尸是等腰三角形；⑤S四邊形ADGE=S四邊形GHCE.

A.5個(gè)B.2個(gè)C.4個(gè)D.3個(gè)

【分析】只要證明△刈甲烏△CZM,△BAC是等腰三角形，NDGF=NDFG=67.5°,即可判斷①②③④

正確，作于只要證明GH<Z)G即可判斷⑤錯(cuò)誤.

【解答］解：\'CD±AB,BELAC,

：./BDC=/ADC=ZAEB=90°,

AZA+ZABE=90°,ZABE+ZDFB=90°,

NA=NDFB,

VZABC=45°,/BDC=90°,

：.ZDCB=90°-45°=45°=NDBC,

：.BD=DC,

在△5。尸和△CD4中

(ZBDF=ZCDA

\/-A=乙DFB9

(BD=CD

：.ABDF^/\CDA(A4S),

：.BF=AC,故①正確.

VZABE=ZEBC=22.5°,阻LAC,

：.ZA=ZBCA=67.5°,故③正確，

：.BA=BC,

9：BELAC,

：.AE=EC=1AC=故②正確，

?「BE平分NA5C,ZABC=45°,

：.ZABE=ZCBE=22.5°,

9：ZBDC=90°,BH=HC,

：.ZBHG=90°,

AZBDF=ZBHG=90°,

:?NBGH=/BFD=675°,

AZDGF=ZDFG=67.5°,

:.DG=DF,故④正確.

作GMLAB于M.

?：/GBM=NGBH,GHLBC,

：.GH=GM<DG,

:?SADGB>SAGHB,

■:SAABE=SABCE,

???5四邊形4以龍〈5四邊形6“?！辏?故⑤錯(cuò)誤，

.?.①②③④正確，

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判

定，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，第五個(gè)問(wèn)題難度比較大，添加輔助線是解題關(guān)鍵，屬于中考選

擇題中的壓軸題.

5.如圖，射線〃射線CD,ZCAB與/AC。的平分線交于點(diǎn)E,AC=4,點(diǎn)P是射線AB上的一動(dòng)點(diǎn)，

連接尸E并延長(zhǎng)交射線于點(diǎn)。給出下列結(jié)論：①△ACE是直角三角形；②S四邊形APQC=2&XACE；

③設(shè)CQ=y,則y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式是y=-x+4(0WxW4),其中正確的是()

[1

【分析】①正確.由42〃CD推出/BAC+/Z)CA=180。,由NACE=*DC4,ZCAE^^ZBAC,

即可推出/ACE+NCAE=±(NDC4+NBAC)=90°,延長(zhǎng)即可解決問(wèn)題.

②正確.首先證明AC=AK,再證明q△PKE,即可解決問(wèn)題.

③正確.只要證明AP+CQ=AC即可解決問(wèn)題.

【解答】解：如圖延長(zhǎng)CE交A2于K.

,CAB//CD,

.*.ZBAC+ZDCA=180°,

11

VZACE=^ZDCA,ZCAE=^ZBAC,

AZACE+ZCAE=J(ZDCA+ZBAC)=90。,

AZAEC=90°,

C.AELCK,ZVIEC是直角三角形，故①正確，

NQCK=ZAKC=ZACK,

：.AC=AKf

?.?A￡_LCK,

:?CE=EK,

在△QCE和△PKE中，

(NQCE=NPKE

\EC=EK，

(4CEQ=乙PEK

：./\QCE^/\PKE,

:,CQ=PK,SAQCE=SAPEK,

?tS四邊形APQC=S/\ACK=2SZV4CE，故②正確，

\9AP=x,CQ=y,AC=4,

：.AP+CQ=AP+PK=AK=ACf

，x+y=4,

；?y=-%+4(0WxW4),故③正確，

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義、等腰三角形的判定和性

質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中考選擇題中的壓軸題.

6.如圖，。為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,E重合），在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形

AZ）與3E交于點(diǎn)O,與5c交于點(diǎn)尸，BE與CD交于點(diǎn)Q,連接尸。，以下五個(gè)結(jié)論：?AD=BE；

@PQ//AE；@AP^BQ；@DE=DP；@ZDOE=60°,其中正確的結(jié)論數(shù)是（）

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【分析】首先證明△A0C四△BEC可得證明△CO尸絲△CE。可得。尸=CQ,然后可得NQPC

=N3C4進(jìn)而可證明尸?！ˋE；根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得。尸=。8,AD=BE,進(jìn)而可得AP=5Q

根據(jù)三角形大角對(duì)大邊可得?！?gt;。￡進(jìn)而可得。E>DP；根據(jù)角之間的關(guān)系可得NAO5=NOCE=60°,

再由對(duì)頂角相等可得NOOE=60°.

【解答】解：①...△ABC和△<?￡）￡是等邊三角形，

：.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=6Q°,

,?ZACD=ZACB+ZBCD,ZBCE=ZDCE+ZBCD,

：.ZACD=ZBCE,

BC=AC

?AADC和△BEC中=乙BCE,

DC=CE

：.AADC^ABEC（.SAS）,

：.AD=BE（故①正確）；

②：NBCA=NNDCE=60。,

ZBCD=6Q°,

,?△ADC9&BEC,

：.ZADC=/BEC,

ZDCE=/DCP

在和△CEQ中（CD=CE，

"EQ=4CDP

：./\CDP^/\CEQ（ASA）.

：.CP=CQ,

：.ZCPQ=ZCQP=60°,

：.ZQPC=ZBCA,

J.PQ//AE,（故②正確）;

@'：ACDP^ACEQ,

：.DP=QE,

,?AADC^ABEC

：.AD=BE,

：.AD-DP=BE-QE,

：.AP=BQ,（故③正確）；

④；DE>QE,且。尸=QE,

：.DE>DP,（故④錯(cuò)誤）；

⑤：ZAOB=ZDAE+ZAEO=ZDAE+ZADC=ZDCE=60°,

.\ZDOE=60°,（故⑤正確）.

正確的有：①②③⑤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形綜合，同學(xué)們要熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)；得到

三角形全等是正確解答本題的關(guān)鍵.

7.如圖，在△ABC中，AB^AC,NBAC=90°,直角/“尸的頂點(diǎn)尸是BC的中點(diǎn)，兩邊PE,尸尸分別

交A8,AC于點(diǎn)E,F,連接￡尸交AP于點(diǎn)G,給出以下五個(gè)結(jié)論：

?ZB=ZC=45°；

②AE=CF,

@AP^EF,

④△￡/斤是等腰直角三角形，

⑤四邊形AEPP的面積是△ABC面積的一半.

其中正確的結(jié)論是()

A.只有①B.①②④C.①②③④D.①②④⑤

【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得：ZB=ZC=45°,AP±BC,AP=AP平分NBAC.所以

可證/C=NEAP；NFPC=/E臥;AP=PC.即證得△?!2￡：與△CPF全等.根據(jù)全等三角形性質(zhì)判斷

結(jié)論是否正確，根據(jù)全等三角形的面積相等可得的面積等于△CPF的面積相等，然后求出四邊形

AEPF的面積等于AABC的面積的一半.

【解答】解：/BAC=90°,直角/EPF的頂點(diǎn)P是2c的中點(diǎn)，

11

.,.①NB=NC=/(180°-90°)=45°,AP±BC,AP=/BC=PC,ZBAP=ZCAP=45°=ZC,

'：ZAPF+ZFPC=9O°,ZAPF+ZAPE=90°,

：.ZFPC=ZEPA.

1.△APE經(jīng)A,CPF（ASA）,

：.@AE=CF；@EP=PF,即△￡：/*是等腰直角三角形；同理可證得△APF絲△BPE,

.?.⑤四邊形AEPF的面積是△ABC面積的一半，

「△ABC是等腰直角三角形，P是BC的中點(diǎn)，

1

：.AP=扣C,

EF不是△ABC的中位線，

:.EFWAP,故③錯(cuò)誤；

④ZAGF=NEGP=180°-ZAPE-ZP￡F=180°-ZAPE-45°,

180°-ZAPE-Z￡AP=180°-ZAPE-45°,

：.NAEP=ZAGF.

故正確的有①、②、④、⑤，共四個(gè).

因此選O.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，中位線的性質(zhì)的

運(yùn)用，等腰直角三角形的判定定理的運(yùn)用，三角形面積公式的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用等腰直角三角形的

性質(zhì)求解是關(guān)鍵.

8.如圖，在△ABC中，ZC=90°,AC=BC=4,。是A8的中點(diǎn)，點(diǎn)E、尸分別在AC、8c邊上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)

E不與點(diǎn)A、C重合），且保持AE=CP,連接。E、DF、EF.在此運(yùn)動(dòng)變化的過(guò)程中，有下列結(jié)論：①

△DFE是等腰直角三角形；②四邊形CEDF不可能為正方形；③四邊形CEDF的面積隨點(diǎn)E位置的改

變而發(fā)生變化；④點(diǎn)C、E、D、F四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，且該圓的面積最小為4m其中錯(cuò)誤結(jié)論的個(gè)數(shù)

是（）個(gè).

A.1B.2C.3D.4

【分析】①正確.連接CD.只要證明/（SAS）,即可解決問(wèn)題.

②錯(cuò)誤.當(dāng)E、P分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，四邊形CEDF為正方形.

③錯(cuò)誤.四邊形CEZ加的面積=聶麗=品品4義4=4,為定值.

④錯(cuò)誤.以跖為直徑的圓的面積的最小值=ir（-?2V2）2=2TT.

【解答】解：連接。，如圖1,

圖1

VZC=90°,AC=BC=4,

???AABC是等腰直角三角形，

ZA=ZB=45°,

?.?。為A8的中點(diǎn)，

：.CDLAB,CD=AD=BD,

：.ZDCB^ZB^45°,

ZA=ZDCF,

在△ADE和△CD/中

AE=CF

Z-A=乙DCF,

.AD=CD

：./\ADE^/\CDF(SAS),

：.ED=DF,ZCDF=ZADE,

VZADE+ZEDC=90°,

；.NEDC+NCDF=90°,即NED尸=90°,

.?.△QFE是等腰直角三角形，所以①正確；

當(dāng)E、尸分別為AC、BC中點(diǎn)時(shí)，如圖2,貝!]AE=CE=CF=8凡DE=AE=CE,

:.CE=CF=DE=DF,

而NECP=90°,

...四邊形。PE是正方形，所以②錯(cuò)誤;

,/AADE^ACDF,

.".SAADE=SACDF,

111

:.S四邊形CEDF=SACDE+SACDF=SACDE+SAAZ）E=SZ\ADC=^^ABC=2X2X4X4=4,所以③錯(cuò)誤；

△CEF和LDEF都為直角三角形，

二點(diǎn)C、。在以所為直徑的圓上，即點(diǎn)C、E、D、歹四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，

■:叢DEF是等腰直角三角形，

:.EF=y]2DE,

_1

當(dāng)。E_LAC時(shí)，DE最短,此;時(shí)OE=*AC=2,

廠的最小值為2V2,

1

...以EF為直徑的圓的面積的最小值=TT（--2V2）2=2n,所以④錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形的綜合題、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、全

等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題，屬于中

考?jí)狠S題.

9.如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、E重合），在AE同側(cè)分別作等邊△ABC和等邊△C￡）E,A。與

BE交于點(diǎn)O,與BC交于點(diǎn)P,BE與CD交于點(diǎn)Q,連接P。，以下五個(gè)結(jié)論：?AD=BE；@PQ

//AE；③CP=C。；④BO=OE；@ZAOB=60°,恒成立的結(jié)論有（）

A.①③⑤B.①③④⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤

【分析】①根據(jù)全等三角形的判定方法，證出△AC。絲ABCE,即可得出AO=BE.

③先證明△ACP2△■BC0,即可判斷出CP=CQ,③正確；

②根據(jù)/PCQ=60°,可得△PC。為等邊三角形，證出/PQC=/DCE=60°,得出PQ//AE,②正確.

④沒(méi)有條件證出BO=OE,得出④錯(cuò)誤；

（5）ZA0B=ZDAE+ZAEO=ZDAE+ZADC=ZDCE=6Q°,⑤正確；即可得出結(jié)論.

【解答】解：..?△ABC和都是等邊三角形，

：.AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=60°,

ZACB+ZBCD=ZDCE+ZBCD,

：.ZACD=ZBCE,

AC=BC

在△AC。和△BCE中，z_ACD=/.BCE,

.CD=CE

AAACD^ABC￡(SAS),

J.AD^BE,結(jié)論①正確.

AACD^ABCE,

：.ZCAD=ZCBE,

又?；NACB=NDCE=60°,

AZBCD=180°-60°-60°=60°,

AZACP=ZBCQ=6O°,

rZACP=NBCQ

在和△BC。中，-ACAP=Z.CBQ，

.AC=BC

：./\ACP^/\BCQ(A4S),

J.AP^BQ,CP=CQ,結(jié)論③正確；

又?.?NPCQ=60°,

...△PC。為等邊三角形，

.'.ZPQC^ZDCE^60°,

J.PQ//AE,結(jié)論②正確.

,/△ACg△BCE,

：.ZADC=ZAEO,

：.ZAOB=ZDAE+ZAEO=ZDAE+ZADC=ZDCE=60°,

結(jié)論⑤正確.

沒(méi)有條件證出8O=OE,④錯(cuò)誤；

綜上，可得正確的結(jié)論有4個(gè)：①②③⑤.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】此題是三角形綜合題目，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用、等邊三角形的性質(zhì)和應(yīng)用、

平行線的判定；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

10.如圖所示，在Rt^ABC中，NC=90°,AC=4,BC=3,AB上有一動(dòng)點(diǎn)。以每秒4個(gè)單位的速度從

點(diǎn)A向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)停止運(yùn)動(dòng).過(guò)點(diǎn)。作。E_LA8,垂足為點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)E作EF〃AB

交于點(diǎn)尸，連接BE交。F于點(diǎn)G,設(shè)點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為才，當(dāng)SABDG=4SAEFG時(shí)，t的值為()

DB

A14n12c10「8

A.t=-JyB.t=YQC.t=D.t=Yy

ECEF

【分析】首先求出AB,由△AOESZ\AC3,求出AE=5/,DE=3/,EC=4-5/,再根據(jù)石廠〃A3,得一=一，

ACAB

SAP「gEF1

求出EF,由EF//DB,推出得———二(—)2=推出DB=2EF,列出方程即可

SkBDGOB4

解決問(wèn)題.

【解答】解：在RtZXA5c中，VZC=90°,AC=4,BC=3,

.AB=y/AC24-BC2=V42+32=5,

?NA=NA,ZEDA=ZC=90°,

.△ADE^AACB,

ADDEAE

9AC~CB~BC

90=43

.AE=5t,DE=3t,

?EC=4-5t,

'EF//AB.

ECEF

9AC~AB"

4-5tEF

4一5'

.EF=j(4-57),

'EF/