第二章幾個主要不等式§3數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式3.1數(shù)學(xué)歸納法3.2數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用1/38學(xué)習(xí)目標(biāo)重點難點1.了解并掌握數(shù)學(xué)歸納法概念和步驟．2．能夠利用數(shù)學(xué)歸納法證實等式、不等式等相關(guān)問題．3．了解貝努利不等式，并利用它證實一些簡單不等式.1.重點是數(shù)學(xué)歸納法步驟及應(yīng)用．2．難點是用數(shù)學(xué)歸納法證實不等式.2/383/38一、閱讀教材P36～P37“數(shù)學(xué)歸納法”相關(guān)內(nèi)容，完成以下問題：1．?dāng)?shù)學(xué)歸納法(1)數(shù)學(xué)歸納法概念：設(shè)有一個關(guān)于正整數(shù)n命題，若當(dāng)n取第1個值n0時該命題成立，又在假設(shè)當(dāng)n取第__________________個值時該命題成立后能夠推出n取第________個值時該命題成立，則該命題對_________________都成立，這種證實方法叫作數(shù)學(xué)歸納法．(2)數(shù)學(xué)歸納法適用范圍：可用于證實與____________相關(guān)命題．k(k∈N＋，k≥n0)k＋1一切自然數(shù)n≥n0

正整數(shù)4/382．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證實命題步驟(1)驗證當(dāng)n取_____________

(如n0＝1或2等)時命題正確．(2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥n0)時命題正確，證實當(dāng)____________時命題也正確．在完成了上述兩個步驟之后，就能夠斷定命題對于從n0開始全部正整數(shù)都正確．第一個值n0

n＝k＋15/381．(1)數(shù)學(xué)歸納法中，n取得第一個值n0是否一定是1?(2)怎樣了解歸納假設(shè)在證實中作用？提醒：(1)n0不一定是1，是符合命題第一個正整數(shù)．(2)歸納假設(shè)在證實中起一個橋梁作用，用于聯(lián)絡(luò)第一個值n0和后續(xù)n值所對應(yīng)情形．在歸納遞推證實中，必須以歸納假設(shè)為基礎(chǔ)進(jìn)行證實，不然，就不是數(shù)學(xué)歸納法．6/38用數(shù)學(xué)歸納法證實“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”過程以下：(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝20＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立．(2)假設(shè)n＝k(k≥1，且k∈N＋)時，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，7/38沒有用到歸納假設(shè)

8/38二、閱讀教材P38～P39“數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用”相關(guān)內(nèi)容，完成以下問題：3．貝努利不等式對任何實數(shù)x≥－1和任何正整數(shù)n，有(1＋x)n≥________.1＋nx

9/382．在貝努利不等式中，當(dāng)指數(shù)n推廣到任意實數(shù)且x>－1時，不等式形式將有何改變？提醒：當(dāng)指數(shù)n推廣到任意實數(shù)且x>－1時，若0<a<1，則(1＋x)a≤1＋ax；若a<0或a>1，則(1＋x)a≥1＋ax.10/3811/38用數(shù)學(xué)歸納法證實等式

12/3813/38【點評】應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證實代數(shù)恒等式關(guān)鍵是在利用歸納假設(shè)，分析p(k)與p(k＋1)差異及聯(lián)絡(luò)，利用拆、添、并、放等伎倆，從p(k＋1)中分離出p(k)，再進(jìn)行局部調(diào)整，也可考慮尋求二者結(jié)合點，方便順利過渡，利用歸納假設(shè)，經(jīng)過恒等變形，得到結(jié)論需要形式．14/3815/3816/3817/38用數(shù)學(xué)歸納法證實不等式

18/3819/38【點評】在用數(shù)學(xué)歸納法證實不等式問題中，從n＝k到n＝k＋1過渡中，利用歸納假設(shè)是比較困難一步．它不像用數(shù)學(xué)歸納法證實恒等式問題，只需拼湊出所需要結(jié)構(gòu)來．而證實不等式第二步中，從n＝k到n＝k＋1，只用拼湊方法，有時也行不通．因為對不等式來說，它還包括放縮問題，它可能需經(jīng)過放大或縮小過程，才能利用上歸納假設(shè)．所以，我們能夠利用比較法、綜正當(dāng)、分析法等來分析從n＝k到n＝k＋1改變，從中找到放縮尺度，準(zhǔn)確地拼湊出所需要結(jié)構(gòu)．20/3821/3822/3823/3824/38貝努利不等式應(yīng)用25/3826/38【點評】貝努利不等式可把二項式乘方(1＋x)n縮小為1＋nx形式，這在用數(shù)值預(yù)計和放縮法證實不等式中可發(fā)揮較大作用．27/383．已知n為正整數(shù)，求證：(1－cosx)n≥(1－n)cosx.證實：因為－cosx≥－1，所以由貝努利不等式，得(1－cosx)n＝[1＋(－cosx)]n≥1－ncosx.又1－ncosx＝(1－cosx)＋(1－n)cosx≥(1－n)cosx，所以(1－cosx)n≥(1－n)cosx.28/38用數(shù)學(xué)歸納法處理與正整數(shù)n相關(guān)探索型問題29/3830/3831/38【點評】處理該類問題思緒：先經(jīng)過給n賦一些特殊值，經(jīng)過對得到結(jié)果觀察、判斷，猜測出普通性結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證實．32/3833/3834/3835/381．?dāng)?shù)學(xué)歸納法兩個步驟缺一不可，第一步中驗證n初始值至關(guān)主要，它是遞推基礎(chǔ)，但n初始值不一定是1，而是n取值范圍內(nèi)最小值．2．第二步證實關(guān)鍵是利用歸納假設(shè)．在利用歸納假設(shè)時，應(yīng)分析p(k)與p(k＋1)差異與聯(lián)絡(luò)，利用拆、添、并、放、縮等伎倆，或從歸納假設(shè)出發(fā)，從p(k＋1)中分離出p(k)再進(jìn)行局部調(diào)整．36/383．?dāng)?shù)列中不少問題都可用數(shù)學(xué)歸