訓(xùn)練目標(biāo)(1)會求線面角、二面角；(2)會解決簡單的距離問題．訓(xùn)練題型(1)求直線與平面所成的角；(2)求二面角；(3)求距離．解題策略利用定義、性質(zhì)去“找”所求角，通過解三角形求角的三角函數(shù)值，盡量利用特殊三角形求解.一、選擇題1.如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的投影D為BC的中點，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為()A.eq\f(\r(3),4) B.eq\f(\r(5),4)C.eq\f(\r(7),4) D.eq\f(3,4)2．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的體積為eq\f(9,4)，底面是邊長為eq\r(3)的正三角形．若P為△A1B1C1的中心，則PA與平面ABC所成角的大小為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4) D.eq\f(2,3)π3.如圖所示，在三棱錐S—ABC中，△ABC是等腰三角形，AB＝BC＝2a，∠ABC＝120°，SA＝3a，且SA⊥平面ABC，則點A到平面SBC的距離為()A.eq\f(3a,2) B.eq\f(a,2)C.eq\f(5a,2) D.eq\f(7a,2)二、填空題4.如圖，在等腰直角三角形ABD中，∠BAD＝90°，且等腰直角三角形ABD與等邊三角形BCD所在平面垂直，E為BC的中點，則AE與平面BCD所成角的大小為________．5.如圖所示，在三棱錐S－ABC中，△SBC，△ABC都是等邊三角形，且BC＝1，SA＝eq\f(\r(3),2)，則二面角S－BC－A的大小為________．6．如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在線段AD1上運(yùn)動，給出以下命題：①異面直線C1P與B1C所成的角為定值；②二面角P－BC1－D的大小為定值；③三棱錐D－BPC1的體積為定值；④異面直線A1P與BC1間的距離為定值．其中真命題的個數(shù)為________．三、解答題7.(2016·濰坊模擬)如圖所示，底面ABC為正三角形，EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，EA＝AB＝2DC＝2a，設(shè)F為EB的中點．(1)求證：DF∥平面ABC；(2)求直線AD與平面AEB所成角的正弦值．8.(2016·遼寧沈陽二中月考)如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，點O在AB上，且OB＝OC＝eq\f(2,3)AB，PO⊥平面ABC，DA∥PO，DA＝AO＝eq\f(1,2)PO.(1)求證：PB∥平面COD；(2)求二面角O－CD－A的余弦值．9.如圖，正四棱錐S－ABCD中，SA＝AB＝2，E，F(xiàn)，G分別為BC，SC，CD的中點．設(shè)P為線段FG上任意一點．(1)求證：EP⊥AC；(2)當(dāng)P為線段FG的中點時，求直線BP與平面EFG所成角的余弦值．

答案精析D[連接A1B，易知∠A1AB為異面直線AB與CC1所成的角，設(shè)AB＝a，易求得AD＝eq\f(\r(3),2)a，A1D＝eq\f(a,2)，則A1B＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))2)＝eq\f(\r(2),2)a，故cos∠A1AB＝eq\f(a2＋a2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2,2·a·a)＝eq\f(3,4).]2．B[因為AA1⊥底面A1B1C1，所以∠APA1為PA與平面A1B1C1所成的角．因為平面ABC∥平面A1B1C1，所以∠APA1為PA與平面ABC所成角．因為正三棱柱ABC－A1B1C1的體積為eq\f(9,4)，底面三角形的邊長為eq\r(3)，所以S△ABC·AA1＝eq\f(9,4)，可得AA1＝eq\r(3).又易知A1P＝1，所以tan∠APA1＝eq\f(AA1,A1P)＝eq\r(3)，又直線與平面所成的角屬于[0，eq\f(π,2)]，所以∠APA1＝eq\f(π,3).]3．A[作AD⊥CB交CB的延長線于點D，連接SD，如圖所示．∵SA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴SA⊥BC.又BC⊥AD，SA∩AD＝A，SA?平面SAD，AD?平面SAD，∴BC⊥平面SAD，又BC?平面SBC，∴平面SBC⊥平面SAD，且平面SBC∩平面SAD＝SD.在平面SAD內(nèi)，過點A作AH⊥SD于點H，則AH⊥平面SBC，AH的長即為點A到平面SBC的距離．在Rt△SAD中，SA＝3a，AD＝AB·sin60°＝eq\r(3)a.由eq\f(AH,SA)＝eq\f(AD,SD)，得AH＝eq\f(SA·AD,SD)＝eq\f(SA·AD,\r(SA2＋AD2))＝eq\f(3a,2)，即點A到平面SBC的距離為eq\f(3a,2).]4．45°解析取BD的中點F，連接EF，AF(圖略)，易得AF⊥BD，AF⊥平面BCD，則∠AEF就是AE與平面BCD所成的角，由題意知EF＝eq\f(1,2)CD＝eq\f(1,2)BD＝AF，所以∠AEF＝45°，即AE與平面BCD所成的角為45°.5．60°6．4解析對于①，因為在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在線段AD1上運(yùn)動，在正方體中有B1C⊥平面ABC1D1，而C1P?平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，所以這兩個異面直線所成的角為定值90°，故①正確；對于②，因為二面角P－BC1－D為平面ABC1D1與平面BDC1所成的二面角，而這兩個平面為固定不變的平面，所以夾角也為定值，故②正確；對于③，三棱錐D－BPC1的體積還等于三棱錐P－DBC1的體積，而△DBC1面積一定，又因為P∈AD1，而AD1∥平面BDC1，所以點A到平面BDC1的距離即為點P到該平面的距離，所以三棱錐的體積為定值，故③正確；對于④，因為直線A1P和BC1分別位于平面ADD1A1，平面BCC1B1中，且這兩個平面平行，由異面直線間的距離定義及求法，知這兩個平面間的距離即為所求的異面直線間的距離，所以這兩個異面直線間的距離為定值，故④正確．綜上知，真命題的個數(shù)為4.7．(1)證明如圖，過點F作FH∥EA交AB于點H，連接HC.∵EA⊥平面ABC，DC⊥平面ABC，∴EA∥DC.又FH∥EA，∴FH∥DC.∵F是EB的中點，∴FH＝eq\f(1,2)AE＝DC.∴四邊形CDFH是平行四邊形，∴DF∥CH.又CH?平面ABC，DF?平面ABC，∴DF∥平面ABC.(2)解∵△ABC為正三角形，H為AB的中點，∴CH⊥AB.∵EA⊥平面ABC，CH?平面ABC，∴CH⊥EA.又EA∩AB＝A，EA?平面AEB，AB?平面AEB，∴CH⊥平面AEB.∵DF∥CH，∴DF⊥平面AEB，∴AF為DA在平面AEB上的投影，∴∠DAF為直線AD與平面AEB所成的角．在Rt△AFD中，AD＝eq\r(5)a，DF＝eq\r(3)a，sin∠DAF＝eq\f(DF,AD)＝eq\f(\r(15),5)，∴直線AD與平面AEB所成角的正弦值為eq\f(\r(15),5).8．(1)證明因為PO⊥平面ABC，DA∥PO，AB?平面ABC，所以PO⊥AB，DA⊥AB.又DA＝AO＝eq\f(1,2)PO，所以∠AOD＝45°.因為OB＝eq\f(2,3)AB，所以O(shè)A＝eq\f(1,3)AB，所以O(shè)A＝eq\f(1,2)OB，又AO＝eq\f(1,2)PO，所以O(shè)B＝OP，所以∠OBP＝45°，即OD∥PB.又PB?平面COD，OD?平面COD，所以PB∥平面COD.(2)解如圖，過A作AM⊥DO，垂足為M，過M作MN⊥CD于N，連接AN，則∠ANM為二面角O－CD－A的平面角．設(shè)AD＝a，在等腰直角三角形AOD中，得AM＝eq\f(\r(2),2)a，在直角三角形COD中，得MN＝eq\f(\r(3),3)a，在直角三角形AMN中，得AN＝eq\f(\r(30),6)a，所以cos∠ANM＝eq\f(\r(10),5).9．(1)證明設(shè)AC交BD于O點，∵S－ABCD為正四棱錐，∴SO⊥底面ABCD，BD⊥AC，又AC?平面ABCD，∴SO⊥AC，∵BD∩SO＝O，BD?平面SBD，SO?平面SBD，∴AC⊥平面SBD，∵E，F(xiàn)，G分別為BC，SC，CD的中點，∴FG∥SD，BD∥EG.又FG∩EG＝G，SD∩BD＝D，F(xiàn)G?平面EFG，EG?平面EFG，SD?BSD，BD?平面BSD，∴平面EFG∥平面BSD，∴AC⊥平面GEF.又∵PE?平面GEF，∴PE⊥AC.(