第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁第PAGE"pagenumber"pagenumber頁，共NUMPAGES"numberofpages"numberofpages頁河北省承德市2024?2025學年高二上學期期末數(shù)學試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知數(shù)列，則該數(shù)列的第211項為（

）A． B．421 C． D．4232．已知點是點在坐標平面內(nèi)的射影，則（

）A． B．10 C． D．1003．已知數(shù)列滿足，其前項和為，則（

）A． B． C． D．4．若直線與互相平行，則（

）A． B．3 C．或3 D．5．對于等差數(shù)列和等比數(shù)列，我國古代很早就有研究成果，北宋科學家沈括首創(chuàng)的“隙積術(shù)”就與高階等差級數(shù)求和有關(guān).現(xiàn)有一貨物堆，從上向下查，第一層有2個貨物，第二層比第一層多3個，第三層比第二層多4個，以此類推，記第層貨物的個數(shù)為，則（

）A．210 B．209 C．211 D．2076．已知雙曲線C：的左、右焦點分別為，，焦距為2c，直線l：與雙曲線C的右支交于點P，若的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線C的漸近線方程為（

）A． B． C． D．7．已知橢圓C：的左、右焦點分別為，，右頂點為A，上頂點為B，P為線段AB上一點，直線與直線交于點Q，若，且，則橢圓C的離心率為（

）A． B． C． D．8．在平行四邊形中，，，，是的中點，沿將翻折至的位置，使得平面平面，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知等差數(shù)列的公差，等比數(shù)列的公比，則下列選項正確的是（

）A．若，則單調(diào)遞增 B．若，則單調(diào)遞增C．可能為等差數(shù)列 D．可能為等比數(shù)列10．已知圓與直線，點在圓上，點在直線上，則（

）A．直線與圓相離B．過點的直線被圓截得的弦長的最小值為C．D．從點向圓引切線，切線長的最小值是11．如圖，在棱長為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點，P在線段上，Q在底面內(nèi)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．三棱錐的體積為定值B．若平面，則點Q的軌跡長度為C．存在平面D．平面截以P為球心，PQ長為半徑的球所得的截面面積的取值范圍為三、填空題（本大題共3小題）12．已知雙曲線的兩個焦點為，，雙曲線上有一點，若，則.13．在空間四邊形OABC中，，，，且，，則．（用，，作基底）14．若正整數(shù)m，n的公約數(shù)只有1，則稱m，n互質(zhì)．對于正整數(shù)n，是小于或等于n的正整數(shù)中與n互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)．函數(shù)以其首名研究者歐拉的名字命名，稱為歐拉函數(shù)，例如，則．若數(shù)列的前n項和為，則．四、解答題（本大題共5小題）15．已知動點M到點的距離比它到直線的距離小2，記動點M的軌跡為C．(1)求C的方程；(2)直線l與C相交于A，B兩點，若線段AB的中點坐標為，求直線l的方程．16．已知等差數(shù)列的公差為整數(shù)，其前n項和為，若，，．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．17．圖1是直角梯形，，，，，，，以為折痕將折起，使點到達點的位置，且二面角的平面角為，如圖2.(1)證明：；(2)求平面與平面夾角的余弦值.18．已知橢圓C：上一點到兩焦點的距離之和為．(1)求橢圓C的方程．(2)不經(jīng)過點的直線l與x軸垂直，與橢圓C交于A，B兩點，若直線BQ與橢圓C的另一交點為D，則直線AD是否過定點？若過定點，請求出定點坐標；若不過定點，請說明理由．19．數(shù)列擴充是指在一個有窮數(shù)列中按一定規(guī)則插入一些項得到一個新的數(shù)列，擴充的次數(shù)記為次擴充后的新數(shù)列記為，項數(shù)記為，所有項的和記為.擴充規(guī)則為每相鄰兩項之間插入這兩項的和，如：數(shù)列經(jīng)過一次擴充后得到數(shù)列.已知數(shù)列.(1)求；(2)求；(3)求數(shù)列的前項和.

參考答案1．【答案】B【詳解】該數(shù)列的通項公式為，所以.故選：B2．【答案】B【詳解】由題意得，則，故選：B.3．【答案】C【詳解】因為是周期為4的周期數(shù)列，且，所以，則.故選：C4．【答案】A【詳解】由題意知，所以或.當時，兩直線重合，不符合題意；當時，兩直線平行.故選：A5．【答案】B【詳解】因為，所以，則.故選：B.6．【答案】B【詳解】因為左焦點，所以直線過點，由雙曲線的定義知，設(shè)內(nèi)切圓與各邊的切點為，則，所以，設(shè)，則，解得.又內(nèi)切圓的半徑為，所以內(nèi)切圓的圓心為，因為直線過點，設(shè)圓心到直線的距離為，則，解得，又，所以，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：B7．【答案】A【詳解】由，得為的中點，又坐標原點為的中點，則，于是軸，，則，因此，即，整理得，則，而，所以.故選：A8．【答案】A【詳解】在中，，則，即，又平面平面，平面平面，平面，則平面，又平面，于是，以點為原點，直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，，于是，得，所以直線與所成角的余弦值為.故選：A9．【答案】AD【詳解】等差數(shù)列的單調(diào)性只與公差有關(guān)，與首項無關(guān)，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增，故A正確.在等比數(shù)列中，若時單調(diào)遞減，故B不正確.設(shè)，則，所以，因為，所以不為常數(shù)，故C不正確.若，則仍為等比數(shù)列，所以D正確.故選：AD10．【答案】ACD【詳解】圓的標準方程為，圓心為，半徑，圓心到直線的距離，所以直線與圓相離，故A正確；因為點在圓內(nèi)部，且，所以過點的直線被圓截得的弦長的最小值為，故B不正確；因為圓心到直線的距離，所以，故C正確；從點向圓引切線，設(shè)切點為，連接，則，則，易知當時，取得最小值，由A知，即圓心到直線的距離7，此時取得最小值，即，故D正確.故選：ACD11．【答案】ABD【詳解】對于A，由，得的面積為定值，由平面平面，得三棱錐的高為定值2，，A正確；對于B，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，設(shè)平面的法向量為，，則，令，得，設(shè)，，，，則，由平面，得，即點的軌跡方程為，令，得；令，得.又點在底面內(nèi)，因此點的軌跡長度即為兩點間的距離，B正確；對于C，若存在平面，則，由，得，，因此不存在平面，C錯誤；對于D，由平面，得點到平面的距離為定值，而，則，而，則該球的半徑，截面圓的半徑滿足，則截面面積的取值范圍為，D正確.故選：ABD12．【答案】18【詳解】因為，所以，可得，因為，，所以，或，因為，所以舍去，故.故答案為：.13．【答案】【詳解】在空間四邊形OABC中，，且，所以.故答案為：14．【答案】6【詳解】由題意知，小于等于9且與9互質(zhì)的正整數(shù)有，共6個，所以；小于等于的正整數(shù)有，與不互質(zhì)的數(shù)是2的倍數(shù)，即，共個，所以與互質(zhì)的數(shù)有個，即；小于等于的正整數(shù)有，與不互質(zhì)的數(shù)是3倍數(shù)，即，共個，所以與互質(zhì)的數(shù)有個，即；所以，故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則.故答案為：6；15．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）依題意，動點到點的距離等于它到直線的距離，則動點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，所以的方程為.（2）設(shè)，，由線段的中點坐標為，得，則，兩式相減得，整理得，因此直線的斜率，其方程為，即，所以直線的方程為.

16．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，又，則，解得，而，所以，數(shù)列的通項公式為.（2）由（1）知，，，所以.17．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）證明：取的中點，連接，，.在梯形中，可知，所以，為正三角形，所以，.因為，且，平面，所以平面.因為平面，所以.（2）解：由（1）知二面角的平面角為，即.如圖，以為坐標原點，分別以，的方向為軸、軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，.設(shè)平面的法向量為，因為，，所以令，得.設(shè)平面的法向量為，因為，，所以令，得.因為，所以平面與平面夾角的余弦值為.18．【答案】(1)；(2)過定點，.【詳解】（1）依題意，，由點在橢圓上，得，解得，所以橢圓的方程為.（2）依題意，直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，，則，由消去整理得，則，直線的方程為，由橢圓的對稱性知，若存在符合條件的定點，則該定點一定在軸上，令，得，所以直線過定點.19．【答案】(1)(2)，(3)【詳解】（1）