教案--第一章行列式?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識(shí)與技能目標(biāo)-理解行列式的定義，掌握二階、三階行列式的計(jì)算方法。-熟悉行列式的性質(zhì)，能夠運(yùn)用性質(zhì)簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算。-了解行列式按行（列）展開定理，并能運(yùn)用該定理計(jì)算行列式。-掌握克萊姆法則，會(huì)用克萊姆法則求解線性方程組。2.過(guò)程與方法目標(biāo)-通過(guò)行列式定義的引入，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的歸納能力。-在行列式性質(zhì)的探究和應(yīng)用過(guò)程中，提高學(xué)生的邏輯推理能力和運(yùn)算能力。-通過(guò)克萊姆法則的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生體會(huì)行列式在解線性方程組中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)-激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的興趣，培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度。-體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和創(chuàng)新精神。

二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)-行列式的定義及計(jì)算。-行列式的性質(zhì)及其應(yīng)用。-行列式按行（列）展開定理。-克萊姆法則。2.教學(xué)難點(diǎn)-行列式定義的理解，尤其是n階行列式的遞歸定義。-行列式性質(zhì)的綜合運(yùn)用，簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算。-行列式按行（列）展開定理的證明及應(yīng)用。-克萊姆法則的證明及適用條件。

三、教學(xué)方法講授法、討論法、練習(xí)法相結(jié)合。通過(guò)講授引導(dǎo)學(xué)生理解行列式的基本概念和性質(zhì)，通過(guò)討論促進(jìn)學(xué)生對(duì)難點(diǎn)問(wèn)題的思考和交流，通過(guò)練習(xí)鞏固所學(xué)知識(shí)，提高學(xué)生的運(yùn)算能力和解題技巧。

四、教學(xué)過(guò)程

（一）課程導(dǎo)入（5分鐘）通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引出行列式的概念。例如，求解二元線性方程組：\[\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2\end{cases}\]利用消元法求解可得：\[x_1=\frac{b_1a_{22}-b_2a_{12}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}},\quadx_2=\frac{b_2a_{11}-b_1a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}\]為了便于記憶和進(jìn)一步研究線性方程組的解，我們引入行列式的概念。

（二）行列式的定義（20分鐘）1.二階行列式-定義：符號(hào)\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}\)稱為二階行列式，它的值規(guī)定為\(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\)。-利用二階行列式，上述二元線性方程組的解可以表示為：\[x_1=\frac{\begin{vmatrix}b_1&a_{12}\\b_2&a_{22}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}},\quadx_2=\frac{\begin{vmatrix}a_{11}&b_1\\a_{21}&b_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}\]2.三階行列式-定義：符號(hào)\(\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}\)稱為三階行列式，它的值規(guī)定為：\[\begin{align*}&a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{11}a_{23}a_{32}\\=&a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})-a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31})\end{align*}\]-可以通過(guò)對(duì)角線法則來(lái)記憶三階行列式的計(jì)算，即從左上角到右下角的三個(gè)元素乘積取正號(hào)，從右上角到左下角的三個(gè)元素乘積取負(fù)號(hào)，然后將這六項(xiàng)相加。3.n階行列式-定義：采用遞歸的方式定義n階行列式。設(shè)\(n-1\)階行列式已經(jīng)定義，\(n\)階行列式\(D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\)的值為：\[D=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+\cdots+a_{1n}A_{1n}\]其中\(zhòng)(A_{1j}=(-1)^{1+j}M_{1j}\)，\(M_{1j}\)是去掉\(D\)的第一行和第\(j\)列后得到的\(n-1\)階行列式，稱為元素\(a_{1j}\)的余子式，\(A_{1j}\)稱為元素\(a_{1j}\)的代數(shù)余子式。

通過(guò)具體例子詳細(xì)講解n階行列式的定義計(jì)算方法，如：\[D=\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\]首先求\(a_{11}=1\)的代數(shù)余子式\(A_{11}\)，去掉第一行第一列后得到二階行列式\(M_{11}=\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}\)，則\(A_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}=5\times9-6\times8=-3\)。同理可得其他元素的代數(shù)余子式，進(jìn)而計(jì)算出行列式的值。

（三）行列式的性質(zhì)（30分鐘）1.性質(zhì)1：行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。-即\(D=D^T\)，其中\(zhòng)(D^T\)是\(D\)的轉(zhuǎn)置行列式，也就是將\(D\)的行與列互換得到的行列式。-例如，\(\begin{vmatrix}1&2\\3&4\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&3\\2&4\end{vmatrix}\)，通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證該性質(zhì)。2.性質(zhì)2：互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。-例如，\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=-\begin{vmatrix}c&d\\a&b\end{vmatrix}\)，通過(guò)計(jì)算說(shuō)明互換兩行后行列式的值變?yōu)樵瓉?lái)的相反數(shù)。3.性質(zhì)3：行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個(gè)數(shù)\(k\)，等于用數(shù)\(k\)乘以此行列式。-即\(\begin{vmatrix}ka&kb\\c&d\end{vmatrix}=k\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\)，通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證該性質(zhì)。4.性質(zhì)4：行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式的值為零。-例如，\(\begin{vmatrix}a&b\\ka&kb\end{vmatrix}=0\)，因?yàn)閮尚性爻杀壤?，利用性質(zhì)3和性質(zhì)2可說(shuō)明行列式的值為零。5.性質(zhì)5：若行列式的某一行（列）的元素都是兩數(shù)之和，例如第\(i\)行的元素都是兩數(shù)之和：\[\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_1+c_1&b_2+c_2&\cdots&b_n+c_n\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\b_1&b_2&\cdots&b_n\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\c_1&c_2&\cdots&c_n\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\]通過(guò)舉例詳細(xì)講解該性質(zhì)的應(yīng)用。6.性質(zhì)6：把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一個(gè)數(shù)然后加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式的值不變。-例如，將行列式\(\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}\)的第一行乘以\(k\)加到第二行上，得到\(\begin{vmatrix}a&b\\c+ka&d+kb\end{vmatrix}\)，其值與原行列式相等。通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證該性質(zhì)，并通過(guò)具體例子說(shuō)明如何利用此性質(zhì)簡(jiǎn)化行列式的計(jì)算。

通過(guò)多個(gè)不同類型的例子，讓學(xué)生熟練掌握行列式性質(zhì)的應(yīng)用，如：\[\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\]利用性質(zhì)6，將第三行減去第一行的\(7\)倍，第二行減去第一行的\(4\)倍，得到：\[\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&-6&-12\end{vmatrix}\]再利用性質(zhì)3，將第二行乘以\(-2\)加到第三行上，得到：\[\begin{vmatrix}1&2&3\\0&-3&-6\\0&0&0\end{vmatrix}\]根據(jù)行列式性質(zhì)4，該行列式的值為\(0\)。

（四）行列式按行（列）展開定理（25分鐘）1.定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即\[D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in}\quad(i=1,2,\cdots,n)\]或\[D=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj}\quad(j=1,2,\cdots,n)\]2.證明思路：利用行列式的定義和性質(zhì)進(jìn)行證明，通過(guò)將行列式按某一行（列）展開，逐步推導(dǎo)得到定理的結(jié)論。在證明過(guò)程中，詳細(xì)講解每一步的依據(jù)和推理過(guò)程，讓學(xué)生理解定理的本質(zhì)。3.舉例應(yīng)用：\[\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}\]按第一行展開：\[\begin{align*}\begin{vmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{vmatrix}&=1\times(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}5&6\\8&9\end{vmatrix}+2\times(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}4&6\\7&9\end{vmatrix}+3\times(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}4&5\\7&8\end{vmatrix}\\&=1\times(5\times9-6\times8)-2\times(4\times9-6\times7)+3\times(4\times8-5\times7)\\&=-3-2\times(-6)+3\times(-3)\\&=-3+12-9\\&=0\end{align*}\]

（五）克萊姆法則（20分鐘）1.對(duì)于\(n\)個(gè)未知數(shù)\(n\)個(gè)方程的線性方程組：\[\begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\\cdots\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+\cdots+a_{nn}x_n=b_n\end{cases}\]如果其系數(shù)行列式\(D=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&a_{n2}&\cdots&a_{nn}\end{vmatrix}\neq0\)，則方程組有唯一解：\[x_j=\frac{D_j}{D}\quad(j=1,2,\cdots,n)\]其中\(zhòng)(D_j\)是將系數(shù)行列式\(D\)中第\(j\)列元素?fù)Q成方程組右端的常數(shù)項(xiàng)\(b_1,b_2,\cdots,b_n\)所得到的\(n\)階行列式。2.證明克萊姆法則：通過(guò)利用行列式的性質(zhì)和按行（列）展開定理，證明方程組的解可以表示為\(x_j=\frac{D_j}{D}\)的形式。在證明過(guò)程中，詳細(xì)展示每一步的推導(dǎo)過(guò)程，讓學(xué)生理解克萊姆法則的原理。3.舉例求解：求解線性方程組\[\begin{cases}2x_1+x_2-5x_3+x_4=8\\x_1-3x_2-6x_4=9\\2x_2-x_3+2x_4=-5\\x_1+4x_2-7x_3+6x_4=0\end{cases}\]首先計(jì)