第十四章

整式的乘法與因式分解14.2乘法公式14.2.2完全平方公式

一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形實(shí)驗(yàn)田，因?qū)嶋H需要將其邊長(zhǎng)增加b米，形成四塊實(shí)驗(yàn)田，以種植不同的新品種.(如圖)用不同的形式表示實(shí)驗(yàn)田的總面積，并進(jìn)行比較.你有什么發(fā)現(xiàn)呢？一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形實(shí)驗(yàn)田，因需要將其邊長(zhǎng)增加b

米.形成四塊實(shí)驗(yàn)田，以種植不同的新品種(如圖).用不同的形式表示實(shí)驗(yàn)田的總面積，

并進(jìn)行比較.aabb知識(shí)點(diǎn)1完全平方公式直接求：總面積=(a+b)(a+b)間接求：總面積=a2+ab+ab+b2你發(fā)現(xiàn)了什么？(a+b)2=a2+2ab+b2aabb計(jì)算下列多項(xiàng)式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？(1)

(p+1)2=(p+1)(p+1)=

.p2+2p+1(2)

(m+2)2=(m+2)(m+2)=

.m2+4m+4(3)

(p–1)2=(p–1)(p–1)=

.p2–2p+1(4)

(m–2)2=(m–2)(m–2)=

.m2–4m+4問(wèn)題1：學(xué)生活動(dòng)

【一起探究】根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能寫(xiě)出下列式子的答案嗎？(a+b)2=

.a2+2ab+b2(a–b)2=

.a2–2ab+b2問(wèn)題2：(a+b)2=

.a2+2ab+b2(a–b)2=

.a2–2ab+b2

也就是說(shuō)，兩個(gè)數(shù)的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們的積的2倍.這兩個(gè)公式叫做(乘法的)完全平方公式.簡(jiǎn)記為：“首平方，尾平方，積的2倍放中央”完全平方公式你能根據(jù)下面圖形的面積說(shuō)明完全平方公式嗎?設(shè)大正方形ABCD的面積為S.S=

=S1+S2+S3+S4=

.(a+b)2a2+b2+2abS1S2S3S4證明aabb=+++a2ababb2(a+b)2=

.a2+2ab+b2和的完全平方公式：幾何解釋a2?ab?b(a?b)=a2?2ab+b2.=(a?b)2a?ba?baaabb(a?b)bb(a?b)2(a–b)2=

.a2–2ab+b2差的完全平方公式：幾何解釋(a+b)2=a2+2ab+b2.(a–b)2=a2–2ab+b2.觀察下面兩個(gè)完全平方式，比一比，回答下列問(wèn)題：(1)說(shuō)一說(shuō)積的次數(shù)和項(xiàng)數(shù).(2)兩個(gè)完全平方式的積有相同的項(xiàng)嗎？與a，b有什么關(guān)系？(3)兩個(gè)完全平方式的積中不同的是哪一項(xiàng)？與a，b有什么關(guān)系？它的符號(hào)與什么有關(guān)？問(wèn)題4：

公式特征：公式中的字母a，b可以表示數(shù)、單項(xiàng)式和多項(xiàng)式.積為二次三項(xiàng)式；積中兩項(xiàng)為兩數(shù)的平方和；另一項(xiàng)是兩數(shù)積的2倍，且與兩數(shù)中間的符號(hào)相同.下面各式的計(jì)算是否正確？如果不正確，應(yīng)當(dāng)怎樣改正？(1)(x+y)2=x2+y2(2)(x–y)2=x2–y2(3)(–x+y)2=x2+2xy+y2(4)(2x+y)2=4x2+2xy+y2××××(x+y)2=x2+2xy+y2(x–y)2=x2–2xy+y2(–x+y)2=x2–2xy+y2(2x+y)2=4x2+4xy+y2想一想例1運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：解:(4m+n)2==16m2(1)(4m+n)2；(a+b)2=a2+2ab+b2(4m)2+2?(4m)?n+n2+8mn+n2；素養(yǎng)考點(diǎn)1利用完全平方公式進(jìn)行計(jì)算(2)

(a–b)2=a2–2ab+b2y2=y2–y+解：

=+–2?y?

利用完全平方公式計(jì)算：(1)(5–a)2；

(2)(–3m–4n)2；(3)(–3a＋b)2.(3)(–3a＋b)2＝9a2–6ab＋b2.解：(1)(5–a)2＝25–10a＋a2；(2)(–3m–4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；(1)1022；=(100–1)2=10000–200+1解：1022=(100+2)2=10000+400+4=10404.(2)992.992=9801.

例2

運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：素養(yǎng)考點(diǎn)2利用完全平方公式進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算

利用乘法公式計(jì)算：(1)982–101×99；(2)20162–2016×4030＋20152.＝(2016–2015)2＝1.解：(1)原式＝(100–2)2–(100＋1)(100–1)＝1002–400＋4–1002＋1＝–395；(2)原式＝20162–2×2016×2015＋20152例3已知x–y＝6，xy＝–8.求:(1)

x2＋y2的值；(2)(x+y)2的值.＝36–16＝20；解：(1)∵x–y＝6，xy＝–8，(x–y)2＝x2＋y2–2xy，∴x2＋y2＝(x–y)2＋2xy(2)∵x2＋y2＝20，xy＝–8，∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy＝20–16＝4.素養(yǎng)考點(diǎn)3利用完全平方公式的變形求整式的值方法總結(jié)：本題要熟練掌握完全平方公式的變式：x2＋y2＝(x–y)2＋2xy＝(x+y)2–2xy，(x–y)2＝(x+y)2–4xy.(1)已知x+y=10，xy=24，則x2+y2=_____.52對(duì)應(yīng)訓(xùn)練.(2)如果x2+kx+81是運(yùn)用完全平方式得到的結(jié)果，

則k=________.18或–18(3)已知ab=2，(a+b)2=9，則(a–b)2的值為_(kāi)_____.1添括號(hào)法則a+(b+c)=a+b+c;a–(b+c)=a–b–c.a+b+c=a+(b+c);

a–b–c=a–(b+c).去括號(hào)：把上面兩個(gè)等式的左右兩邊反過(guò)來(lái)，也就是添括號(hào)：知識(shí)點(diǎn)2

添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變號(hào);如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào)(簡(jiǎn)記為“負(fù)變正不變”).添括號(hào)法則例

運(yùn)用乘法公式計(jì)算:(1)(x+2y–3)(x–2y+3);(2)(a+b+c)2.

原式=[x+(2y–3)][x–(2y–3)]解:

(1)(2)原式=[(a+b)+c]2

=

x2–(2y–3)2

=

x2–(4y2–12y+9)=

x2–4y2+12y–9.=(a+b)2+2(a+b)c+c2=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.素養(yǎng)考點(diǎn)添括號(hào)法則的應(yīng)用

計(jì)算：(1)(a–b＋c)2；

(2)(1–2x＋y)(1＋2x–y)．＝1–4x2＋4xy–y2.解：(1)原式＝[(a–b)＋c]2＝(a–b)2＋c2＋2(a–b)c＝a2–2ab＋b2＋c2＋2ac–2bc；(2)原式＝[1–(2x–y)][1＋(2x–y)]＝12–(2x–y)22.下列計(jì)算結(jié)果為2ab–a2–b2的是()A．(a–b)2B．(–a–b)2C．–(a＋b)2D．–(a–b)21.運(yùn)用乘法公式計(jì)算(a–2)2的結(jié)果是(

)A．a(chǎn)2–4a+4B．a(chǎn)2–2a+4C．a(chǎn)2–4D．a(chǎn)2–4a–4AD3.運(yùn)用完全平方公式計(jì)算:(1)(6a+5b)2=_______________；(2)(4x–3y)2=_______________；(3)(2m–1)2=_______________；(4)(–2m–1)2=_______________.36a2+60ab+25b216x2–24xy+9y24m2+4m+1

4m2–4m+14.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，運(yùn)用這一方法計(jì)算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝________．

255.計(jì)算:(1)(3a＋b–2)(3a–b＋2)；(2)(x–y–m＋n)(x–y＋m–n)．(2)原式＝[(x–y)–(m–n)][(x–y)＋(m–n)]解：(1)原式＝[3a＋(b–2)][3a–(b–2)]＝(3a)2–(b–2)2＝9a2–b2＋4b–4.

＝(x–y)2–(m–n)2＝x2–2xy＋y2–m2＋2mn–n2.6.若a+b=5，ab=–6，求a2+b2，a2–ab+b2.解：a2+b2=(a+b)2–2ab=52–2×(–6)=37；a2–ab+b2=a2+b2–ab=37–(–6)=43.完全平方公式法則注意(a±b)2=a2±2ab+b21.項(xiàng)數(shù)、符號(hào)、字母及其指數(shù)2.不能直接應(yīng)用公式進(jìn)行計(jì)算的式子，可能需要先添括號(hào)變形成符合公式的要求才行常用結(jié)論3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(從公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及結(jié)果兩方面)a2+b2=(a+b)2–2ab=(a–b)2+2ab;4ab=(a+b)2–(a–b)2.

完全平方公式：(

a

＋

b

)2＝

；(

a

－

b

)2＝

?.a2＋2

ab

＋

b2

a2－2

ab

＋b2

《完全平方公式》課后作業(yè)

1.

下列計(jì)算：①(

a

＋

b

)2＝

a2＋

b2；②(

a

－

b

)2＝

a2－

b2；③(

a

－

b

)2＝

a2－2

ab

－

b2；④(－

a

－

b

)2＝－

a2－2

ab

＋

b2.其中正確的有(

A

)A.

0個(gè)B.

1個(gè)C.

2個(gè)D.

3個(gè)A2.

(3

z

－

y

)2等于(

C

)A.

9

z2－

y

＋

y2B.

9

z2－

yz

＋

y2C.

9

z2－6

yz

＋

y2D.

3

z2－6

yz

＋

y23.

化簡(jiǎn)(

a

＋1)2－(

a

－1)2＝(

B

)A.

2B.

4

a

C.

4D.

2

a2＋24.

若

a

＋

b

＝－2，

ab

＝3，則代數(shù)式

a2－

ab

＋

b2的值是(

A

)A.

－5B.

13C.

5D.

9CBA5.

如果

y2＋

my

＋9是完全平方式，則

m

的值為(

D

)A.

6B.

3C.

3或－3D.

6或－6【解析】∵

y2＋

my

＋9是完全平方式，∴

y2＋

my

＋9＝(

y

±3)2＝

y2±6

y

＋9.∴

my

＝±6

y

，解得

m

＝±6.D6.

已知

x

＋

y

＝6，

xy

＝4.(1)求

x2＋

y2的值；解：(1)

x2＋

y2＝(

x

＋

y

)2－2

xy

＝62－2×4＝28.(2)求(

x

－

y

)2的值；解：(2)(

x

－

y

)2＝

x2＋

y2－2

xy

＝28－2×4＝20.(3)求

x4＋

y4的值.解：(3)

x4＋

y4＝(

x2＋

y2)2－2

x2

y2＝(

x2＋

y2)2－2(

xy

)2＝282－2×42＝

752.

添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)

?；

如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)

?.都不變符號(hào)都改變符號(hào)《添括號(hào)法則》課后作業(yè)

1.

在等號(hào)右邊的括號(hào)內(nèi)填上適當(dāng)?shù)捻?xiàng)：(1)

a

＋

b

－2

c

＝

a

＋(

b

－2

c

)；(2)

a

＋

b

＋2

c

＝(

a

＋

b

)＋2

c

；(3)

a

－

b

＋2

c

＝

a

－(

b

－2

c

)；(4)

a

－

b

－2

c

＝

a

－(

b

＋2

c

)；(5)

a

＋

b

＋2

c

＝

a

－(

－

b

－2

c

).b

－2

c

a

＋

b

b

－2

c

b

＋2

c

－

b

－2

c

2.

運(yùn)用乘法公式計(jì)算：(1)(2

x

－3

y

)2(2

x

＋3

y

)2；

(2)(

a

＋

b

＋

c

)2；(3)(

x

＋

y

＋1)(

x

＋

y

－1).解：(1)(2

x

－3

y

)2(2

x

＋3

y

)2＝[(2

x

＋3

y

)(2

x

－3

y

)]2＝(4

x2－9

y2)2＝16

x4－72

x2

y2＋81

y4.(2)(

a

＋

b

＋

c

)2

＝

[(

a

＋

b

)＋

c

]2＝

(

a

＋

b

)2＋2(

a

＋

b

)

c

＋

c2＝

a2＋2

ab

＋

b2＋2

ac

＋2

bc

＋

c2

.(3)(

x

＋

y

＋1)(

x

＋

y

－1)＝[(

x

＋

y

)＋1][(

x

＋

y

)－1]＝(

x

＋

y

)2－1＝

x2＋

2

xy

＋

y2－1.

第十四章整式的乘法與因式分解14.2乘法公式14.2.2完全平方公式《完全平方公式》同步練習(xí)

完全平方公式的幾何意義1.

用4塊完全相同的長(zhǎng)方形拼成正方形如圖，用不同的方法，計(jì)算圖中

陰影部分的面積，可得到1個(gè)關(guān)于

a

，

b

的等式為

?

?.(

a

＋

b

)2－(

a

－

b

)2＝

4

ab

【解析】

S陰影＝4

S長(zhǎng)方形＝4

ab

①，

S陰影＝

S大正方形－

S空白小正方形＝(

a

＋

b

)2－(

b

－

a

)2②，由①②得(

a

＋

b

)2－(

a

－

b

)2＝4

ab

.

完全平方公式2.

計(jì)算：(

x

＋2

y

)2＝(

A

)A.

x2＋4

xy

＋4

y2B.

x2＋2

xy

＋4

y2C.

x2＋4

xy

＋2

y2D.

x2＋4

y23.9

x2－

mxy

＋16

y2是一個(gè)完全平方式，那么

m

的值是(

D

)A.

12B.

－12C.

±12D.

±24【解析】∵(3

x

±4

y

)2＝9

x2±24

xy

＋16

y2，∴在9

x2－

mxy

＋16

y2中，

m

＝±24.AD4.

若

x2－7

xy

＋

M

是一個(gè)完全平方式，那么

M

是(

C

)D.

49

y2

5.

若多項(xiàng)式4

x2＋

A

＋1是一個(gè)完全平方式，則單項(xiàng)式

A

不可能是

(

C

)A.

4

x

B.

－4

x

C.

8

x

D.

4

x4CC6.

下列運(yùn)算正確的是(

C

)A.

(

m

－1)2＝

m2－1B.

(2

m

)3＝6

m3C.

m7÷

m3＝

m4D.

m2＋

m5＝

m7【解析】A.(

m

－1)2＝

m2－2

m

＋1，原運(yùn)算錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不符合題意；B.(2

m

)3＝8

m3，原運(yùn)算錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不符合題意；C.

m7÷

m3＝

m4，符合運(yùn)算法則，本選項(xiàng)符合題意；D.

m2＋

m5不能進(jìn)一步運(yùn)算化簡(jiǎn)，原運(yùn)算錯(cuò)誤，本選項(xiàng)不符合題意.C7.

【教材第110頁(yè)思考改編】下列等式不成立的是(

C

)A.

(2

a

＋

b

)2＝(－2

a

－

b

)2B.

(2

a

－

b

)2＝(

b

－2

a

)2C.

(2

a

－

b

)2＝2

a2－

b2D.

(2

a

＋

b

)2＝(2

a

－

b

)2＋8

ab

C

完全平方公式的應(yīng)用8.

已知2

a2－

a

－3＝0，則(2

a

＋3)(2

a

－3)＋(2

a

－1)2的值是(

D

)A.

6B.

－5C.

－3D.

4【解析】由2

a2－

a

－3＝0，得2

a2－

a

＝3，∴(2

a

＋3)(2

a

－3)＋(2

a

－1)2＝4

a2－9＋4

a2－4

a

＋1＝8

a2－4

a

－8＝

4(2

a2－

a

)－8＝4×3－8＝4.D9.

若｜

x

＋

y

－5｜＋(

xy

－3)2＝0，則

x2＋

y2的值為(

A

)A.

19B.

31C.

27D.

23【解析】根據(jù)題意得

x

＋

y

－5＝0，

xy

－3＝0，∴

x

＋

y

＝5，

xy

＝3.∵(

x

＋

y

)2＝

x2＋2

xy

＋

y2＝25，∴

x2＋

y2＝(

x

＋

y

)2－2

xy

.∴

x2＋

y2＝25－2×3＝25－6＝19.

A.

－2B.

－1C.

1D.

2AC11.

計(jì)算(

a

＋1)2－

a2＝

?.【解析】(

a

＋1)2－

a2＝

a2＋2

a

＋1－

a2＝2

a

＋1.

2

a

＋1

(3)2

0222－4

044×2

021＋2

0212.解：原式＝2

0222－2×2

022×2

021＋2

0212

＝(2

022－2

021)2

＝1.

13.

若

x

，

y

是有理數(shù)，設(shè)

N

＝3

x2＋2

y2－18

x

＋8

y

＋35，則(

B

)A.

N

一定是負(fù)數(shù)B.

N

一定不是負(fù)數(shù)C.

N

一定是正數(shù)D.

N

的正負(fù)與

x

，

y

的取值有關(guān)B14.

已知

x

，

y

為任意有理數(shù)，記

M

＝

x2＋

y2，

N

＝2

xy

，則

M

與

N

的大

小關(guān)系為(

B

)A.

M

＞

N

B.

M

≥

N

C.

M

≤

N

D.

不能確定【解析】∵

M

＝

x2＋

y2，

N

＝2

xy

，∴

M

－

N

＝

x2＋

y2－2

xy

＝(

x

－

y

)2.∵(

x

－

y

)2≥0，∴

M

≥

N

.

B15.

1261年，我國(guó)宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在其著作《詳解九章算法》中提到了如圖所示的數(shù)表，人們將這個(gè)數(shù)表稱(chēng)為“楊輝三角”.觀察“楊輝三角”與下面的等式圖，根據(jù)圖中各式的規(guī)律，(

a

＋

b

)7展

開(kāi)的多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)之和為

?.【解析】根據(jù)題意，得(

a

＋

b

)5展開(kāi)后各項(xiàng)系數(shù)為1，5，10，10，

5，1，系數(shù)和為1＋5＋10＋10＋5＋1＝32＝25，(

a

＋

b

)6展開(kāi)后各項(xiàng)系數(shù)為1，6，15，20，15，6，1，系數(shù)和為1＋6＋15＋20＋15＋6＋1＝64＝26，則(

a

＋

b

)7展開(kāi)后各項(xiàng)系數(shù)和為27＝128.128

16.

填空：(1)已知

a

＋

b

＝3，

ab

＝－1，則3

a

＋

ab

＋3

b

＝

，

a2

＋

b2＝

?；(2)已知

a

－

b

＝14，

ab

＝6，則

a2＋

b2＝

?；(3)已知(

a

＋

b

)2＝10，(

a

－

b

)2＝6，則

ab

＝

?.8

11

208

1

18.

如圖1，有A型，B型，C型三種不同形狀的紙板，A型是

邊長(zhǎng)為

a

的正方形，B型是邊長(zhǎng)為

b

的正方形，C型是長(zhǎng)為

b

，寬為

a

的

長(zhǎng)方形.現(xiàn)用A型紙板一張，B型紙板一張，C型紙板兩張拼成如圖2的大

正方形.(1)觀察圖2，請(qǐng)你用兩種方法表示出圖2的總面積.方法1：

?；方法2：

?.請(qǐng)利用圖2的面積表示方法，寫(xiě)出一個(gè)關(guān)于

a

，

b

的等式：

?

?.(

a

＋

b

)2

a2＋2

ab

＋

b2

(

a

＋

b

)2＝

a2＋2

ab

＋

b2

(2)已知圖2的總面積為49，一張A型紙板和一張B型紙板的面積之和為

25，求

ab

的值.

(3)用一張A型紙板和一張B型紙板拼成圖3所示的圖形，若

a

＋

b

＝8，

ab

＝15，求圖3中陰影部分的面積.第十四章整式的乘法與因式分解14.2乘法公式14.2.2完全平方公式《第2課時(shí)添括號(hào)法則》同步練習(xí)

添括號(hào)法則1.

對(duì)多項(xiàng)式3

a

＋4

b

－

c

進(jìn)行添括號(hào)，正確的是(

D

)A.

3

a

＋(4

b

＋

c

)B.

3

a

－(4

b

＋

c

)C.

3

a

＋4(

b

－

c

)D.

3

a

－(－4

b

＋

c

)【解析】

2

ab

－

a2－

b2＝－(－2

ab

＋

a2＋

b2)＝－(

a2－2

ab

＋

b2)＝－(

a

－

b

)2.D2.

下列計(jì)算結(jié)果為2

ab

－

a2－

b2的是(

D

)A.

(

a

－

b

)2B.

(－

a

－

b

)2C.

－(

a

＋

b

)2D.

－(

a

－

b

)23.

不改變代數(shù)式

a2＋2

a

－

b

＋

c

的值，下列添括號(hào)錯(cuò)誤的是(

C

)A.

a2＋(2

a

－

b

＋

c

)B.

a2－(－2

a

＋

b

－

c

)C.

a2－(2

a

－

b

＋

c

)D.

a2＋2

a

＋(－

b

＋

c

)DC

(2)2

x

－3

y

＋2＝2

x

＋(3

y

＋2).解：錯(cuò)誤，2

x

－3

y

＋2＝2

x

＋(－3

y

＋2).

5.

(－3

x

－1)2＝[－(

)]2＝

(

)2.6.

(

x

＋2

y

－1)(

x

－2

y

＋1)＝[

x

＋(

)][

x

－(

)].3

x

＋1

3

x

＋1

2

y

－1

2

y

－1

(1)(－2

x

－5)2；解：(－2

x

－5)2＝[－(2

x

＋5)]2＝

(2

x

＋5)2＝(2

x

)2＋2·(2

x

)·5＋52＝4

x2

＋20

x

＋25.(2)(

a

－2

b

－1)2；解：(

a

－2

b

－1)2＝[(

a

－2

b

)－1]2＝(

a

－2

b

)2－2·(

a

－2

b

)·1＋12＝

a2－

4

ab

＋4

b2－2

a

＋4

b

＋1.7.

【教材第111頁(yè)練習(xí)第2題改編】運(yùn)用完全平方公式計(jì)算.(3)(

a

＋

b

＋

c

)(

a

－

b

－

c

)；解：(

a

＋

b

＋

c

)(

a

－

b

－

c

)＝[

a

＋(

b

＋

c

)

]

[

a

－(

b

＋

c

)]＝

a2－

(

b

＋