第20頁（共20頁）2024-2025學年下學期初中數(shù)學北師大新版九年級同步經典題精練之圓內接正多邊形一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?汕尾期末）如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，正六邊形的邊長是2，則⊙O的半徑的長是（）A．3 B．2 C．22 D．2．（2024秋?增城區(qū)期末）正多邊形的一個外角是72°，則這個多邊形的邊數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．73．（2024秋?建鄴區(qū)期末）如圖，在正n邊形A1A2A3?An中，∠A1A4A5的度數(shù)是（）A．n-3n?180° B．n-3n4．（2024秋?橋西區(qū)期末）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，點G為DE邊上一點，連接AG，F(xiàn)G，CG，則△AFG與△CDG的面積和為（）A．4 B．33C．23 D．隨點G5．（2024秋?涼州區(qū)期末）如圖，正三角形和正方形分別內接于等圓⊙O1和⊙O2，若正三角形的周長為m，正方形的周長為n，則m與n的關系為（）A．m＜n B．m＝n C．m＞n D．不能確定二．填空題（共5小題）6．（2024秋?玄武區(qū)期末）如圖，在正五邊形ABCDE中，連接CE，以E為圓心，EA長為半徑畫弧，與CE交于點F，連接AF，則∠AFE的度數(shù)是°．7．（2024秋?西湖區(qū)期末）如圖，已知正方形ABCD與正五邊形EFGCH都內接于⊙O，則∠DCH的度數(shù)為．8．（2024秋?碑林區(qū)校級期末）小瑜在公園路邊她發(fā)現(xiàn)了一處被茂密植被遮住的正多邊形花壇．如圖，為了得出邊數(shù)，她將正多邊形的兩邊延長交于點P，測量出∠P＝36°，則可得出正多邊形的邊數(shù)n＝．9．（2024秋?甘井子區(qū)期末）如圖，點A在⊙O上，半徑OA＝r，以點A為圓心，在⊙O上依次截取長度等于半徑r的弦AB，BC，CD，DE，EF，連接AF，則六邊形ABCDEF的面積為．（請用含r的式子表示）10．（2024秋?秦淮區(qū)期末）如圖，點O是邊長為6的正六邊形ABCDEF和邊長為a的正方形MNPQ的中心，將正方形MNPQ繞點O旋轉一周．若在旋轉過程中，正方形MNPQ始終在正六邊形ABCDEF的內部（即正方形邊上的所有點都在正六邊形內），則a的取值范圍是．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?昌平區(qū)期末）如圖，⊙O是邊長為4的正方形ABCD的外接圓．（1）求⊙O的半徑；（2）求圖中陰影部分的扇形面積．12．（2024秋?溫州期末）如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，P為DE上的一點（點P與點D不重合），求∠CPD的度數(shù)．13．（2024秋?高陵區(qū)期末）如圖，正八邊形ABCDEFGH的邊長為4，以頂點A為圓心，AB的長為半徑畫圓，求陰影部分的面積（結果保留π）．14．（2024秋?嘉魚縣期中）如圖，CE是正六邊形（六條邊相等，六個內角相等）的一條對角線，延長CE，AF交于點M．（1）判斷△EFM的形狀；（2）若EF＝3，求AM的長．15．（2024?武威校級三模）如圖，在正五邊形ABCDE中，連結AC，AD，CE，CE交AD于點F．（1）求∠CAD的度數(shù)．（2）已知AB＝2，求DF的長．

2024-2025學年下學期初中數(shù)學北師大新版九年級同步經典題精練之圓內接正多邊形參考答案與試題解析題號12345答案BBCCA一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?汕尾期末）如圖，正六邊形ABCDEF內接于⊙O，正六邊形的邊長是2，則⊙O的半徑的長是（）A．3 B．2 C．22 D．【考點】正多邊形和圓．【專題】正多邊形與圓；幾何直觀；推理能力．【答案】B【分析】根據(jù)題意畫出圖形，求出正六邊形的邊長，再求出∠AOB＝60°即可求出⊙O的半徑．【解答】解：正六邊形ABCDEF內接于⊙O，正六邊形的邊長是2，如圖，連結OA，OB，∴∠AOB∴△AOB是等邊三角形，∵正六邊形的邊長是2，∴AO＝BO＝AB＝2，故選：B．【點評】本題考查了正多邊形和圓，根據(jù)題意畫出圖形，作出輔助線求出∠AOB＝60°是解答此題的關鍵．2．（2024秋?增城區(qū)期末）正多邊形的一個外角是72°，則這個多邊形的邊數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【考點】正多邊形和圓．【專題】圓的有關概念及性質；運算能力．【答案】B【分析】正多邊形的外角和是360°，這個正多邊形的每個外角相等，因而用360°除以外角的度數(shù)即可．【解答】解：正多邊形的外角和是360°，∵正多邊形的一個外角是72°，∴多邊形的邊數(shù)為：360°÷72°＝5，故選：B．【點評】此題考查了多邊形的內角和外角的關系，熟記正多邊形的邊數(shù)和外角的關系是解題的關鍵．3．（2024秋?建鄴區(qū)期末）如圖，在正n邊形A1A2A3?An中，∠A1A4A5的度數(shù)是（）A．n-3n?180° B．n-3n【考點】正多邊形和圓．【專題】正多邊形與圓；運算能力；推理能力．【答案】C【分析】根據(jù)多邊形的內角和定理得到正n邊形A1A2A3?An的內角為(n-2)×180°n，根據(jù)四邊形的內角和定理求得∠A1A4A3＝∠A4A1A2【解答】解：∵正n邊形A1A2A3?An的內角為(n∴∠A2＝∠A3＝∠A3A4A5=(在四邊形A1A2A3A4中，∠A1A4A3＝∠A4A1A2=12[360°﹣2×(n-∴∠A1A4A5=(n-2)×180°n-1故選：C．【點評】本題考查了正多邊形與圓，熟練掌握正多邊形的內角和公式是解題的關鍵．4．（2024秋?橋西區(qū)期末）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，點G為DE邊上一點，連接AG，F(xiàn)G，CG，則△AFG與△CDG的面積和為（）A．4 B．33C．23 D．隨點G【考點】正多邊形和圓；三角形的面積．【專題】正多邊形與圓；運算能力．【答案】C【分析】根據(jù)正六邊形的性質求出PQ的長，再根據(jù)S△AFG+S△CDG=12AF?GM+12CD?GN=12×2?GM+12×2?【解答】解：如圖，過點G作AF的垂線，分別交AF、CD的延長線于點M、N，設正六邊形的中心為O，過點O作AF的垂線，分別交AFCD于點P、Q，則MN＝PQ，連接OC，在Rt△COQ中，OC＝2，CQ＝1，∴OQ=O∴MN＝PQ＝23，∴S△AFG+S△CDG=12AF?GM+1=12×2?GM+＝GM+GN＝MN＝23．故選：C．【點評】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形的性質是正確解答的關鍵．5．（2024秋?涼州區(qū)期末）如圖，正三角形和正方形分別內接于等圓⊙O1和⊙O2，若正三角形的周長為m，正方形的周長為n，則m與n的關系為（）A．m＜n B．m＝n C．m＞n D．不能確定【考點】正多邊形和圓；函數(shù)關系式；等邊三角形的性質；三角形的外接圓與外心．【專題】正多邊形與圓；解直角三角形及其應用；運算能力；推理能力．【答案】A【分析】設兩個圓的半徑為R，根據(jù)正多邊形和圓的性質以及直角三角形的邊角關系用含有R的代數(shù)式表示m，n，再比較m、n的大小即可．【解答】解：設兩個圓的半徑為R，如圖1，連接O1B，過點O1作O1D⊥BC，垂足為D，∵△ABC是⊙O1的內接正三角形，∴∠BO1D＝60°，∴BD=32O1B=∴BC＝2BD=3R∴m＝3BC＝33R，如圖2，連接O2B，過點O2作O2E⊥BC，垂足為E，∵正方形ABCD是⊙O2的內接正方形，∴∠BO2E＝45°，∴BE=22O2B=∴BC＝2BE=2R∴n＝4bc＝42R，由于33=27，42=∴m＜n．故選：A．【點評】本題考查正多邊形與圓，直角三角形的邊角關系以及函數(shù)關系式，掌握正多邊形與圓的性質，直角三角形的邊角關系是正確解答的關鍵．二．填空題（共5小題）6．（2024秋?玄武區(qū)期末）如圖，在正五邊形ABCDE中，連接CE，以E為圓心，EA長為半徑畫弧，與CE交于點F，連接AF，則∠AFE的度數(shù)是54°．【考點】正多邊形和圓．【專題】正多邊形與圓；運算能力；推理能力．【答案】54．【分析】根據(jù)正五邊形的內角和得到∠AED＝∠CDE=(5-2)×180°5【解答】解：在正五邊形ABCDE中，∵∠AED＝∠CDE=(5-2)×180°5∵DE＝CD，∴∠DCE＝∠CED=12×（180°﹣108∴∠AEF＝108°﹣36°＝72°，∵AE＝EF，∴∠EAF＝∠AFE=12×（180°﹣72故答案為：54．【點評】本題考查了正多邊形與圓，等腰三角形的性質，熟練掌握正五邊形的性質是解題的關鍵．7．（2024秋?西湖區(qū)期末）如圖，已知正方形ABCD與正五邊形EFGCH都內接于⊙O，則∠DCH的度數(shù)為9°．【考點】正多邊形和圓；圓周角定理．【專題】正多邊形與圓；推理能力．【答案】9°．【分析】根據(jù)正方形ABCD與正五邊形EFGCH都內接于⊙O，得到CH=CG，CD=CB，求得DH=【解答】解：∵正方形ABCD與正五邊形EFGCH都內接于⊙O，∴CH＝CH，CD＝CB，∴CH=CG，∴DH=∴∠DCE＝∠BCG，∵∠HCG=(5-2)×180°5=108°，∠DCB∴∠DCE＝∠BCG=12故答案為：9°．【點評】本題考查了正多邊形與圓，熟練掌握正五邊形和正方形的性質是解題的關鍵．8．（2024秋?碑林區(qū)校級期末）小瑜在公園路邊她發(fā)現(xiàn)了一處被茂密植被遮住的正多邊形花壇．如圖，為了得出邊數(shù)，她將正多邊形的兩邊延長交于點P，測量出∠P＝36°，則可得出正多邊形的邊數(shù)n＝5．【考點】正多邊形和圓．【專題】正多邊形與圓；幾何直觀．【答案】見試題解答內容【分析】根據(jù)∠P＝36°，求出∠PAB+∠PBA，結合正多邊形的每個外角都相等求出外角，結合外角和求解即可得到答案．【解答】解：∵正多邊形的兩邊延長交于點P，且∠P＝36°，∠P+∠PAB+∠PBA＝180°，∴∠PAB+∠PBA＝180°﹣36°＝144°，∵圖形是正多邊形花壇，∴∠PAB∴n=故答案為：5．【點評】本題考查正多邊形和圓，解答本題的關鍵是掌握多邊形的外角和為360°和多邊形的內角和公式．9．（2024秋?甘井子區(qū)期末）如圖，點A在⊙O上，半徑OA＝r，以點A為圓心，在⊙O上依次截取長度等于半徑r的弦AB，BC，CD，DE，EF，連接AF，則六邊形ABCDEF的面積為332r2．（請用含【考點】正多邊形和圓．【專題】正多邊形與圓；運算能力．【答案】332r【分析】如圖，連接OF．由題意六邊形ABCDEF是正六邊形，根據(jù)正六邊形的面積＝6?S△AOF求解即可．【解答】解：如圖，連接OF．由題意六邊形ABCDEF是正六邊形，∴正六邊形的面積＝6?S△AOF＝6×34×r2=故答案為：332r【點評】本題考查正多邊形與圓，解題的關鍵是理解題意正確計算．10．（2024秋?秦淮區(qū)期末）如圖，點O是邊長為6的正六邊形ABCDEF和邊長為a的正方形MNPQ的中心，將正方形MNPQ繞點O旋轉一周．若在旋轉過程中，正方形MNPQ始終在正六邊形ABCDEF的內部（即正方形邊上的所有點都在正六邊形內），則a的取值范圍是0＜a＜36．【考點】正多邊形和圓；旋轉的性質；全等三角形的判定與性質；正方形的性質．【專題】等腰三角形與直角三角形；正多邊形與圓；運算能力．【答案】0＜a＜36．【分析】根據(jù)正六邊形的性質，勾股定理以及正方形的性質進行解答即可．【解答】解：如圖，當正方形MNPQ的一個頂點Q在EF的中點時，正方形MNPQ的邊長最大，連接OE，OF，OQ，OP，則OQ⊥EF，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，中心為O，∴∠EOF=360°6=60°，OE∴△EOF是正三角形，∴OE＝OF＝EF＝6，QE＝QF＝3，在RtEOG中，EQ＝3，OE＝6，∴OQ=OE2在Rt△POQ中，PQ=2OQ＝36即正方形MNPQ的邊長最大為36，∴a的取值范圍是0＜a＜36．【點評】本題考查正多邊形和圓，掌握正六邊形、正方形的性質以及勾股定理是正確解答的關鍵．三．解答題（共5小題）11．（2024秋?昌平區(qū)期末）如圖，⊙O是邊長為4的正方形ABCD的外接圓．（1）求⊙O的半徑；（2）求圖中陰影部分的扇形面積．【考點】正多邊形和圓；扇形面積的計算；正方形的性質．【專題】正多邊形與圓；與圓有關的計算；運算能力；推理能力．【答案】（1）⊙O的半徑是22；（2）2π．【分析】（1）由正方形ABCD的邊長為4，O為外心，得到CD＝4，△OCD是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質得到OC＝OD=22CD＝2（2）根據(jù)扇形的面積公式即可得到結論．【解答】解：（1）∵正方形ABCD的邊長為4，O為外心，∴CD＝4，△OCD是等腰直角三角形，∴OC＝OD=22CD＝2∴⊙O的半徑是22；（2）∵⊙O是邊長為4的正方形ABCD的外接圓，∴∠COD=360°4∴圖中陰影部分的扇形面積=90π×(2【點評】本題主要考查了正多邊形和圓的性質，扇形面積的計算，熟練掌握正多邊形和圓的性質是解題的關鍵．12．（2024秋?溫州期末）如圖，正五邊形ABCDE內接于⊙O，P為DE上的一點（點P與點D不重合），求∠CPD的度數(shù)．【考點】正多邊形和圓；圓周角定理．【專題】圓的有關概念及性質；正多邊形與圓；推理能力．【答案】36°．【分析】由正多邊形的中心角相等求出∠COD，由圓周角定理即可求出∠CPD的度數(shù)．【解答】解：連接OC，OD，∵正五邊形ABCDE內接于⊙O，∴∠COD=360°5∴∠CPD=12∠COD＝【點評】本題考查圓周角定理，正多邊形和圓，關鍵是掌握圓周角定理，正多邊形的性質．13．（2024秋?高陵區(qū)期末）如圖，正八邊形ABCDEFGH的邊長為4，以頂點A為圓心，AB的長為半徑畫圓，求陰影部分的面積（結果保留π）．【考點】正多邊形和圓；扇形面積的計算．【專題】正多邊形與圓；與圓有關的計算；運算能力；推理能力．【答案】6π．【分析】先根據(jù)正八邊形的性質求出圓心角的度數(shù)，再根據(jù)扇形面積的計算方法進行計算即可．【解答】解：∵多邊形ABCDEFGH是正八邊形，∴∠HAB=(8-2)×180°8=135°，AH∴陰影部分的面積=135π×【點評】本題考查正多邊形和圓，掌握正多邊形內角和的計算方法以及扇形面積的計算方法是正確解答的前提．14．（2024秋?嘉魚縣期中）如圖，CE是正六邊形（六條邊相等，六個內角相等）的一條對角線，延長CE，AF交于點M．（1）判斷△EFM的形狀；（2）若EF＝3，求AM的長．【考點】正多邊形和圓．【專題】正多邊形與圓；推理能力．【答案】（1）△EFM是直角三角形，理由見解析；（2）9．【分析】（1）由六邊形ABCDEF是正六邊形，得到∠AFE＝∠FED＝∠D＝120°，DC＝DE，求得∠CED＝∠ECD＝30°，推出∠FEM＝90°，根據(jù)直角三角形的判定定理得到△EFM是直角三角形；（2）根據(jù)三角形的內角和定理得到∠M＝30°，根據(jù)直角三角形的性質即可得到結論．【解答】解：（1）△EFM是直角三角形，理由：∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AFE＝∠FED＝∠D＝120°，DC＝DE，∴∠CED＝∠ECD＝30°，∴∠CEF＝∠FED﹣∠CED＝120°﹣30°＝90°，∴∠FEM＝90°，即△EFM是直角三角形；（2）∵∠AFE＝120°，∠FEM＝90°，∴∠M＝30°，∴FM＝2FE＝6，∴AM＝3EF＝9．【點評】本題考查了正多邊形與圓，直角三角形的判定和性質，熟練掌握正六邊形的性質是解題的關鍵．15．（2024?武威校級三模）如圖，在正五邊形ABCDE中，連結AC，AD，CE，CE交AD于點F．（1）求∠CAD的度數(shù)．（2）已知AB＝2，求DF的長．【考點】正多邊形和圓．【專題】圓的有關概念及性質；運算能力．【答案】（1）∠CAD＝36°；（2）DF的長是5-【分析】（1）根據(jù)五邊形ABCDE是正五邊形，判斷出AB＝BC＝CD＝DE＝AE，BA∥CE，AD∥BC，DE∥AC，AC＝AD＝CE，∠BAE＝108°．即可得到∠BAC（2）證明△DCF∽△DAC，推出CD2＝DF×AD，設DF＝x，則AD＝x+2，列出方程，解方程即可求出DF的長．【解答】解：（1）∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴AB＝BC＝CD＝DE＝AE，BA∥CE，AD∥BC，DE∥AC，AC＝AD＝CE，∠BAE∴四邊形ABCF是菱形，∴∠BAC＝∠CAD，同理可求：∠CAD＝∠DAE，∴∠BAC（2）∵四邊形ABCF是菱形，∴CF＝AF＝AB＝2．∵∠BAC＝∠CAD＝∠DAE＝36°，同理∠DCE＝36°，∴△DCF∽△DAC，∴CDDF=ADCD，即CD2＝設DF＝x，則AD＝x+2，∴22＝x（x+2），即x2+2x﹣4＝0，解得x=∴DF的長是5-【點評】本題考查了正多邊形和圓，根據(jù)正五邊形的性質，找到相似三角形，利用相似三角形的性質是解題的關鍵．

考點卡片1．函數(shù)關系式用來表示函數(shù)關系的等式叫做函數(shù)解析式，也稱為函數(shù)關系式．注意：①函數(shù)解析式是等式．②函數(shù)解析式中，通常等式的右邊的式子中的變量是自變量，等式左邊的那個字母表示自變量的函數(shù)．③函數(shù)的解析式在書寫時有順序性，例如，y＝x+9時表示y是x的函數(shù)，若寫成x＝﹣y+9就表示x是y的函數(shù)．2．三角形的面積（1）三角形的面積等于底邊長與高線乘積的一半，即S△=1（2）三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分．3．全等三角形的判定與性質（1）全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時，關鍵是選擇恰當?shù)呐卸l件．（2）在應用全等三角形的判定時，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時添加適當輔助線構造三角形．4．等邊三角形的性質（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；②可以得到它與等腰三角形的關系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．（2）等邊三角形的性質：等邊三角形的三個內角都相等，且都等于60°．等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．5．正方形的性質（1）正方形的定義：有一組鄰邊相等并且有一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．（2）正方形的性質①正方形的四條邊都相等，四個角都是直角；②正方形的兩條對角線相等，互相垂直平分，并且每條對角線平分一組對角；③正方形具有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質．④兩條對角線將正方形分成四個全等的等腰直角三角形，同時，正方形又是軸對稱圖形，有四條對稱軸．6．圓周角定理（1）圓周角的定義：頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．注意：圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上．②角的兩條邊都與圓相交，二者缺一不可．（2）圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．（3）在解圓的有關問題時，常常需要添加輔助線，構成直徑所對的圓周角，這種基本技能技巧一定要掌握．（4）注意：①圓周角和圓心角的轉化可通