專題L7特殊平行四邊形章末八大題型總結(jié)（培優(yōu)篇）

【北師大版】

?題型梳理

【題型1添加條件使成為特殊四邊形】.............................................................1

【題型2根據(jù)四邊形的性質(zhì)求解】................................................................7

【題型3特殊四邊形的證明】....................................................................11

【題型4根據(jù)四邊形的判定與性質(zhì)求線段長】.....................................................18

【題型5根據(jù)四邊形的判定與性質(zhì)求角度】.......................................................24

【題型6根據(jù)四邊形的判定與性質(zhì)求面積】.......................................................31

【題型7直角三角形斜邊上的中線】.............................................................36

【題型8中點(diǎn)四邊形】..........................................................................41

?舉一反三

【題型1添加條件使成為特殊四邊形】

【例1】（2023春?云南?九年級統(tǒng)考期末）如圖，四邊形力是平行四邊形，對角線47、"相交于點(diǎn)O,

在條件：?AB=AD-,②4c=8。；@ACA.BD；④AC平分立8月。中，選擇一個(gè)條件，使得四邊形為8co是

菱形，可選擇的條件是（）

A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④

【答案】C

【分析】根據(jù)題意和菱形的判定進(jìn)行選擇即可，先證△04。三△BCO（ASA）,得。力二。。，再證四邊形48。。

是平行四邊形，然后由菱形的判定即可得出結(jié)論.

【詳解】???四邊形為BCD是平行四邊形，

：.AD||BC,

J.LADO=Z-CBO,

???點(diǎn)。是8。的中點(diǎn),

：?0D=OB,

在AIM。和△8C0中，

Z/MM=LHFG

AH=FH,

^AHM=Z.FHG

:?ADAO^ASCO（ASA）,

：.0A=OC,

,：0B=00,

???四邊形力8。。是平行四邊形，

①；四邊形A8CD是平行四邊形，AB=AD,

??.平行四邊形A8G）是菱形；

③；四邊形ABC。是平行四邊形，AC18。，

???平行四邊形力3。。是菱形；

@V四邊形4BCD是平行四邊形，

IICD,

：.ABAC=Z-DCA,

???力。平分48力。，

：.LBAC=Z.DAC,

C.LDCA=Z.DAC,

：.AD=CD,

???平行四邊形力BCD是菱形.

綜上所述：選擇①?④，使得四邊形A8CD是菱形，

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定以及全等三角形的判定與性

質(zhì)等知識，熟練掌握菱形的判定是解題的關(guān)鍵.

【變式1-1】（2023春?上海浦東新?九年級校考期末）如圖，已知四邊形A8C。是平行四邊形，那么添加下列

條件能判定四邊形A8CD是正方形的是（）

D

A.A8=/DEL4C1BDB.AC1BD且AC和BD互相平分

C./-BAD=^ABC^iAC=BDD.=BD且48=40

【答案】D

【分析】根據(jù)正方形的判定方法，逐一進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、???四邊形A8C0是平行四邊形，AB=AD,

???四邊形4BCD是菱形，

：.AC1BD,

不能證明四邊形A3C0是正方形，不符合題意；

B、???四邊形力BCD是平行四邊形，

??"C和8。互相平分,

,：AC1BD,

，四邊形4BCD是菱形,

不能證明四邊形A8CD是正方形，不符合題意；

C、???四邊形力8co是平行四邊形，AC=BD

???四邊形4BCD是矩形，

：.￡BAD=/.ABC=90°,

不能證明四邊形4BCD是正方形，不符合題意；

D、???四邊形A8CD是平行四邊形，AC=BD

工四邊形力BCD是矩形，

y.AB=AD,

???四邊形/8C。是正方形，符合題意；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的判定.熟練掌握正方形的判定方法：對角線相等的菱形是正方形，鄰邊相等的矩

形是正方形，是解題的關(guān)鍵.

【變式1-2】（2023春?河南南陽?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形ABC。中，。是8c的中點(diǎn)，連結(jié)

并延長，交A3延長線于點(diǎn)連結(jié)3。，EC.

E

（I）求證：四邊形8ECO是平行四邊形.

⑵若4=50。：

①當(dāng)乙4。七=_。時(shí)，四邊形8石CQ是矩形;

②當(dāng)/AOE=_。時(shí)，四邊形8EC乃是菱形.

【答案】（1）見解析

⑵①80；②90

【分析】（1）由AAS證明△8。￡：會(huì)4。。。，得出OE=。。，即可得出結(jié)論；

（2）①根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和等腰三角形的性質(zhì)得到BDLAE,根據(jù)矩形的判定定理即可得到結(jié)論；

②根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理得到/AE7X4O。，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到CAE=44=50。，求得/BOE=90。，根

據(jù)菱形的判定定理即可得到結(jié)論.

【詳解】（1）證明：?..四邊形人ACQ為平行四邊形，

A/BHDC,AB=CD,

：?/OEB=/ODC

又：。為8c的中點(diǎn)，

:,BO=CO,

在』80七和/COO中，

（/-0EB=Z-ODC

△BOE=Z-COD

（BO=C0

:.△BOETACOD

：.OE=OD,

???四邊形8EC。是平行四邊形；

（2）解：①當(dāng)/AOE=80。時(shí)，四邊形8ECO是矩形；

理由：???NA=50°,ZADE=SO0,

???ZAED=50°,

，ZA=ZAED,

：,AD=DE,

\'AB=CD=BE,

：.BD1AE,

???NOBE=90。，

???四邊形BEC。是平行四邊形，

???四邊形3ECQ是矩形；

②當(dāng)/人?！甓?0。時(shí)，四邊形BECD是菱形，

VZA=50°,ZADE=90°,

???ZAED=40°f

???四邊形ABCQ是平行四邊形，

：.AD\\BC,

???NCBE=N4=50。，

???N8OE=90。，

ABCIDE,

???四邊形4￡C。是菱形，

故答案為：80,90.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)、菱形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定

與性質(zhì)等知識；熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.

【變式1-3］（2023春?天津?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形4BCD中，E,尸分別為邊工B,8的中點(diǎn).連

接BD,過點(diǎn)A作AGIIBD交CB的延長線于點(diǎn)G.

⑴求證：DEWBF,

(2)若NG=90。，則四邊形ZMGB是,四邊形。EBF是；

(3)當(dāng)與8。滿足時(shí)，四邊形DEBF是正方形.

【答案】(1)證明見解析

⑵矩形，菱形

(3)AD1BDWAD=BD

【分析】(1)先證明IIBE,48=。。，再證明05=9。。，EB=\AB,可得DF=BE,證明四邊形OEB尸是

平行四邊形，從而可得結(jié)論；

(2)證明四邊形。/1GB是平行四邊形，結(jié)合乙G=90。，可得四邊形D/1GB是矩形，則乙A08=90。，證明。E=

BE,可得四邊形DEBF是菱形.

(3)由AO18。且4。=8。，可得乙EDB=45°,證明乙E80=4￡7汨=45。，可得=90。，結(jié)合四邊

形DEBF是平行四邊形.可得四邊形DE8"是正方形.

【詳解】(1)證明：???四邊形力BCD是平行四邊形，

：.DF\\BE,AB=CD.

乂?：E,尸分別為邊48,CD的中點(diǎn),

：.DF=-2DC,2EB=-AB.

：.DF=BE.

???四邊形OEBF是平行四邊形.

：.DE\\BF.

(2)??,四邊形ABC。是平行四邊形，

：.AD\\BC,

'/AGWBD,

???四邊形0AG8是平行四邊形，

而/G=90°,

???四邊形ZMG8是矩形，

：,LADB=90°,

?“為48的中點(diǎn),

:,DE=BE,

而四邊形。E8F是平行四邊形.

，四邊形DE8F是菱形.

(3)當(dāng)AD18。且=80時(shí)，四邊形0E8尸是正方形.

理由:

*：AD1BD且AO=BD,

C.LEDB=45°,

VDF=BE,

：?￡EBD=乙EDB=45。,

：,LDEB=90°,

為力中點(diǎn),

TEBADlBDf

:.ED=EB,

由(1)得：四邊形OESF是平行四邊形.

???四邊形DE8F是正方形.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定，熟記特殊四邊

形的判定方法是解本題的關(guān)鍵.

【題型2根據(jù)四邊形的性質(zhì)求解】

【例2】(2023春?廣東深圳?九年級校考期中)如圖，已知在長方形力00中，點(diǎn)M是力。邊上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N是

0C的中點(diǎn)，AN與MC交于點(diǎn)P.若乙MCB=LNBC+33。,則，MP4=()

A.33°B.66°C.45°D.78°

【答案】A

【分析】由長方形的性質(zhì)得出4D=8C,ADWBC,LD=^BCN=90°,由SAS證明△力ON三△8CN,得出

乙CBN=LDAN,求出乙MC8=NDMC,由三角形的外角性質(zhì)得出4OMC=4/MN+4M/M,乙MCB=

乙NBC+33°,乙CBN=ADAN,即可得出結(jié)果.

【詳解】解：???四邊形力BCD是矩形，

AD=BC,AD\\BC,乙。=乙BCN=90°,

???N為。。的中點(diǎn)，

DN=CN,

(DN=CN

=乙BCN,

(AD=BC

??△ADNBCN(SAS),

?./.CBN=乙DAN,

:ADWBC,

*.Z.MCB=乙DMC,

,?乙DMC=￡DAN+乙MPA,LMCB=LNBC4-33°,乙CBN=LDAN,

aMPA=33°.

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)；熟練掌握矩形的性質(zhì),

并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵.

【變式2-1］（2023春?河南安陽?九年級?？计谥校┲袊Y(jié)象征著中華民族的歷史文化與精神.小樂家有一中

國結(jié)掛飾，他想求兩對?邊的距離，于是利用所學(xué)知識抽象出如圖所示的菱形48CD,測得80=4cm,zD/lF=

60c,直線￡尸過點(diǎn)。且與48垂直，分別交于瓦尸，則E尸的長為（）

D.475cm

【答案】A

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，得出力。=48,BO=^BD=2cm,AC1BD,推出△48。是等邊三角形，AD=

AB=BD=4cm,根據(jù)勾股定理求出40=2V3cm,則AC=2A0=“5cm,最后根據(jù)S菱形的⑺=\AC-BD=

AB-EF,即可求解.

【詳解】解：???四邊形A8C0是菱形,

：,AD=AB,BO=-BD=2cm,AC1BD,

2

?:￡DAB=60°,

???ZM8D是等邊三角形，

.\AD=AB=BD=4cm,

根據(jù)勾股定埋可得：AO==2V3cm,

??AC=2AO=4v5cm,

.??S菱形Me=758D=AB.EG

A2-x4x4V3=4FF,

解得：EF=2>/3cm,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的對角

線相等，且垂直平分.以及菱形的面積等于底乘高，或菱形的面積等于對角線乘積的一半.

【變式2-2］（2023春?云南曲靖?九年級?？计谥校讉€(gè)邊長都為1的正方形按如圖所示的方法擺放，點(diǎn)

/，…，4分別是正方形對角線的交點(diǎn)，則2023個(gè)正方形照這樣重疊形成的重疊部分的面積和為—.

【分析】連接4遇2,4D，根據(jù)正方形性質(zhì)可得/4遇28=N&OC=45。，4遇2=4。，^BA^+^CA^=

乙。410+乙=90。，即可得到42=NC4O,即可得到△84人三即可得到一個(gè)圖形

重疊的面積，即可得到答案.

【詳解】解：連接力遇2,必。，

???正方形的邊長為1,

LAVA2B=z.A1DC=45°,AtA2=LBAYA2+LCArA2=Z.CA1D+zCi41242=90°?

遇2="Ai。，

.\^BA}A2三△NCA】D(ASA),

???2個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積為SMI&D=；S正=；x1x1=%

.*.3個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積和=(3—1)x\

???4個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積和=(1-1)X：,

???5個(gè)正方形重疊形成的重置部分的面積和=(5-1)X；,

4

A2023個(gè)正方形重疊形成的重疊部分的面積和=(2023-1)x[=等

故答案為：等.

【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)與三角形全等的性質(zhì)與判定，解決本題的關(guān)鍵是求出每個(gè)陰影部分的面積都

是I.

【變式2-3](2023春?河北邢臺?九年級?？计谥?小明用4根長度為6cm的相同木條制作了能夠活動(dòng)的菱形

學(xué)具，他先活動(dòng)學(xué)具成為如圖I所示的菱形，此時(shí)R8=60。，接著活動(dòng)學(xué)具成為如圖2所示的正方形，則圖

1中BD比圖2中的)

A.長(6百-6&)cmB.長（6四—3\⑶cm

C.長75cmD.短75cm

【答案】A

【分析】如圖L連接力C,BD交于點(diǎn)O,根據(jù)菱形的性質(zhì)可求出8D；在圖2中，連接BD,由正方形的性質(zhì)

求出80,最后作差即可解答.

【詳解】解：如圖1,連接4。，8。交于點(diǎn)O,

■:乙B=60。，BA=BC,

???ZMBC是等邊三角形,

/.AC=BC=6cm,

???四邊形力BCD是菱形，

：,0A=-2AC=3cm,AC1BD,OB=2OD=-BD,

：.0B=y/AB2-OA2=3V3cm,

：,BD=20B=6V3cm；

在圖2中，連接8〃，

???四邊形486是正方形，

：.AB=AD,Z,A=90°,

：.BD=y]AD2+AB2=6傷

，圖1中8。比圖2中的BD長（6B-6a）cm.

【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，正確作差輔助線是解題的關(guān)鍵.

【題型3特殊四邊形的證明】

【例3】(2023春?云南昭通.九年級統(tǒng)考期中)如圖，在短形中，04=8,OB=6,P為叱邊上的動(dòng)點(diǎn),

將A08P沿OP折疊得到△OPD,連接CD,AD.

(I)若NBOP=45。，求證：四邊形08PD為正方形;

(2)當(dāng)P在運(yùn)動(dòng)過程中，CO的最小值為；

(3)當(dāng)00140時(shí),求BP的長.

【答案】(1)證明見解析

(2)4

(3)BP=8-2>/7

【分析】（1）根據(jù)四邊形。4cB是矩形，得乙OBC=90°,由折疊知08=0D,乙D0P=乙B0P=45°,即乙8。。=

/.OBP=Z.0DP=90°,然后結(jié)合08=00即可證明；

（2）根據(jù)當(dāng)三點(diǎn)不共線時(shí)，三角形兩邊之和大于第三邊，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取得最小值進(jìn)行作答即可：

（3）根據(jù)。。1AD,得P,。，A三點(diǎn)共線，乂因?yàn)椤?IIC8,則N0PB=4POA,結(jié)合N0P8=乙OPD,得Z0P4=

Z.POA,最后用勾股定理CP=7PA2一即可知道BP的長.

【詳解】（1）證明：???四邊形。4C8是矩形，

?"。8。=90。，

???將△08P沿。P折疊得到^OPD,

：.0B=OD,LPDO=^OBP=90°,乙BOP=LDOP,

■:乙BOP=45°,

:,乙DOP=乙BOP=45°,

，乙BOD=90°,

：.LBOD=乙OBP=Z-ODP=90°,

???四邊形08PD是矩形，

*：0B=OD,

???四邊形OBPD為正方形；

（2）解：如圖，連接OC,如圖所示：

MOD+CD>oc,

即當(dāng)OD+CD=OC時(shí)，CD取最小值，

*：AC=OB=6,OA=8,

：.0C=yjOA2-+AC2=V82+62=10,

：.CD==10-6=4,

即CO的最小值為4；

⑶解：'：0DLAD,

：,LADO=90°,

,:乙ODP=乙OBP=90°,

：,￡ADP=180°,

??.P,D,A三點(diǎn)共線，

'：OA||CB,

工乙OPB=APOA,

'：LOPB="PD,

：.LOPA=Z.POA,

*.AP=OA=8,

*：AC=6,

:.CP=ylPA2-AC2=V82-62=277,

：.BP=BC-CP=8-2y/7.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形性質(zhì)、正方形的判定以及勾股定理性質(zhì)等知識內(nèi)容，正確掌握三點(diǎn)共線的特殊

情況是解題的關(guān)鍵.

【變式3-1](2023春?江蘇南京?九年級校聯(lián)考期中)如圖，在四大形力BCD中，E,尸分別是4D,"的中點(diǎn),

G,H分別是BD,4。的中點(diǎn)，順次連接各點(diǎn)得到四邊形EGFH.

(1)求證：四邊形EG尸”是平行四邊形；

(2)若88=(7。，求證：0EGf”是菱形.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】(1)根據(jù)中位線的性質(zhì)得出EHIICO,EH=3CD,GFIICD,GF=\CD,即可■得出GF||EH,GF=EH,

從而證明結(jié)論正確;

（2）根據(jù)中位線的性質(zhì)得出"〃=-AB,根據(jù)FG=-CD,得出力5=CD,得出F"=FG,從而證明由EGFH為

22

菱形.

【詳解】（1）證明：???點(diǎn)E與點(diǎn)”分別為AD,4C的中點(diǎn)，

是△ADC的中位線，

：.EH\\CD,EH=^CD,

同理：GFWCD,GF=^CD,

：.GF^EH,GF=EH,

???四邊形EGFH是平行四邊形；

（2）證明：：點(diǎn)?與點(diǎn)”分別為8C,力。的中點(diǎn)，

????，是△A8C的中位線，

：,FH=-AB,

2

,：FG=-CD,AB=CD,

2

：.FH=FG,

由（I）知四邊形EG/H是平行四邊形，

???E1EGFH是菱形.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定，中位線的性質(zhì)，菱形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的

中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半.

【變式3-21（2023春?海南僻州?九年級統(tǒng)考期末）如圖，在平行四邊形A8CD中，AF平分乙BAD,DE平分匕AOC,

且BE=CF,AF=DE.

（1）求證：Zk/IB/三△DCF；

（2）求證：四邊形ABC。是矩形；

（3）若AB=3,BC=5,求EF的長.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)1

【分析】(1)由平行四邊形的性質(zhì)可得力B=DC,由8E=C/可得8F=CE,再利用SSS證明△力8/三△CCE

即可；

(2)由全等三角形的性質(zhì)可得N8=ZC,乂由平行四邊形的性質(zhì)可得NB+ZC=180°,從而得到NB=ZC=

90%從而證明四邊形A8C0是矩形；

(3)先證明N84F==45。，從而得到3尸=48=3,繼而得到CE=8r=3,再用容斥原理

(EF=BF+CE-8C)求解即可.

【詳解】(1)解：???四邊形力BCO是平行四邊形，

=DC,

又，：BE=CF,

：,BE+EF=CF+EF,即BF=CE,

在八力85和4DCE中，

AB=DC

BF=CE

UF=DE

:,LABF三△DCE(SSS)；

(2)，：2ABF"DCE,

/.zB=￡.C,

又?.?四邊形4BCD是平行四邊形，

?"B+“=180°,

?"B=/C=90。，

???四邊形488是矩形；

(3)???四邊形4BCD是矩形,

：.LBAD=90°,CD=AB=3

又丁力「平分484。，

：.LBAF=乙DAF=^AFB=45°,

：,BF=AB=3,

又,：BF=CE,

:,CE=BF=3,

：,EF=BF+CE-BC=1.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等角對等邊等知識，

掌握相關(guān)定理是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3](2023春?福建福州?九年級統(tǒng)考期末)如圖1,矩形48CD中，E為BC中點(diǎn)，連接4E,BF14E于

點(diǎn)G,交CD于F,DHLAE于點(diǎn)、H,GIWCD,交DH于點(diǎn)J

(1)求證:GI=DF；

(2)若CF=FG,求證：A、/、/三點(diǎn)共線；

(3)如圖2,連接"C交8廣于點(diǎn)P,連接P/,求證：四邊形GP/”是矩形.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)見解析

【分析】(1)先證明GWID/,得到四邊形G/是平行四邊形，即可得證；

(2)連接DG、AF.IF,證明平行四邊形DFG/是菱形，可得//是DG的垂直平分線，再證明Rt△尸三Rt△

AGF(HL),可得點(diǎn)A在OG的垂直平分線上，即可證明；

(3)延長4E、DC,交于點(diǎn)Q,證明三△QCE(ASA),得到CQ=84=CO,進(jìn)一步證明△PGHwa

IHG(ASA),可得/H=PG,即可證明四邊形/"G尸是平行四邊形，結(jié)合4OHQ=90。，可得平行四邊形/，GP是

矩形.

【詳解】(1)解：證明：VFF1/1F,DH1AE,

：.LAGF=Z.AHD=90。，

：.BF\\DH,即GF||。/,

又TG/IICD,

???四邊形DFG/是平行四邊形，

：,Gl=DF.

(2)證明:連接。G、AF.IF,

由(1)得四邊形。尸G/是平行四邊形,

,:DF=FG,

???平行四邊形DFG/是菱形,

???F/是DG的垂直平分線,

在矩形48C0中，Z.ADF=90°,

?：BFLAE,

：.LAGF=90。=4ADF,

ARt^ADF三RtZiAGF(HL),

.\AD=AG,

???點(diǎn)A在DG的垂直平分線上,

?"、/、尸三點(diǎn)共線.

交于點(diǎn)Q，

在矩形ABCD中，AB=DC,LABE=LBCD=LECQ=90°,

?；E為BC中點(diǎn),

：?BE=CE,

'：LAEB=Z.OEC,

：,LABE=△QCE(ASA),

：.CQ=BA=CD.

???C為。Q中點(diǎn)，

又DHLAE,

，AFGH=^DHQ=90。,

???在RtZkD“。中，HC=^DQ=CD,

"CHD=乙CDH,

由（1）得，四邊形。汽7/是平行四邊形,

:?乙IGF=LCDI,

Az/GF=乙CHD,

?二9u一ZJGN=yUu-ZCHD,即NQHG=(IGH,

*：LPGH=Z.IHG=90°,HG=GH,乙PHG=￡IGH,

：.APGH三△/HG(ASA),

：?IH=PG,

又?3H"PG,

???四邊形/"GP是平行四邊形,

又,：乙DHQ=90°,

???平行四邊形/HGP是矩形.

、■

Q

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了矩形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，垂直平分線的判定，全等三角形的

判定和性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，解題時(shí)要多關(guān)注垂直和相等的部分，并且能夠適當(dāng)添加輔助線，構(gòu)造基本幾何

圖形.

【題型4根據(jù)四邊形的判定與性質(zhì)求線段長】

【例4】（2023春?江蘇泰州?九年級?？计谥校┤鐖D，在矩形48C0中，AB=2,七為8c上一點(diǎn)，且BE=1,

作EF14“交邊。。于尸，將△（?"沿"折疊后點(diǎn)。恰好落在力。邊上的G處，則力。長=.

【答案w

【分析】如圖，連接"，過E作EH1/10于H,證明四邊形EHDC為矩形，求解力E=V22+I2=瓜設(shè)CF=%,

CE=y,EF=z,則/+y2=z2,由等面積法可得：：x1x2+：x=：(X+2)(丁+1),可得

y=2x,設(shè)GD="，可得HG=2x—n,同理可得：1x2(2%—n)+|n(2—x)+-2x=1(2—x+2)x2%,

222

可得TI=4X-4,GH=2X-(4X-4)=4-2X,由勾股定理可得：EH+HG=EG,再建立方程求解即

可.

【詳解】解：???矩形4BCD,

:?乙B=4BAD=^D=Z.C=90°.AB=CD=2,

如圖，連接4尸,過E作E至14。于，,

則四邊形EHDC為矩形，

：.HD=EC,EH=CD=2,

*：AELEF,

：.LAEF=90°,

?:BE=1,

/./IF=V224-l2=VS>

設(shè)CF=%,CE=y,EF=z,則/+y?=z2,

由等面積法可得：|xlx2+^x>/5z+=1(x+2)(y+1),

整理得：x+2y=V5z,則/+4%丫+4y2=5z2=5/+5y2,

4x2-4xy+y2=0,即(2x—y)2=0,

.*.>>=2x,

設(shè)CD=n,

：,HG=2x-n,

由對折可得：GF=FC=x,Z-EGF=zC=90°,EG=EC=2x,而。5=2—x,

同理可得：

1x2(2x-n)+1n(2-x)4-?2x=1(2-x4-2)x2x,

整理得：x(4x—n—4)=0,

???xH0,

/.4%—n—4=0,即九=4x—4,

:?GH=2x—(4x-4)=4—2x,

由勾股定理可得：EH2+HG2=EG2,

???4+(4-2X)2=(2x)2,

解得：%=：，

4

.MD=BC=2x+l=|+iq

故答案為：!

【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，軸對稱的性質(zhì)，作出合適的輔助線，利用等面

積法構(gòu)建方程是解本題的關(guān)鍵.

【變式4-1]（2023春?河南南陽?九年級統(tǒng)考期末）如圖，將邊長為4的正方形紙片A8CD沿EF對折再展平,

沿折痕剪開，得至I」矩形A8Er和矩形”尸。，再將矩形4BEF繞點(diǎn)E順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn).使點(diǎn)A與點(diǎn)。重合,

點(diǎn)F的對應(yīng)點(diǎn)為尸，則圖②中陰影部分的周長為.

圖①圖②

【答案】10

【分析】首先根據(jù)已知條件判斷出ABGE三△FGD(AAS),得到BG=FG,EG=DG,然后可設(shè)FG的長度為x,

則DG=4-x,根據(jù)勾股定理列方程可解出x,最后證明陰影部分是菱形后，即可求出其周長.

【詳解】解：如圖，設(shè)8。交EF于G,EF旋轉(zhuǎn)后交CD于點(diǎn)H,

由題意知，BE=FD=2,Z.B=LF=90°,

又，：乙BGE=(FGD，

???△BGE三△"GD(AAS),

：.BG=FG,EG=DG,

設(shè)BG=FG=X,則DG=4—

在Rt△尸DG中，(4一％y=/+22,

解得：x=l，

DG=4—x=—,

VDGHEH,GE\\DH,

???四邊形DGEH為平行四邊形，

又,：EG=DG,

???@DGE/7為菱形，

???陰影部分的周長為：|x4=10,

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題主要考杳全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理以及菱形的判定與性質(zhì)等，解答本題的關(guān)鍵是勾

股定理以及菱形的判定.

【變式4-2](2023春?遼寧鐵嶺?九年級統(tǒng)考期中)如圖，在矩形/18C0中，AB=3,BC=6,點(diǎn)E,F,G,

“分別在矩形的各邊上，且力E=CG,BF=DH,則四邊形EFGH周長的最小值為.

AHD

【答案】6V5

【分析】先證明四邊形EFGH是平行四邊形，延長E8,使得=連接尸口，GE',則七和口關(guān)于BC對

稱，由￡T+FG=E'F+尸GNE'G得，當(dāng)E'、F、G共線時(shí)取等號，此時(shí)，EF+/G最小，最小值為GE'的

長，過G作GP_L48于P,貝IJ四邊形8CGP是矩形，進(jìn)而可得BP=CG=GP=BC=6,由勾股定理求

得E'G=3V5,則"+FG最小值為3遍，由四邊形EFGH周長為2("+FG)求解即可.

【詳解】解：???四邊形4BC0是矩形，

：.AD=BC,AB=CD,=ZT=乙。=90°,

'：AE=CG,BF=DIh

：,AH=CF,BE=DG,

:.AAEH=△CGF(SAS),△BEFDGH(SAS),

:?EH=GF,EF=GH,

:.四邊形E尸G”是平行四邊形,

延長EB,使得BE'=BE,連接尸夕，GE',則七和0關(guān)于BC對稱,

：.EF=E'F,

：,EF+FG=E'F+FG>E'G,當(dāng)0、F、G共線時(shí)取等號，此時(shí)，EF+FG最小，最小值為GE'的長,

過G作GP148于P,則々GPB==ZC=90°,

???四邊形BCGP是矩形，

:,BP=CG=AE,GP=BC=6,

在Rt△GPE'中，E'P=BP+BE1=BE+AE=AB=3,

由勾股定理得E'G二VZ?T2+GP2=V32+62=36,

，EF+FG最小值為3遙，

則四邊形EFGH周長的最小值為2（E尸+FG）=675,

故答案為：6V5.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性、最短路徑問題、

勾股定理等知識，證明四邊形EFGH是平行四邊形，以及GE'為EF+FG的最小值是解答的關(guān)鍵.

【變式4-3］（2023春?廣東東莞?九年級校聯(lián)考期中）如圖，在見48CD中，Z-BAC=90°,AB=AC,過點(diǎn)4作

邊BC的垂線Ar交DC的延長線于點(diǎn)E,點(diǎn)尸是垂足，連接BE、DF,。尸交AC于點(diǎn)。.則下列結(jié)論：①四邊形

A8EC是正方形；?DE=V2FC,@S^CFD=S^BEF,正確的是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】D

【分析】①先證明得力B=EC,再得四邊形4BEC為平行四邊形，進(jìn)而由4847=90。，得

四邊形48。。是正方形，便可判斷止誤；

②艱據(jù)=DE=2月8法行推理說明便可；

③艱據(jù)正方形的性質(zhì)，得出AE與BC互相垂直平分，然后利用等底等高的三角形面積相等即可解決問題.

【詳解】'：AB=AC,AFIBC,

:?BF=CF,

???四邊形/BCD是平行四邊形，

：.AB\\CDt

：.LBAF=乙CEF,

在4/18/和△￡1尸C中，

（Z.BAF=Z.CEF

l^BFA=Z.CFE,

（BF=CF

：.LABF^^EFC（AAS）,

?*AB=CE,

???四邊形A8EC是平行四邊形,

*：AB=AC,LBAC=90°,

，四邊形A8EC是正方形，

故①正確；

\'AB=CD=EC,

：,DE=2AB,

'：AB=AC,￡.BAC=90°,

：

.AB=—2BC,

：,DE=2x—BC=V2BC,

2

故②正確；

???四邊形A8EC是正方形，

,?.BF=CF,AF=EF,BC1AE,

：-S^CFD=\CF-AF.SABEF=QBF-EF,

S&CFD=S^BEF5

故③正確；

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題考杳了平行四邊形的性質(zhì)與判定，正方形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角

形的性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【題型5根據(jù)四邊形的判定與性質(zhì)求角度】

【例5X2023春?江蘇鹽城?九年級景山中學(xué)校考期末)如圖，回力BCD對角線相交于點(diǎn)0,過點(diǎn)D作DEIIAC

月.DE=OC,連接CE,OE,OE=CD.

⑴求證：和1BCD是菱形；

(2)若48=4,4ABe=60。，求AE的長.

【答案】（1）證明見解析；

（2）277.

【分析】（1）首先證明四邊形OCED是平行四邊形，再通過0E=CD,得到平行四邊形OCED是矩形，則4COD=

90c.得到AC±BD,然后由菱形的判定即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)已知證明△4BC是等邊三角形，得到力。=AB=4,由勾股定理求出OD=26，然后由四邊形

是矩形，可知。￡=。0=26，￡OCE=900,再由勾股定理可求出最后結(jié)果.

【詳解】（1）證明：vDEWAC,DE=OC,

.?.四邊形。是平行四邊形.

???0E=CD,

???平行四邊形。。瓦）是矩形，

?%乙COD=90°,

???AC1BD,

???西BCD是菱形；

（2）???四邊形48CD是菱形，

???0A=OC,CD=AB=BC=4,AC1BD,

vZ.ABC=60°,

是等邊三角形，

?0?AC=AB=4,

:.OA=OC=2,

在RtAOCD中，由勾股定理得：0D=7CD?-0C?=7e-2?=2小

由（1）可知，四邊形OCED是矩形，

CE=OD=2V3,乙OCE=90°,

AE=y]AC2+CE2=。+（2而了=2夕，

即的長為2夕.

【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定

與性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)犍.

【變式5-1]（2023春?浙江杭州?九年級期中）如圖，在一正方形ABC。中，E為對角線4。上一點(diǎn)，連接E8、

ED.

D

(1)求證：△BEC三△DEC.

(2)延長BE交于點(diǎn)F,若FD=FE.求乙4/E的度數(shù).

【答案】(1)見解析；(2)60°

【分析】(1)由正方形的性質(zhì)得出C0=C8,ZDCA=ZBCA,根據(jù)SAS即可得出結(jié)論；

(2)設(shè)NFOE=NFED=x,表示出NAEF=NBEC=NDEC=135。2,利用平角的定義列出方程，求出x值即

可得到NA產(chǎn)￡

【詳解】解：(1)證明：???四邊形A8CO是正方形，

：.CD=CB,ZDCA=ZBCA=45°,

在么BECffAOEC中，

(CD=CB

UDCA=LBCA,

(CE=CE

:.ABECq4DEC(SAS)；

(2)YFD=FE,

：.設(shè)NFDE=NFED=x,貝ljNAr￡=2x,

???四邊形A8CD是正方形

...Z.ACB=45%乙EBC=Z.AFE=2x

???^AEF=ZBEC=180°-2x-45°=135°-Zv,

?：ABEC/ZXDEC,

：.Z1BEC=Z1DEC=135°-Zv,

AZy4EF+ZD￡:F+ZDEC=l80°,即l35°-2x+x+1350-2x=180°,

解得：A-30?

，NA止60。.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、

對頂角相等等知識；熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵.

【變式5-2]（2023春?廣東廣卅九年級統(tǒng)考期末）如圖，在△相。中，點(diǎn)分別是邊/IB,4c的門點(diǎn)，CT||8E,

CF交0E的延長線于點(diǎn)F,連接BF交CE于點(diǎn)O.

(I)求證:CF=BE；

(2)若BE=20E,Z.ACB=70°,求N8FC的度數(shù).

【答案】(1)見解析；

(2)20°.

【分析】（1）通過證明四邊形BC/E為平行四邊形，即可求解；

（2）根據(jù)中位線的性質(zhì)可得，BC=2DE=BE,可得平行四邊形BC/E為菱形，利用菱形的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】（1）證明：???點(diǎn)。，E分別是邊48,4C的中點(diǎn)，

：.DE\\BC

又YCFUBE

...四邊形?為平行四邊形，

：?CF=BE

（2）解：???點(diǎn)。，E分別是邊48,的中點(diǎn),

???BC=2DE,

又?：BE=2DE,

???BC=2DE=BE,

???平行四邊形8CFE為菱形，

J.LACB=Z.ACF,Z.COF=90°,

*：LACB=70°,

AzFFC=90°-70°=20°.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)性質(zhì).

【變式5-3]（2023春.湖北孝感?九年級統(tǒng)考期中）在平行四邊形48CD中，乙區(qū)4。的平分線交3c于點(diǎn)E,交

（1）如圖①，求證：CE=CFx

（2）如圖②，若U8C=90。,G是EF的中點(diǎn)，猜想BG和。G的關(guān)系,并證明;

（3）如圖③，若乙48c=120。，F(xiàn)G//CE,FG=CE,連接08、DG,求乙80G的度數(shù).

【答案】（1）見解析；（2）5G=DG且BG_LOG；證明見解析；（3）匕8。。=60。.

【分析】（1）根據(jù)A尸平分N84Q,可得N/34Q/D4F,利用四邊形44C。是平行四邊形，求證NCEF=N尸

即可；

（2）根據(jù)NA8C=90。，G是E/的中點(diǎn)證明ABEG三ADCG即可得到答案；

（3）延長A8、FG交于H,連接HQ.證四邊形A"FZ）為為菱形得△A?！?，△/為全等的等邊三角形,

再證△BHD經(jīng)AGFD得/BDH=NGDF,WffiZBDG=ZBDH+ZHDG=ZGDF+ZHDGnJW.

【詳解】解：（1）證明：如圖①，

平分NB/10

：.ABAF=ADAF,

???四邊形力BCD是平行四邊形,

J.AD//BC,AB//CD,

J.LDAF=LCEF,LBAF=ZF,

工乙CEF=ZF.

:?CE=CF；

圖①

（2）解：如圖②，連接“，

丁四邊形ABC。為平行四邊形，^ABC=90%

???四邊形A8C0為矩形,

：4尸平分々BAD,

：.￡DAF=Z.BAF=45°,

VzDCB=90°,DF//AB,

：.LDFA=45°,"0=90。

???△E"為等腰直角三角形，

TG為EF中點(diǎn),

，EG=CG=FG,CG1EF,

為等腰直角三角形，AB=DC,

:?BE=DC,

LCEF=iGCF=45。，

，乙BEG=乙DCG=135°

在八8跖與4兀。中，

(EG=CG

l￡BEG=￡DCG,

(BE=DC

**?ABEG=△DCG,

BG—DG,Z.DGC—Z.BGA?

*：CGLEF,

：,LDGC+Z.DGA=90°,

又：乙OGC=LBGA

,工乙8G4+4DGA=90°,

工BG1DG；

(3)如圖3,延長48、FG交于H,連接HD.

*：AD//GF,AB//DF,

???四邊形AHFD為平行四邊形，

'CLABC=120°,A小平分心BAD,

J.LDAF=30°,LADC=120°,LDFA=30°,

???ADAF為等腰三角形，

?\AD=DF,

???平行四邊形尸。為菱形，

：,LADH,△7)，/為全等的等邊三角形，

:?DH=DF,乙BHD=乙GFD=60°,

*：LCEF=Z.DAF,^DAF=^DFA=30°,

:.乙CEF=乙DFA,

：-CE=CF

,：FG=CE,CE=CF,CF=BH,

；?BH=GF,

在AB，。與△GFD中，

(DH=DF

{Z.BHD=乙GFD,

(BH=GF

：.ABHD"GFD,

，乙BDH=iGDF,

：,LBDG=乙BDH+乙HDG=乙GDF+乙HDG=60°.

圖③

【點(diǎn)睛】此題考查四邊形的綜合問題，主要考查平行四邊形的判定方法，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三

角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)

條件合理、以活地選擇方法.

【題型6根據(jù)四邊形的判定與性質(zhì)求面積】

【例6】(2023春?廣東佛山?九年級統(tǒng)考期中)如圖,矩形A8C2中,AC交BD于點(diǎn)O,且A8=24,3c=10,

將AC繞點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至CE.連接A￡,且兄G分別為A￡、EC的中點(diǎn)，則四邊形。FGC的面積是

()

A.100B.144C.169D.225

【答案】C

【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)、三角形中位線定理可得FG〃/1C,FG=OC=13,再根據(jù)平行四邊形的判定可得

四邊形OFGC為平行四邊形，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得4C=CE,zACE=90。，從而可得OC=CG,最后根

據(jù)正方形的判定可得四邊形。尸GC為正方形，由此即可得.

【詳解】解：?.?四邊形A8CD為矩形，AB=24,AD=10,

BD=>JAB2+AD2=26,OC=-AC=-BD=13,

22

分別為4瓦EC的中點(diǎn)，

FG//AC,FG=-AC,CG=-EC,

22

:.FG=OC,

四邊形OFGC為平行四邊形，

又???又繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,

/.AC=CE,Z.ACE=90。，

:.0C=CG,

二平行四邊形OFGC為正方形，

???四邊形OFGC的面積是。=132=169,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、正方形的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理等知識點(diǎn)，熟練掌握正方形的判

定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式6-1］(2023春?河北邯鄲?九年級統(tǒng)考期中)已知點(diǎn)E是團(tuán)4BC。中8c邊的中點(diǎn)，連接力E并延長交。。的

延長線于點(diǎn)F，連接AC，BF,AF=BC.

(1)求證：四邊形為矩形；

(2)若是等邊三角形，且邊長為6,求四邊形48%的面積.

【答案】(1)見解析

(2)973

［分析］(1)證4ABEFCE(AAS),得AB=尸C,再由48|尸C,證四邊形力BFC是平行四邊形，然后由力尸=BC

即可得出結(jié)論；

(2)由矩形的性質(zhì)得乙4。產(chǎn)二90。，再由等邊三角形的性質(zhì)得4/=0尸=6,。尸=,。尸=3,然后由勾股定

理求出力C=36，即可求解.

【詳解】(I)證明：???四邊形4BCD是平行四邊形，

：?AB=CD,ABWCD,

:.Z.BAE=乙CFE,

???點(diǎn)￡是團(tuán)48CD中8c邊的中點(diǎn)，

：.BE=CE,

vZ.AEB=Z.FEC,

...△48E三△FCE(AAS),

:.AB=FC,

vABWFC,

???四邊形力是平行四邊形，

XvAF=BC,

???平行四邊形力為矩形;

(2)解：由(1)得：四邊形力8FC為矩形,

:.Z.ACF=90°,

???△A廣。是等邊三角形，

AF=DF=6,CF=-DF=3,

2

AC=7AF2-C尸2=7G-32=3痘,

???四邊形的面積=ACxCF=3V3x3=973.

【點(diǎn)睛】本題考杳了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形

的性質(zhì)以及勾股定理等知識；熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，證明△48E三△尸CE是解題的關(guān)鍵.

【變式6-2](2023春?河南洛陽?九年級統(tǒng)考期中)如圖，在四邊形力BCD中，/IB||CD,AB=BC=2CD,I為

對角線AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC的中點(diǎn),連接DE,EF.

⑴求證：四邊形CDE尸為菱形；

(2)連接OF交/1C于點(diǎn)G,若OF=3,CD=1,求四邊形CCEF的面積.

【答案】(1)證明見解析

(2)6

【分析】(1)由三角形中位線定理可得EF=EFWAB,CF=^BC,可得A8||CD||EF,EF=CF=CD,

由菱形的判定可得結(jié)論；

(2)由菱形的性質(zhì)可得DG=|,DF1CE,EG=GC,由勾股定理可得EG=GC=2,得到”的長后，根據(jù)

菱形的面積公式可得答案.

【詳解】(1)證明：???￡?為對角線AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC的中點(diǎn)，

EF=^AB,EFWAB,CF=：BC,AE=CF,

-AB||CD,

???AB||CD||EF,

?：AB=BC=2CD,

：.EF=CF=CD,

vCD||EF,

.?.四邊形?！闠C是平行四邊形，且EF=CF,

.?四邊形8"?為菱形；

（2）如圖，DF與EC交于點(diǎn)G,

???四邊形CDEF為菱形，。尸=3,

：.DFICE,D