【備戰(zhàn)25年高考】2024年新高考Ⅱ卷數(shù)學(xué)真題解題技巧（1題2-4解）真題真題01復(fù)數(shù)真題解題技巧真題02常用邏輯用語(yǔ)真題解題技巧真題03平面向量真題解題技巧真題04統(tǒng)計(jì)真題解題技巧真題05軌跡方程真題解題技巧真題06函數(shù)的交點(diǎn)真題解題技巧真題07線面角真題解題技巧真題08函數(shù)的性質(zhì)及不等式最值真題解題技巧真題09三角函數(shù)圖象與性質(zhì)真題解題技巧真題10解析幾何真題解題技巧真題11函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用真題解題技巧真題12等差數(shù)列真題解題技巧真題13三角恒等變換真題解題技巧真題14排列組合真題解題技巧真題15解三角形解答題真題解題技巧真題16導(dǎo)數(shù)解答題真題解題技巧真題17立體幾何解答題真題解題技巧真題18概率統(tǒng)計(jì)解答題真題解題技巧真題19數(shù)列與雙曲線結(jié)合真題解題技巧本節(jié)導(dǎo)航真題01復(fù)數(shù)真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）已知，則（

）A．0 B．1 C． D．2本題考查復(fù)數(shù)的模的計(jì)算。對(duì)于復(fù)數(shù),其模的計(jì)算公式為,屬于簡(jiǎn)單題。【解法一】直接計(jì)算【解法二】幾何意義法【解法三】類比向量模長(zhǎng)法1．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．2．（2025·福建·模擬預(yù)測(cè)）若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C．5 D．83．（2025·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)、在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)分別為、，則為（

）A． B． C． D．真題02常用邏輯用語(yǔ)真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）已知命題p：，；命題q：，，則（

）A．p和q都是真命題 B．和q都是真命題C．p和都是真命題 D．和都是真命題本題是關(guān)于命題真假判斷的邏輯題，需要分別判斷全稱量詞命題和存在量詞命題的真假，再根據(jù)命題的否定以及真假性的關(guān)系來(lái)確定選項(xiàng)?！窘夥ㄒ弧糠蠢?yàn)證法【解法二】數(shù)學(xué)意義及計(jì)算綜合法1．（2024·甘肅張掖·一模）已知命題；命題．則（

）A．和都是真命題 B．和都是真命題C．和都是真命題 D．和都是真命題2．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）已知命題，，命題，，則（

）A．和都是真命題 B．和都是真命題C．和都是真命題 D．和都是真命題3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知命題，若是假命題，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．真題03平面向量真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）已知向量滿足，且，則（

）A． B． C． D．1本題是一道關(guān)于向量運(yùn)算的題目，已知向量的模長(zhǎng)以及向量垂直的關(guān)系，要求出另一個(gè)向量的模長(zhǎng)。主要考查向量的模長(zhǎng)公式、向量垂直的性質(zhì)以及向量的運(yùn)算規(guī)則?！窘夥ㄒ弧看怪标P(guān)系展開(kāi)【解法二】利用向量模長(zhǎng)公式和向量垂直性質(zhì)1．（2025·廣東·一模）已知向量滿足，則（

）A．2 B． C． D．32．（2025·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）若向量，滿足，，，的夾角為，則（

）A． B． C． D．3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知向量滿足，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4真題04統(tǒng)計(jì)真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）某農(nóng)業(yè)研究部門(mén)在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產(chǎn)量（單位：kg）并整理如下表畝產(chǎn)量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1050，1100）[1100，1150）[1150，1200）頻數(shù)61218302410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論中正確的是（

）A．100塊稻田畝產(chǎn)量的中位數(shù)小于1050kgB．100塊稻田中畝產(chǎn)量低于1100kg的稻田所占比例超過(guò)80%C．100塊稻田畝產(chǎn)量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產(chǎn)量的平均值介于900kg至1000kg之間本題是關(guān)于統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的分析問(wèn)題，給出了100塊稻田畝產(chǎn)量的分組頻數(shù)分布情況，要求判斷各個(gè)選項(xiàng)關(guān)于畝產(chǎn)量的中位數(shù)、比例、極差、平均值等結(jié)論的正確性?！窘夥ㄒ弧恐鹨贿x項(xiàng)計(jì)算法【解法二】平均值估算下限法【解法三】平均值估算上限法（略）1．（2024·廣西來(lái)賓·模擬預(yù)測(cè)）某校舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，現(xiàn)將100名參賽學(xué)生的成績(jī)（單位：分）整理如下：成績(jī)頻數(shù)52530201010根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論正確的是（

）A．100名學(xué)生成績(jī)的極差為60分B．100名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)大于70分C．100名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)大于60分D．100名學(xué)生中成績(jī)大于60分的人數(shù)所占比例超過(guò)2．（2024·上海普陀·一模）某機(jī)構(gòu)對(duì)2014年至2023年的中國(guó)新能源汽車的年銷售量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如圖所示（單位：萬(wàn)輛），則下列結(jié)論中正確的是（

）A．這十年中國(guó)新能源汽車年銷售量的中位數(shù)為123B．這十年中國(guó)新能源汽車年銷售量的極差為721C．這十年中國(guó)新能源汽車年銷售量的第70百分位數(shù)為136.6D．這十年中的前五年的年銷售量的方差小于后五年的年銷售量的方差3．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙、丁對(duì)某組數(shù)據(jù)（該組數(shù)據(jù)由5個(gè)整數(shù)組成）進(jìn)行分析，得到以下數(shù)字特征，則不能判斷這組數(shù)據(jù)一定都小于12的是（

）A．甲：中位數(shù)為9，眾數(shù)為11 B．乙：中位數(shù)為9，極差為3C．丙：平均數(shù)為8，極差為4 D．?。浩骄鶖?shù)為8，方差為3真題05軌跡方程真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）已知曲線C：（），從C上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段，為垂足，則線段的中點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A．（） B．（）C．（） D．（）本題是求軌跡方程的問(wèn)題，已知曲線的方程，通過(guò)曲線上點(diǎn)與線段中點(diǎn)的關(guān)系，利用相關(guān)點(diǎn)法等方法求出點(diǎn)的軌跡方程?！窘夥ㄒ弧肯嚓P(guān)點(diǎn)法【解法二】參數(shù)方程轉(zhuǎn)化法1．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．2．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為軸、軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以線段為直徑的圓過(guò)點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）.A． B．C． D．3．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知圓，圓，已知為兩圓外的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作兩圓的割線和，總有，則點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．真題06函數(shù)的交點(diǎn)真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）設(shè)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，則（

）A． B． C．1 D．2本題是函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，已知兩個(gè)函數(shù)和,在給定區(qū)間內(nèi)，曲線與恰有一個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)在該區(qū)間恰有一個(gè)零點(diǎn)，通過(guò)不同方法求解的值?！窘夥ㄒ弧俊窘夥ǘ?．（2024·北京·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．0 C．3 D．無(wú)窮2．（2024·廣東·一模）函數(shù)與函數(shù)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于的方程有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則（

）A． B． C． D．真題07線面角真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）已知正三棱臺(tái)的體積為，，，則與平面ABC所成角的正切值為（

）A． B．1 C．2 D．3本題是立體幾何中關(guān)于正三棱臺(tái)的問(wèn)題，已知正三棱臺(tái)的體積以及上下底面正三角形的邊長(zhǎng)，要求出側(cè)棱與底面所成角的正切值。需要先根據(jù)正三棱臺(tái)的性質(zhì)求出相關(guān)的邊長(zhǎng)，高，再找出線面角，進(jìn)而求解其正切值?！窘夥ㄒ弧砍Ｒ?guī)法【解法二】補(bǔ)形法【解法三】向量法1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）在四棱錐中，為等邊三角形，四邊形為矩形，且，平面平面，則直線AC與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．12．（2024·廣西柳州·一模）已知正四棱臺(tái)的體積為，，，則與底面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．43．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）正三棱臺(tái)三側(cè)棱的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，如果，三棱臺(tái)的體積為，的面積為，那么側(cè)棱與底面所成角的正切值為（

）A． B． C． D．真題08函數(shù)的性質(zhì)及不等式最值真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）設(shè)函數(shù)，若，則的最小值為（

）A． B． C． D．1本題是函數(shù)與不等式結(jié)合，求二元代數(shù)式最值的問(wèn)題。已知函數(shù)且恒成立，需要通過(guò)分析函數(shù)性質(zhì)，找出滿足的條件，進(jìn)而求出的最小值?！窘夥ㄒ弧俊窘夥ǘ?．（2024·四川德陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知，，當(dāng)時(shí)，若恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．（2024·黑龍江大慶·一模）已知函數(shù)，若對(duì)任意的，，則的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）若關(guān)于不等式恒成立，則當(dāng)時(shí)，的最小值為（

）A． B． C．1 D．真題09三角函數(shù)圖象與性質(zhì)真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）對(duì)于函數(shù)和，下列說(shuō)法中正確的有（

）A．與有相同的零點(diǎn) B．與有相同的最大值C．與有相同的最小正周期 D．與的圖象有相同的對(duì)稱軸本題是一道關(guān)于三角函數(shù)性質(zhì)比較的選擇題。主要考查正弦型函數(shù)的零點(diǎn)、最大值、最小正周期以及對(duì)稱軸等性質(zhì)，需要分別對(duì)函數(shù)和的這些性質(zhì)進(jìn)行分析，然后逐一判斷選項(xiàng)的正確性。【解法一】選項(xiàng)分析法【解法二】從函數(shù)的伸縮平移變換角度求解（略）1．（2025·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于函數(shù)，，則（

）A．與的圖象有相同的對(duì)稱軸B．與有相同的最小正周期C．將圖象向右平移個(gè)單位，可得到圖象D．圖象與圖象在上只有一個(gè)交點(diǎn)2．（2025·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)，則（

）A．函數(shù)的最小正周期為B．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為C．函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱D．若將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，可得3．（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，已知在區(qū)間有且僅有個(gè)對(duì)稱中心，則（

）A．在區(qū)間有且僅有2個(gè)極大值點(diǎn) B．在區(qū)間有且僅有3個(gè)極小值點(diǎn)C．在區(qū)間單調(diào)遞減 D．的取值范圍是真題10解析幾何真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）拋物線C：的準(zhǔn)線為l，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作的一條切線，Q為切點(diǎn)，過(guò)P作l的垂線，垂足為B，則（

）A．l與相切B．當(dāng)P，A，B三點(diǎn)共線時(shí)，C．當(dāng)時(shí)，D．滿足的點(diǎn)有且僅有2個(gè)本題是拋物線與圓的綜合問(wèn)題，涉及拋物線的準(zhǔn)線、圓的切線以及相關(guān)線段的性質(zhì)和數(shù)量關(guān)系。需要根據(jù)拋物線和圓的方程及幾何性質(zhì)，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析判斷?！窘夥ㄒ弧窟x項(xiàng)逐一分析法【解法二】設(shè)點(diǎn)直接求解1．（2024·甘肅白銀·一模）已知分別是等軸雙曲線的左?右焦點(diǎn)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，的焦距為直徑的圓與交于四點(diǎn)，則（

）A．的漸近線方程為B．C．D．四邊形的面積為2．（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A，B在C上（A在第一象限），點(diǎn)Q在l上，以為直徑的圓過(guò)焦點(diǎn)F，，則（

）A．若，則 B．若，則C．，則 D．，則3．（2025·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）已知，分別為雙曲線：的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)在的左支上，且與交于另一點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的離心率的取值范圍為B．若，，則C．若，，則的最小值為4D．若，，則恒為定值真題11函數(shù)的性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)應(yīng)用真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)C．存在a，b，使得為曲線的對(duì)稱軸D．存在a，使得點(diǎn)為曲線的對(duì)稱中心本題是關(guān)于函數(shù)性質(zhì)的綜合考查問(wèn)題，給出函數(shù),需要對(duì)其零點(diǎn)個(gè)數(shù)、極值點(diǎn)、對(duì)稱軸以及對(duì)稱中心等性質(zhì)進(jìn)行分析，通過(guò)對(duì)不同參數(shù)取值情況的討論，判斷各個(gè)選項(xiàng)的正確性?！窘夥ㄒ弧坷脤?duì)稱中心的表達(dá)式化簡(jiǎn)【解法二】直接利用拐點(diǎn)結(jié)論（D選項(xiàng)）1．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．有三個(gè)零點(diǎn)B．是的極小值點(diǎn)C．的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱D．當(dāng)時(shí)，2．（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱B．當(dāng)時(shí)，方程有個(gè)實(shí)根C．當(dāng)時(shí)，是的極大值點(diǎn)D．存在實(shí)數(shù)，恒成立3．（2024·吉林·三模）已知函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增B．當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值C．過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的直線有且僅有一條D．當(dāng)時(shí)，若b是a與c的等差中項(xiàng)，直線與曲線有三個(gè)交點(diǎn)，，，則.真題12等差數(shù)列真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則.本題是等差數(shù)列的相關(guān)計(jì)算問(wèn)題，已知等差數(shù)列中的兩項(xiàng)關(guān)系，要求出該數(shù)列的前1項(xiàng)和。需要根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式，通過(guò)不同的方法求出首項(xiàng)和公差,進(jìn)而計(jì)算?！窘夥ㄒ弧糠匠探M法【解法二】函數(shù)解析法1．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，則.2．（2024·甘肅張掖·一模）設(shè)是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則．3．（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列滿足，則前項(xiàng)和.真題13三角恒等變換真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）已知為第一象限角，為第三象限角，，，則.本題是三角函數(shù)求值問(wèn)題，已知為第一象限角，為第三象限角，以及與的值，要求的值。需要先根據(jù)兩角和的正切公式求出,再結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系求出.【解法一】【解法二】1．（2024·陜西寶雞·二模）已知，，則．2．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知角的終邊不重合，且，則．3．（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）中，的最大值為.真題14排列組合真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）在如圖的4×4的方格表中選4個(gè)方格，要求每行和每列均恰有一個(gè)方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個(gè)數(shù)之和的最大值是．本題是一個(gè)關(guān)于組合計(jì)數(shù)以及求最值的問(wèn)題。在4×4的方格表中按特定規(guī)則（每行每列恰選一個(gè)方格）選方格，先求選法的數(shù)量，再在這些選法中找出所選方格數(shù)字之和的最大值?！窘夥ㄒ弧恐苯忧蠼狻窘夥ǘ控澬乃惴ú呗詢?yōu)化（第二空）【解法三】匈牙利算法（第二空）略1．（2025·江西九江·一模）如圖，有一個(gè)觸屏感應(yīng)燈，該燈共有9個(gè)燈區(qū)，每個(gè)燈區(qū)都處于“點(diǎn)亮”或“熄滅”狀態(tài)，觸按其中一個(gè)燈區(qū)，將導(dǎo)致該燈區(qū)及相鄰（上、下或左、右相鄰）的燈區(qū)改變狀態(tài)．假設(shè)起初所有燈區(qū)均處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)，若從中隨機(jī)先后按下兩個(gè)不同燈區(qū)，則燈區(qū)最終仍處于“點(diǎn)亮”狀態(tài)的概率為．2．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）若集合，滿足都是的子集，且，，均只有一個(gè)元素，且，稱為的一個(gè)“有序子集列”，若有5個(gè)元素，則有多少個(gè)“有序子集列”.3．（2024·河南新鄉(xiāng)·一模）如圖，機(jī)器人從A點(diǎn)出發(fā)，每次可以向右或向上沿著線走一個(gè)單位（每個(gè)小正方形的一條邊長(zhǎng)為一個(gè)單位），要走到B點(diǎn)，不同的走法共有種．真題15解三角形解答題真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周長(zhǎng)．本題是一道三角函數(shù)與解三角形相結(jié)合的題目。第一問(wèn)要求根據(jù)給定的三角函數(shù)等式求出角的值；第二問(wèn)在已知的值以及相關(guān)等式的情況下，求出的周長(zhǎng)，需要綜合運(yùn)用三角函數(shù)公式以及正弦定理、余弦定理等知識(shí)來(lái)求解?！窘夥ㄒ弧砍Ｒ?guī)方法（輔助角公式）【解法二】常規(guī)方法（同角三角函數(shù)的基本關(guān)系）【解法三】利用極值點(diǎn)求解【解法四】利用向量數(shù)量積公式【解法五】利用萬(wàn)能公式求解1．（2025·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊為a，b，c，已知，且.(1)求角A的大??；(2)若，求△ABC的周長(zhǎng)的值.2．（2025·山東濰坊·模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)求A；(2)若的角平分線AD與BC交于點(diǎn)D，且，．求的面積，3．（2025·四川·二模）記銳角的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.(1)求的值.(2)若，求邊上的高的取值范圍.真題16導(dǎo)數(shù)解答題真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．本題是關(guān)于函數(shù)導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的問(wèn)題，第一問(wèn)求函數(shù)在某點(diǎn)處的切線方程，需要先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，進(jìn)而得到切線斜率，再結(jié)合切點(diǎn)坐標(biāo)求出切線方程；第二問(wèn)根據(jù)函數(shù)有極小值且極小值小于0求參數(shù)的取值范圍，需要通過(guò)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)分析其單調(diào)性，進(jìn)而確定極小值點(diǎn)，再根據(jù)極小值小于0建立不等式求解。【解法一】【解法二】1．（2025·江西·一模）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論的單調(diào)性，并求當(dāng)?shù)臉O大值等于時(shí)，實(shí)數(shù)的值．2．（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對(duì)任意，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.3．（2024·廣東韶關(guān)·一模）已知函數(shù)，．(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)設(shè)，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．真題17立體幾何解答題真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）如圖，平面四邊形ABCD中，，，，，，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足，，將沿EF翻折至，使得．(1)證明：；(2)求平面PCD與平面PBF所成的二面角的正弦值．本題是立體幾何中的折疊問(wèn)題，第一問(wèn)證明線線垂直，可通過(guò)線面垂直的性質(zhì)來(lái)證明；第二問(wèn)求二面角的正弦值，可利用空間向量法或傳統(tǒng)幾何法等，先找出二面角的平面角或建立空間直角坐標(biāo)系求出相關(guān)向量，再進(jìn)行計(jì)算。【解法一】空間向量法【解法二】向量法-基底向量證明線線垂直（第一問(wèn)）【解法三】純幾何法（第二問(wèn)）【解法四】三垂線法1．（2025·湖北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，平面，底面是矩形，，M是的中點(diǎn).(1)證明：平面.(2)證明：平面.(3)求平面與平面的夾角.2．（2025·福建廈門(mén)·一模）如圖，在三棱柱中，，，．

(1)證明：平面平面；(2)若直線與平面所成角為，求平面與平面夾角的余弦值．3．（2025·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，平面，，，．為上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足．(1)當(dāng)時(shí)，證明：；(2)記平面與平面的夾角為，平面與平面的夾角為，若，求的值．真題18概率統(tǒng)計(jì)解答題真題解題技巧（2024年新高考Ⅱ卷高考真題）某投籃比賽分為兩個(gè)階段，每個(gè)參賽隊(duì)由兩名隊(duì)員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊(duì)中一名隊(duì)員投籃3次，若3次都未投中，則該隊(duì)被淘汰，比賽成績(jī)?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊(duì)進(jìn)入第二階段.第二階段由該隊(duì)的另一名隊(duì)員投籃3次，每次投籃投中得5分，未投中得0分.該隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)榈诙A段的得分總和．某參賽隊(duì)由甲、乙兩名隊(duì)員組成，設(shè)甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨(dú)立．(1)若，，甲參加第一階段比賽，求甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)不少于5分的概率．(2)假設(shè)，（i）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)?yōu)?5分的概率最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？（ii）為使得甲、乙所在隊(duì)的比賽成績(jī)的數(shù)學(xué)期望最大，應(yīng)該由誰(shuí)參加第一階段比賽？本題是一道關(guān)于概率計(jì)算與決策的問(wèn)題，涉及獨(dú)立事件概率的應(yīng)用。比賽分為兩個(gè)階段，根據(jù)不同階段的投籃規(guī)則和隊(duì)員投籃命中概率，計(jì)算比賽成績(jī)滿足一定條件的概率以及確定使比賽成績(jī)期望最大的人員安排?！窘夥ㄒ弧俊窘夥ǘ康谝粏?wèn)1．（2024·新疆烏魯木齊·模擬預(yù)測(cè)）甲、乙、丙、丁相約進(jìn)行臺(tái)球比賽，約定每輪比賽均將四人分成兩組，進(jìn)行一對(duì)一對(duì)打，第1輪比賽甲、乙對(duì)打，丙、丁對(duì)打，每輪比賽結(jié)束后，兩名獲勝者組成一組在下一輪比賽中對(duì)打，兩名負(fù)者組成一組在下一輪比賽中對(duì)打，每組比賽均無(wú)平局出現(xiàn)．已知甲勝乙、丙勝丁的概率均為，甲勝丙、甲勝丁、乙勝丙、乙勝丁的概率均為，每組比賽的結(jié)果相互獨(dú)立．(1)求在第3輪比賽中，甲、丙對(duì)打的概率；(2)求在第n輪比賽中，甲、乙對(duì)打的概率及甲、丙對(duì)打的概率；(3)求在第n輪比賽中，甲獲勝的概率．2．（2025·廣東肇慶·二模）購(gòu)買盲盒成為當(dāng)下年輕人的潮流之一?其最吸引人的地方是因?yàn)楹凶由蠜](méi)有標(biāo)注物品具體信息，買家只有打開(kāi)才會(huì)知道自己買到了什么.某商店推出種款式不同的盲盒，購(gòu)買規(guī)則及概率如下：每次購(gòu)買一個(gè)，且買到任意一種款式的盲盒是等可能的.小劉特別喜歡種款式中的一種.(1)若種款式的盲盒各有一個(gè).（i）求小劉第二次才抽到特別喜歡的款式的概率.（ii）設(shè)小劉抽到特別喜歡的款式所需次數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.(2)若每種款式的盲盒數(shù)量足夠多，每次盲盒被買后老板都會(huì)補(bǔ)充被買走的款式.商店為了滿足客戶的需求，引進(jìn)了保底機(jī)制：在抽取前指定一個(gè)款式，若前次未抽出指定款式，則第次必定抽出指定款式.設(shè)為小劉抽到某指定款式所需的次數(shù)，求的數(shù)學(xué)期望（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)）.121920129103．（24-25高三上·重慶·階段練習(xí)）育才中學(xué)為普及法治理論知識(shí)，舉辦了一次法治理論知識(shí)闖關(guān)比賽．比賽規(guī)定：三人組隊(duì)參賽，按順序依次闖關(guān)，無(wú)論成敗，每位隊(duì)員只闖關(guān)一次．如果某位隊(duì)員闖關(guān)失敗，則由該隊(duì)下一隊(duì)員繼續(xù)闖關(guān)，如果該隊(duì)員闖關(guān)成功，則視作該隊(duì)獲勝，余下的隊(duì)員無(wú)需繼續(xù)闖關(guān)；若三位隊(duì)員闖關(guān)均不成功，則視為該