高中數(shù)學(xué)第3章不等式3.3二元一次不等式（組）與簡單的線性規(guī)劃問題3.3.3簡單的線性規(guī)劃問題（2）教學(xué)實錄蘇教版必修5授課內(nèi)容授課時數(shù)授課班級授課人數(shù)授課地點授課時間設(shè)計思路本節(jié)課以蘇教版必修5第三章“不等式”中的“3.3.3簡單的線性規(guī)劃問題”為主題，結(jié)合實際生活問題，引導(dǎo)學(xué)生運用所學(xué)知識解決實際問題。通過小組合作、探究式學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和解決問題的能力。教學(xué)內(nèi)容與課本緊密相連，注重理論與實踐相結(jié)合，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)。通過線性規(guī)劃問題的解決，學(xué)生能夠?qū)W會如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，提高問題解決能力；同時，通過合作學(xué)習(xí)，鍛煉學(xué)生的溝通協(xié)作能力；此外，通過探究過程，提升學(xué)生的邏輯推理和直觀想象能力，培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)運算中的嚴(yán)謹(jǐn)性和準(zhǔn)確性。重點難點及解決辦法重點：將實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型，并求解最優(yōu)解。

難點：理解線性規(guī)劃的意義，掌握線性規(guī)劃問題的建模方法，以及如何利用圖形法求解線性規(guī)劃問題。

解決辦法：

1.重點：通過實例分析，引導(dǎo)學(xué)生理解線性規(guī)劃模型的意義，并通過逐步引導(dǎo)，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型。

2.難點：通過小組討論和課堂練習(xí)，讓學(xué)生動手操作，直觀感受線性規(guī)劃問題的建模過程。同時，利用多媒體展示圖形法求解過程，幫助學(xué)生理解線性規(guī)劃問題的幾何意義。針對不同層次的學(xué)生，提供不同難度的練習(xí)題，以突破難點。教學(xué)資源-軟硬件資源：筆記本電腦、投影儀、白板、計算器

-課程平臺：學(xué)校內(nèi)部教學(xué)平臺

-信息化資源：線性規(guī)劃相關(guān)教學(xué)視頻、在線練習(xí)題庫

-教學(xué)手段：多媒體課件、實物教具（如線性規(guī)劃模型圖）、課堂練習(xí)紙教學(xué)過程1.導(dǎo)入（約5分鐘）

-激發(fā)興趣：展示一組生活中常見的優(yōu)化問題，如生產(chǎn)計劃、資源分配等，提問學(xué)生如何用數(shù)學(xué)方法解決這些問題，引發(fā)學(xué)生對線性規(guī)劃問題的興趣。

-回顧舊知：簡要回顧一元一次不等式和二元一次不等式的解法，以及如何求解不等式組，為學(xué)習(xí)線性規(guī)劃問題做好鋪墊。

2.新課呈現(xiàn)（約20分鐘）

-講解新知：詳細(xì)講解線性規(guī)劃問題的定義、意義、建模方法以及求解步驟。

-舉例說明：通過實例展示如何將實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型，如生產(chǎn)問題、運輸問題等，幫助學(xué)生理解線性規(guī)劃的應(yīng)用。

-互動探究：引導(dǎo)學(xué)生分組討論，針對不同問題，嘗試建立線性規(guī)劃模型，并分析模型的特點。

3.小組合作（約15分鐘）

-學(xué)生活動：學(xué)生分組，針對教師提供的實際問題，嘗試建立線性規(guī)劃模型，并討論求解方法。

-教師指導(dǎo)：教師巡視各組，解答學(xué)生在建模過程中遇到的問題，指導(dǎo)學(xué)生如何選擇合適的決策變量和目標(biāo)函數(shù)。

4.求解線性規(guī)劃問題（約20分鐘）

-學(xué)生活動：學(xué)生根據(jù)小組討論的結(jié)果，運用圖形法求解線性規(guī)劃問題，并分析最優(yōu)解。

-教師指導(dǎo)：教師展示圖形法求解過程，強調(diào)關(guān)鍵步驟，如確定可行域、目標(biāo)函數(shù)的幾何意義等。

5.鞏固練習(xí)（約15分鐘）

-學(xué)生活動：學(xué)生獨立完成教師提供的練習(xí)題，加深對線性規(guī)劃問題的理解和應(yīng)用。

-教師指導(dǎo)：教師巡視學(xué)生練習(xí)情況，解答學(xué)生在解題過程中遇到的問題，并給予個別指導(dǎo)。

6.課堂小結(jié)（約5分鐘）

-學(xué)生總結(jié)：學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，總結(jié)線性規(guī)劃問題的建模方法和求解步驟。

-教師總結(jié)：教師對本節(jié)課的重點內(nèi)容進行梳理，強調(diào)線性規(guī)劃問題的實際應(yīng)用，并布置課后作業(yè)。

7.課后作業(yè)（約10分鐘）

-學(xué)生活動：學(xué)生根據(jù)教師布置的作業(yè)，獨立完成線性規(guī)劃問題的建模和求解。

-教師反饋：教師通過批改作業(yè)，了解學(xué)生對本節(jié)課知識的掌握情況，并在下一節(jié)課進行講解和答疑。知識點梳理一、線性規(guī)劃問題的定義

1.線性規(guī)劃問題：在一定約束條件下，求解線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值的問題。

2.決策變量：影響目標(biāo)函數(shù)的變量，通常為連續(xù)變量。

3.目標(biāo)函數(shù)：表示要優(yōu)化的目標(biāo)，可以是最大化或最小化。

二、線性規(guī)劃問題的建模

1.確定決策變量：根據(jù)實際問題，選取合適的變量作為決策變量。

2.建立目標(biāo)函數(shù)：根據(jù)實際問題，建立表示要優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。

3.建立約束條件：根據(jù)實際問題，建立表示資源限制或條件約束的方程或不等式。

三、線性規(guī)劃問題的解法

1.圖形法：適用于只有兩個決策變量的線性規(guī)劃問題。

-確定可行域：將約束條件在坐標(biāo)系中表示出來，找到可行域。

-確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)，找到目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。

2.簡單形法（大M法）：適用于有多個決策變量的線性規(guī)劃問題。

-構(gòu)造初始單純形表：根據(jù)約束條件和目標(biāo)函數(shù)，構(gòu)造初始單純形表。

-進行迭代計算：通過選取進入基變量和離開基變量，進行迭代計算，直到找到最優(yōu)解。

四、線性規(guī)劃問題的應(yīng)用

1.生產(chǎn)問題：如生產(chǎn)計劃、資源分配等。

2.運輸問題：如貨物調(diào)撥、運輸路線選擇等。

3.資源優(yōu)化問題：如水資源分配、能源優(yōu)化等。

五、線性規(guī)劃問題的特點

1.線性規(guī)劃問題具有連續(xù)性，決策變量通常是連續(xù)的。

2.線性規(guī)劃問題具有最優(yōu)性，存在最優(yōu)解。

3.線性規(guī)劃問題具有確定性，問題的解是唯一的。

六、線性規(guī)劃問題的局限性

1.線性規(guī)劃問題只適用于線性目標(biāo)函數(shù)和線性約束條件。

2.線性規(guī)劃問題可能存在多個最優(yōu)解或無解。

3.線性規(guī)劃問題求解過程可能涉及大量的迭代計算，計算量較大。

七、線性規(guī)劃問題的實際應(yīng)用案例

1.生產(chǎn)問題：某工廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，每種產(chǎn)品需要兩種原料，要求原料消耗量不超過一定限制，如何確定生產(chǎn)計劃，以最大化利潤。

2.運輸問題：某物流公司需要從多個倉庫向多個銷售點運輸貨物，要求運輸成本最小，同時滿足運輸量和運輸距離的限制。

3.資源優(yōu)化問題：某城市需要合理分配水資源，以滿足居民生活、工業(yè)生產(chǎn)和農(nóng)業(yè)灌溉的需求，同時考慮水資源保護和可持續(xù)發(fā)展的要求。教學(xué)反思教學(xué)反思

這節(jié)課上下來，我有一些感受和思考。

首先，我覺得線性規(guī)劃問題的引入非常重要。我通過生活中的實例，如生產(chǎn)計劃、資源分配等，讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的實用性和魅力。我發(fā)現(xiàn)，當(dāng)學(xué)生們能夠?qū)?shù)學(xué)知識應(yīng)用到實際問題中時，他們的學(xué)習(xí)興趣和動力都會大大提高。

在講解線性規(guī)劃問題的建模時，我注意到學(xué)生們對于如何將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型有一定的困難。于是，我采用了逐步引導(dǎo)的方法，從簡單的例子入手，讓學(xué)生們逐步理解建模的思路。我發(fā)現(xiàn)，這種方法比較有效，學(xué)生們通過模仿和練習(xí)，逐漸掌握了建模的方法。

在求解線性規(guī)劃問題時，我選擇了圖形法和簡單形法進行講解。圖形法對于理解線性規(guī)劃問題的幾何意義非常有幫助，而簡單形法則是一種通用的求解方法。我在講解過程中，特別注意了每個步驟的詳細(xì)說明，以確保學(xué)生們能夠理解并掌握。

在小組合作環(huán)節(jié)，我看到了學(xué)生們積極參與、互相討論的場景。這種合作學(xué)習(xí)的方式，不僅提高了學(xué)生們解決問題的能力，也鍛煉了他們的團隊協(xié)作能力。不過，我也發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生在討論中表現(xiàn)得比較被動，這可能是由于他們對知識的掌握不夠牢固或者缺乏自信。因此，在今后的教學(xué)中，我需要更多地關(guān)注這些學(xué)生，給予他們更多的支持和鼓勵。

在鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生們對于線性規(guī)劃問題的應(yīng)用還不夠熟練。有的學(xué)生能夠在紙上寫出解題步驟，但實際操作時卻出現(xiàn)錯誤。這讓我意識到，僅僅通過課堂講解是不夠的，還需要加強學(xué)生的實際操作能力。因此，我計劃在課后布置一些實踐性較強的作業(yè)，讓學(xué)生們能夠在實際操作中鞏固所學(xué)知識。

此外，我還發(fā)現(xiàn)，在教學(xué)過程中，我需要更加注重學(xué)生的個體差異。有的學(xué)生理解能力強，有的學(xué)生則需要更多的指導(dǎo)。在今后的教學(xué)中，我會根據(jù)學(xué)生的實際情況，提供個性化的教學(xué)方案，確保每個學(xué)生都能夠有所收獲。板書設(shè)計①線性規(guī)劃問題的定義

-線性規(guī)劃：在一定約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值。

-決策變量：影響目標(biāo)函數(shù)的變量。

-目標(biāo)函數(shù)：表示要優(yōu)化的目標(biāo)（最大化或最小化）。

②線性規(guī)劃問題的建模

-確定決策變量：根據(jù)實際問題選取變量。

-建立目標(biāo)函數(shù)：表示要優(yōu)化的目標(biāo)。

-建立約束條件：表示資源限制或條件約束。

③線性規(guī)劃問題的解法

-圖形法：適用于兩個決策變量的線性規(guī)劃問題。

-簡單形法（大M法）：適用于多個決策變量的線性規(guī)劃問題。

-迭代計算：選取進入基變量和離開基變量，進行迭代計算。

④線性規(guī)劃問題的特點

-連續(xù)性：決策變量通常是連續(xù)的。

-最優(yōu)性：存在最優(yōu)解。

-確定性：問題的解是唯一的。

⑤線性規(guī)劃問題的局限性

-線性：只適用于線性目標(biāo)函數(shù)和線性約束條件。

-多解性：可能存在多個最優(yōu)解或無解。

-計算量：求解過程可能涉及大量迭代計算。重點題型整理1.**題型一：線性規(guī)劃問題建模**

-**題目**：某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品需要3小時加工時間和2小時組裝時間，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品需要2小時加工時間和1小時組裝時間。工廠每天最多有12小時加工時間和8小時組裝時間。若甲、乙兩種產(chǎn)品每件利潤分別為100元和80元，問應(yīng)如何安排生產(chǎn)計劃，以獲得最大利潤？

-**答案**：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品的數(shù)量為x件，乙產(chǎn)品的數(shù)量為y件，利潤為z元。則目標(biāo)函數(shù)為z=100x+80y，約束條件為3x+2y≤12和2x+y≤8。通過線性規(guī)劃方法求解，得到最優(yōu)解為x=2,y=4，最大利潤為z=560元。

2.**題型二：線性規(guī)劃問題求解（圖形法）**

-**題目**：某公司計劃將資金投資于兩種股票，第一種股票的預(yù)期收益為10%，第二種股票的預(yù)期收益為15%，但風(fēng)險較高。假設(shè)投資總額為100萬元，要求至少將40%的資金投資于第一種股票，且不超過70%的資金投資于第二種股票。求投資方案，使收益最大。

-**答案**：設(shè)第一種股票投資金額為x萬元，第二種股票投資金額為y萬元，收益為z萬元。則目標(biāo)函數(shù)為z=0.10x+0.15y，約束條件為0.10x+0.15y≥40和0.10x+0.15y≤70。通過圖形法求解，得到最優(yōu)解在直線0.10x+0.15y=40與0.10x+0.15y=70的交點附近，計算得出最優(yōu)解為x=40,y=0，最大收益為z=4萬元。

3.**題型三：線性規(guī)劃問題求解（簡單形法）**

-**題目**：某食品加工廠生產(chǎn)兩種食品，每生產(chǎn)1千克食品A需要2小時加工時間和3千克原料，每生產(chǎn)1千克食品B需要1小時加工時間和2千克原料。工廠每天有8小時加工時間和12千克原料。食品A和食品B的售價分別為30元和20元。求每天生產(chǎn)多少千克食品A和食品B，才能獲得最大利潤？

-**答案**：設(shè)食品A生產(chǎn)量為x千克，食品B生產(chǎn)量為y千克，利潤為z元。則目標(biāo)函數(shù)為z=30x+20y，約束條件為2x+y≤8和3x+2y≤12。通過簡單形法求解，得到最優(yōu)解為x=2,y=2，最大利潤為z=100元。

4.**題型四：線性規(guī)劃問題中的靈敏度分析**

-**題目**：在上述食品加工廠的例子中，若原料價格發(fā)生變化，求對最優(yōu)解的影響。

-**答案**：若原料價格發(fā)生變化，例如原料價格提高，則可能需要調(diào)整生產(chǎn)計劃以保持利潤最大化。通過靈敏度分析，可以確定原料價格的變化對最優(yōu)解的影響程度。

5.**題型五：線性規(guī)劃問題在實際中的應(yīng)用**

-**題目**：某物流公司有三種運輸方式，分別對應(yīng)不同的成本和運輸時間。公司需要將貨物從A地運往B地，要求至少在2小時內(nèi)完成運輸。如何選擇運輸方式，以最小化成本？

-**答案**：設(shè)運輸方式1的運輸量為x，運輸方式2的運輸量為y，運輸方式3的運輸量為z。目標(biāo)函數(shù)為最小化總成本C=50x+40y+30z，約束條件為2x+y+z≥2（時間約束）。通過線性規(guī)劃方法求解，得到最優(yōu)解和對應(yīng)的成本。作業(yè)布置與反饋作業(yè)布置：

1.完成課本第三章“不等式”中的練習(xí)題3.3.3部分，包括線性規(guī)劃問題的建模和求解。

2.選擇兩個生活中的實際問題，嘗試將其轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型，并求解最優(yōu)解。

3.分析一個線性規(guī)劃問題的實例，討論在實際應(yīng)用中可能遇到的困難和解決方法。

作業(yè)反饋：

1.對學(xué)生的作業(yè)進行批改，重點關(guān)注以下幾個方面：

-學(xué)生是否能夠正確地將實際問題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃模型。

-學(xué)生是否能夠正確地建立目標(biāo)函數(shù)和約束條件。

-學(xué)生是否能夠運用圖形法或簡單形法求解線性規(guī)劃問題。

-學(xué)生是否能夠分析問題的實際應(yīng)用背景和意義。

2.指出存在的問題并給出改進建議：

-對于建模方面的問題，提醒學(xué)生注意實際問題的細(xì)節(jié)，確保模型能夠準(zhǔn)確反映問題的本質(zhì)。

-對于求解方面的問題，引導(dǎo)學(xué)生回顧圖形法和簡單形法的步驟，強調(diào)關(guān)鍵步驟的執(zhí)行。

-對于應(yīng)用方面的問題，鼓勵學(xué)生多思考實際問題的解決策略，提高解決問題的能力。

3.促進學(xué)生的學(xué)習(xí)進步：

-對于作業(yè)中表現(xiàn)良好的學(xué)生，給予表揚和鼓勵，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

-對