重難點(diǎn)專題12利用幾何法求異面直線所成的角【題型歸納目錄】題型一：利用中位線平移題型二：利用四邊形平移題型三：補(bǔ)體法題型四：平移兩次【方法技巧與總結(jié)】異面直線所成的角①定義：設(shè)是兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點(diǎn)作直線，把與所成的銳角（或直角）叫做異面直線與所成的角（或夾角）．②范圍：=3\*GB3③求法：平移法：將異面直線平移到同一平面內(nèi)，放在同一三角形內(nèi)解三角形．【典型例題】題型一：利用中位線平移【例1】（2025·高二·山東濟(jì)寧·期中）在四面體中，，，兩兩垂直且相等，是的中點(diǎn)，則異面直線和所成角為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由于是的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，則，則或補(bǔ)角即為異面直線與所成的角．可設(shè)，由于、、兩兩垂直，且均相等，則，，，即有，，，則有．故選：A．【變式1-1】（2025·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）如圖,在圓錐中,,為圓上的點(diǎn),且,,若為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B．C． D． 【答案】A【解析】如圖,取的中點(diǎn),取的中點(diǎn),連接則,且,,則就是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角．易知平面,所以平面,所以.因?yàn)?,所以,所以由勾股定理得,又,,所以在△中,由余弦定理得,故異面直線與所成角的余弦值為．故選:A．【變式1-2】（2025·高二·河北·學(xué)業(yè)考試）如圖，在正方體中，E是棱的中點(diǎn)，則異面直線DE和所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)為的中點(diǎn)，連接，由正方體的性質(zhì)可得則四邊形為平行四邊形，故，而為所在棱的中點(diǎn)，故，故，故或其補(bǔ)角即為異面直線DE和所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，故，故異面直線DE和所成的角的余弦值為，故選：C.【變式1-3】（2025·高一·四川成都·期末）在正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均相等，E為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】取線段中點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn)，所以，所以異面直線與所成角為，不妨設(shè)正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為2，則，，所以.故選：D.題型二：利用四邊形平移【例2】（2025·四川·模擬預(yù)測(cè)）在正四棱臺(tái)中，，其體積為，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)正四棱臺(tái)的高為，連接，作交于點(diǎn)，作交于點(diǎn)，連接，則為異面直線與所成角或其補(bǔ)角.因?yàn)?，且正四棱臺(tái)的體積為，即，所以，即，則，，，，，所以.故選：D.【變式2-1】（2025·高一·陜西渭南·期末）如圖，在正方形中，異面直線與所成的角是（

）A．120° B．90° C．60° D．30°【答案】C【解析】連接,因?yàn)榍遥运倪呅螢槠叫兴倪呅?，所以，即或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角.在正方體中，即是等邊三角形，所以.故選：C【變式2-2】（2025·高一·云南曲靖·期末）如圖，已知正三棱柱為的中點(diǎn)，則與所成角的余弦值為（

）

A．1 B． C． D．【答案】B【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接、，易知，所以異面直線與所成角就是直線與直線所成的角，即（或其補(bǔ)角），由題意可知正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，可設(shè)三棱柱的棱長(zhǎng)都為，則，，，因?yàn)椋詾橹苯侨切?，所以即異面直線與所成角的余弦值為.故選：.【變式2-3】（2025·高一·福建福州·期末）已知軸截面為正方形的圓柱，為下底面直徑，是弧的中點(diǎn)，則與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，過點(diǎn)作交底面圓于點(diǎn)，連接，因?yàn)槭腔〉闹悬c(diǎn)，所以四邊形為正方形，，故或其補(bǔ)角為與所成的角，設(shè)，則，由勾股定理得，，又，故⊥，又，故，故，與所成的角為.故選：C題型三：補(bǔ)體法【例3】在正方體中，為的中點(diǎn)，平面與平面的交線為，則與AB所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在正方體上面補(bǔ)上一個(gè)正方體，易證為與AB所成的角．設(shè)【變式3-1】在三棱錐P-ABC中，，，，則異面直線PC與AB所成角的余弦值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根據(jù)題給夆件，可以PA、AB、BC為棱將原圖補(bǔ)成正方體，顯然，正方體崍長(zhǎng)為1，則體對(duì)角線，即為所隸異面直線的平面角，，故選．【變式3-2】（2025·湖北·高一統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，平面為的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)槠矫嫫矫?，平面所以，，又，所以兩兩垂直，將三棱錐置于一個(gè)長(zhǎng)方體中，如圖所示，易知，所以直線與所成角即為與所成角為（或其補(bǔ)角），由題意可知，，在中，由余弦定理，得，所以直線與所成角的余弦值為.故選：D.【變式3-3】（2025·高三·安徽·階段練習(xí)）在長(zhǎng)方體（平面為下底面）中，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為.【答案】/【解析】在長(zhǎng)方體的上方補(bǔ)一個(gè)全等的長(zhǎng)方體，所以，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知：直線，因?yàn)?，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)所以，，，所以，所以，異面直線與BF所成角的余弦值為.故答案為：題型四：平移兩次【例4】（2025·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，在空間四邊形中，，分別為，的中點(diǎn)．若，，則與所成的角為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】取的中點(diǎn)，連接，，可知，，且，，則是與所成的角或其補(bǔ)角，即是與所成的角或其補(bǔ)角．因?yàn)?，在中，．且，可得，則，所以．故選：A.【變式4-1】（2025·高一·安徽黃山·期末）中，，.為中點(diǎn)，為線段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，將沿翻折，使到的位置，且平面平面，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】過點(diǎn)作交于點(diǎn)，所以，因?yàn)闉榫€段上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，，所以，，而，所以，而是中點(diǎn)，所以，在三角形中，，由余弦定理有，由于，點(diǎn)是中點(diǎn)，所以，由折疊關(guān)系可知，，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)椋?，所以，在三角形中，，由余弦定理有，因?yàn)?，所以異面直線與所成角的大小等于，故所求為.故選：A.【變式4-2】（2025·高一·河南新鄉(xiāng)·期末）在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱BC，的中點(diǎn)，則異面直線EF與所成角的余弦值為．【答案】【解析】如圖，在正方體中，取的中點(diǎn)G，連結(jié)FG,GE,可知，則異面直線EF與所成的角為∠EFG或其補(bǔ)角．設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則，，，．故答案為：【變式4-3】（2025·高一·福建三明·期末）如圖，在直三棱柱中，，，點(diǎn)是線段上靠近的三等分點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，可以補(bǔ)充成一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體.如圖所示.取的三等分點(diǎn),連接，根據(jù)正方體性質(zhì)，知道.則為直線與所成角或補(bǔ)角.連接，.根據(jù)正方體性質(zhì)，知道．在中，余弦定理知道，,則直線與所成角的余弦值為.故選：C．

【過關(guān)測(cè)試】1．（2025·高一·重慶·期末）如圖，在正三棱柱中，若，，則與所成角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取中點(diǎn)，連接、，矩形中，，可得因此正三棱柱中，平面平面平面平面，,平面，直線平面，平面，可得，平面，平面，平面，因此可得，即與所成角的大小為，故選：B．2．（2025·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）已知平行六面體的底面ABCD是菱形，且，則直線與直線BD所成的角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接，底面ABCD是菱形，．，，平面，平面，平面，故直線與直線BD所成的角的大小為．故選：A．3．（2025·高一·河北唐山·期末）在正四面體中，是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，取的中點(diǎn)，連接，由是棱的中點(diǎn)，得，則為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角），在中，，，則，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：D4．（2025·高一·內(nèi)蒙古呼和浩特·期末）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在表面積為的球的球面上，平面，，則與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以的外接圓的半徑，又三棱錐的所有頂點(diǎn)都在表面積為的球的球面上.設(shè)該球的半徑為，所以，解得，又平面，所以，即，解得，又平面，將三棱錐放入正方體中，易得，所以與所成的角為（或其補(bǔ)角），又易得為等邊三角形，所以，即與所成角的余弦值為.故選：C.5．（2025·高一·安徽亳州·期末）已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2，體積為，為棱的中點(diǎn)，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】如圖，設(shè)正四棱錐的高為，則，，所以.設(shè)正四棱錐的底面中心為，連接，，則，所以直線與所成的角為，且連接，由題可得，，，所以，所以，故A正確.故選：A6．（2025·高一·廣西河池·期末）如圖，在正四面體ABCD中．點(diǎn)E是線段AD上靠近點(diǎn)D的四等分點(diǎn)，則異面直線EC與BD所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】過點(diǎn)E作直線BD的平行線，交AB于點(diǎn)F，連接CF，則為異面直線EC與BD所成角或其補(bǔ)角，不妨設(shè)，易得，，在中，由余弦定理得，所以異面直線EC與BD所成角的余弦值為．故選：A．7．（2025·高一·陜西商洛·期末）在正方體中，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】取的中點(diǎn)，連接，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為，因?yàn)?，所以四邊形為平行四邊形，所以，則為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，由所以.故選：B8．（2025·高一·江蘇無(wú)錫·期中）正方體中，為的中點(diǎn)，則直線與直線所成角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，設(shè)為底面中心，為上底面中心，易得，所以異面直線與所成的角就是或其補(bǔ)角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，可得，，，由余弦定理得：，所以，異面直線與所成的角是，故選：C.9．（2025·高一·四川成都·期末）如圖所示，在正三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】取中點(diǎn)，連接，不妨設(shè)，因?yàn)椋?，所以，由題意，所以，因?yàn)?，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A.10．（2025·高一·吉林·期末）在正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】法一：如圖，以為原點(diǎn)，以，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，從而，，故，即異面直線與所成角的余弦值是；法二：如圖所示，取中點(diǎn)，連接，，，，由正方體可知，則異面直線與所成角即為直線與所成角，設(shè)，則，，由正方體可知，平面，即，，則，在中，由余弦定理，則直線與所成角的余弦值為，即異面直線與所成角的余弦值為，故選：C.11．（2025·高一·浙江嘉興·期中）如圖，在正方體中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別是棱，，，的中點(diǎn)，則異面直線EF與GH所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】分別取的中點(diǎn)，連接，由正方體的性質(zhì)知：，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以異面直線EF與GH所成的角（或其補(bǔ)角）即為與所成的角（或其補(bǔ)角），即為，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，，，所以，所以異面直線EF與GH所成的角為.故選：C.12．（2025·高一·天津·期末）在直三棱柱中，為側(cè)棱的中點(diǎn)，，，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，所以，即，則直三棱柱為正方體的一半，如圖，取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)正方體性質(zhì)，可知?jiǎng)t則為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，在中，，所以.故選：C13．（多選題）（2025·高一·江蘇常州·期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為4，分別為棱和的中點(diǎn)，則下列說法正確的有（

）A．平面B．平面C．異面直線與所成角為D．平面截正方體所得截面的面積為18【答案】ACD【解析】對(duì)于A，如圖，由條件可知，，平面，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，取的中點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)?，，，所?則，不滿足勾股定理，所以不垂直于，則不垂直于平面，所以不垂直于平面，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，連結(jié)，是等邊三角形，所以直線與所成角為，所以異面直線與所成角為，故C正確；D.連結(jié)，所以四點(diǎn)共面，四邊形是平面截正方體所得截面，如圖，四邊形是等腰梯形，，，作于，則，所以四邊形的面積，故D正確.故選：ACD.14．（多選題）（2025·高一·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，在正方體中，為底面的中心，為棱的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．平面 B．平面C．二面角等于 D．異面直線與所成的角等于【答案】ABD【解析】對(duì)于A，連接，交于，連接、，則由正方體性質(zhì)可知且，所以四邊形為平行四邊形，故．因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，故A正確；對(duì)于B，連接，因?yàn)闉榈酌娴闹行?，為棱的中點(diǎn)，所以，由正方體性質(zhì)有、平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，又，平面，所以平面，故平面，故B正確；對(duì)于C，由正方體性質(zhì)可知，又平面，所以平面，又平面，所以，，又所以為二面角的平面角，顯然不等于，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以為異面直線與所成的角，由正方體性質(zhì)可知為等邊三角形，所以，故D正確.故選：ABD.15．（多選題）（2025·高一·貴州六盤水·期末）如圖在正方體中，分別是的中點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（

）A．平面 B．平面C．四點(diǎn)共面 D．與所成的角為【答案】ABC【解析】對(duì)于A，在正方體中，連接,因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，因此平面，A正確；對(duì)于B，在正方體中，平面，面，所以，因?yàn)?，是平面?nèi)的兩條相交直線，所以平面，由面，則，分別是的中點(diǎn)，有，所以；在正方體中，平面，面，所以，因?yàn)?，是平面?nèi)的兩條相交直線，所以平面，由面，則，又，所以，又因?yàn)槭瞧矫鎯?nèi)兩條相交直線，則平面，B正確；對(duì)于C，由上可知，兩條平行線可以確定一個(gè)平面，所以四點(diǎn)共面，C正確；對(duì)于D，連接相交于點(diǎn)，連接，在正方形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，所以為與所成的角，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，,，，因?yàn)?，，D錯(cuò)誤；故選：ABC.16．（多選題）（2025·高一·貴州銅仁·期末）如圖是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體的展開圖.若將它還原為正方體，則下列結(jié)論正確的是（

）A．平面與平面平行B．線段和線段所在的直線是異面直線且所成角為C．點(diǎn)到平面的距離為D．線段與平面所成角的余弦值為【答案】ABD【解析】根據(jù)正方體的展開圖畫出該正方體的原圖，如下圖所示：對(duì)于A：因?yàn)樵谡襟w中，，，所以四邊形為平行四邊形，則，同理可得，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平面又因?yàn)椋?，平面，所以平面與平面平行，故A正確對(duì)于B，連接，，如圖所示：因?yàn)槠矫?，，平面，平面，所以直線與直線為異面直線；在正方體中，，，所以四邊形為平行四邊形，則，所以異面直線與直線所成角等于，又因?yàn)?，所以，故B正確；對(duì)于C，由于在正方體中，，所以三棱錐為正三棱錐，則在平面的投影為外接圓圓心，即平面，且，則，所以在中，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)榕c重合，所以線段與平面所成角的余弦值等價(jià)于線段與平面所成角的余弦值，由C選項(xiàng)知平面，所以為所求角，由于，，所以，故D正確；故選：ABD17．（2025·高一·江蘇·期末）在正方體中，直線和直線所成的角為.【答案】【解析】如下圖所示：由正方體性質(zhì)可得，所以直線和直線所成的角等于，又易知為等邊三角形，所以.故答案為：18．（2025·高一·青海西寧·期末）在正方體中，是的中點(diǎn)，則與兩條異面直線所成角的余弦值為.【答案】/【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，則，所以，且，故四邊形是平行四邊形，則，故即為與所成的角（或其補(bǔ)角），設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，由勾股定理得，，在中，由余弦定理得，故與兩條異面直線所成角的余弦值為.故答案為：19．（2025·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖為正方體切去一個(gè)三棱錐后得到的幾何體，若點(diǎn)為底面的中心，則直線與平面的位置關(guān)系是，與的夾角為．【答案】平行【解析】如圖，將其補(bǔ)成正方體，設(shè)和交于點(diǎn)，連接，依題意可知，且，即四邊形為平行四邊形，則．因?yàn)槠矫?，平面，所以直線平面．為與的夾角，，即為等邊三角形，，故.故答案為：平行；.20．（2025·高一·福建廈門·期末）在四棱錐中，底面，四邊形為正方形，，則直線與所成角的大小為.【答案】/【解析】因?yàn)榈酌?，四邊形為正方形，底面，所以，又，所以，如圖將四棱錐補(bǔ)成正方體，連接、，則，所以為直線與所成角，又，所以為等邊三角形，所以，即直線與所成角的大小為.故答案為：21．（2025·高一·河北邢臺(tái)·期末）在正方體中，，分別為棱，的中點(diǎn)，則直線與直線所成角的余弦值為．【答案】/【解析】如圖所示，設(shè)，分別為棱，的中點(diǎn)，連接，，，由正方體的性質(zhì)易得，，所以為直線與直線所成的角，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，，，故答案為：.22．（2025·高一·黑龍江哈爾濱·期末）正四棱錐的所有棱長(zhǎng)均為4，M為棱PC的中點(diǎn)，則異面直線BM與PA所成角的余弦值為．【答案】【解析】連接AC交BD于O點(diǎn)，連接OM，連接，則OM∥PA，所以就是異面直線BM與PA所成的角，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，則，又因?yàn)椋瑒t平面，且平面，則，所以直在角三角形MOB中，由，則，可得，所以異面直線BM與PA所成角的余弦值為.故答案為：.23．（2025·高一·甘肅白銀·期末）如圖，已知直四棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等，，是棱AB的中點(diǎn)，設(shè)平面，經(jīng)過直線，且平面，平面，若平面，則異面直線與所成角的余弦值為.【答案】/【解析】由直四棱柱的所有棱長(zhǎng)均相等，且，得ABCD是菱形，連接AC，BD，，，且，，所以，，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，且，平面.所以平面.取AD的中點(diǎn)，連接，連接EF交AC于點(diǎn)，所以∥，且是AO的中點(diǎn)，所以平面，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?又平面，所以平面即為平面，即為直線.由平面，平面，∥平面，知∥，所以異面直線與所成的角即與所成的角，即為.設(shè)，則直四棱柱的所有棱長(zhǎng)均為2，由，知，，且，故，所以.故答案為：24．（2025·高二·安徽·開學(xué)考試）如圖，在直三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為4，D是AB的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求異面直線與所成角的正弦值．【解析】（1）連接交于，在直三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為4，因此四邊形是正方形，所以是的中點(diǎn)，而D是AB的中點(diǎn)，因此有，而平面，平面，所以平面；（2）由（1）可知：，因此異面直線與所成角為（或其補(bǔ)角），因?yàn)槭钦叫?，所以，在直三棱柱中，所有棱長(zhǎng)均為4，因此四邊形是正方形，因此有，在直三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直線，因此有，由余弦定理可知：，因此.25．（2025·高二·上海·課堂例題）如圖，已知點(diǎn)在圓柱的底面圓的圓周上，為圓的直徑，圓柱的表面積為，，．

(1)求三棱錐的體積；(2)求異面直線與所成角的大?。窘馕觥浚?）根據(jù)題意，圓柱的底面半徑，它的表面積，即，解得，即三棱錐的高為，在底面中，，，，則所以，，，可得；所以三棱錐的體積；（2）延長(zhǎng)交圓于，連接，，，因?yàn)樗倪呅蔚膶?duì)角線互相平行，所以為平行四邊形，則，，，異面直線與所成角即與所成角，即（或補(bǔ)角）為異面直線與所成角，在中，，，；所以，所以，所以異面直線與所成角為.26．（2025·高一·四川綿陽(yáng)·期末）如圖，直三棱柱的側(cè)面積為，底面為等腰直角三角形，，，M，N分別是和的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)取的中點(diǎn)E，連接與交于點(diǎn)O，求異面直線與所成角的余弦值．【解析】（1）證明：連接．在直三棱柱中，，且，四邊形是矩形．是的中點(diǎn)，過點(diǎn)N且平分．在中，M是的中點(diǎn)，是的中位線，，又平面，平面，平面．（2）點(diǎn)E，M分別是和的中點(diǎn)，與的交點(diǎn)O為的重心．連接并延長(zhǎng)與交于的中點(diǎn)，記為點(diǎn)F．過O作，交于點(diǎn)H．為的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)）．連接，則或其補(bǔ)角為異面直線與所成角．設(shè)，則直三棱柱的側(cè)面積為，解得．直三棱柱的底面為直角三角形，，，．且都在面內(nèi)，平面，面，．又，．又，．在中，，異面直線與所成角的余弦值為．27．（2025·高一·全國(guó)·課后作業(yè)）如圖，已知長(zhǎng)方體中，，．

(1)求證：與是異面直線；(2)求異面直線與所成角的余弦值．【解析】（1）因?yàn)槠矫?，平面，直線，平面，由異面直線的判定定理可得與是異面直線．（2）如圖，連接，因?yàn)椋?，可知四邊形為平行四邊形，則，即為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角），連接，由已知可得，，則．所以異面直線與所成角的余弦值為．28．（2025·高一·浙江·期中）如圖，為正方體的棱的中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)求直線與所成角的余弦值．【解析】（1）連接與交于點(diǎn)，連接．顯然為的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面．?）由（1）可知即為直線與所成角，在中,,由余弦定理得．29．（2025·高一·重慶·期中）在長(zhǎng)方體中，，是的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求異面直線與所成角的余弦值.【解析】（1）連接交相交于點(diǎn)，