2024-2025學(xué)年上學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測九年級數(shù)學(xué)試題卷（全卷三個大題，共24個小題，共8頁；滿分100分，考試時間120分鐘）注意事項：1．本卷為試題卷．考生必須在答題卡上解題作答．答案應(yīng)書寫在答題卡的相應(yīng)位置上，在試題卷、草稿紙上作答無效．2．考試結(jié)束后，請將試題卷和答題卡一并交回．一、選擇題（本大題共15小題，每小題只有一個正確選項，每小題2分，共30分）1.中國航天取得了舉世矚目的成就，為人類和平貢獻了中國智慧和中國力量，下列航天圖標，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是（）A.中國探火 B.中國火箭C.中國行星探測 D.航天神舟2.下列事件是必然事件的是（）A.四邊形內(nèi)角和是B.校園排球比賽，九年級一班獲得冠軍C.擲一枚硬幣時，正面朝上D.車輛隨機到達路口，遇到綠燈3.將一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化為的形式，下列結(jié)果中正確的是（）A. B. C. D.4.關(guān)于x的一元二次方程的一個根是0，則a的值是（）A0.5 B.1 C.1或 D.5.拋物線通過變換可以得到拋物線，以下變換過程正確的是（）A.先向右平移1個單位，再向上平移2個單位B.先向左平移1個單位，再向下平移2個單位C.先向右平移1個單位，再向下平移2個單位D.先向左平移1個單位，再向上平移2個單位6.如圖，用一個扇形紙片圍成一個無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計），若該圓錐的底面圓周長為，母線長為，則這個扇形的圓心角的度數(shù)是（）A. B. C. D.7.二次函數(shù)圖象如圖所示，那么下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.8.我們都知道蜂巢是很多個正六邊形組合來的．正六邊形蜂巢的建筑結(jié)構(gòu)密合度最高、用材最少、空間最大、也最為堅固．如圖，某蜂巢的房孔是邊長為6的正六邊形，若的內(nèi)接正六邊形為正六邊形，則的長為（）A.12 B. C. D.9.如圖，平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A是反比例函數(shù)圖像上的一點，過點A分別作軸于點M，軸于直N，若四邊形的面積為2．則k的值是（）A.2 B. C.1 D.10.如圖，已知⊙O的半徑OA＝6，∠AOB＝90°，則（圓心角為90°的）扇形AOB的面積為（）A.6π B.9π C.12π D.15π11.大約在兩千四五百年前，墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖所示的小孔成像實驗中，若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是（）A. B.6 C. D.812.某校開展課外閱讀活動，經(jīng)過兩年，2021級的學(xué)生人均閱讀量從七年級的每年36萬字增長到九年級時的每年49萬字，設(shè)2021級的學(xué)生人均閱讀量年平均增長率為x，根據(jù)題意列出方程，正確的是（）A. B.C D.13.如圖，在中，為直徑，，為圓上的點，若，則的大小為（）A. B. C. D.14.如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到．若，，，則的長為（）A. B. C. D.15.如圖，是內(nèi)切圓，與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)．若的半徑為r，，，，則的面積為（）A. B.12r C.13r D.26r二、填空題（本大題共4小題，每小題2分，共8分）16.點關(guān)于原點的對稱點的坐標為________．17.如圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤，被分成12個相同的小扇形．若把某些小扇形涂上紅色，使轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤停止時，指針指向紅色的概率是，則涂上紅色的小扇形有______個．18.已知方程的兩根是，則______．19.的直徑，AB是的弦，，垂足為M，，則AC的長為______．三、解答題（本大題共8小題，共56分）20.用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）；（2）．21.如圖，平面直角坐標系中，△ABC三個頂點都在格點上，A（1，3），B（4，5），C（5，1）．（1）請在圖中畫出△A1B1C1，使它和△ABC關(guān)于原點O對稱，點A，B，C的對應(yīng)點分別為A1，B1，C1；（2）直接寫出點A1，B1，C1的坐標．22.已知關(guān)于x的方程．（1）求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）如果方程的一個根為，求k的值及方程的另一個根．23.某班開展“講數(shù)學(xué)家故事”的活動．下面是印有四位中國數(shù)學(xué)家紀念郵票圖案的卡片A，B，C，D，卡片除圖案外其它均相同．將四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，小明同學(xué)從中隨機抽取兩張，講述卡片上數(shù)學(xué)家的故事．（1）請寫出小明抽到的兩張卡片所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）求小明抽到的兩張卡片中恰好有數(shù)學(xué)家華羅庚郵票圖案的概率．24.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，與軸交于點．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）求的面積；（3）直接寫出不等式的解集．25.某商品的進價為每件40元，售價為每件60元，平均每天可賣出80件．如果每件商品的售價每下降1元，則每天可多賣出10件．設(shè)每件商品的售價下降元（為正整數(shù)），每天的銷售利潤為元．（1）求銷售利潤（元）與下降價格（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）每件商品售價下降多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？26.數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化．中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合．作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”．請結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決下列問題．已知拋物線．（1）當時，求頂點坐標、對稱軸、該函數(shù)與軸的交點坐標；（2）求證：該二次函數(shù)圖象與軸有兩個交點；（3）當該拋物線與軸兩交點的橫坐標都為正整數(shù)時，求整數(shù)的值．27.如圖1，以的直角邊為直徑作，交斜邊于點D，點E是的中點，連接，．（1）【推理】求證：是的切線；（2）【拓展】如圖2，點F在的延長線上，點M在線段上，于點N，交于點G．求證：；（3）【運用】在（2）的條件下，若，，，求的面積．

2024-2025學(xué)年上學(xué)期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測九年級數(shù)學(xué)試題卷（全卷三個大題，共24個小題，共8頁；滿分100分，考試時間120分鐘）注意事項：1．本卷為試題卷．考生必須在答題卡上解題作答．答案應(yīng)書寫在答題卡的相應(yīng)位置上，在試題卷、草稿紙上作答無效．2．考試結(jié)束后，請將試題卷和答題卡一并交回．一、選擇題（本大題共15小題，每小題只有一個正確選項，每小題2分，共30分）1.中國航天取得了舉世矚目的成就，為人類和平貢獻了中國智慧和中國力量，下列航天圖標，其文字上方的圖案是中心對稱圖形的是（）A.中國探火 B.中國火箭C.中國行星探測 D.航天神舟【答案】B【解析】【分析】本題主要考查了中心對稱圖形的識別，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握中心對稱圖形的定義．中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心，根據(jù)中心對稱圖形的定義進行逐一判斷即可．【詳解】解：只有選項B中圖形能找到這樣的一個點，使圖形繞該點旋轉(zhuǎn)180度后和原圖形完全重合．故選：B．2.下列事件是必然事件的是（）A.四邊形內(nèi)角和是B.校園排球比賽，九年級一班獲得冠軍C.擲一枚硬幣時，正面朝上D.車輛隨機到達路口，遇到綠燈【答案】A【解析】【分析】本題考查了隨機事件．根據(jù)隨機事件，必然事件，不可能事件的特點，逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、四邊形內(nèi)角和是，是必然事件，本選項符合題意；B、校園排球比賽，九年級一班獲得冠軍，是隨機事件，本選項不符合題意；C、擲一枚硬幣時，正面朝上，是隨機事件，本選項不符合題意；D、車輛隨機到達路口，遇到綠燈，是隨機事件，本選項不符合題意，故選：A．3.將一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化為的形式，下列結(jié)果中正確的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，熟練掌握配方法的步驟是解題的關(guān)鍵．將常數(shù)項移到方程的右邊，兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方配成完全平方式后即可．【詳解】解：∵，∴，∴，即，故選A．4.關(guān)于x的一元二次方程的一個根是0，則a的值是（）A.0.5 B.1 C.1或 D.【答案】D【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程的定義及一元二次方程的解，把代入原方程，即可求解．【詳解】關(guān)于x的一元二次方程的一個根是0，，故選D．5.拋物線通過變換可以得到拋物線，以下變換過程正確的是（）A.先向右平移1個單位，再向上平移2個單位B.先向左平移1個單位，再向下平移2個單位C.先向右平移1個單位，再向下平移2個單位D.先向左平移1個單位，再向上平移2個單位【答案】D【解析】【分析】由平移前后的解析式，結(jié)合平移法則即可得解；【詳解】解：拋物線通過先向左平移1個單位，再向上平移2個單位可以得到拋物線，故選擇：D【點睛】本題考查拋物線的平移．熟練掌握二次函數(shù)平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．6.如圖，用一個扇形紙片圍成一個無底蓋的圓錐（接縫處忽略不計），若該圓錐的底面圓周長為，母線長為，則這個扇形的圓心角的度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)扇形面積公式求出圓錐的母線長，再根據(jù)弧長公式計算，得到答案．【詳解】解：設(shè)扇形的圓心角為，∵圓錐的底面圓周長為，母線長為，∴解得，即扇形的圓心角為．故選：B．【點睛】本題考查的是圓錐的計算，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．7.二次函數(shù)圖象如圖所示，那么下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象逐一判斷即可．【詳解】解：由圖可知：拋物線開口向下，，故A錯誤，不符合題意；拋物線與軸的交點在軸的正半軸，，故C錯誤，不符合題意；對稱軸直線，，即，故D正確，符合題意；，，，故B錯誤，不符合題意．故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，從圖象中獲取信息并結(jié)合圖象去分析是解題的關(guān)鍵．8.我們都知道蜂巢是很多個正六邊形組合來的．正六邊形蜂巢的建筑結(jié)構(gòu)密合度最高、用材最少、空間最大、也最為堅固．如圖，某蜂巢的房孔是邊長為6的正六邊形，若的內(nèi)接正六邊形為正六邊形，則的長為（）A.12 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可得，則，再根據(jù)平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦可得，，再根據(jù)可得是等邊三角形，則，最后結(jié)合三角函數(shù)即可求解．【詳解】解：連接，交于點M，連接，∵六邊形是的內(nèi)接正六邊形，∴，，∴，∵經(jīng)過圓心O，∴，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∵在中，，，，∴，∴，故選C．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)、三角函數(shù)綜合和圓周角定理，靈活運用所學(xué)知識求解是解決本題的關(guān)鍵．9.如圖，平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A是反比例函數(shù)圖像上的一點，過點A分別作軸于點M，軸于直N，若四邊形的面積為2．則k的值是（）A.2 B. C.1 D.【答案】A【解析】【分析】證明四邊形是矩形，根據(jù)反比例函數(shù)的值的幾何意義，即可解答．【詳解】解：軸于點M，軸于直N，，四邊形是矩形，四邊形的面積為2，，反比例函數(shù)在第一、三象限，，故選：A．【點睛】本題考查了矩形的判定，反比例函數(shù)的值的幾何意義，熟知在一個反比例函數(shù)圖像上任取一點，過點分別作x軸，y軸的垂線段，與坐標軸圍成的矩形面積為是解題的關(guān)鍵．10.如圖，已知⊙O的半徑OA＝6，∠AOB＝90°，則（圓心角為90°的）扇形AOB的面積為（）A.6π B.9π C.12π D.15π【答案】B【解析】【分析】根據(jù)扇形面積公式計算即可.【詳解】解：根據(jù)扇形面積計算公式可得：圓心角為90°的扇形AOB的面積=，故選B．【點睛】本題考查了扇形面積公式的計算，屬于?？碱}型，掌握扇形面積的計算公式是關(guān)鍵.11.大約在兩千四五百年前，墨子和他的學(xué)生做了世界上第1個小孔成倒像的實驗．并在《墨經(jīng)》中有這樣的精彩記錄：“景到，在午有端，與景長，說在端”．如圖所示的小孔成像實驗中，若物距為，像距為，蠟燭火焰倒立的像的高度是，則蠟燭火焰的高度是（）A. B.6 C. D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)小孔成像的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：根據(jù)小孔成像的性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)可得：蠟燭火焰的高度與火焰的像的高度的比值等于物距與像距的比值，設(shè)蠟燭火焰的高度為，則：，解得：，即蠟燭火焰的高度為，故選：C．【點睛】本題考查了相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于理解小孔成像的原理得到相似三角形．12.某校開展課外閱讀活動，經(jīng)過兩年，2021級的學(xué)生人均閱讀量從七年級的每年36萬字增長到九年級時的每年49萬字，設(shè)2021級的學(xué)生人均閱讀量年平均增長率為x，根據(jù)題意列出方程，正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，增長率問題，一般用增長后的量=增長前的量增長率），如果設(shè)該校七至九年級人均閱讀量年均增長率為x，根據(jù)題意即可列出方程求解．【詳解】解：設(shè)該校七至九年級人均閱讀量年均增長率為x，根據(jù)題意即可列出方程：．故選：A．13.如圖，在中，為直徑，，為圓上的點，若，則的大小為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了圓周角定理，由直徑所對的圓周角是得出，根據(jù)直角三角形的兩個銳角互余結(jié)合圓周角定理計算即可．【詳解】∵在中，為直徑，∴，∵，∴，故選D．14.如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到．若，，，則的長為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，，證明是等邊三角形，即可得的長．【詳解】解：連接，如圖所示：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，∴是等邊三角形，則，故選：A．15.如圖，是的內(nèi)切圓，與，，分別相切于點D，E，F(xiàn)．若的半徑為r，，，，則的面積為（）A. B.12r C.13r D.26r【答案】C【解析】【分析】本題考查了三角形內(nèi)切圓與三角形三邊的關(guān)系，熟練掌握三角形三邊與內(nèi)切圓的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵；根據(jù)三角形面積=三角形邊長之和乘以內(nèi)切圓半徑之積一半．計算即可．【詳解】是的內(nèi)切圓且半徑為r，，，，，則的面積為，故選：C二、填空題（本大題共4小題，每小題2分，共8分）16.點關(guān)于原點的對稱點的坐標為________．【答案】【解析】【分析】此題主要考查關(guān)于原點對稱的點的坐標特點，掌握“關(guān)于原點對稱時，橫縱坐標都為相反數(shù)”是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：關(guān)于原點的對稱點的坐標為，故答案為：．17.如圖是一個可以自由轉(zhuǎn)動的質(zhì)地均勻的轉(zhuǎn)盤，被分成12個相同的小扇形．若把某些小扇形涂上紅色，使轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤停止時，指針指向紅色的概率是，則涂上紅色的小扇形有______個．【答案】4【解析】【分析】由于轉(zhuǎn)盤被分成12個大小相同的扇形，結(jié)合指針指向紅色的概率為，讓總份數(shù)乘以相應(yīng)概率即為紅色區(qū)域的份數(shù)．【詳解】解：要使轉(zhuǎn)盤停止轉(zhuǎn)動時，指針落在紅色區(qū)域的概率為，只需使紅色區(qū)域占總面積的即可，而已知整個圓面被分成12等份，故只需使紅色占到等份．故涂上紅色的小扇形有4個，故答案為：4．【點睛】本題考查了概率公式，用到的知識點為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．18.已知方程的兩根是，則______．【答案】【解析】【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若是一元二次方程的兩根時，．先利用根根與系數(shù)的關(guān)系得，，再通分得到，然后利用整體代入的方法計算．【詳解】解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，，所以．故答案為：．19.的直徑，AB是的弦，，垂足為M，，則AC的長為______．【答案】或【解析】【分析】分①點在線段上，②點在線段上兩種情況，連接，先利用勾股定理求出的長，再在中，利用勾股定理求解即可得．【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：①如圖，當點在線段上時，連接，的直徑，，，，，，；②如圖，當點在線段上時，連接，同理可得：，，；綜上，的長為或，故答案為：或．【點睛】本題考查了勾股定理、圓，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8小題，共56分）20.用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋海?）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程：（1）運用因式分解法進行解方程，即可作答．（2）先移項，得，再運用因式分解法進行解方程，即可作答．【小問1詳解】解：∵，∴，∴；【小問2詳解】解：∵，∴，∴∴．21.如圖，平面直角坐標系中，△ABC三個頂點都在格點上，A（1，3），B（4，5），C（5，1）．（1）請在圖中畫出△A1B1C1，使它和△ABC關(guān)于原點O對稱，點A，B，C的對應(yīng)點分別為A1，B1，C1；（2）直接寫出點A1，B1，C1的坐標．【答案】（1）詳見解析；（2）A1（﹣1，﹣3），B1（﹣4，﹣5），C1（﹣5，﹣1）．【解析】【分析】（1根據(jù)關(guān)于原點對稱的點的定義畫圖即可；（2）利用關(guān)于原點對稱的點的坐標特征寫出點A1，B1，C1的坐標．【詳解】解：（1）如圖，△A1B1C1就是所要求畫的三角形；（2）A1（﹣1，﹣3），B1（﹣4，﹣5），C1（﹣5，﹣1）．【點睛】本題考查了作圖：中心對稱變換：掌握關(guān)于原點中心對稱的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.22.已知關(guān)于x的方程．（1）求證：方程總有兩個不相等的實數(shù)根；（2）如果方程的一個根為，求k的值及方程的另一個根．【答案】（1）見詳解（2），另一根為【解析】【分析】（1）根據(jù)進行判斷；（2）把代入方程即可求得，然后解這個方程即可；本題考查了一元二次方程的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當，方程有兩個相等的實數(shù)根；當，方程沒有實數(shù)根；還有方程根的意義等；【小問1詳解】證明：∵是一元二次方程，∴，無論取何實數(shù)，總有，，∴方程總有兩個不相等的實數(shù)根．【小問2詳解】解：把代入方程，有，整理，得．解得，此時方程可化為．解此方程，得，．∴方程的另一根為．23.某班開展“講數(shù)學(xué)家故事”的活動．下面是印有四位中國數(shù)學(xué)家紀念郵票圖案的卡片A，B，C，D，卡片除圖案外其它均相同．將四張卡片背面朝上，洗勻后放在桌面上，小明同學(xué)從中隨機抽取兩張，講述卡片上數(shù)學(xué)家的故事．（1）請寫出小明抽到的兩張卡片所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）求小明抽到的兩張卡片中恰好有數(shù)學(xué)家華羅庚郵票圖案的概率．【答案】（1）所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共6種：，，，，，（2）小明抽到的兩張卡片中恰好有數(shù)學(xué)家華羅庚郵票圖案的概率是【解析】【分析】本題主要考查了列舉法求概率，解題的關(guān)鍵是寫出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果．（1）按照先抽到A、再抽到其他的，先抽到B、再抽到C或D，然后抽到C，再抽到D，寫出所有可能的結(jié)果即可；（2）根據(jù)概率公式進行計算即可．【小問1詳解】解：所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共6種：，，，，，．【小問2詳解】解：記抽到的兩張卡片中恰好有數(shù)學(xué)家華羅庚郵票圖案為事件M，M包含的結(jié)果有3種，即，，，且6種可能的結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，∴．24.如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，與軸交于點．（1）求一次函數(shù)與反比例函數(shù)的解析式；（2）求的面積；（3）直接寫出不等式的解集．【答案】（1）反比例函數(shù)解析式為：，一次函數(shù)解析式為：（2）（3）或【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，交點坐標滿足兩個函數(shù)解析式．（1）根據(jù)待定系數(shù)法求出兩個函數(shù)解析式即可；（2）求出點坐標得到線段長，根據(jù)代入數(shù)據(jù)計算即可；（3）根據(jù)兩個函數(shù)圖象的位置及交點坐標，可直接寫出不等式的解集．【小問1詳解】一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點，，，，反比例函數(shù)解析式為：，，在一次函數(shù)的圖象上，，解得，一次函數(shù)解析式為：．【小問2詳解】在一次函數(shù)中，令，則，，；【小問3詳解】根據(jù)兩個函數(shù)圖象的位置及交點坐標，可直接寫出不等式的解集為：或．25.某商品的進價為每件40元，售價為每件60元，平均每天可賣出80件．如果每件商品的售價每下降1元，則每天可多賣出10件．設(shè)每件商品的售價下降元（為正整數(shù)），每天的銷售利潤為元．（1）求銷售利潤（元）與下降價格（元）的函數(shù)關(guān)系式；（2）每件商品的售價下降多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少元？【答案】（1）（2）每件商品的售價下降6元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是1960元【解析】【分析】（1）根據(jù)利潤（原售價降價）銷售量進行求解即可；（2）根據(jù)（1）所求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【小問1詳解】解：由題意得，；【小問2詳解】解：由（1）得，∵，∴當時，y最大，最大值為1960，∴每件商品的售價下降6元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是1960元．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的實際應(yīng)用，正確理解題意列出對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．26.數(shù)與形是數(shù)學(xué)中的兩個最古老，也是最基本的研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化．中學(xué)數(shù)學(xué)研究的對象可分為數(shù)和形兩大部分，數(shù)與形是有聯(lián)系的，這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合，或形數(shù)結(jié)合．作為一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用大致又可分為兩種情形：或者借助于數(shù)的精確性來闡明形的某些屬性，或者借助形的幾何直觀性來闡明數(shù)之間某種關(guān)系，即數(shù)形結(jié)合包括兩個方面：第一種情形是“以數(shù)解形”，而第二種情形是“以形助數(shù)”．請結(jié)合所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解決下列問題．已知拋物線．（1）當時，求頂點坐標、對稱軸、該函數(shù)與軸交點坐標；（2）求證：該二次函數(shù)圖象與軸有兩個交點；（3）當該拋物線與軸兩交點的橫坐標都為正整數(shù)時，求整