第1頁(yè)/共1頁(yè)遼寧省名校聯(lián)盟2025年高二3月份聯(lián)合考試數(shù)學(xué)姓名________班級(jí)________學(xué)號(hào)________本試卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名，準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上．2．答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上，寫(xiě)在本試卷上無(wú)效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.直線與平行，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.或 D.0【答案】A【解析】【分析】由直線與直線平行的充要條件，列式求解即可.【詳解】因?yàn)橹本€與平行，所以且，解得.故選：A.2.已知展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和為64，則展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A.31 B.30 C.29 D.28【答案】C【解析】【分析】先由賦值法得到關(guān)于a的方程求出a，接著求出二項(xiàng)式展開(kāi)式中含和的項(xiàng)即可求出展開(kāi)式中含的項(xiàng)，進(jìn)而得解.詳解】令得，解得，二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為且，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以二項(xiàng)式展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，所以二項(xiàng)式展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：C.3.已知直線過(guò)點(diǎn)，且為其一個(gè)方向向量，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】求向量在向量上的投影向量的模，再結(jié)勾股定理求結(jié)論.【詳解】由已知可得，又，所以向量在向量上的投影向量的模為，又所以點(diǎn)到直線的距離為,故選：B.4.已知，，且，則下列選項(xiàng)中不正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)，且求得，再逐項(xiàng)判斷.【詳解】因?yàn)?，且，所以，即，因?yàn)樵谏线f增，且，所以，故A正確；，故B正確；，故C正確；，，故D錯(cuò)誤；故選：D5.現(xiàn)有5個(gè)編號(hào)為1，2，3，4，5的不同的球和5個(gè)編號(hào)為1，2，3，4，5的不同的盒子，把球全部放入盒子內(nèi)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.共有120種不同的放法B.恰有一個(gè)盒子不放球，共有1200種放法C.每個(gè)盒子內(nèi)只放一個(gè)球，恰有2個(gè)盒子的編號(hào)與球的編號(hào)相同，不同的放法有60種D.將5個(gè)不同的球換成相同的球，恰有一個(gè)空盒的放法有5種【答案】B【解析】【分析】結(jié)合組合數(shù)、排列數(shù)由分步乘法計(jì)算原理逐項(xiàng)計(jì)算即可求解；【詳解】對(duì)于A：每個(gè)小球都有5種選擇，所有共有種，錯(cuò)誤；對(duì)于B，第一步，選擇一個(gè)盒子不放球，由,第二步，5個(gè)小球分成4組，分別放入4個(gè)盒子有：，所以共有種，正確；對(duì)于C，第一步選擇兩個(gè)盒子使得編號(hào)與小球相同，有，第二步，剩下3個(gè)球，3個(gè)盒子使得盒子編號(hào)與小球編號(hào)不相同共有2種，所以共有20種，錯(cuò)誤；對(duì)于D，第一步，確定哪個(gè)盒子不放球，有，第二步，剩下四個(gè)盒子確定哪個(gè)盒子放兩個(gè)球，即可；所有共有20種，錯(cuò)誤；故選：B6.已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為（）A. B.6 C. D.12【答案】C【解析】【分析】確定，在圓上，且，題目轉(zhuǎn)化為到直線的距離之和，變換得到，計(jì)算得到答案.【詳解】設(shè)，，，

故，在圓上，且，表示到直線的距離之和，原點(diǎn)到直線的距離為，如圖所示：，，是的中點(diǎn)，于，，，故在圓上，.故的最大值為.故選：C.7.設(shè)A，B，C是集合的子集，且滿足，，這樣的有序組的總數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用分步計(jì)數(shù)法可求有序組的總數(shù).【詳解】如圖：考慮，，把集合劃分為5個(gè)集合:，，，，，接下來(lái)將集合中的元素逐一安排到集合，，，，中即可，因?yàn)榧现械拿總€(gè)元素都可能安排到5個(gè)位置中的一個(gè)，所以中2024個(gè)元素的安排方法共有種．故選：D8.已知分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交于兩點(diǎn).現(xiàn)將所在平面沿直線折成平面角為銳角的二面角，如圖，翻折后兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，且若，則的離心率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意分析可知銳角二面角，利用雙曲線的定義與性質(zhì)結(jié)合余弦定理運(yùn)算求解.【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，由題意可得：，則，且，則銳角二面角，在中，由余弦定理可得：，在中，由余弦定理可得：，因?yàn)?，即，可得，解?故選：C.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：雙曲線離心率(離心率范圍)的求法求雙曲線的離心率或離心率的范圍，關(guān)鍵是根據(jù)已知條件確定a，b，c的等量關(guān)系或不等關(guān)系，然后把b用a，c代換，求e的值．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說(shuō)法中正確的是（）A.回歸直線恒過(guò)點(diǎn)B.兩個(gè)變量線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)就越接近1C.在線性回歸方程中，當(dāng)變量x每增加一個(gè)單位時(shí)，平均減少個(gè)單位D.以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，求得線性回歸方程為，則值分別是和【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，利用回歸直線方程恒過(guò)樣本中心點(diǎn)，即可求解；對(duì)于B，根據(jù)相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越趨近于1，相關(guān)性越強(qiáng)，即可求解；對(duì)于C，根據(jù)線性回歸方程中，回歸系數(shù)的含義，即可求解；對(duì)于D，根據(jù)條件得，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算得，即可求解．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)榛貧w直線恒過(guò)樣本中心點(diǎn)，所以選項(xiàng)A正確，對(duì)于選項(xiàng)B，兩個(gè)變量線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)就越接近1，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)榫€性回歸方程為，，則變量x每增加一個(gè)單位時(shí)，平均減少個(gè)單位，所以選項(xiàng)C正確，對(duì)于選項(xiàng)D，由題知，則，所以，故選項(xiàng)D正確，故選：ACD.10.如圖，在直四棱柱中，為與的交點(diǎn).若，則下列說(shuō)法正確的有（）A.B.C.設(shè)，則D.以為球心，為半徑的球在四邊形內(nèi)的交線長(zhǎng)為【答案】ACD【解析】【分析】選項(xiàng)A:利用空間向量的加法和減法求解即可，選項(xiàng)B：利用向量的模求解線段的長(zhǎng)度即可，選項(xiàng)C:利用向量的數(shù)量積求解向量垂直即可，選項(xiàng)D：分析可知球面與平面的交線是以為圓心，為半徑的圓，從而求解出交線的長(zhǎng)度.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：連接，由題得，，故A正確對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋?，，所以，所以，故B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋?，所以，即，故C正確.對(duì)于選項(xiàng)D：取的中點(diǎn)為，連接，由為等邊三角形可得，且面.由球的半徑為，知球面與平面的交線是以為圓心，為半徑的圓.如圖，在正方形內(nèi)，以為圓心，2為半徑作圓，所得的圓弧即為所求交線.由題意可知，所以弧的長(zhǎng)為，故D正確.故選：ACD.11.法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾蒙日被稱為“畫(huà)法幾何創(chuàng)始人”“微分幾何之父”.他發(fā)現(xiàn)與橢圓相切的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡是以該橢圓中心為圓心的圓，這個(gè)圓稱為該橢圓的蒙日?qǐng)A.若橢圓的蒙日?qǐng)A為圓，過(guò)上的動(dòng)點(diǎn)作的兩條互相垂直的切線，分別與交于兩點(diǎn)，直線交于兩點(diǎn)，則（）A.橢圓的蒙日?qǐng)A方程為B.面積的最大值為7C.的最小值為D.若動(dòng)點(diǎn)在上，將直線的斜率分別記為，則【答案】ABC【解析】【分析】取橢圓上頂點(diǎn)與右頂點(diǎn)的切線，建立齊次方程，即可判斷；根據(jù)圓的性質(zhì)，結(jié)合三角形面積公式即可判斷；由于為圓的直徑，即過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，計(jì)算即可判斷；設(shè)，利用點(diǎn)差法即可判斷；【詳解】依題意，可設(shè)圓C方程為，過(guò)橢圓的上頂點(diǎn)作軸的垂線，過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作軸的垂線，則這兩條垂線的交點(diǎn)在圓C上，所以，即，所以橢圓的蒙日?qǐng)A方程為，故A正確；因?yàn)辄c(diǎn)都在圓上，且，所以為圓的直徑，所以面積的最大值為，故B正確；由于為圓的直徑，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，即過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以，故C正確；由直線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，易得點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)，則，又，所以，所以，故D錯(cuò)誤.故選：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：點(diǎn)差法是求解圓錐曲線問(wèn)題中的解法，在直線與圓錐曲線問(wèn)題中，直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，將這兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入圓錐曲線方程，得到兩個(gè)等式，并對(duì)所得等式作差，化簡(jiǎn)得到相關(guān)結(jié)論.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，，則的最小值為_(kāi)__.【答案】##【解析】【分析】由正態(tài)分布的對(duì)稱性可知，從而利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.【詳解】隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，，由，，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．所以的最小值為．故答案為：.13.甲?乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，每局比賽11分制，若比分打到時(shí)，需要一人比另一人多得兩分，比賽才能結(jié)束.已知甲贏得每一分的概率為，在兩人的第一局比賽中，兩人達(dá)到了，此局比賽結(jié)束時(shí)，兩人的得分總和為24的概率為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由條件確定最后四局的勝負(fù)情況結(jié)合獨(dú)立事件概率公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)楸荣惤Y(jié)束時(shí)，兩人的得分總和為24，其中且兩人的得分的差的絕對(duì)值為2，若甲贏得比賽，則最后兩局比賽甲勝，第21球和第22球甲乙一勝一負(fù)，所以事件甲贏得比賽的概率為，同理乙贏得比賽的概率為，所以.故答案為：14.棱長(zhǎng)為4的正方體中，分別是平面和平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為_(kāi)________．【答案】【解析】【分析】取點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，可得，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出點(diǎn)到平面的距離即可求解.【詳解】取點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以，以為原點(diǎn)，以所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為4，且，所以，，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，則，所以點(diǎn)到平面的距離.即的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理空間幾何體中的距離之和的最值問(wèn)題的方法：（1）借助參數(shù)表達(dá)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值求解；（2）利用展開(kāi)圖，將空間距離之和轉(zhuǎn)化為平面距離之和，再利用兩點(diǎn)之間線段最短求解；（3）借助對(duì)稱，化線（面）的同側(cè)為線（面）的異側(cè)，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)間的距離（點(diǎn)線距、點(diǎn)面距）求解.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.民航招飛是指普通高校飛行技術(shù)專業(yè)（本科）通過(guò)高考招收飛行學(xué)生，報(bào)名的學(xué)生需參與預(yù)選初檢、體檢鑒定，飛行職業(yè)心理學(xué)檢測(cè)、背景周查、高考選拔共5項(xiàng)流程，其中前4項(xiàng)流程選拔均通過(guò)，則被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)，然后參加高考，由招飛院校擇優(yōu)錄?。畵?jù)統(tǒng)計(jì)，某校高三在校學(xué)生有1000人，其中男生600人，女生400人，各有100名學(xué)生有民航招飛意向．（1）完成以下列聯(lián)表，并回答是否有99．9%的把握認(rèn)為該校高三學(xué)生有民航招飛意向與學(xué)生性別有關(guān)？對(duì)民航招飛有意向?qū)γ窈秸酗w沒(méi)有意向合計(jì)男生女生合計(jì)（2）若每名報(bào)名學(xué)生通過(guò)前《項(xiàng)流程的概率依次約為，假設(shè)學(xué)生能否通過(guò)這4項(xiàng)流程相互獨(dú)立，估計(jì)該校高三學(xué)生被認(rèn)為有效招飛的人數(shù)．附：0.0500.01000013.8416.63510.828【答案】（1）表格見(jiàn)解析，認(rèn)為該校高三學(xué)生是否有民航招飛意向與學(xué)生性別無(wú)關(guān)（2）50人【解析】【分析】（1）根據(jù)題意中的數(shù)據(jù)分析，完成列聯(lián)表，利用卡方的計(jì)算公式求出，結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想即可下結(jié)論；（2）由獨(dú)立事件概率計(jì)算公式可得每個(gè)人為有效招飛的概率，再根據(jù)二項(xiàng)分布求期望即可.【小問(wèn)1詳解】列聯(lián)表如下：

對(duì)民航招飛有意向?qū)γ窈秸酗w沒(méi)有意向合計(jì)男生100500600女生100300400合計(jì)2008001000零假設(shè)：該校高三學(xué)生是否有民航招飛意向與學(xué)生性別無(wú)關(guān)聯(lián)．因?yàn)?，所以假設(shè)成立，所以根據(jù)小概率值獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為該校高三學(xué)生是否有民航招飛意向與學(xué)生性別無(wú)關(guān)，即沒(méi)有99．9%的把握認(rèn)為該校高三學(xué)生有民航招飛意向與學(xué)生性別有關(guān)；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)槊棵麍?bào)名學(xué)生通過(guò)前4項(xiàng)流程的概率依次約為，且能否通過(guò)相互獨(dú)立，所以估計(jì)每名報(bào)名學(xué)生被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)的概率．因?yàn)樵撔Ｓ?00名學(xué)生有民航招飛意向，所以有效招飛的人數(shù).所以估計(jì)有人被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)．16.某工廠生產(chǎn)一批機(jī)器零件，現(xiàn)隨機(jī)抽取100件對(duì)某一項(xiàng)性能指標(biāo)進(jìn)行檢測(cè)，得到一組數(shù)招X，如下表：性能指標(biāo)X6677808896產(chǎn)品件數(shù)102048193（1）求該項(xiàng)性能指標(biāo)的樣本平均數(shù)的值，若這批零件的該項(xiàng)指標(biāo)X近似服從正態(tài)分布，其中：近似為樣本平均數(shù)的值，，試求的值；（2）若此工廠有甲、乙兩臺(tái)機(jī)床加工這種機(jī)器零件，且甲機(jī)床的生產(chǎn)效率是乙機(jī)床的生產(chǎn)效率的2倍，甲機(jī)床生產(chǎn)的零件的次品率為0.02，乙機(jī)床生產(chǎn)的零件的次品率為0.01，現(xiàn)從這批零件中隨機(jī)抽取一件．①求這件零件是次品的概率；②若檢測(cè)出這件零件是次品，求這件零件是甲機(jī)床生產(chǎn)的概率．參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則，，．【答案】（1）80，0.8185（2）①，②【解析】【分析】（1）計(jì)算出平均數(shù)后可得，結(jié)合正態(tài)分布的性質(zhì)計(jì)算即可得解；（2）①借助全概率公式計(jì)算即可得；②按照條件概率公式計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】，因?yàn)?，所以，則【小問(wèn)2詳解】設(shè)“抽取的零件是甲機(jī)床生產(chǎn)”記為事件；“抽取的零件是乙機(jī)床生產(chǎn)”記為事件；“抽取的零件是次品”記為事件,則,,,,則，17.在中，，，，、分別是、上的點(diǎn)，滿足且，將沿折起到的位置，使，是的中點(diǎn)，如圖所示．（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的大??；（3）在線段上是否存在點(diǎn)，使平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）（3）存在，或【解析】【分析】（1）先證明出平面，可得出，再由結(jié)合線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得與平面所成角的大??；（3）設(shè)，根據(jù)空間向量法可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樵谥?，，，且，所以，，則折疊后，，，又，、平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)?，，、平面，所以平?【小問(wèn)2詳解】由（1）可知，平面，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，翻折前，在中，，則，則，則，則，，翻折后，因?yàn)槠矫?，平面，則，所以，，，則，故，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，不妨令，則，，則．設(shè)直線與平面所成角的大小為，則有，則，直線與平面所成角的大小為.【小問(wèn)3詳解】假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為．在空間直角坐標(biāo)系中，，，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則有，不妨令，則，，所以，設(shè)平面的法向量為，則有，不妨令，則，，所以，若平面與平面成角余弦值為．則滿足，化簡(jiǎn)得，解得或，即或，則或.故在線段上存在這樣的點(diǎn)，使平面與平面成角余弦值為．此時(shí)的長(zhǎng)度為或．18.強(qiáng)基計(jì)劃于2020年在有關(guān)高校開(kāi)始實(shí)施，主要選拔有志于服務(wù)國(guó)家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生．為選拔培養(yǎng)對(duì)象，某高校在暑假期間從中學(xué)里挑選優(yōu)秀學(xué)生參加數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)學(xué)科夏令營(yíng)活動(dòng)．（1）若數(shù)學(xué)組的7名學(xué)員中恰有4人來(lái)自中學(xué)，從這7名學(xué)員中隨機(jī)選取4人，表示選取的人中來(lái)自中學(xué)的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）在夏令營(yíng)開(kāi)幕式的晚會(huì)上，物理組舉行了一次學(xué)科知識(shí)競(jìng)答活動(dòng)，規(guī)則如下：兩人一組，每一輪競(jìng)答中，每人分別答兩題，若小組答對(duì)題數(shù)不小于3，則取得本輪勝利．已知甲乙兩位同學(xué)組成一組，甲、乙答對(duì)每道題的概率分別為，．假設(shè)甲、乙兩人每次答題相互獨(dú)立，且互不影響．當(dāng)時(shí)，求甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率的最大值．【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，（2）甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率取得最大值．【解析】【分析】（1）利用超幾何分布的概率公式求解概率，即可由期望公式求解，（2）根據(jù)相互獨(dú)立事件乘法公式可得，即可利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最值.【小問(wèn)1詳解】的所有可能取值是1，2，3，4．，，，，所以的分布列是1234P數(shù)學(xué)期望是．【小問(wèn)2詳解】設(shè)甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝為事件A，則，由，得．令，因?yàn)?，，所以，所以，設(shè)，則，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，取得最大值．所以，當(dāng)時(shí)，甲、乙兩位同學(xué)在每輪答題中取勝的概率取得最大值．19.設(shè)拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，且.若拋物線的焦點(diǎn)為，記的面積分別為.（1）求的最小值.（2）設(shè)點(diǎn)，直線與拋物線的另一交點(diǎn)為，求證：