專題03梯子模型、對角互補模型和梯形中位線定理梯子模型如下圖，一根長度一定的梯子斜靠在豎直墻面上,當梯子底端滑動時,探究梯子上某點(如中點)或梯子構成圖形上的點的軌跡模型(圖2),就是所謂的梯子模型。[考查方向]已知一條線段的兩個端點在坐標軸上滑動,求線段最值問題。模型一:如圖所示,線段AC的兩個端點在坐標軸上滑動，LACB=ZAOC=90°AC的中點為P,連接OP、BP、OB,則當O、P、B三點共線時,此時線段OB最大值。即已知RtAACB中AC、BC的長,就可求出梯子模型中OB的最值模型二:如圖所示,矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上,當點A在邊OM上運動時,點B隨之在ON上運動，且運動的過程中矩形ABCD形狀保持不變，AB的中點為P,連接OP、PD、OD,則當O、P、D三點共線時,此時線段OD取最大值四邊形中對角互補模型對角互補模型：即四邊形或多邊形構成的幾何圖形中，相對的角互補。主要分為含90°與120°的兩種對角互補類型。該題型常用到的輔助線主要是頂定點向兩邊做垂線，從而證明兩個三角形全等或者相似.模型一：含90°的全等型1.如圖1，已知∠AOB＝∠DCE＝90o，OC平分∠AOB.則可以得到如下幾個結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③S=S+S=OC.2.如圖2，已知∠DCE的一邊與AO的延長線交于點D，∠AOB＝∠DCE＝90o，OC平分∠AOB.則可得到如下幾個結(jié)論：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③S-S=OC.圖1圖2圖3模型二、：含60°與120°的全等型如圖3，已知∠AOB＝2∠DCE＝120o，OC平分∠AOB.則可得到如下幾個結(jié)論：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③S+S=OC.梯形中位線定理（1）定義：連接梯形兩腰中點的線段叫做梯形的中位線（2）性質(zhì)定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半。類型一：梯子模型【典例1】如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在邊OM、ON上，當B在邊ON上運動時，A隨之在OM上運動，矩形ABCD的形狀保持不變，其中AB＝6，BC＝2．運動過程中點D到點O的最大距離是．【變式1-1】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝4，點A在y軸上，點C在x軸上，則點A在移動過程中，BO的最大值是．【變式1-2】如圖，∠MEN＝90°，矩形ABCD的頂點B，C分別是∠MEN兩邊上的動點，已知BC＝10，CD＝5，點D，E之間距離的最大值是．類型二：四邊形中對角互補模型【典例2】在四邊形ABCD中，∠B+∠D＝180°，對角線AC平分∠BAD．（1）如圖1，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，試探究邊AD、AB與對角線AC的數(shù)量關系為；（2）如圖2，若將（1）中的條件“∠B＝90°”去掉，（1）中的結(jié)論是否成立？請說明理由；（3）如圖3，若∠DAB＝90°，若AD＝3，AB＝7，求線段AC的長和四邊形ABCD的面積．【變式2-1】如圖，點P（3m﹣1，﹣2m+4）在第一象限的角平分線OC上，AP⊥BP，點A在x軸正半軸上，點B在y軸正半軸上．（1）求點P的坐標．（2）當∠APB繞點P旋轉(zhuǎn)時，①OA+OB的值是否發(fā)生變化？若變化，求出其變化范圍；若不變，求出這個定值．②請求出OA2+OB2的最小值．【變式2-2】四邊形ABCD若滿足∠A+∠C＝180°，則我們稱該四邊形為“對角互補四邊形”．（1）四邊形ABCD為對角互補四邊形，且∠B：∠C：∠D＝2：3：4，則∠A的度數(shù)為；（2）如圖1，四邊形ABCD為對角互補四邊形，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD．求證：AC平分∠BCD．小云同學是這么做的：延長CD至M，使得DM＝BC，連AM，可證明△ABC≌△ADM，得到△ACM是等腰直角三角形，由此證明出AC平分∠BCD，還可以知道CB、CD、CA三者關系為：；（3）如圖2，四邊形ABCD為對角互補四邊形，且滿足∠BAD＝60°，AB＝AD，試證明：①AC平分∠BCD；②CA＝CB+CD；（4）如圖3，四邊形ABCD為對角互補四邊形，且滿足∠ABC＝60°，AD＝CD，則BA、BC、BD三者關系為：．類型三：梯形中位線定理【典例3】在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于點O，若AC＝5，BD＝12，中位線長為，△AOB的面積為S1，△COD的面積為S2，則＝．【變式3-1】如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，點E、F分別是AD、BC的中點，如果AB＝2，EF＝3，那么CD＝．【變式3-2】如圖，DE是△ABC的中位線，M是DE的中點，那么＝．1．如圖，△ABC為等邊三角形，以AB為邊向形外作△ABD，使∠ADB＝120°，再以點C為旋轉(zhuǎn)中心把△CBD旋轉(zhuǎn)到△CAE，則下列結(jié)論：①D、A、E三點共線；②DC平分∠BDA；③∠E＝∠BAC；④DC＝DB+DA．其中正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個2．如圖，△ABC為等邊三角形，以AB為邊向△ABC外側(cè)作△ABD，使得∠ADB＝120°，再以點C為旋轉(zhuǎn)中心把△CBD沿著順時針旋轉(zhuǎn)至△CAE，則下列結(jié)論：①D、A、E三點共線；②△CDE為等邊三角形；③DC平分∠BDA；④DC＝DB+DA，其中正確的有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個3．如圖，正方形ABCD，點P是對角線AC上一點，連接BP，過P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，連接BQ交AC于G，若AP＝，Q為CD中點，則下列結(jié)論：①∠PBC＝∠PQD；②BP＝PQ；③∠BPC＝∠BQC；④正方形ABCD的面積是16；其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．14．如圖，∠MON＝90°，矩形ABCD的頂點A、B分別在OM、ON上，當點B在ON上移動時，點A隨之移動，AB＝2，BC＝1，運動過程中，點D到點O的最大距離為．5．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，點A、C分別在x軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點的最大距離是．6．如圖，Rt△AOB的兩直角邊OA，OB分別在x軸和y軸上，且點A，B的坐標分別是（3，0）和（0，4），點C是半圓ACB上任意一點，則點O，C的最大距離為．7．如圖，在平面直角坐標系中，邊長為2的等邊三角形ABC的頂點A，B分別在x軸正半軸和y軸正半軸上運動．（1）當OB＝1時，點C的坐標為；（2）連結(jié)OC，則OC的最大值為．8．如圖．△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，頂點A、C分別在x軸、y軸的正半軸上滑動．（1）AB＝；（2）若點D是AC的中點．則點D在運動過程中經(jīng)過的路徑長為；（3）點B到原點O的最大的距離是．9．在學習三角形中位線定理時，小麗發(fā)現(xiàn)作以下輔助線能夠證明三角形中位線定理．已知：如圖1，在△ABC中，點D，E分別是邊AB，AC的中點，連接DE．求證：DE∥BC，．證明：（小麗的輔助線作法）延長DE到F，使EF＝DE，連接DC、AF、FC．…（1）請在圖1中畫出小麗所說的輔助線，并補全三角形中位線定理的證明過程；（2）三角形中位線定理應用：如圖2，在梯形ABCD中，AD∥BC，點E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，則線段AD，EF，BC之間的數(shù)量關系是．10．如圖，正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的兩個動點，且正方形ABCD的周長是△BEF周長的2倍．連接DE，DF分別與對角線AC交于點M，N．（1）若AE＝2，CF＝3，求EF的長；（2）求證；∠EFN+∠EMN＝180°；（3）若＝2，BE＝3，求EF的長．11．定義：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做等補四邊形．理解：（1）如圖1，點A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分線交⊙O于點D，連接AD，CD．求證：四邊形ABCD是等補四邊形．探究：（2）如圖2，在等補四邊形ABCD中，BA＝BC，連接BD，BD是否平分∠ADC？請說明理由．運用：（3）如圖3，在等補四邊形ABCD中，CB＝CD，其外角∠FCB的平分線交AB的延長線于點E，AB＝20，CE＝10，求BE的長．12．定義：有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做等補四邊形．【問題理解】如圖1，點A、B、C在⊙O上，∠ABC的平分線交⊙O于點D，連接AD、CD．求證：四邊形ABCD是等補四邊形；【拓展探究】如圖2，在等補四邊形ABCD中，AB＝AD，連接AC，AC是否平分∠BCD？請說明理由；【升華運用】如圖3，在等補四邊形ABCD中，AB＝AD，其外角∠EAD的平分線交CD的延長線于點F．若CD＝6，DF＝2，求AF的長．13．有一組鄰邊相等且對角互補的四邊形叫做等鄰邊互補四邊形．（1）如圖1，在等鄰邊互補四邊形ABCD中，AD＝CD，且AD∥BC，BC＝2AD，求∠B的度數(shù)；（2）如圖2，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接DO交AC于點E（不與點O重合），若E是AC的中點，求證：四邊形ABCD是等鄰邊互補四邊形；（3）在（2）的條件下，延長DO交BC于點F，交⊙O于點G，若＝，tan∠ABC＝，AC＝12，求FG的長；（4）如圖3，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB＝BC，BD為⊙O的直徑，連接AO并延長交BC于點E，交⊙O于點F，連接FC，設tan∠BAF＝x，＝y(tǒng)，求y與x之間的函數(shù)關系式．14．閱讀下面的材料．材料一：一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形叫梯形，其中平行的兩邊叫梯形的底邊，不平行的兩邊叫梯形的腰，連接梯形兩腰中點的線段叫梯形的中位線．梯形的中位線具有以下性質(zhì)：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半．如圖①，在梯形ABCD中，AD∥BC，∵E、F是AB、CD的中點，∴EF∥AD∥BC，EF＝（AD+BC）．材料二：經(jīng)過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊．如圖②：在△ABC中，∵E是AB的中點，EF∥BC，∴F是AC的中點．請你運用所學知識，結(jié)合上述材料，解答下列問題．如圖③：在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD于O，E、F分別為AB、CD的中點，∠DBC＝30°．（1）求證：EF＝AC；（2）若OD＝3，OC＝5，求MN的長．15．問題提出（1）如圖1，在△ABC中，BC＝6，D是邊B