PAGEPAGE1第6講平行、垂直的綜合問(wèn)題[基礎(chǔ)題組練]1．如圖所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A-BCD，則在三棱錐A-BCD中，下列結(jié)論正確的是()A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC解析：選D.因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD.又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，則CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD?平面ADC，CD?平面ADC，故AB⊥平面ADC.又AB?平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.2．(2024·高考全國(guó)卷Ⅰ)已知∠ACB＝90°，P為平面ABC外一點(diǎn)，PC＝2，點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC，BC的距離均為eq\r(3)，那么P到平面ABC的距離為．解析：如圖，過(guò)點(diǎn)P分別作PE⊥BC交BC于點(diǎn)E，作PF⊥AC交AC于點(diǎn)F.由題意知PE＝PF＝eq\r(3).過(guò)P作PH⊥平面ABC于點(diǎn)H，連接HE，HF，HC，易知HE＝HF，則點(diǎn)H在∠ACB的平分線上，又∠ACB＝90°，故△CEH為等腰直角三角形．在Rt△PCE中，PC＝2，PE＝eq\r(3)，則CE＝1，故CH＝eq\r(2)，在Rt△PCH中，可得PH＝eq\r(2)，即點(diǎn)P到平面ABC的距離為eq\r(2).答案：eq\r(2)3．(2024·昆明市診斷測(cè)試)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PD⊥平面ABCD，AD＝BD＝6，AB＝6eq\r(2)，E是棱PC上的一點(diǎn)．(1)證明：BC⊥平面PBD；(2)若PA∥平面BDE，求eq\f(PE,PC)的值．解：(1)證明：由已知條件可知AD2＋BD2＝AB2，所以AD⊥BD.因?yàn)镻D⊥平面ABCD，所以PD⊥AD.又PD∩BD＝D，所以AD⊥平面PBD.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，所以BC∥AD，所以BC⊥平面PBD.(2)如圖，連接AC交BD于點(diǎn)F，連接EF，則EF是平面PAC與平面BDE的交線．因?yàn)镻A∥平面BDE，所以PA∥EF.因?yàn)镕是AC的中點(diǎn)，所以E是PC的中點(diǎn)，所以eq\f(PE,PC)＝eq\f(1,2).4．(2024·內(nèi)蒙古呼和浩特第一次質(zhì)量普查)如圖，平面四邊形ABCD中，AB⊥BD，AB＝BC＝CD＝2，BD＝2eq\r(2)，沿BD折起，使AC＝2eq\r(2).(1)證明：△ACD為直角三角形；(2)設(shè)B在平面ACD內(nèi)的射影為P，求四面體PBCD的體積．解：(1)證明：在Rt△ABD中，AB⊥BD，AB＝2，BD＝2eq\r(2)，所以AD＝eq\r(AB2＋BD2)＝eq\r(4＋8)＝2eq\r(3)，因?yàn)锳C＝2eq\r(2)，CD＝2，所以AC2＋CD2＝AD2，所以AC⊥CD，所以△ACD是直角三角形．(2)由(1)知CD⊥AC，易知CD⊥BC，因?yàn)锳C∩BC＝C，所以CD⊥平面ABC，又CD?平面ACD，所以平面ABC⊥平面ACD，其交線為AC，故過(guò)B點(diǎn)作AC的垂線，垂足為P，點(diǎn)P即為B在平面ACD內(nèi)的射影，易知P為AC的中點(diǎn)，所以四面體PBCD的體積VP-BCD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×1＝eq\f(2,3).5.(2024·福州市質(zhì)量檢測(cè))如圖，四棱錐E-ABCD，平面ABCD⊥平面ABE，四邊形ABCD為矩形，AD＝6，AB＝5，BE＝3，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE.(1)求證：AE⊥BE；(2)設(shè)M在線段DE上，且滿意EM＝2MD，試在線段AB上確定一點(diǎn)N，使得MN∥平面BCE，并求MN的長(zhǎng)．解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，所以BC⊥AB.因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ABE，平面ABCD∩平面ABE＝AB，且BC?平面ABCD，所以BC⊥平面ABE.又AE?平面ABE，所以BC⊥AE.因?yàn)锽F⊥平面ACE，AE?平面ACE，所以BF⊥AE.又因?yàn)锽C∩BF＝B，BC?平面BCE，BF?平面BCE，所以AE⊥平面BCE，因?yàn)锽E?平面BCE，所以AE⊥BE.(2)如圖，在△ADE中過(guò)M點(diǎn)作MG∥AD交AE于G點(diǎn)，在△ABE中過(guò)G點(diǎn)作GN∥BE交AB于N點(diǎn)，連接MN，因?yàn)镹G∥BE，NG?平面BCE，BE?平面BCE，所以NG∥平面BCE.同理可證，GM∥平面BCE.因?yàn)镸G∩GN＝G，所以平面MGN∥平面BCE，又因?yàn)镸N?平面MGN，所以MN∥平面BCE，因?yàn)镸點(diǎn)為線段DE上靠近D點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，所以N點(diǎn)為線段AB上靠近A點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)，AD＝6，AB＝5，BE＝3，所以MG＝eq\f(2,3)AD＝4，NG＝eq\f(1,3)BE＝1，所以MN＝eq\r(MG2＋NG2)＝eq\r(42＋12)＝eq\r(17).[綜合題組練]1．(2024·吉林長(zhǎng)春質(zhì)量監(jiān)測(cè)(二))四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，AB∥CD，∠BAD＝90°，CD＝2AB＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝eq\r(2)，M為PC中點(diǎn)．(1)求證：平面PBC⊥平面BMD；(2)求點(diǎn)B到平面PCD的距離．解：(1)證明：在直角梯形ABCD中，BD＝eq\r(3)，cos∠BDC＝cos∠DBA＝eq\f(\r(3),3)，在△BCD中，由余弦定理得BC＝eq\r(3)，由勾股定理得PD＝2，PB＝eq\r(3)，所以△PCD，△PCB是等腰三角形，所以PC⊥MD，PC⊥MB，因?yàn)镸D∩MB＝M，所以PC⊥平面MDB，因?yàn)镻C?平面PBC，所以平面PBC⊥平面BDM.(2)取PD的中點(diǎn)N，連接AN，MN，所以ANMB為平行四邊形，所以BM∥AN，BM＝AN＝1，因?yàn)镻A＝AD，所以AN⊥PD，又易知CD⊥平面PAD，AN?平面PAD，所以CD⊥AN，所以AN⊥平面PCD，所以BM⊥平面PCD，所以B到平面PCD的距離為1.2．(2024·鄭州市其次次質(zhì)量預(yù)料)如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD＝eq\f(π,3)，△PAD是等邊三角形，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，PD⊥BF.(1)求證：AD⊥PB；(2)若E在線段BC上，且EC＝eq\f(1,4)BC，能否在棱PC上找到一點(diǎn)G，使平面DEG⊥平面ABCD？若存在，求出三棱錐D-CEG的體積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解：(1)證明：連接PF，因?yàn)椤鱌AD是等邊三角形，所以PF⊥AD.因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形，∠BAD＝eq\f(π,3)，所以BF⊥AD.又PF∩BF＝F，所以AD⊥平面BFP，又PB?平面BFP，所以AD⊥PB.(2)能在棱PC上找到一點(diǎn)G，使平面DEG⊥平面ABCD.由(1)知AD⊥BF，因?yàn)镻D⊥BF，AD∩PD＝D，所以BF⊥平面PAD.又BF?平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面PAD，又平面ABCD∩平面PAD＝AD，且PF⊥AD，所以PF⊥平面ABCD.連接CF交DE于點(diǎn)H，過(guò)H作HG∥PF交PC于點(diǎn)G，所以GH⊥平面ABCD.又GH?平面DEG，所以平面DEG⊥平面ABCD.因?yàn)锳D∥BC，所以△DFH∽△ECH，所以eq\f(CH,HF)＝eq\f(CE,DF)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(CG,GP)＝eq\f(CH,HF)＝eq\f(1,2)，所以GH＝eq\f(1,3)PF＝eq\f(\r(3),3)，所以VD-CEG＝VG-CDE＝eq\f(1,3)S△CDE·GH＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)DC·CE·sineq\f(π,3)·GH＝eq\f(1,12).3．如圖(1)，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D為AC的中點(diǎn)，AE⊥BD于點(diǎn)E(不同于點(diǎn)D)，延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)F，將△ABD沿BD折起，得到三棱錐A1-BCD，如圖(2)所示．(1)若M是FC的中點(diǎn)，求證：直線DM∥平面A1EF；(2)求證：BD⊥A1F；(3)若平面A1BD⊥平面BCD，試推斷直線A1B與直線CD能否垂直？并說(shuō)明理由．解：(1)證明：因?yàn)镈，M分別為AC，F(xiàn)C的中點(diǎn)，所以DM∥EF，又EF?平面A1EF，DM?平面A1EF，所以DM∥平面A1EF.(2)證明：因?yàn)锳1E⊥BD，EF⊥BD且A1E∩EF＝E，所以BD⊥平面A1EF.又A1F?平面A1EF，所以BD⊥A1F.(3)