6.1分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理

李華有兩件上衣，四條褲子和兩雙鞋子可以進行搭配，那他出門的穿搭方式有幾種？

窮舉法可以完成該計數(shù)，但實際操作過于繁瑣。問題引導(dǎo)問題情境（1）從連云港到南京，可以乘坐火車，也可以乘坐汽車。若一天中火車有3班，汽車有2班，那么一天中，乘坐這些交通工具從連云港到南京共有多少種方法？連云港南京火車1火車2火車3汽車1汽車2完成一件事：選擇出行方式方案1：方案2：乘坐火車3乘坐汽車23+2=5思考：這是要完成一件什么事？1.分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同的方案，在第一類方案中有m種不同的方法，第二類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事總共有N=m+n種不同的方法。連云港南京火車3個班次汽車2個班次32＋=5數(shù)學(xué)原理探究點1利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)例1：在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，A、B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，具體情況如下：A大學(xué)生物學(xué)化學(xué)醫(yī)學(xué)物理學(xué)工程學(xué)B大學(xué)數(shù)學(xué)會計學(xué)信息技術(shù)學(xué)法學(xué)如果這名同學(xué)只能選擇一個專業(yè)，那么他共有多少種不同的選擇呢？分析：由于這名同學(xué)只能選擇一個專業(yè)，符合分類加法計數(shù)原理完成一件事：選專業(yè)方案1：從A大學(xué)選專業(yè)方案2：從B大學(xué)選專業(yè)探究點1利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)例1：在填寫高考志愿表時，一名高中畢業(yè)生了解到，A、B兩所大學(xué)各有一些自己感興趣的強項專業(yè)，具體情況如下：A大學(xué)生物學(xué)化學(xué)醫(yī)學(xué)物理學(xué)工程學(xué)B大學(xué)數(shù)學(xué)會計學(xué)信息技術(shù)學(xué)法學(xué)如果這名同學(xué)只能選擇一個專業(yè)，那么他共有多少種不同的選擇呢？解：這名同學(xué)在A大學(xué)有5種專業(yè)選擇方法，在B大學(xué)有4種專業(yè)選擇方法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這名同學(xué)可能的專業(yè)選擇總數(shù)為：5+4=9種探究點1利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)例1：(續(xù))這名高中生通過了解，決定增加C大學(xué)的兩個專業(yè)作為備選，具體情況如下：A大學(xué)生物學(xué)化學(xué)醫(yī)學(xué)物理學(xué)工程學(xué)B大學(xué)數(shù)學(xué)會計學(xué)信息技術(shù)學(xué)法學(xué)如果這名同學(xué)只能選擇一個專業(yè)，那么他共有多少種不同的選擇呢？C大學(xué)金融學(xué)土木工程學(xué)5+4+2=111.分類加法計數(shù)原理

完成一件事有n類不同的方案，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法……在第n類辦法中有mn種不同的方法．那么完成這件事總共有N=m1+m2+......+mn種不同的方法。數(shù)學(xué)原理探究點1利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)跟蹤訓(xùn)練：把一張十元錢換成零錢，有多少種換法？零錢有一元、兩元和五元3種。思考：1、這是要完成一件什么事？2、這件事需要分類來完成嗎？換零錢以換5元的張數(shù)分類從面額大的錢開始換第1類，兌換2張5元有1種換法200第2類，兌換1張5元有3種換法1211131050500420340260180010第3類，兌換0張5元有9種換法由分類加法計數(shù)原理可知，共有1+3+6=10種換法

四個同學(xué)每人做了一張賀年卡，放在桌子上，然后每人去拿一張，但不能拿自己做的一張，問：一共有多少種不同的方法？思考：1.這是要完成一件什么事？2.這件事需要分類來完成嗎？跟蹤訓(xùn)練：共3種情況同理，A拿C做的卡片也是3種情況A拿D做的卡片也是3種情況共3+3+3=9種情況分類計數(shù)結(jié)論將完成這件事的方法分成若干類求出每一類的方法數(shù)將每一類的方法數(shù)相加得出結(jié)果利用分類加法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程方法歸納注：分類加法原理表示每類辦法都能獨立完成這一件事，它是獨立的、一次性的，每類當(dāng)中的辦法互不重復(fù)。問題情境（2）由于臨時原因某人決定先從從連云港坐火車到徐州，再于次日從徐州乘汽車到南京，一天中，火車有3班，汽車有2班，那么兩天中，他從連云港到南京共有多少種不同方法？連云港徐州火車1火車2汽車1汽車2南京汽車3思考：1.這是要完成一件什么事？

2.問題2跟前面的問題1是同一種問題嗎？有什么區(qū)別？問題情境（2）由于臨時原因某人決定先從從連云港坐火車到徐州，再于次日從徐州乘汽車到南京，一天中，火車有3班，汽車有2班，那么兩天中，他從連云港到南京共有多少種不同方法？連云港徐州火車1火車2汽車1汽車2南京汽車3

問題2與問題1不同，在這個問題中，必須經(jīng)過先從連云港到徐州，再從徐州到南京兩個步驟，才能從連云港到南京。從連云港到徐州有2種走法，從徐州到南京有3種走法，所以從連云港到南京共有不同走法：2x3=6（種）2.分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要分成兩個步驟，第一個步驟中有m種不同的方法，第二個步驟中有n種不同的方法，那么完成這件事總共有N=m×n種不同的方法。連云港徐州南京23×=6數(shù)學(xué)原理探究點2利用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)例2：思考：1、這是要完成一件什么事？2、這件事怎么完成？給教室里的座位編號分兩步完成第一步：確定一個英文字母，有六種不同方法第二步：確定一個阿拉伯?dāng)?shù)字，有九種不同方法2.分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要分成n個步驟，第一個步驟中有m1種不同的方法，第二個步驟中有m2種不同的方法……第n個步驟中有mn種不同的方法．那么完成這件事總共有N=m1×m2×......×mn種不同的方法。數(shù)學(xué)原理探究點2利用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)例3：設(shè)某班有男生30名，女生24名，現(xiàn)要從男、女生中各選1名代表班級參加比賽，共有多少種不同的選法？分析：分步驟分別確定男生、女生。解：先選男生有30種不同的選法；再選女生有24種不同的選法；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，總共有：30×24=720種思考：這是要完成一件什么事？這件事怎么完成？探究點2利用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)跟蹤訓(xùn)練：要從甲乙丙3幅不同的畫中選2幅，分別掛在左右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？解：從3幅畫中選2幅分別掛在左右兩邊墻上，可以分為兩個步驟完成：第一步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法；第二步，從剩下2幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有2種選法。根據(jù)分步計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是：N=3*2=6.還可以如何考慮？探究點2利用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)跟蹤訓(xùn)練：要從甲乙丙3幅不同的畫中選2幅，分別掛在左右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？另解：第一步，從3幅畫中選2幅，有3種選法；（“甲乙”，“甲丙”，“乙丙”）第二步，將選出的2幅畫掛好，有2種掛法。根據(jù)分步計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是：N=3*2=6.要從甲乙丙丁戊5幅不同的畫中選2幅，分別掛在左右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？變式：分步計數(shù)結(jié)論將完成這件事的過程分成若干步求出每一步中的方法數(shù)將每一步中的方法數(shù)相乘得出結(jié)果利用分步乘法計數(shù)原理計數(shù)時的解題流程方法歸納注：分步乘法原理每一步得到的都是中間結(jié)果，任何一步都不能得到最終結(jié)果，只有各個步驟都完成以后，這件事才能算最終完成。探究點3兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用例3：五名學(xué)生報名參加四項體育比賽，每人限報一項，報名方法的種數(shù)為多少？如果他們爭奪這四項比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？解：（1）5名學(xué)生中任一名均可報其中的任一項，因此每個學(xué)生都有4種報名方法，5名學(xué)生都報了項目才能算完成這一事件，故報名方法種數(shù)為（2）每個項目只有一個冠軍，每一名學(xué)生都可能獲得其中的一項冠軍，因此每個項目獲冠軍的可能性有5種，故有探究點3兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練：（1）有不同的語文書7本，不同的數(shù)學(xué)書5本，不同的英語書3本，若從中選出1本書，共有多少種選法？（2）有不同的語文書7本，不同的數(shù)學(xué)書5本，不同的英語書3本，若從中選出不屬于同一學(xué)科的3本書，共有多少種選法？（3）有不同的語文書7本，不同的數(shù)學(xué)書5本，不同的英語書3本，若從中選出不屬于同一學(xué)科的2本書，共有多少種選法？探究點3兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用已知0,1,2，3,4,5這六個數(shù)字。（1）可以組成多少數(shù)字不重復(fù)的三位數(shù)？（2）可以組成多少數(shù)字允許重復(fù)的三位數(shù)？跟蹤訓(xùn)練：探究點3兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練：如圖為我國在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖，現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域顏色不相同，問：不同的涂色方案有多少種？探究點3兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練：先用4種不同顏色對如圖所示的四塊區(qū)域進行著色，要求有公共邊界的區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法有多少種？1.當(dāng)題目無從下手時，可考慮要完成的這件事是什么，即怎樣做才算完成這件事，然后給出完成這件事的一種或幾種方法。2.分類時標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重不漏，有時要恰當(dāng)畫出示意圖或樹形圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律。3.綜合問題一般是先分類再分步。反思提升1.如果完成一件事有兩類方案，這兩類方案彼此之間是相互獨立的，無論哪一類方案中的哪一種方法都能單獨完成這件事，求能完成這件事的方法種數(shù)就用分類加法計數(shù)原理。2.如果完成一件事需要分成多個步驟，各個步驟都是不可缺少的，需要依次完成所有步驟，才能完成這件事，而完成每一個步驟有若干種不同的方法，求能完成這件事的方法種數(shù)就用分步乘法計數(shù)原理。課堂小結(jié)用來計算“完成一件事”的方法種數(shù)分類完成，類類相加分步完成，步步相乘每類方案中的每一種方法都能獨立完成這件事類類獨立，不重不漏每步依次完成才算完成這件事情（每步中的每一種方法不能獨立完成這件事）步步相依，步驟完整課堂小結(jié)解答計數(shù)問題的一般思維過程：完成一件什么事如何完成這件事方法的分類過程的分步利用加法原理進行計數(shù)利用乘法原理進行計數(shù)1.若三角形三邊均為正整數(shù)，其中一邊長為4，另外兩邊長分別為b，c，且滿足b≤4≤c，則這樣的三角形有()A．10個B．14個C．15個D．21個2.如圖，用五種不同的顏色分別給A，B，C，D四個區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法共有多少種()A．280 B．180C．96 D．603.有10本不同的數(shù)學(xué)書，9本不同的語文書，8本不同的英語書，從中任取兩本不同類的書，共有________種不同的取法．解析：選A.當(dāng)b＝1時，c＝4；當(dāng)b＝2時，c＝4，5；當(dāng)b＝3時，c＝4，5，6；當(dāng)b＝4時，c＝4，5，6，7.故共有10個這樣的三角形．解析：