第1頁/共1頁2022北京初三一模數(shù)學(xué)匯編圓的有關(guān)性質(zhì)一、單選題1．（2022·北京大興·一模）如圖，AB是的弦，半徑于點D，若，，則OB的長是（

）A．3 B．4 C．5 D．62．（2022·北京平谷·一模）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∠D＝110°，則∠AOC的度數(shù)是（）A．55° B．110° C．130° D．140°3．（2022·北京海淀·一模）某校舉辦校慶晚會，其主舞臺為一圓形舞臺，圓心為O．A，B是舞臺邊緣上兩個固定位置，由線段AB及優(yōu)弧圍成的區(qū)域是表演區(qū)．若在A處安裝一臺某種型號的燈光裝置，其照亮區(qū)域如圖1中陰影所示．若在B處再安裝一臺同種型號的燈光裝置，恰好可以照亮整個表演區(qū)，如圖2中陰影所示．若將燈光裝置改放在如圖3所示的點M，N或P處，能使表演區(qū)完全照亮的方案可能是（

）①在M處放置2臺該型號的燈光裝置②在M，N處各放置1臺該型號的燈光裝置③在P處放置2臺該型號的燈光裝置A．①② B．①③ C．②③ D．①②③二、填空題4．（2022·北京東城·一模）如圖，點A，B，C是⊙O上的三點．若∠AOC=90°，∠BAC=30°，則∠AOB的度數(shù)為________．5．（2022·北京房山·一模）如圖，點A，B，C在⊙O上，若∠OCB=20°，則∠A度數(shù)為_________．6．（2022·北京西城·一模）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上．若∠CBA=50°，則∠CDB=______°．7．（2022·北京門頭溝·一模）石拱橋是中國傳統(tǒng)橋梁四大基本形式之一，如圖，已知一石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為8m，橋拱半徑OC為5m，求水面寬AB＝_____m．三、解答題8．（2022·北京東城·一模）對于平面直角坐標(biāo)系中的點C及圖形G，有如下定義：若圖形G上存在A，B兩點，使得為等腰直角三角形，且，則稱點C為圖形G的“友好點”．(1)已知點，，在點，，中，線段OM的“友好點”是_______；(2)直線分別交x軸、y軸于P，Q兩點，若點為線段PQ的“友好點”，求b的取值范圍；(3)已知直線分別交x軸、y軸于E，F(xiàn)兩點，若線段EF上的所有點都是半徑為2的的“友好點”，直接寫出d的取值范圍．9．（2022·北京豐臺·一模）《周髀算經(jīng)》中記載了一種確定東南西北方向的方法．大意是：在平地上點A處立一根桿，記錄日出時桿影子的長度AB，并以點A為圓心，以AB為半徑畫圓，記錄同一天日落時桿影子的痕跡與此圓的交點C，那么直線CB表示的方向就是東西方向，∠BAC的角平分線所在的直線表示的方向就是南北方向．(1)上述方法中，點A，B，C的位置如圖所示，使用直尺和圓規(guī)，在圖中作∠BAC的角平分線AD（保留作圖痕跡）；(2)在圖中，確定了直線CB表示的方向為東西方向，根據(jù)南北方向與東西方向互相垂直，可以判斷直線AD表示的方向為南北方向，完成如下證明．證明：∵點B，C在⊙O上，∴AB＝．∴△ABC是等腰三角形．∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC（）（填推理的依據(jù)）．∵直線CB表示的方向為東西方向，∴直線AD表示的方向為南北方向．10．（2022·北京朝陽·一模）中國古代數(shù)學(xué)家李子金在《幾何易簡集》中記載了圓內(nèi)接正三角形的一種作法：“以半徑為度，任用圓界一點為心，作兩圓相交，又移一心，以交線為界，再作一交圓，其三線相交處為一角，其兩線相交處為兩角，直線界之亦得所求”．由記載可得作法如下：①作，在上取一點N，以點N為圓心，為半徑作，兩圓相交于A，B兩點，連接；②以點B為圓心，為半徑作，與相交于點C，與相交于點D；③連接，，，．，都是圓內(nèi)接正三角形．(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明，證明：連接，，，．∵，∴為①_________．∴．同理可得，．∴．∴（②____________）（填推理的依據(jù)）．∵，∴是等邊三角形．同理可得，是等邊三角形．11．（2022·北京通州·一模）已知：如圖，△ABC為銳角三角形，AB＝AC．求作：點P，使得AP＝AB，且．作法：①以點A為圓心，AB長為半徑畫圓；②以點B為圓心，BC長為半徑畫弧，交于點D（異于點C）；③連接DA并延長交于點P．所以點P就是所求作的點．(1)使用直尺和圓規(guī)，依作法補(bǔ)全圖形（保留作圖痕跡）；(2)完成下面的證明．證明：連接PC．∵AB＝AC，∴點C在上．∵，∴（____________________）（填推理的依據(jù)），由作圖可知，，∴______．∴．12．（2022·北京通州·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，給出如下定義：點P為圖形G上任意―點，將點P到原點O的最大距離與最小距離之差定義為圖形G的“全距”．特別地，點P到原點O的最大距離與最小距離相等時，規(guī)定圖形G的“全距”為0．(1)如圖，點，．①原點O到線段AB上一點的最大距離為______，最小距離為______；②當(dāng)點C的坐標(biāo)為時，且的“全距”為1，求m的取值范圍；(2)已知OM＝2，等邊△DEF的三個頂點均在半徑為1的上．請直接寫出△DEF的“全距”d的取值范圍．

參考答案1．C【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)，設(shè)OB=x，OD=x-2，由勾股定理即可求解；【詳解】解：∵∴AD=BD∵∴BD=AB=4∵設(shè)OB=x，OD=x-2由勾股定理得，即，解得：x=5故選：C【點睛】本題主要考查圓的性質(zhì)、勾股定理，掌握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．2．D【分析】先利用圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)計算出的度數(shù)，然后根據(jù)圓周角定理得到的度數(shù)．【詳解】解：，，．故選：D．【點睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，解題的關(guān)鍵是掌握圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)．3．A【分析】根據(jù)圓周角和三角形內(nèi)角和的性質(zhì)，對各個選項逐個分析，即可得到答案．【詳解】在M處放置2臺該型號的燈光裝置，如下圖∵在A、B兩處安裝各一臺某種型號的燈光裝置，恰好可以照亮整個表演區(qū)，∴優(yōu)弧所對圓周角如要照亮整個表演區(qū)，則兩臺燈光照亮角度為，且∴為優(yōu)弧所對圓周角∴，即①方案成立；在M，N處各放置1臺該型號的燈光裝置，分別連接、、、、、,如下圖，∵，∴②方案成立；在P處放置2臺該型號的燈光裝置，如下圖，MN和相切于點P如要照亮整個表演區(qū)，則兩臺燈光照亮角度為總根據(jù)題意，，即兩臺燈光照亮角度總和∴③方案不成立；故選：A．【點睛】本題考查了圓、三角形內(nèi)角和的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握圓周角的性質(zhì)，從而完成求解．4．30°##30度【分析】由圓周角定理可得∠BOC=2∠BAC=60°，繼而∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-60°=30°．【詳解】解：∵∠BAC與∠BOC所對弧為，由圓周角定理可知：∠BOC=2∠BAC=60°，又∠AOC=90°，∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=90°-60°=30°．故答案為：30°．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，熟練運用圓周角定理是解題關(guān)鍵．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．5．70°【分析】由OB＝OC，∠OCB＝20°，根據(jù)等邊對等角與三角形內(nèi)角和定理，即可求得∠BOC的度數(shù)，又由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，求得∠A的度數(shù)．【詳解】解：∵OB＝OC，∠OCB＝20°，∴∠OBC＝∠OCB＝20°，∴∠BOC＝180°―∠OBC―∠OCB＝180°﹣20°﹣20°＝140°，∴∠A＝∠BOC＝70°故答案為：70°【點睛】此題考查了圓周角定理與等腰三角形的性質(zhì)．此題比較簡單，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半定理的應(yīng)用．6．40【分析】根據(jù)AB是⊙O的直徑，可得∠ACB=90°，從而得到∠A=40°，再由圓周角定理，即可求解．【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠CBA=50°，∴∠A=90°-∠CBA=40°，∵∠CDB=∠A，∴∠CDB=40°．故答案為：40【點睛】本題主要考查了圓周角定理，熟練掌握直徑所對的圓周角是直角，圓周角定理是解題的關(guān)鍵．7．8．【分析】連結(jié)OA，先計算OD的長，由勾股定理解得AD的長，再根據(jù)垂徑定理可得AB=2AD，據(jù)此解題．【詳解】連結(jié)OA，拱橋半徑OC為5cm，cm，m，cm，mm，故答案為：8．【點睛】本題考查垂徑定理及其推論、勾股定理等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．8．(1)C1、C3(2)1≤b<3或b>3(3)≤d≤【分析】（1）根據(jù)“友好點”的定義逐個判斷即可；（2）分兩種情況討論，直線PQ在點C上方或下方．過B作PQ的垂線，垂足為B，交x軸于H，根據(jù)題目中的定義知：BQ或BP的長度要大于或等于BC的長度，求解即可；（3）首先分析得到E點的運動范圍，作出圖形知OE≥2，當(dāng)EH平分∠FEO時，其中H（2，0），是其最大臨界值，根據(jù)勾股定理求出最大值為，即得結(jié)論．（1）解：如圖所示，由題意知三角形OC1M為等腰直角三角形，C1符合題意；過C2作C2A⊥OM于A，則AM=3，C2A=4，三角形AMC2不是等腰三角形，C2不符合題意；過C3作C3B⊥OM于B，則C3B=AB=1，三角形ABC3是等腰直角三角形，符合題意；故答案為：C1、C3．（2）解：分兩種情況討論，當(dāng)直線PQ在C點上方時，過C作CB⊥PQ于B，延長BC交x軸于H，如圖所示，則△BPH為等腰直角三角形，BP=BH>BC，故在線段PQ上必存在A點，使得∠ABC=90°，AB=BC，將x=2，y=1代入y=－x+b得：b=3，即b>3；當(dāng)直線PQ在C點下方時，過C作CB⊥PQ于B，CB延長線交x軸于H，則當(dāng)BQ≥BC時，符合題意，當(dāng)直線PQ過H點時，BQ=BC，如圖所示，此時，－1+b=0，即b=1，即1≤b<3，綜上所述，b的取值范圍為：1≤b<3或b>3．（3）解：根據(jù)題意，為的弦，根據(jù)定義可知，，當(dāng)取得最小，點在上，此時則則當(dāng)取得最大值時，為的直徑，當(dāng)?shù)拈L度變化時，總能在上找到點使得，則符合題意的點在如圖中陰影部分中運動，通過分析可知，當(dāng)直線EF在下圖中的位置時，d取得最大值，此時，∠HEO=22.5°，即EH為∠EHF的平分線，過H作HM⊥EF于M，則HM=OH=2，∴FM=2，由勾股定理得：FH=，即OE=OF=，即d=∴≤d≤．【點睛】本題考查了新定義的問題，涉及到一次函數(shù)與圓的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，所用到的數(shù)學(xué)思想方法為數(shù)形結(jié)合、分類討論，該題綜合性較強(qiáng)．解題關(guān)鍵是讀懂題意，借助定義作出符合題意的圖形．9．(1)見解析(2)AC；等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合【分析】（1）以點A為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L度為半徑畫弧分別與AB，AC交于一點，分別以這兩點為圓心，以大于兩點間距離的一半為半徑畫弧交于點D，作射線AD，則AD即為所求；（2）先證明△ABC是等腰三角形，由AD平分∠BAC，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明AD⊥BC，即可得到結(jié)論．（1）解：如圖所示，射線AD即為∠BAC的角平分線；（2）解：證明：∵點B，C在⊙O上，∴AB＝AC．∴△ABC是等腰三角形．∵AD平分∠BAC，∴AD⊥BC（等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合）（填推理的依據(jù)）．∵直線CB表示的方向為東西方向，∴直線AD表示的方向為南北方向．故答案為：AC；等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合【點睛】此題考查了基本作圖中的角平分線作圖、等腰三角形的判定和性質(zhì)、圓的相關(guān)知識，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．10．(1)見解析(2)①等邊三角形，②同弧上的圓周角等于圓心角的一半【分析】(1)按照作圖的基本步驟規(guī)范畫圖即可．(2)根據(jù)圓的性質(zhì)，等邊三角形的判定解答．(1)根據(jù)作步驟，畫圖如下：(2)證明：如圖，連接，，，．∵，∴為等邊三角形．∴．同理可得，．∴．∴（同弧上的圓周角等于圓心角的一半）（填推理的依據(jù)）．∵，∴是等邊三角形．同理可得，是等邊三角形．【點睛】本題考查了圓的基本作圖，等邊三角形的判定，圓周角定理，熟練掌握等邊三角形的判定，靈活運用圓周角定理是解題的關(guān)鍵．11．(1)見解析(2)圓周角定理或同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半，∠BAC【分析】（1）根據(jù)作法按步驟作圖即可；（2）根據(jù)圓周角定理進(jìn)行證明即可（1）解：如圖所示，即為所求；（2）證明：連接PC．∵AB＝AC，∴點C在上．∵，∴（_圓周角定理或同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半__）（填推理的依據(jù)），由作圖可知，，∴_∠BAC__．∴．故答案為：圓周角定理或同弧所對的圓周角等于它所對圓心角的一半，∠BAC．【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖作圓，圓周角定理，掌握圓周角定理是解題的關(guān)鍵．12．(1)①2，1；②-1≤

m

≤

2且m

≠

1(2)【分析】（1）①根據(jù)新定義，可得原點O到線段AB上一點的最大距離為原點O到點A或點B的距離，由兩點間公式求得即可，最小的距離是原點O到線段AB中點(0,1)的距離；②當(dāng)點C的坐標(biāo)為時，且的“全距”為1時，有兩種情況討論如下：當(dāng)點C在線段AB上方時，當(dāng)點C在線段AB下方時，分別表示出“全距”，求解即可；（2）由題意得，原點O到等邊△DEF上一點的最大距離為原點O到與線段O