第19頁（共19頁）2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教新版九年級同步經(jīng)典題精練之投影一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?紫金縣期末）一張正方形紙片在太陽光下的影子不可能是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．梯形 D．線段2．（2024秋?榆中縣期末）下列各種現(xiàn)象屬于中心投影的是（）A．晚上人走在路燈下的影子 B．中午用來乘涼的樹影 C．上午人走在路上的影子 D．早上升旗時地面上旗桿的影子3．（2024秋?白銀期末）一塊三角形紙板ABC如圖所示，BC＝15cm，AC＝12cm，測得BC邊的中心投影B1C1的長為20cm，則AC邊的中心投影A1C1的長為（）A．24cm B．20cm C．16cm D．8cm4．（2024秋?鄭州校級期末）圓桌面（桌面中間有一個直徑為1m的圓洞）正上方的燈泡（看作一個點）發(fā)出的光線照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如圖所示的圓環(huán)形陰影．已知桌面直徑為2m，桌面離地面1m，若燈泡離地面2m，則地面圓環(huán)形陰影的面積是（）A．2πm2 B．3πm2 C．6πm2 D．12πm25．（2024秋?涼州區(qū)校級期末）如圖，小樹AB在路燈O的照射下形成投影BC．若這棵樹高AB＝2m，樹影BC＝3m，樹與路燈的水平距離BP＝4.5m，則路燈的高度OP為（）A．3m B．5m C．6m D．7.5m二．填空題（共5小題）6．（2024秋?五華縣期末）如圖所示是兩棵小樹在同一時刻的影子，可以斷定這是投影．7．（2024秋?萊蕪區(qū)期末）皮影戲是用獸皮或紙板做成的人物剪影來表演故事的戲曲，表演時，用燈光把男影照射在銀幕上，藝人在幕后一邊操縱剪膨，一邊演唱，并配以音樂，皮影戲也稱為影戲、燈影戲．土影戲等，則皮影形成的影子是投影．（填“平行”或“中心”）8．（2024秋?禪城區(qū)期末）如圖，日晷是我國古代的一種計時儀器，由晷面和晷針組成．當(dāng)陽光照在日晷上時，晷針的影子會隨著時間的推移慢慢移動，以此來顯示時刻，則晷針在晷面上形成的投影是投影（填“平行”或“中心”）．9．（2024秋?萊陽市期末）如圖所示是某一天不同時刻同一棵樹的影子，則它們按時間先后順序排列序號應(yīng)為．10．（2024秋?揭西縣期末）如圖，樹AB在路燈O的照射下形成投影AC，已知樹高AB＝2m，樹影AC＝3m，樹AB與路燈O的水平距離AP＝4.5m，則路燈的高度PO長是米．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?源城區(qū)期末）如圖，在地面上豎直安裝著AB，CD，EF三根立柱，在同一時刻同一光源下立柱AB，CD形成的影子分別為BG與DH．（1）通過作圖判斷此光源下形成的投影是中心投影還是平行投影：（2）作出立柱EF在此光源下所形成的影子．12．（2024秋?平遠(yuǎn)縣期末）某班同學(xué)們上體育課．在陽光下，甲、乙兩名同學(xué)分別直立站在點C、D的位置，此時，乙影子的頂端恰好與甲影子的頂端重合（如圖）．甲的身高為1.8m，乙的身高為1.5m，甲的影長為6m，求甲、乙兩名同學(xué)之間的距離．13．（2024秋?雁塔區(qū)校級期末）太陽能光伏發(fā)電因其清潔、安全、高效等特點，已成為世界各國重點發(fā)展的新能源產(chǎn)業(yè)．圖①是太陽能電板，圖②是其截面示意圖，其中GF為太陽能電板，AE、CD均為鋼架且垂直于地面DE，AB為水平鋼架且垂直于CD，已知太陽能電板GF＝1.8m，測得電板上兩個支撐點的距離AC＝1m，鋼架連接點BC＝0.8m．若某一時刻的太陽光線垂直照射GF，求太陽能電板GF的影子EH的長．14．（2024秋?龍崗區(qū)校級期末）如圖，在觀測站測得漁船A在它的東北方向上，為了減少相互干擾并取得較好的捕魚效益，漁船B與漁船A位于不同的捕漁區(qū)，在觀測站O觀看兩艘漁船的視角∠AOB＝110°，求漁船B相對觀測站O的方向．15．（2024秋?鎮(zhèn)平縣期中）課間，小明和小聰在操場上突然爭論起來，他們都說自己比對方長得高．這時數(shù)學(xué)老師走過來，笑著對他們說：“你們不要爭了，其實你們一樣高，瞧瞧地上，你倆的影子一樣長！”數(shù)學(xué)老師僅從他們的影長相等就斷定它們的身高相同．我們可以運用全等三角形的有關(guān)知識說明其中的道理（假定太陽光線是平行的）現(xiàn)對老師說法的正確性進(jìn)行證明，如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請補(bǔ)充完整，并寫出“證明”過程．已知：如圖，AB⊥a于點B，CD⊥a于D，AM∥CN，．求證：．

2024-2025學(xué)年下學(xué)期初中數(shù)學(xué)人教新版九年級同步經(jīng)典題精練之投影參考答案與試題解析題號12345答案CACBB一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?紫金縣期末）一張正方形紙片在太陽光下的影子不可能是（）A．平行四邊形 B．矩形 C．梯形 D．線段【考點】平行投影．【專題】投影與視圖；應(yīng)用意識．【答案】C【分析】根據(jù)平行投影的性質(zhì)求解可得．【解答】解：一張正方形紙片在太陽光線的照射下，形成影子不可能是梯形，故選：C．【點評】本題主要考查平行投影，解題的關(guān)鍵是掌握平行投影的性質(zhì)．2．（2024秋?榆中縣期末）下列各種現(xiàn)象屬于中心投影的是（）A．晚上人走在路燈下的影子 B．中午用來乘涼的樹影 C．上午人走在路上的影子 D．早上升旗時地面上旗桿的影子【考點】中心投影．【專題】投影與視圖；應(yīng)用意識．【答案】A【分析】根據(jù)中心投影的性質(zhì)，找到是燈光的光源即可．【解答】解：中心投影的光源為燈光，平行投影的光源為陽光與月光，在各選項中只有A選項得到的投影為中心投影．故選：A．【點評】此題主要考查了中心投影的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是理解中心投影的形成光源為燈光．3．（2024秋?白銀期末）一塊三角形紙板ABC如圖所示，BC＝15cm，AC＝12cm，測得BC邊的中心投影B1C1的長為20cm，則AC邊的中心投影A1C1的長為（）A．24cm B．20cm C．16cm D．8cm【考點】中心投影．【專題】投影與視圖；運算能力．【答案】C【分析】利用中心投影的性質(zhì)求解．【解答】解：由中心投影的性質(zhì)可知△ABC∽△A1B1C1，∴ACA∴12A∴A1C1＝16（cm）．故選：C．【點評】本題考查中心投影，解題的關(guān)鍵是掌握中心投影的性質(zhì)．4．（2024秋?鄭州校級期末）圓桌面（桌面中間有一個直徑為1m的圓洞）正上方的燈泡（看作一個點）發(fā)出的光線照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如圖所示的圓環(huán)形陰影．已知桌面直徑為2m，桌面離地面1m，若燈泡離地面2m，則地面圓環(huán)形陰影的面積是（）A．2πm2 B．3πm2 C．6πm2 D．12πm2【考點】中心投影；平行線的性質(zhì)；扇形面積的計算．【專題】圖形的相似；投影與視圖．【答案】B【分析】先根據(jù)AC⊥OB，BD⊥OB可得出△AOC∽△BOD，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出BD的長，進(jìn)而得出BD′＝1m，再由圓環(huán)的面積公式即可得出結(jié)論．【解答】解：如圖所示：∵AC⊥OB，BD⊥OB，∴△AOC∽△BOD，∴OAOB=AC解得：BD＝2m，同理可得：AC′=12m，則BD′＝1∴S圓環(huán)形陰影＝22π﹣12π＝3π（m2）．故選：B．【點評】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用以及中心投影，利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例得出陰影部分的半徑是解題關(guān)鍵．5．（2024秋?涼州區(qū)校級期末）如圖，小樹AB在路燈O的照射下形成投影BC．若這棵樹高AB＝2m，樹影BC＝3m，樹與路燈的水平距離BP＝4.5m，則路燈的高度OP為（）A．3m B．5m C．6m D．7.5m【考點】中心投影．【專題】投影與視圖；推理能力．【答案】B【分析】先求解CP＝7.5m，再根據(jù)相似三角形的判定證出△ABC∽△OPC，然后利用相似三角形的性質(zhì)求解即可得．【解答】解：∵BC＝3m，BP＝4.5m，∴CP＝BC+BP＝7.5m，由題意得：AB⊥CP，OP⊥CP，∴AB∥OP，∴△ABC∽△OPC，而AB＝2m，∴OPAB=CP解得OP＝5（m），答：路燈的高度OP為5m．故選：B．【點評】本題考查了中心投影，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?五華縣期末）如圖所示是兩棵小樹在同一時刻的影子，可以斷定這是中心投影．【考點】平行投影．【專題】投影與視圖；應(yīng)用意識．【答案】中心．【分析】根據(jù)光線的平行和相交即可判斷是平行投影和中心投影．【解答】解：因為影子的頂點和大樹的頂點的連線不平行，所以它們的光線應(yīng)該是燈光的光線．所以是中心投影．故答案為：中心．【點評】本題考查了中心投影和平行投影的知識，解題的關(guān)鍵是看光線有沒有交點．7．（2024秋?萊蕪區(qū)期末）皮影戲是用獸皮或紙板做成的人物剪影來表演故事的戲曲，表演時，用燈光把男影照射在銀幕上，藝人在幕后一邊操縱剪膨，一邊演唱，并配以音樂，皮影戲也稱為影戲、燈影戲．土影戲等，則皮影形成的影子是中心投影．（填“平行”或“中心”）【考點】中心投影；平行投影．【專題】投影與視圖；幾何直觀．【答案】中心．【分析】根據(jù)中心投影的定義判斷即可．【解答】解：皮影形成的影子是中心投影．故答案為：中心．【點評】本題考查中心投影，平行投影，解題的關(guān)鍵是理解中心投影，平行投影的定義．8．（2024秋?禪城區(qū)期末）如圖，日晷是我國古代的一種計時儀器，由晷面和晷針組成．當(dāng)陽光照在日晷上時，晷針的影子會隨著時間的推移慢慢移動，以此來顯示時刻，則晷針在晷面上形成的投影是平行投影（填“平行”或“中心”）．【考點】平行投影；平行線的判定．【專題】線段、角、相交線與平行線；幾何直觀．【答案】平行．【分析】根據(jù)中心投影和平行投影的定義，結(jié)合光的照射方式判斷即可．【解答】解：∵陽光照在日晷上時，陽光可以看成平行線，∴晷針在晷面上形成的投影是平行投影，故答案為：平行．【點評】本題考查了平行投影，平行線的判定，正確分析光的照射方式是解答本題的關(guān)鍵．中心投影的定義：光由一點向外散射形成的投影；平行投影的定義：光源以平行的方式照射到物體上形成的投影．9．（2024秋?萊陽市期末）如圖所示是某一天不同時刻同一棵樹的影子，則它們按時間先后順序排列序號應(yīng)為④②①③．【考點】平行投影．【專題】投影與視圖；幾何直觀．【答案】④②①③．【分析】根據(jù)不同時刻物體在太陽光下的影子的大小、方向的改變規(guī)律：就北半球而言，從早晨到傍晚物體的指向是：西﹣西北﹣北﹣東北﹣東，影長由長變短，再變長．【解答】解：西為④，西北為②，東北為①，東為③，故其按時間的先后順序為：④②①③．故答案為：④②①③．【點評】本題考查平行投影，在不同時刻物體在太陽光下的影子的大小在變，方向也在改變，就北半球而言，從早晨到傍晚物體的指向是：西﹣西北﹣北﹣東北﹣東，影長由長變短，再變長．10．（2024秋?揭西縣期末）如圖，樹AB在路燈O的照射下形成投影AC，已知樹高AB＝2m，樹影AC＝3m，樹AB與路燈O的水平距離AP＝4.5m，則路燈的高度PO長是5米．【考點】中心投影．【專題】投影與視圖；應(yīng)用意識．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】利用中心投影的性質(zhì)得到AB∥OP，則可判斷△CAB∽△CPO，然后利用相似三角形的性質(zhì)求OP的長即可．【解答】解：∵AB在路燈O的照射下形成投影AC，∴AB∥OP，∴△CAB∽△CPO，∴ABOP∵AB＝2m，AC＝3m，AP＝4.5m，∴2OP解得OP＝5，即路燈的高度PO長是5米．故答案為：5．【點評】本題考查了中心投影：中心投影的光線特點是從一點出發(fā)的投射線．物體與投影面平行時的投影是放大（即位似變換）的關(guān)系．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?源城區(qū)期末）如圖，在地面上豎直安裝著AB，CD，EF三根立柱，在同一時刻同一光源下立柱AB，CD形成的影子分別為BG與DH．（1）通過作圖判斷此光源下形成的投影是中心投影還是平行投影：（2）作出立柱EF在此光源下所形成的影子．【考點】中心投影；平行投影．【專題】投影與視圖；幾何直觀．【答案】（1）中心投影；（2）見解答．【分析】（1）根據(jù)在同一時刻同一光源下立柱AB、CD形成的影子為BG與DH，連接GA、HC并延長交于點O，據(jù)此判斷即可；（2）連接OE并延長交直線HG于I，于是得到結(jié)論．【解答】解：（1）如圖所示，光線GA、HC相交于點O，所以此光源下形成的投影是中心投影．∴應(yīng)該是中心投影；（2）如圖所示，線段FI為立柱EF在此光源下所形成的影子．【點評】本題考查了中心投影，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵．12．（2024秋?平遠(yuǎn)縣期末）某班同學(xué)們上體育課．在陽光下，甲、乙兩名同學(xué)分別直立站在點C、D的位置，此時，乙影子的頂端恰好與甲影子的頂端重合（如圖）．甲的身高為1.8m，乙的身高為1.5m，甲的影長為6m，求甲、乙兩名同學(xué)之間的距離．【考點】平行投影．【專題】投影與視圖；應(yīng)用意識．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】根據(jù)甲的身高與影長構(gòu)成的三角形與乙的身高和影長構(gòu)成的三角形相似，列出比例式解答．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴DECB設(shè)CD＝xm，∵BC＝1.8m，DE＝1.5m，AC＝6m，∴1.51.8解得x＝1，∴CD＝1m，答：甲、乙兩名同學(xué)之間的距離為1m．【點評】本題考查了平行投影，根據(jù)身高與影長的比例不變，得出三角形相似，運用相似比即可解答．13．（2024秋?雁塔區(qū)校級期末）太陽能光伏發(fā)電因其清潔、安全、高效等特點，已成為世界各國重點發(fā)展的新能源產(chǎn)業(yè)．圖①是太陽能電板，圖②是其截面示意圖，其中GF為太陽能電板，AE、CD均為鋼架且垂直于地面DE，AB為水平鋼架且垂直于CD，已知太陽能電板GF＝1.8m，測得電板上兩個支撐點的距離AC＝1m，鋼架連接點BC＝0.8m．若某一時刻的太陽光線垂直照射GF，求太陽能電板GF的影子EH的長．【考點】平行投影；勾股定理的應(yīng)用．【專題】投影與視圖；運算能力．【答案】太陽能電板GF的影子EH的長為3m．【分析】得出∠1+∠2＝90°．在Rt△AEG中，由∠AGE＝90°，進(jìn)而得∠1+∠3＝90°，∠2＝∠3，過點E作EM⊥FH于M，易證四邊形EGFM是矩形，由矩形的性質(zhì)得出∠GEM＝90°，即∠4+∠3＝90°，再根據(jù)∠AED＝90°，得出∠4+∠5＝90°，進(jìn)而得出∠2＝∠3＝∠5，根據(jù)相似三角形的判定可證△ABC∽△EMH，利用相似三角形的性質(zhì)即可解答．【解答】解：如圖，過點E作EM⊥FH于M，由題意，得AE⊥DE，CD⊥DE，AB⊥CD，GE⊥GF，F(xiàn)H⊥GF，∴∠AED＝∠BDE＝∠ABD＝90°，∠AGE＝∠GFH＝90°，∴四邊形ABDE是矩形，∴∠BAE＝90°，EM＝GF＝1.8m，∴∠1+∠2＝90°．∵在Rt△AEG中，∠AGE＝90°，∴∠1+∠3＝90°，∴∠2＝∠3，∴∠EMF＝90°，∴∠AGE＝∠GFH＝∠EMF＝90°，∴四邊形EGFM是矩形，∴∠GEM＝90°，∴∠3+∠4＝90°．∵∠AED＝90°，∴∠4+∠5＝90°，∴∠2＝∠3＝∠5．∵∠ABC＝∠EMH＝90°，∴△ABC∽△EMH，∴ABAC在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=∴0.61解得EH＝3m，答：太陽能電板GF的影子EH的長為3m．【點評】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，矩形的判定和性質(zhì)，平行投影，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定和性質(zhì)，平行投影是解題的關(guān)鍵．14．（2024秋?龍崗區(qū)校級期末）如圖，在觀測站測得漁船A在它的東北方向上，為了減少相互干擾并取得較好的捕魚效益，漁船B與漁船A位于不同的捕漁區(qū)，在觀測站O觀看兩艘漁船的視角∠AOB＝110°，求漁船B相對觀測站O的方向．【考點】視點、視角和盲區(qū)；方向角．【專題】線段、角、相交線與平行線；運算能力；應(yīng)用意識．【答案】北偏西65°上．【分析】根據(jù)方位角和角的平分線的定義，分別計算出∠AON，∠BON．【解答】解：∵在觀測站O測得漁船A在它的東北方向上，∴∠AON=∵∠AOB＝110°，∴∠BON＝∠AOB﹣∠AON＝65°，∴漁船B相對觀測站O的北偏西65°上．【點評】本題考查方位角，理解方位角、角平分線的定義以及圖形中角的和差關(guān)系是正確解答的前提．15．（2024秋?鎮(zhèn)平縣期中）課間，小明和小聰在操場上突然爭論起來，他們都說自己比對方長得高．這時數(shù)學(xué)老師走過來，笑著對他們說：“你們不要爭了，其實你們一樣高，瞧瞧地上，你倆的影子一樣長！”數(shù)學(xué)老師僅從他們的影長相等就斷定它們的身高相同．我們可以運用全等三角形的有關(guān)知識說明其中的道理（假定太陽光線是平行的）現(xiàn)對老師說法的正確性進(jìn)行證明，如下給出了不完整的“已知”和“求證”，請補(bǔ)充完整，并寫出“證明”過程．已知：如圖，AB⊥a于點B，CD⊥a于D，AM∥CN，BM＝DN．求證：AB＝CD．【考點】平行投影；全等三角形的應(yīng)用．【專題】推理能力．【答案】BM＝DN；AB＝CD，證明見解析．【分析】根據(jù)AM∥CN，可得∠AMB＝∠CND，再由AB⊥a，CD⊥a，可得∠ABM＝∠CDN＝90°，可證明△ABM≌△CDN，即可解答．【解答】解：BM＝DN；AB＝CD．證明：∵AM∥CN，∴∠AMB＝∠CND，∵AB⊥a，CD⊥a，∴∠ABM＝∠CDN＝90°．在△ABM和△CDN中，∠AMB∴△ABM≌△CDN（ASA）．∴AB＝CD．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．

考點卡片1．方向角方向角是從正北或正南方向到目標(biāo)方向所形成的小于90°的角（1）方向角是表示方向的角；以正北，正南方向為基準(zhǔn)，來描述物體所處的方向．（2）用方向角描述方向時，通常以正北或正南方向為角的始邊，以對象所處的射線為終邊，故描述方向角時，一般先敘述北或南，再敘述偏東或偏西．（注意幾個方向的角平分線按日常習(xí)慣，即東北，東南，西北，西南．）（3）畫方向角以正南或正北方向作方向角的始邊，另一邊則表示對象所處的方向的射線．2．平行線的判定（1）定理1：兩條直線被第三條所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：同位角相等，兩直線平行．（2）定理2：兩條直線被第三條所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行．簡單說成：內(nèi)錯角相等，兩直線平行．（3）定理3：兩條直線被第三條所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．簡單說成：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．（4）定理4：兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行．（5）定理5：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線同時垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行．3．平行線的性質(zhì)1、平行線性質(zhì)定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．2、兩條平行線之間的距離處處相等．4．全等三角形的應(yīng)用（1）全等三角形的性質(zhì)與判定綜合應(yīng)用用全等尋找下一個全等三角形的條件，全等的性質(zhì)和判定往往是綜合在一起應(yīng)用的，這需要認(rèn)真分析題目的已知和求證，分清問題中已知的線段和角與所證明的線段或角之間的聯(lián)系．（2）作輔助線構(gòu)造全等三角形常見的輔助線做法：①把三角形一邊的中線延長，把分散條件集中到同一個三角形中是解決中線問題的基本規(guī)律．②證明一條線段等于兩條線段的和，可采用“截長法”或“補(bǔ)短法”，這些問題經(jīng)常用到全等三角形來證明．（3）全等三角形在實際問題中的應(yīng)用一般方法是把實際問題先轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再轉(zhuǎn)化為三角形問題，其中，畫出示意圖，把已知條件轉(zhuǎn)化為三角形中的邊角關(guān)系是關(guān)鍵．5．勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)