第十四章

整式的乘法與因式分解14.3.2公式法第2課時

運(yùn)用完全平方公式因式分解1.理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，培養(yǎng)模型觀念。2.經(jīng)歷探索利用完全平方公式進(jìn)行因式分解的過程,感受逆向思維的意義,掌握因式分解的基本步驟.3.在運(yùn)用公式法進(jìn)行因式分解的同時，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、比較和判斷能力以及運(yùn)算能力，用不同的方法分解因式可以提高綜合運(yùn)用知識的能力.4.在探索和應(yīng)用公式因式分解的過程中滲透整體、數(shù)形結(jié)合、類比的數(shù)學(xué)思想.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：掌握公式的特點(diǎn)，運(yùn)用完全平方公式進(jìn)行因式分解.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：理解完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，靈活運(yùn)用公式.1.因式分解：把一個多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為幾個整式的積的形式.2.我們已經(jīng)學(xué)過哪些因式分解的方法？提公因式法平方差公式a2–b2=(a+b)(a–b)3.完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2

我們知道，因式分解與整式乘法是反方向的變形，我們學(xué)習(xí)了因式分解的兩種方法：提取公因式法、運(yùn)用平方差公式法.現(xiàn)在，大家自然會想，還有哪些乘法公式可以用來分解因式呢？用完全平方公式分解因式知識點(diǎn)你能把下面4個圖形拼成一個正方形并求出你拼成的圖形的面積嗎？aabbabababa2b2ab學(xué)生活動

【一起探究】同學(xué)們拼出圖形為：這個大正方形的面積可以怎么求？a2+2ab+b2(a+b)2=ababa2ababb2(a+b)2a2+2ab+b2=將上面的等式倒過來看，能得到：

a2+2ab+b2

a2–2ab+b2

我們把a(bǔ)2+2ab+b2和a2–2ab+b2這樣的式子叫做完全平方式.觀察這兩個多項(xiàng)式：(1)每個多項(xiàng)式有幾項(xiàng)？(3)中間項(xiàng)和第一項(xiàng)，第三項(xiàng)有什么關(guān)系？(2)每個多項(xiàng)式的第一項(xiàng)和第三項(xiàng)有什么特征？三項(xiàng).這兩項(xiàng)都是數(shù)或式的平方，并且符號相同.是第一項(xiàng)和第三項(xiàng)底數(shù)的積的±2倍.完全平方式的特點(diǎn)：

1.必須是三項(xiàng)式(或可以看成三項(xiàng)的)；

2.有兩個同號的數(shù)或式的平方；

3.中間有兩底數(shù)之積的±2倍.

完全平方式:簡記口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央.凡具備這些特點(diǎn)的三項(xiàng)式，就是完全平方式，將它寫成完全平方形式，便實(shí)現(xiàn)了因式分解.2ab+b2±=(a

±

b)2a2首2+尾2±2×首×尾(首±尾)2兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方.3.a2+4ab+4b2=()2+2·()·()+()2=()22.m2–6m+9=(

)2–2·()·(

)+()2=()21.x2+4x+4=()2+2·()·()+()2=()2x2x+2aa2ba+2b2b對照a2±2ab+b2=(a±b)2，填空：mm–33x2m3試一試下列各式是不是完全平方式？

(1)a2–4a+4;(2)1+4a2;(3)4b2+4b–1;(4)a2+ab+b2;(5)x2+x+0.25.是只有兩項(xiàng)；不是4b2與–1的符號不統(tǒng)一；不是不是是ab不是a與b的積的2倍.例1分解因式：(1)16x2+24x+9；(2)–x2+4xy–4y2.素養(yǎng)考點(diǎn)1利用完全平方公式分解因式分析：(1)中，16x2=(4x)2，

9=32，24x=2·4x·3，

所以16x2+24x+9是一個完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32.(2)中首項(xiàng)有負(fù)號，一般先利用添括號法則，將其變形為–(x2–4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.解：

(1)16x2+24x+9=(4x+3)2；=(4x)2+2·4x·3+32(2)–x2+4xy–4y2

=–(x2–4xy+4y2)=–(x–2y)2.把下列多項(xiàng)式因式分解.(1)x2–12xy+36y2;(2)16a4+24a2b2+9b4;

解：(1)x2–12xy+36y2

=x2–2·x·6y+(6y)2

=(x–6y)2;(2)16a4+24a2b2+9b4=(4a2)2+2·4a2·3b2+(3b2)2=(4a2+3b2)2;(3)–2xy–x2–y2;(4)4–12(x–y)+9(x–y)2.

解：(3)–2xy–x2–y2

=–(x2+2xy+y2)

=–(x+y)2;(4)4–12(x–y)+9(x–y)2

=22–2×2×3(x–y)+［3(x–y)］2

=［2–3(x–y)］2

=(2–3x+3y)2.例2如果x2–6x+N是一個完全平方式，那么N是()A.11B.9C.–11D.–9B解析：根據(jù)完全平方式的特征，中間項(xiàng)–6x=2x×(–3)，故可知N=(–3)2=9.素養(yǎng)考點(diǎn)2利用完全平方公式求字母的值方法點(diǎn)撥

本題要熟練掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，根據(jù)參數(shù)所在位置，結(jié)合公式，找出參數(shù)與已知項(xiàng)之間的數(shù)量關(guān)系，從而求出參數(shù)的值.計(jì)算過程中，要注意積的2倍的符號，避免漏解．如果x2–mx+16是一個完全平方式，那么m的值為________.解析：∵16=(±4)2，故–m=2×(±4)，m=±8.±8例3把下列各式分解因式：

(1)3ax2+6axy+3ay2

；(2)(a+b)2–12(a+b)+36.分析：(1)中有公因式3a，應(yīng)先提出公因式，再進(jìn)一步分解因式；(2)中將a+b看成一個整體，設(shè)a+b=m，則原式化為m2–12m+36.素養(yǎng)考點(diǎn)3利用完全平方公式進(jìn)行較復(fù)雜的因式分解解:(1)原式=3a(x2+2xy+y2)

=3a(x+y)2；(2)原式=(a+b)2–2·(a+b)·6+62

=(a+b–6)2.

利用公式把某些具有特殊形式(如平方差式，完全平方式等)的多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法.因式分解：(1)–3a2x2＋24a2x–48a2；(2)(a2＋4)2–16a2.＝(a2＋4＋4a)(a2＋4–4a)解：(1)原式＝–3a2(x2–8x＋16)＝–3a2(x–4)2；(2)原式＝(a2＋4)2–(4a)2＝(a＋2)2(a–2)2.有公因式要先提公因式.要檢查每一個多項(xiàng)式的因式，看能否繼續(xù)分解．例4把下列完全平方式分解因式：(1)1002–2×100×99+992；(2)342＋34×32＋162.素養(yǎng)考點(diǎn)4利用完全平方公式進(jìn)行簡便運(yùn)算

解：(1)原式=(100–99)2

(2)原式＝(34＋16)2本題利用完全平方公式分解因式，可以簡化計(jì)算.=1.＝2500.

計(jì)算:7652×17–2352×17.

解：7652×17–2352×17

=17×(7652–2352)

=17×(765+235)(765–235)

=17×1000×530=9010000.例5

已知:a2+b2+2a–4b+5=0，求2a2+4b–3的值.提示：從已知條件可以看出，a2+b2+2a–4b+5與完全平方式有很大的相似性(顏色相同的項(xiàng))，因此可通過“湊”成完全平方式的方法，將已知條件轉(zhuǎn)化成非負(fù)數(shù)之和等于0的形式，從而利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)來求解.素養(yǎng)考點(diǎn)5利用完全平方公式和非負(fù)性求字母的值解：由已知可得(a2+2a+1)+(b2–4b+4)=0即(a+1)2+(b–2)2=0

∴2a2+4b–3=2×(–1)2+4×2–3=7方法總結(jié)：遇到多項(xiàng)式的值等于0、求另一個多項(xiàng)式的值，常常通過變形為完全平方公式和(非負(fù)數(shù)的和)的形式，然后利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)來解答．

已知x2–4x＋y2–10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．＝112＝121.解：∵x2–4x＋y2–10y＋29＝0，∴(x–2)2＋(y–5)2＝0.∵(x–2)2≥0，(y–5)2≥0，∴x–2＝0，y–5＝0，∴x＝2，y＝5，∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2

幾個非負(fù)數(shù)的和為0，則這幾個非負(fù)數(shù)都為0.1.下列四個多項(xiàng)式中，能因式分解的是()A．a(chǎn)2＋1B．a(chǎn)2–6a＋9C．x2＋5yD．x2–5y2.把多項(xiàng)式4x2y–4xy2–x3分解因式的結(jié)果是()A．4xy(x–y)–x3B．–x(x–2y)2C．x(4xy–4y2–x2)D．–x(–4xy＋4y2＋x2)BB3.把下列多項(xiàng)式因式分解.(1)x2–12x+36;(2)4(2a+b)2–4(2a+b)+1;(3)y2+2y+1–x2;

(2)原式=[2(2a+b)]2–

2·2(2a+b)·1+12=(4a+2b–

1)2;解：(1)原式=x2–2·x·6+62=(x–6)2;

(3)原式=(y+1)2–x2=(y+1+x)(y+1–x).4.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)小聰和小明的解答過程如下：他們做對了嗎？若錯誤，請你幫忙糾正過來.x2–2x＋3.(2)原式＝

(x2–6x＋9)＝(x–3)2解:(1)原式＝(2x)2＋2?2x?1＋1＝(2x+1)2小聰:小明:××完全平方公式分解因式公式a2±2ab+b2=(a±b)2特點(diǎn)(1)要求多項(xiàng)式有三項(xiàng).(2)其中兩項(xiàng)同號，且都可以寫成某數(shù)或式的平方，另一項(xiàng)則是這兩數(shù)或式的乘積的2倍，符號可正可負(fù).

1.

兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的

，等于這兩個

數(shù)的

.即

a2＋2

ab

＋

b2＝(

a

＋

b

)2，

a2－2

ab

＋

b2＝(

a

－

b

)2.2.

形如

a2＋2

ab

＋

b2，

a2－2

ab

＋

b2的式子叫做

?.2倍和(或差)的平方完全平方式課后作業(yè)

測評等級(在對應(yīng)方格中畫“√”)A□B□C□D□易錯題記錄1.

下列四個多項(xiàng)式中，能因式分解的是(

B

)A.

a2＋1B.

a2－6

a

＋9C.

x2＋5

y

D.

x2－5

y

B2.

因式分解4－4

x

＋

x2＝

，結(jié)果正確的是(

D

)A.

(4＋

x

)2B.

(4－

x

)2C.

(2＋

x

)2D.

(2－

x

)23.

因式分解：

a2－14

ab

＋49

b2＝

?.4.

若多項(xiàng)式

a2－8

a

＋

b

＝(

a

－4)2，則

b

的值是

?.5.

若多項(xiàng)式

x2＋

mx

＋9能用完全平方公式進(jìn)行因式分解，則

m

的值是

?.D(

a

－7

b

)2

16

6或－6

(1)

x2

y

＋2

xy

＋

y

；

(2)3

ma2－6

mab

＋3

mb2；解：(1)

x2

y

＋2

xy

＋

y

＝

y

(

x2＋2

x

＋1)＝

y

(

x

＋1)2.(2)3

ma2－6

mab

＋3

mb2＝3

m

(

a2－2

ab

＋

b2)＝3

m

(

a

－

b

)2.6.

因式分解：(3)－6

a2＋12

a

－6＝－6(

a2－2

a

＋1)＝－6(

a

－1)2.(4)(

x

＋

y

)2－8(

x

＋

y

)＋16＝(

x

＋

y

－4)2.(3)－6

a2＋12

a

－6；

(4)(

x

＋

y

)2－8(

x

＋

y

)＋16.第十四章整式的乘法與因式分解14.3因式分解14.3.2公式法《第2課時運(yùn)用完全平方公式因式分解》同步練習(xí)

完全平方式1.

多項(xiàng)式4

x2＋1加上一個單項(xiàng)式后，使它成為一個整式的完全平方，

那么加上的單項(xiàng)式可以從①－1；②4

x

；③－4

x

；④4

x4中選取(

D

)A.

①②B.

②③C.

③④D.

①②③④D2.

已知：關(guān)于

x

的二次三項(xiàng)式

x2－8

x

＋

k

是完全平方式，則常數(shù)

k

等

于

?.16

用完全平方公式分解因式3.

下列多項(xiàng)式能直接用完全平方公式進(jìn)行因式分解的是(

B

)A.

x2＋2

x

－1C.

x2＋

xy

＋

y2D.

9＋

x2－3

x

B4.

下列因式分解正確的是(

A

)A.

16

x2－8

x

＋1＝(4

x

－1)2B.

4

x2－4＝(2

x

－2)2C.

－

x2＋2

x

－1＝(

x

－1)2D.

2

x

(

x

－1)－(

x

－1)＝

x

(

x

－1)5.9(

a

－

b

)2＋12(

a2－

b2)＋4(

a

＋

b

)2因式分解的結(jié)果是(

A

)A.

(5

a

－

b

)2B.

(5

a

＋

b

)2C.

(3

a

－2

b

)(3

a

＋2

b

)D.

(5

a

－2

b

)2AA6.

將下列各式分解因式：(1)－

m2＋10

m

－25；解：原式＝－(

m

－5)2.(2)4

n2－12

mn

＋9

m2；解：原式＝(2

n

－3

m

)2.(3)(

x2＋2)2－12(

x2＋2)＋36；解：原式＝(

x2＋2－6)2＝(

x

＋2)2(

x

－2)2.(4)(

x2＋2

x

)2－(2

x

＋4)2.解：原式＝(

x2＋2

x

＋2

x

＋4)(

x2＋2

x

－2

x

－4)＝(

x

＋2)2·(

x2－4)＝(

x

＋2)3(

x

－2).

先提取公因式再用完全平方公式分解因式7.

分解因式3

x2－6

x

＋3的最終結(jié)果是(

C

)A.

3

x

(

x

－2)B.

3(

x2－2

x

＋1)C.

3(

x

－1)2D.

(3

x

－1)28.

分解因式：2

a2－4

a

＋2＝

?.9.

分解因式：

a3－4

a2＋4

a

＝

?.【解析】

a3－4

a2＋4

a

＝

a

(

a2－4

a

＋4)＝

a

(

a

－2)2.C2(

a

－1)2

a

(

a

－2)2

10.

因式分解：

a3＋2

a2＋

a

＝

?.【解析】

a3＋2

a2＋

a

＝

a

(

a2＋2

a

＋1)＝

a

(

a

＋1)2.a

(

a

＋1)2

11.

【教材第120頁習(xí)題14.3第9題改編】已知式子

a2＋(2

t

－1)

ab

＋4

b2

是一個完全平方式，則實(shí)數(shù)

t

的值為

?.

12.

已知｜

xy

－4｜＋(

x

－2

y

－2)2＝0，求

x2＋4

xy

＋4

y2的值.解：∵｜

xy

－4｜＋(

x

－2

y

－2)2＝0，∴

xy

＝4，

x

－2

y

＝2.∴

x2＋4

xy

＋4

y2＝(

x

＋2

y

)2＝(

x

－2

y

)2＋8

xy

＝22＋8×4＝36.13.

已知三邊各不相等的△

ABC

的三邊長分別為整數(shù)

a

，

b

，

c

，且滿

足

a2＋

b2－4

a

－6

b

＋13＝0，求

c

的長.解：∵

a2＋

b2－4

a

－6

b

＋13＝0，∴

a2－4

a

＋4＋

b2－6

b

＋9＝0.∴(

a

－2)2＋(

b

－3)2＝0.∴

a

＝2，

b

＝3.∵

a

，

b

，

c

各不相等，且

x

為整數(shù)，∴1＜

c

＜5，∴

c

＝4.14.

在以下三個整式中，任取其中的兩個進(jìn)行和或差的運(yùn)算，使得計(jì)算

后