2025年大學(xué)統(tǒng)計學(xué)期末考試：基礎(chǔ)概念題庫精講試題考試時間：______分鐘總分：______分姓名：______一、集合與描述性統(tǒng)計要求：理解和掌握集合的基本概念、運算以及描述性統(tǒng)計的基本指標(biāo)。1.列舉集合A={1，2，3，4，5}的子集，并說明集合的基數(shù)。2.已知集合A={a，b，c，d}，集合B={a，c，e}，求A∩B和B∪A。3.設(shè)有一組數(shù)據(jù)：2，4，6，8，10，計算這組數(shù)據(jù)的均值、中位數(shù)和眾數(shù)。4.判斷下列說法的正確性，并簡要說明理由：（1）數(shù)據(jù)集中位數(shù)總是大于眾數(shù)；（2）均值是反映數(shù)據(jù)集中趨勢最常用的統(tǒng)計量；（3）標(biāo)準(zhǔn)差是衡量數(shù)據(jù)離散程度的一個統(tǒng)計量。5.將以下數(shù)據(jù)按從小到大排序，并計算排序后數(shù)據(jù)的方差：15，7，20，5，9，12。6.已知一組數(shù)據(jù)的均值、中位數(shù)和眾數(shù)分別為5、6、7，判斷下列說法的正確性，并簡要說明理由：（1）這組數(shù)據(jù)必定存在負(fù)數(shù)；（2）這組數(shù)據(jù)的方差為0；（3）這組數(shù)據(jù)的極差為5。二、概率論基礎(chǔ)知識要求：掌握概率的基本概念和運算規(guī)則。7.判斷下列說法的正確性，并簡要說明理由：（1）事件A與事件B的概率之和等于事件A∪B的概率；（2）若事件A的概率為1，則事件A一定發(fā)生；（3）若事件A的概率為0，則事件A不可能發(fā)生。8.已知事件A和事件B的概率分別為P(A)=0.4，P(B)=0.6，且事件A與事件B相互獨立，求：（1）P(A∩B)；（2）P(A∪B)；（3）P(A|B)。9.判斷下列說法的正確性，并簡要說明理由：（1）在概率實驗中，事件A的概率越大，事件A發(fā)生的可能性也越大；（2）事件A的概率為0.5，表示事件A發(fā)生的可能性為50%；（3）事件A的概率為1，表示事件A必定發(fā)生。10.設(shè)有兩個相互獨立的事件A和B，它們的概率分別為P(A)=0.3，P(B)=0.7，求：（1）事件A不發(fā)生的概率；（2）事件B不發(fā)生的概率；（3）事件A和B至少發(fā)生一個的概率。三、隨機變量及其分布要求：理解隨機變量的概念，掌握離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量的概率分布。11.設(shè)隨機變量X的可能取值為1，2，3，4，其概率分布為：P(X=1)=0.2，P(X=2)=0.3，P(X=3)=0.4，P(X=4)=0.1，求：（1）隨機變量X的期望值；（2）隨機變量X的方差；（3）隨機變量X的矩估計值。12.設(shè)隨機變量X在區(qū)間[0，1]上服從均勻分布，求：（1）隨機變量X的期望值；（2）隨機變量X的方差；（3）隨機變量X的分布函數(shù)。13.判斷下列說法的正確性，并簡要說明理由：（1）隨機變量X的方差越大，表示數(shù)據(jù)越穩(wěn)定；（2）隨機變量X的概率分布函數(shù)F(x)表示隨機變量X在區(qū)間（-∞，x]內(nèi)取值的概率；（3）若隨機變量X服從正態(tài)分布，則X的均值和方差必定存在。14.設(shè)隨機變量X在區(qū)間[0，2]上服從指數(shù)分布，其概率密度函數(shù)為f(x)=ke^(-x/2)，求：（1）常數(shù)k的值；（2）隨機變量X的期望值；（3）隨機變量X的方差。四、參數(shù)估計要求：理解和掌握點估計和區(qū)間估計的基本概念和方法。15.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，其中μ和σ^2均未知，從總體中抽取樣本容量為n=16的樣本，樣本均值為x?=10，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s=2，求：（1）總體均值μ的矩估計值；（2）總體方差σ^2的矩估計值；（3）總體均值μ的95%置信區(qū)間。16.設(shè)總體X服從二項分布B(n,p)，其中n和p均未知，從總體中抽取樣本容量為n=30的樣本，樣本成功次數(shù)為x=15，求：（1）總體成功概率p的矩估計值；（2）總體成功概率p的極大似然估計值；（3）總體成功概率p的95%置信區(qū)間。17.設(shè)總體X服從泊松分布P(λ)，其中λ未知，從總體中抽取樣本容量為n=20的樣本，樣本均值為x?=4，求：（1）總體參數(shù)λ的矩估計值；（2）總體參數(shù)λ的極大似然估計值；（3）總體參數(shù)λ的95%置信區(qū)間。18.設(shè)總體X服從指數(shù)分布Exp(λ)，其中λ未知，從總體中抽取樣本容量為n=25的樣本，樣本均值為x?=3，求：（1）總體參數(shù)λ的矩估計值；（2）總體參數(shù)λ的極大似然估計值；（3）總體參數(shù)λ的95%置信區(qū)間。19.設(shè)總體X服從均勻分布U(a,b)，其中a和b均未知，從總體中抽取樣本容量為n=10的樣本，樣本均值為x?=5，樣本最大值為x(1)=8，樣本最小值為x(n)=2，求：（1）總體參數(shù)a和b的矩估計值；（2）總體參數(shù)a和b的極大似然估計值；（3）總體參數(shù)a和b的95%置信區(qū)間。20.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，其中μ和σ^2均未知，從總體中抽取樣本容量為n=30的樣本，樣本均值為x?=50，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s=10，求：（1）總體均值μ的假設(shè)檢驗，檢驗水平為α=0.05，假設(shè)H0:μ=50，H1:μ≠50；（2）總體方差σ^2的假設(shè)檢驗，檢驗水平為α=0.05，假設(shè)H0:σ^2=100，H1:σ^2≠100。五、假設(shè)檢驗要求：理解和掌握假設(shè)檢驗的基本概念和方法，包括單樣本檢驗和雙樣本檢驗。21.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，其中μ和σ^2均未知，從總體中抽取樣本容量為n=15的樣本，樣本均值為x?=20，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s=4，求：（1）對總體均值μ進行假設(shè)檢驗，檢驗水平為α=0.05，假設(shè)H0:μ=20，H1:μ≠20；（2）對總體方差σ^2進行假設(shè)檢驗，檢驗水平為α=0.05，假設(shè)H0:σ^2=16，H1:σ^2≠16。22.設(shè)總體X和Y分別服從正態(tài)分布N(μ1,σ1^2)和N(μ2,σ2^2)，其中μ1、μ2、σ1^2和σ2^2均未知，從總體X中抽取樣本容量為n1=10的樣本，樣本均值為x?1=15，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s1=2；從總體Y中抽取樣本容量為n2=12的樣本，樣本均值為x?2=18，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s2=3，求：（1）對總體均值μ1和μ2進行雙樣本t檢驗，檢驗水平為α=0.05，假設(shè)H0:μ1=μ2，H1:μ1≠μ2；（2）對總體方差σ1^2和σ2^2進行雙樣本F檢驗，檢驗水平為α=0.05，假設(shè)H0:σ1^2=σ2^2，H1:σ1^2≠σ2^2。23.設(shè)總體X服從正態(tài)分布N(μ,σ^2)，其中μ和σ^2均未知，從總體中抽取樣本容量為n=20的樣本，樣本均值為x?=25，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為s=5，求：（1）對總體均值μ進行單樣本t檢驗，檢驗水平為α=0.05，假設(shè)H0:μ=25，H1:μ≠25；（2）對總體方差σ^2進行單樣本χ^2檢驗，檢驗水平為α=0.05，假設(shè)H0:σ^2=25，H1:σ^2≠25。六、回歸分析要求：理解和掌握線性回歸分析的基本概念和方法。24.設(shè)某城市居民月收入（Y）與年齡（X）之間存在線性關(guān)系，從該城市抽取了10個居民的數(shù)據(jù)，得到以下表格：|年齡（X）|月收入（Y）||----------|------------||25|3000||30|3500||35|4000||40|4500||45|5000||50|5500||55|6000||60|6500||65|7000||70|7500|（1）求線性回歸方程；（2）求回歸系數(shù)b和a的值；（3）求殘差平方和RSS。25.設(shè)某產(chǎn)品產(chǎn)量（Y）與投入的廣告費用（X）之間存在線性關(guān)系，從該產(chǎn)品生產(chǎn)過程中抽取了5組數(shù)據(jù)，得到以下表格：|廣告費用（X）|產(chǎn)量（Y）||--------------|----------||1000|500||1500|700||2000|900||2500|1100||3000|1300|（1）求線性回歸方程；（2）求回歸系數(shù)b和a的值；（3）求殘差平方和RSS。26.設(shè)某城市居民月收入（Y）與教育程度（X）之間存在線性關(guān)系，從該城市抽取了8個居民的數(shù)據(jù)，得到以下表格：|教育程度（X）|月收入（Y）||--------------|------------||高中|3000||大專|3500||本科|4000||碩士|4500||博士|5000||碩士后|5500||博士后|6000||其他|3500|（1）求線性回歸方程；（2）求回歸系數(shù)b和a的值；（3）求殘差平方和RSS。27.設(shè)某產(chǎn)品銷量（Y）與價格（X）之間存在線性關(guān)系，從該產(chǎn)品銷售過程中抽取了6組數(shù)據(jù)，得到以下表格：|價格（X）|銷量（Y）||----------|----------||10|500||15|400||20|300||25|200||30|100||35|50|（1）求線性回歸方程；（2）求回歸系數(shù)b和a的值；（3）求殘差平方和RSS。本次試卷答案如下：一、集合與描述性統(tǒng)計1.集合A的子集為：?，{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{3,4}，{3,5}，{4,5}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,3,4}，{1,3,5}，{1,4,5}，{2,3,4}，{2,3,5}，{2,4,5}，{3,4,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,3,4,5}，{2,3,4,5}，{1,2,3,4,5}。集合A的基數(shù)為25。2.A∩B={a，c}，B∪A={a，b，c，d}。3.均值=(2+4+6+8+10)/5=6，中位數(shù)=6，眾數(shù)=6。4.（1）錯誤，數(shù)據(jù)集中位數(shù)不一定大于眾數(shù)；（2）正確，均值是反映數(shù)據(jù)集中趨勢最常用的統(tǒng)計量；（3）正確，標(biāo)準(zhǔn)差是衡量數(shù)據(jù)離散程度的一個統(tǒng)計量。5.排序后數(shù)據(jù)為：2，4，5，6，7，8，10，方差=1.6。6.（1）錯誤，數(shù)據(jù)集中位數(shù)不一定大于眾數(shù)；（2）正確，均值是反映數(shù)據(jù)集中趨勢最常用的統(tǒng)計量；（3）正確，標(biāo)準(zhǔn)差是衡量數(shù)據(jù)離散程度的一個統(tǒng)計量。二、概率論基礎(chǔ)知識7.（1）錯誤，事件A與事件B的概率之和不一定等于事件A∪B的概率；（2）錯誤，事件A的概率為1，表示事件A發(fā)生的可能性很高，但不一定發(fā)生；（3）正確，事件A的概率為0，表示事件A不可能發(fā)生。8.（1）P(A∩B)=0.4×0.6=0.24；（2）P(A∪B)=0.4+0.6-0.24=0.76；（3）P(A|B)=P(A∩B)/P(B)=0.24/0.6=0.4。9.（1）錯誤，在概率實驗中，事件A的概率越大，事件A發(fā)生的可能性不一定越大；（2）正確，事件A的概率為0.5，表示事件A發(fā)生的可能性為50%；（3）正確，事件A的概率為1，表示事件A必定發(fā)生。10.（1）P(A')=1-P(A)=1-0.3=0.7；（2）P(B')=1-P(B)=1-0.7=0.3；（3）P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.3+0.7-0.24=0.76。三、隨機變量及其分布11.（1）期望值E(X)=1×0.2+2×0.3+3×0.4+4×0.1=2.5；（2）方差Var(X)=1^2×0.2+2^2×0.3+3^2×0.4+4^2×0.1=1.7；（3）矩估計值μ?=2.5。12.（1）期望值E(X)=0；（2）方差Var(X)=1/λ=2；（3）分布函數(shù)F(x)=x/2，當(dāng)0≤x≤1時。13.（1）錯誤，隨機變量X的方差越大，表示數(shù)據(jù)越不穩(wěn)定；（2）正確，隨機變量X的概率分布函數(shù)F(x)表示隨機變量X在區(qū)間（-∞，x]內(nèi)取值的概率；（3）正確，若隨機變量X服從正態(tài)分布，則X的均值和方差必定存在。14.（1）k=2/1=2；（2）期望值E(X)=1/λ=1/2=0.5；（3）方差Var(X)=1/λ^2=1/0.25=4。四、參數(shù)估計15.（1）總體均值μ的矩估計值μ?=x?=10；（2）總體方差σ^2的矩估計值σ^2?=s^2=2^2=4；（3）總體均值μ的95%置信區(qū)間為：(x?-t_{0.025}(n-1)s/√n,x?+t_{0.025}(n-1)s/√n)=(10-2.2622×0.8/√16,10+2.2622×0.8/√16)=(9.0444,10.9556)。16.（1）總體成功概率p的矩估計值p?=x/n=15/30=0.5；（2）總體成功概率p的極大似然估計值p?=x/n=15/30=0.5；（3）總體成功概率p的95%置信區(qū)間為：(p?-z_{0.025}√(p?(1-p?)/n),p?+z_{0.025}√(p?(1-p?)/n)=(0.5-1.96×√(0.5×0.5/30),0.5+1.96×√(0.5×0.5/30))=(0.092,0.908)。17.（1）總體參數(shù)λ的矩估計值λ?=x?=4；（2）總體參數(shù)λ的極大似然估計值λ?=x?=4；（3）總體參數(shù)λ的95%置信區(qū)間為：(λ?-z_{0.025}√(λ?/n),λ?+z_{0.025}√(λ?/n)=(4-1.96×√(4/20),4+1.96×√(4/20))=(3.056,4.944)。18.（1）總體參數(shù)λ的矩估計值λ?=x?=3；（2）總體參數(shù)λ的極大似然估計值λ?=x?=3；（3）總體參數(shù)λ的95%置信區(qū)間為：(λ?-z_{0.025}√(λ?/n),λ?+z_{0.025}√(λ?/n)=(3-1.96×√(3/25),3+1.96×√(3/25))=(2.556,3.444)。19.（1）總體參數(shù)a和b的矩估計值a?=x?/2=5/2=2.5，b?=x(1)+x(n)/2=8+2/2=5；（2）總體參數(shù)a和b的極大似然估計值a?=x?/2=5/2=2.5，b?=x(1)+x(n)/2=8+2/2=5；（3）總體參數(shù)a和b的95%置信區(qū)間為：(a?-z_{0.025}√(n/n-1)(b?-a?),b?+z_{0.025}√(n/n-1)(b?-a?))=(2.5-1.96×√(10/9)(5-2.5),5+1.96×√(10/9)(5-2.5))=(1.35,8.65)。20.（1）總體均值μ的假設(shè)檢驗，檢驗統(tǒng)計量t=(x?-μ0)/(s/√n)=5/(2/√30)=7.5/√30，自由度為n-1=16，查t分布表得到臨界值t_{0.025}(16)=1.746，由于7.5/√30>1.746，拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為總體均值μ≠50；（2）總體方差σ^2的假設(shè)檢驗，檢驗統(tǒng)計量χ^2=(n-1)s^2/σ0^2=(20-1)×10^2/100=18，自由度為n-1=16，查χ^2分布表得到臨界值χ^2_{0.025}(16)=26.296，由于18<26.296，不拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為總體方差σ^2=100。五、假設(shè)檢驗21.（1）總體均值μ的假設(shè)檢驗，檢驗統(tǒng)計量t=(x?-μ0)/(s/√n)=20/(4/√15)=5√15/2，自由度為n-1=14，查t分布表得到臨界值t_{0.025}(14)=1.345，由于5√15/2>1.345，拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為總體均值μ≠20；（2）總體方差σ^2的假設(shè)檢驗，檢驗統(tǒng)計量χ^2=(n-1)s^2/σ0^2=(15-1)×4^2/16=14，自由度為n-1=14，查χ^2分布表得到臨界值χ^2_{0.025}(14)=23.681，由于14<23.681，不拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為總體方差σ^2=16。22.（1）總體均值μ1和μ2的雙樣本t檢驗，檢驗統(tǒng)計量t=(x?1-x?2)/(√(s1^2/n1)+√(s2^2/n2))=(15-18)/(√(2^2/10)+√(3^2/12))=-3/(0.4+0.5)=(-3×2)/(0.9)=-6.667，自由度為n1+n2-2=22，查t分布表得到臨界值t_{0.025}(22)=-2.074，由于-6.667<-2.074，拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為總體均值μ1≠μ2；（2）總體方差σ1^2和σ2^2的雙樣本F檢驗，檢驗統(tǒng)計量F=(s1^2/s2^2)=(2^2/3^2)=4/9，自由度為df1=n1-1=9，df2=n2-1=11，查F分布表得到臨界值F_{0.025}(9,11)=2.844，由于4/9<2.844，不拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為總體方差σ1^2=σ2^2。23.（1）總體均值μ的單樣本t檢驗，檢驗統(tǒng)計量t=(x?-μ0)/(s/√n)=25/(5/√20)=5√20/2，自由度為n-1=29，查t分布表得到臨界值t_{0.025}(29)=1.699，由于5√20/2>1.699，拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為總體均值μ≠25；（2）總體方差σ^2的單樣本χ^2檢驗，檢驗統(tǒng)計量χ^2=(n-1)s^2/σ0^2=(30-1)×10^2/100=29，自由度為n-1=29，查χ^2分布表得到臨界值χ^2_{0.025}(29)=44.314，由于29<44.314，不拒絕原假設(shè)