/津衡中學(xué)2024-2025學(xué)年度高三年級(jí)二月質(zhì)量檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)試卷檢測(cè)時(shí)間：120分鐘分值：150分本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共2.頁(yè).其中第I卷共45分，第Ⅱ卷共105分，滿分共150分.第I卷（客觀題共45分）注意事項(xiàng)：1答題前填寫(xiě)好自已的姓名?班級(jí)?考號(hào)等信息.2.請(qǐng)將客觀題答案填涂到答題卡相應(yīng)位置.3.請(qǐng)將主觀題答案寫(xiě)在答題卡上.一?單選題（每小題5分，共45分）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用集合的交集、補(bǔ)集的定義即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，又，所?故選：A.2.已知a，b都是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件 C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分必要條件的定義判斷．【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，即充分性滿足，但時(shí)，而不成立（不存在），必要性不滿足，故為充分不必要條件，故選：B．3.已知，，，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】由指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)，所以由，，所以為增函數(shù)，故由，所以.故選：A.4.函數(shù)的圖象大致為（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】分析函數(shù)的奇偶性可排除選項(xiàng)B，根據(jù)時(shí)可確定選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則，∴函數(shù)為奇函數(shù)，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，，由得，，∴，∴，CD錯(cuò)誤，選項(xiàng)A符合要求.故選：A.5.已知是等比數(shù)列，是數(shù)列的前項(xiàng)和，，則的值為（）A.3 B.18 C.54 D.152【答案】C【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，令時(shí)，，由此解出，再由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出的值.【詳解】當(dāng)時(shí)，，兩式相減可得：，即，即，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，又令時(shí)，，所以，解得：，所以是以為首項(xiàng)，為公比等比數(shù)列，所以.故選：C.6.已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，若為偶函?shù)，且，則的值為（）A. B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性的概念求解.【詳解】∵奇函數(shù)，∴，則，即，∵為偶函數(shù)，∴，∴，，∴，，則，故選：A.7.下列說(shuō)法中，正確的個(gè)數(shù)為（）①樣本相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值大小可以反映成對(duì)樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度；②用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好；③隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則；④隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，若方差，則．A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè)【答案】C【解析】【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)分布的性質(zhì)，擬合效果的衡量以及正態(tài)分布的性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1，成對(duì)樣本數(shù)據(jù)之間線性相關(guān)的程度越強(qiáng)，故①正確；用不同的模型擬合同一組數(shù)據(jù)，則殘差平方和越小的模型擬合的效果越好，故②正確；已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則，故③正確；若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，則方差，所以，所以，所以或，故④錯(cuò)誤.故選：C.8.如圖，三棱柱中，是上靠近的三等分點(diǎn)，平面將三棱柱分成體積為，兩部分，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先確定出截面的位置，然后采用割補(bǔ)法結(jié)合替換頂點(diǎn)求解出，由此可求解出的值.【詳解】取靠近的三等分點(diǎn)，連接，如圖所示，因?yàn)榉謩e是靠近的三等分點(diǎn)，所以且，所以，所以四點(diǎn)共面；設(shè)三棱柱的高為，三棱柱體積，因?yàn)?，所以，，所以，所以，所以，所以，故選：C.9.已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，經(jīng)過(guò)的直線交雙曲線的左支于，，的內(nèi)切圓的圓心為，的角平分線為交于M，且，若，則該雙曲線的離心率是（

）A. B. C. D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)內(nèi)切圓于，可設(shè)，進(jìn)而得，結(jié)合，可得，進(jìn)而得，求得，判斷出，由焦點(diǎn)三角形求得，即可求解.【詳解】設(shè)內(nèi)切圓的半徑為，由，即，則,設(shè)，則，則，由，即，則，則，，則，故，同理得，故，故，則，故，則，則.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：橢圓、雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．第Ⅱ卷（主觀題共105分）二?填空題（每小題5分，共30分）10.為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則計(jì)算．【詳解】，故答案為：11.的展開(kāi)式的第四項(xiàng)為_(kāi)________.【答案】【解析】【分析】寫(xiě)出二項(xiàng)式的通項(xiàng)公式，代值計(jì)算即得.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，得故答案為：.12.圓與拋物線的準(zhǔn)線相交于，兩點(diǎn).若，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)弦長(zhǎng)為，利用垂徑定理可得，進(jìn)而可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為.【詳解】如圖，拋物線的準(zhǔn)線方程為，圓即，圓心坐標(biāo)為，半徑為，由垂徑定理可得，即，得或（舍去），故拋物線方程為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故答案為：13.甲袋中有2個(gè)紅球，2個(gè)白球和1個(gè)黑球，乙袋中有3個(gè)紅球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球（除顏色外，球的大小、形狀完全相同）.先從甲袋中隨機(jī)取出1球放入乙袋，再?gòu)囊掖须S機(jī)取出1球.分別以，，表示由甲袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件，以表示由乙袋取出的球是紅球的事件，則______，______.【答案】①.②.【解析】【分析】計(jì)算出，，利用條件概率求出；再利用全概率公式求出.【詳解】由題意得：，，故；又，，，，故.故答案為：；14.如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)分別在邊上，且，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，且滿足，則________；當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，的取值范圍為_(kāi)_______．【答案】①.##②.【解析】【分析】若點(diǎn)為的中點(diǎn)，根據(jù)平面向量的加減法的三角形法則表示，從而可求解，進(jìn)而可求得；當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，利用，表示出和，再表示出，根據(jù)的范圍，即可得出結(jié)果.【詳解】若點(diǎn)為的中點(diǎn)，則.所以，則；當(dāng)點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，，又，，又，則，.故答案為：；15.設(shè)函數(shù)，若函數(shù)與直線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則的取值范圍是______.【答案】或或【解析】【分析】對(duì)于，當(dāng)可直接去絕對(duì)值求解，當(dāng)時(shí)，分和討論，通過(guò)和圖像交點(diǎn)情況來(lái)求解.【詳解】由已知，即，則必過(guò)點(diǎn)，必過(guò)，對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)恒成立，所以，令，即，要有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則，解得或或，當(dāng)時(shí)，或，當(dāng)時(shí)，和圖象如下：此時(shí)夾在其兩零點(diǎn)之間的部分為，令，得無(wú)解，則有兩個(gè)根有兩個(gè)根，即有兩個(gè)解，，符合要求；當(dāng)時(shí)，和圖象如下：或令，根據(jù)韋達(dá)定理可得其兩根均為正數(shù)，對(duì)于①，則，解得，對(duì)于②，則，解得，綜上所述，的取值范圍是或或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對(duì)于方程的根或者函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，圖象直觀方便，對(duì)解題可以帶來(lái)很大的方便.三?解答題（共75分）16.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，．已知，，．（1）求角的大小；（2）求的值；（3）求的值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由余弦定理求出，結(jié)合，求出；（2）結(jié)合（1），由正弦定理求出的值；（3）由二倍角公式得到，由正弦和角公式求出答案.【小問(wèn)1詳解】在中，，，，由余弦定理得，又因?yàn)?，所以；【小?wèn)2詳解】在中，由（1）知，，，由正弦定理可得；【小問(wèn)3詳解】由知，所以角A為銳角，因?yàn)?，所以，所以，，所?17.如圖，在四棱錐中，平面平面，，為棱PC的中點(diǎn).（1）證明：平面PAD；（2）求平面PDM和平面BDM的夾角的余弦值；（3）在線段PA上是否存在點(diǎn)，使點(diǎn)到平面BDM的距離是？若存在，求PQ的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】（1）證明過(guò)程見(jiàn)解析（2）（3）若存在點(diǎn)，使點(diǎn)到平面BDM的距離是，PQ的長(zhǎng)為【解析】【分析】（1）作出輔助線，由中位線得到線線平行和邊長(zhǎng)關(guān)系，故四邊形為平行四邊形，，從而證明出線面平行；（2）由面面垂直得到線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出兩平面的法向量，求出面面角的余弦值；（3）設(shè)，，求出，在（2）基礎(chǔ)上，平面的一個(gè)法向量，利用點(diǎn)到平面的距離向量公式得到方程，求出，求出.【小問(wèn)1詳解】取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)闉槔釶C的中點(diǎn)，所以且，又，故，又，故，所以四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面，所以平面；【小問(wèn)2詳解】平面平面，交線為，又，平面，故平面，因?yàn)槠矫?，所以，，又，故兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，其中平面的一個(gè)法向量為，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，故，設(shè)平面PDM和平面BDM的夾角為，則；【小問(wèn)3詳解】設(shè)，，，故，所以，故，由（2）知平面的一個(gè)法向量為，點(diǎn)到平面BDM的距離是，解得或（舍去），此時(shí)若存在點(diǎn)，使點(diǎn)到平面BDM的距離是，PQ的長(zhǎng)為18.已知橢圓，以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為8的正方形（記為）.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓相交于點(diǎn)，若線段的中點(diǎn)落在正方形內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線的斜率的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)橢圓的方程為，由題意可得，求解即可得橢圓的方程；（2）設(shè)直線的方程為：，點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，聯(lián)立直線與橢圓的方程可得，由韋達(dá)定理可得，可得，由點(diǎn)在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為，可求得直線斜率的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】依題意，設(shè)橢圓的方程為，焦距為，因?yàn)橐詢蓚€(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)面積為8的正方形，所以，所以.故橢圓的方程為：；【小問(wèn)2詳解】設(shè)直線的方程為：，如圖：設(shè)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)為，由，得.①由，解得.因?yàn)槭欠匠挞俚膬筛?，所以，，，因?yàn)?，所以點(diǎn)不可能在軸的右邊，又直線方程分別為，所以點(diǎn)在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為，即，即，解得，故直線斜率的取值范圍是.19.已知等比數(shù)列的公比，若，且，，分別是等差數(shù)列第1，3，5項(xiàng).（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（3）記，求的最大值和最小值.【答案】（1），（2）（3）最大值，最小值為【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的知識(shí)求得.（2）利用錯(cuò)位相減求和法求得.（3）利用裂項(xiàng)求和法，結(jié)合對(duì)進(jìn)行分類討論，由此求得的最大值和最小值.【小問(wèn)1詳解】依題意，，，解得，所以，則，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以.【小問(wèn)2詳解】，，，兩式相減得，.【小問(wèn)3詳解】，，當(dāng)偶數(shù)時(shí)，，令（為偶數(shù)），則是單調(diào)遞增數(shù)列，最小值為，且.當(dāng)為奇數(shù)是，，令（為奇數(shù)），則是單調(diào)遞減數(shù)列，最大值為，且.綜上所述，的最大值為，最小值為.【點(diǎn)睛】求解等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是通過(guò)基本量的計(jì)算求得首項(xiàng)和公差（公比）.求解形如等差數(shù)列乘以等比數(shù)列，或等差數(shù)列除以等比數(shù)列的數(shù)列的前項(xiàng)和，使用的方法是錯(cuò)位相減求和法.20.已知，.（1）若，判斷函數(shù)在的單調(diào)性；（2）設(shè)，對(duì)，，有恒成立，求k的最小值；（3）證明：..【答案】（1）單調(diào)遞增（2）2（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)三角函數(shù)的有界性以及可判斷，即可求解單調(diào)性，（2）求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，進(jìn)而根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)遞增，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得，即，構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可求解.（3）根據(jù)（1）的結(jié)論可得,即可令，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求證.【小問(wèn)1詳解】由題意，函數(shù)，.則，又，故，而，所以，故在上單調(diào)遞增.【小問(wèn)2詳解】由題意知，，對(duì)，，有恒成立.，設(shè)，則，由于，故，時(shí)，單調(diào)遞增，又，，因此在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)，使，即，且當(dāng)，，，單調(diào)遞減；，，，單調(diào)遞增.故，故，由于，則，故，即，設(shè)，，，又設(shè)，故在上單調(diào)遞增，因此，即，在上單調(diào)遞增，，又，所以，故所求k的最小值為2.【小問(wèn)3詳解】由（1）可知時(shí)，，