河北省石家莊市部分學(xué)校2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期3月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知雙曲線的一條漸近線與圓相交于兩點，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．2．正三棱臺的上、下底邊長分別為6，18，該正三棱臺內(nèi)部有一個內(nèi)切球（與上、下底面和三個側(cè)面都相切），則正三棱臺的高為（

）A．3 B．4 C．5 D．63．在四面體中，若，，，，，則（

）A． B． C． D．4．拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于，兩點，點為平面上任意一點，為坐標原點，則（

）A．－5 B．－3 C．3 D．55．已知直線與直線，在上任取一點，在上任取一點，連接，取的靠近點三等分點，過點作的平行線，則與之間的距離為（

）A． B． C． D．6．已知直線過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A，B兩點，與拋物線的準線交于C點，若，則等于（

）A．2 B．3 C． D．7．曲線與曲線有公切線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若不等式在上恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．, B．, C．, D．,二、多選題（本大題共3小題）9．若圓：與圓：的公共弦AB的長為1，則下列結(jié)論正確的有（

）A．B．直線AB的方程為C．AB中點的軌跡方程為D．圓與圓公共部分的面積為10．等腰直角三角形直角邊長為1，現(xiàn)將該三角形繞其某一邊旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的表面積可以為（

）A． B． C． D．11．已知函數(shù)是奇函數(shù)，對于任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知圓：和圓：，則這兩個圓的位置關(guān)系為．13．已知數(shù)列中，，則數(shù)列的前項和．14．表面積為100π的球面上有四點S?A?B?C，△ABC是等邊三角形，球心O到平面ABC的距離為3，若面SAB⊥面ABC，則棱錐體積的最大值為.四、解答題（本大題共5小題）15．設(shè)等差數(shù)列的前項和為，已知，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)，為數(shù)列前項的和，求.16．已知圓A經(jīng)過兩點，，且圓心A在直線上.(1)求圓A的標準方程；(2)求過點且與圓A相切的直線方程.17．如圖，在三棱柱中，，，在底面的射影為的中點，為的中點.(1)證明：平面；(2)求二面角的正弦值.18．已知雙曲線：（，）的實軸長為2，點到雙曲線的漸近線的距離為.(1)求雙曲線的方程；(2)過點的動直線交雙曲線于、兩點，設(shè)線段的中點為，求點的軌跡方程.19．已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，且，求證：．

參考答案1．【答案】D【詳解】根據(jù)題意得，圓心到的漸近線的距離為設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，則，.故選：D．2．【答案】D【詳解】由題可知上下底正三角形的高分別為，由幾何體結(jié)構(gòu)特征結(jié)合題意可知內(nèi)切球與上、下底面切點為上下底的重心，故如左圖所示作截面，得到右圖，設(shè)內(nèi)切球半徑為，則有即，所以正三棱臺的高為6.故選：D.3．【答案】B【詳解】如圖：

∵，，∴分別為中點，∴，故選：B.4．【答案】B【分析】根據(jù)直線與拋物線的位置關(guān)系，利用韋達定理和向量數(shù)量積的坐標運算即可求解.【詳解】解：設(shè)，，由題意，直線的斜率存在，因為拋物線的焦點為，所以不妨設(shè)直線的方程為，由，可得，所以，，，所以，故選：B.5．【答案】A【詳解】如圖：

過作與點，交直線與點，則為所求直線與的距離.因為，.所以.故選：A6．【答案】B【分析】過點作垂直于準線交準線于，過點作垂直于準線交準線于，根據(jù)相似得到，再利用拋物線的性質(zhì)得到答案.【詳解】如圖所示：過點作垂直于準線交準線于，過點作垂直于準線交準線于，則，，，故，即.故選：B7．【答案】B【分析】分別求出兩曲線的切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性和最值，即可求得的取值范圍.【詳解】兩個函數(shù)求導(dǎo)分別為，設(shè)，圖象上的切點分別為，，則過這兩點處的切線方程分別為，，則，，所以，設(shè)，，，令，所以，所以在上單調(diào)遞增，且，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，.故選B.【關(guān)鍵點撥】本題解決的關(guān)鍵是，利用公切線的定義得到，從而構(gòu)造函數(shù)即可得解.8．【答案】A【分析】先由導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)是增函數(shù)，再證明其為奇函數(shù)，然后由奇偶性與單調(diào)性化簡不等式，再分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最值，得參數(shù)范圍．【詳解】令，則在R上恒成立，所以在R上為增函數(shù)，又，所以，所以函數(shù)是R上的增函數(shù)，又，都是R上的增函數(shù)，所以函數(shù)是R上的增函數(shù)，，所以是奇函數(shù)，因為在上恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，則，令，得，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在,上單調(diào)遞減，所以，故，故選：A．9．【答案】BC【分析】兩圓方程相減求出直線AB的方程，進而根據(jù)弦長求得，即可判斷AB選項；然后由圓的性質(zhì)可知直線垂直平分線段,進而可得到直線的距離即為AB中點與點的距離，從而可求出AB中點的軌跡方程，因此可判斷C選項；對應(yīng)扇形的面積減去三角形的面積乘以2即可求出圓與圓公共部分的面積，即可判斷D選項.【詳解】兩圓方程相減可得直線AB的方程為，即，因為圓的圓心為，半徑為1，且公共弦AB的長為1，則到直線的距離為，所以，解得，所以直線AB的方程為，故A錯誤，B正確；由圓的性質(zhì)可知直線垂直平分線段,所以到直線的距離即為AB中點與點的距離，設(shè)AB中點坐標為，因此，即，故C正確；因為，所以，即圓中弧所對的圓心角為，所以扇形的面積為，三角形的面積為，所以圓與圓公共部分的面積為，故D錯誤.故選：BC.【點睛】圓的弦長的常用求法：（1）幾何法：求圓的半徑為r，弦心距為d，弦長為l，則；（2）代數(shù)方法：運用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式：.10．【答案】AB【詳解】分2種情況，一種是繞直角邊，一種是繞斜邊，分別求形成幾何體的表面積.【詳解】如果是繞直角邊旋轉(zhuǎn)，形成圓錐，圓錐底面半徑為1，高為1，母線就是直角三角形的斜邊，所以所形成的幾何體的表面積是.如果繞斜邊旋轉(zhuǎn)，形成的是上下兩個圓錐，圓錐的半徑是直角三角形斜邊的高，兩個圓錐的母線都是直角三角形的直角邊，母線長是1，所以寫成的幾何體的表面積.綜上可知形成幾何體的表面積是或.故選：AB【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)體的表面積，意在考查空間想象能力和計算能力，屬于基礎(chǔ)題型.11．【答案】BC【分析】構(gòu)造函數(shù)，其中，結(jié)合奇偶性的定義判斷奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在的單調(diào)性，然后利用函數(shù)的單調(diào)性判斷出各選項的正誤.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，其中，則，因為對于任意的滿足當時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)是奇函數(shù)，所以，所以在上為偶函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，因為，則，即，即，化簡得，A選項錯誤；同理可知，即，即，化簡得，B選項正確；，且即，即，化簡得，C選項正確，，且即，即，化簡得，D選項錯誤，故選BC.【關(guān)鍵點撥】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性判斷函數(shù)不等式是否成立，解題時要根據(jù)導(dǎo)數(shù)不等式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造合適的函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性來求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于難題.12．【答案】內(nèi)含【詳解】因為圓：，圓：，所以圓心距，而兩圓半徑之差，故兩個圓內(nèi)含．故答案為：內(nèi)含13．【答案】【詳解】數(shù)列的前項和==,故答案為：.14．【答案】【詳解】依題意，球的半徑，令正的中心為，則，且平面，外接圓半徑，連接并延長交于D，則D為的中點，且，顯然，而平面平面，平面平面，有平面，令的外接圓圓心為，則平面，有，又平面ABCD，平面ABCD，所以，由,所以平面，所以，而平面平面，平面平面，平面，則平面，即有，因此四邊形為平行四邊形，則，，的外接圓半徑，的外接圓上點到直線距離最大值為，而點在平面上的射影在直線上，于是點到平面距離的最大值，又正的面積，所以棱錐的體積最大值.故答案為：15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由題意設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意，解得，所以.（2），所以數(shù)列的前50項和，所以.16．【答案】(1)(2)或【詳解】（1）設(shè)圓心為，半徑為r，由，得，得，點A的坐標為，圓半徑，圓A的標準方程為；（2）畫出圓的圖象如下圖所示，由圖可知，直線過點，且與圓相切，當過點與圓相切的直線斜率存在時，設(shè)切線方程為，到直線的距離，解得，所以切線方程為.綜上所述，切線方程為或.17．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）設(shè)為的中點，由線面垂直得到，由三線合一得到，從而得到線面垂直，證明出四邊形為平行四邊形，得到，證明出結(jié)論；（2）作出輔助線，證明出為二面角的平面角，結(jié)合（1）得到，求出各邊長，利用余弦定理求出的余弦值，進而得到線面角的正弦值.【詳解】（1）設(shè)為的中點，由題意得平面，平面，，，為的中點，，，平面，故平面，由，分別為，的中點，得且，，，四邊形為平行四邊形，故，又平面，平面；（2）作，且，連結(jié)，，，為的中點，，平面，平面，，，，由，，得≌，由，得，為二面角的平面角，由（1）得平面，平面，，由，，，得，故，由余弦定理得，.18．【答案】(1)(2)，其中或【詳解】（1）雙曲線的實軸長為，由已知，，則，因為雙曲線：（，）的一條漸近線為，點到雙曲線的漸近線的距離為，所以，所以，所以，所以雙曲線的方程是；（2）易知直線的斜率存在設(shè)為，設(shè)、、，聯(lián)立直線l與雙曲線E的方程，得，消去y，得．由且，得且．由韋達定理，得．所以，．由消去k，得．由且，得或．所以，點M的軌跡方程為，其中或．19．【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析【分析】（1）求導(dǎo)，分和，討論求解；（2）由，得到，令，利用導(dǎo)數(shù)法得到時，或證明.(1)解：，當時，，