第九章第1講[A級基礎達標]1．(2021年玉林期末)直線y＝eq\r(3)x＋eq\f(\r(3),3)的傾斜角為()A．eq\f(5π,6) B．eq\f(2π,3)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,6)【答案】C2．(2021年眉山期末)過點P(eq\r(3)，－2eq\r(3))且傾斜角為135°的直線方程為()A．3x－y－4eq\r(3)＝0 B．x－y－eq\r(3)＝0C．x＋y－eq\r(3)＝0 D．x＋y＋eq\r(3)＝0【答案】D3．(2021年山河聯(lián)盟月考)若直線經過兩點A(2，－m)，B(－m,2m－1)且傾斜角為135°，則m的值為()A．2 B．eq\f(3,2)C．1 D．－eq\f(3,2)【答案】B4．已知函數(shù)f(x)＝asinx－bcosx(a≠0，b≠0)，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))，則直線ax－by＋c＝0的傾斜角為()A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(3π,4)【答案】D5．(2021年六安期末)如圖，在矩形ABCD中，BC＝eq\r(3)AB，直線AC的斜率為eq\f(\r(3),3)，則直線BC的斜率為()A．eq\r(3) B．eq\f(\r(3),2)C．eq\f(2\r(3),3) D．2eq\r(3)【答案】A6．(2021年沙坪壩區(qū)期末)(多選)如果AB＜0，BC＞0，那么直線Ax＋By＋C＝0經過()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】ACD【解析】因為直線Ax＋By＋C＝0，即y＝－eq\f(A,B)·x－eq\f(C,B)，因為AB＜0，BC＞0，所以直線的斜率－eq\f(A,B)＞0，在y軸上的截距－eq\f(C,B)＜0，故直線Ax＋By＋C＝0經過第一、三、四象限．故選ACD．7．(2021年山東實驗中學期末)(多選)過點P(2,3)，并且在兩軸上的截距相等的直線方程為()A．x＋y－5＝0 B．2x＋y－4＝0C．3x－2y＝0 D．4x－2y＋5＝0【答案】AC【解析】當直線經過原點時，直線的斜率為k＝eq\f(3,2)，所以直線的方程為y＝eq\f(3,2)x，即3x－2y＝0；當直線不過原點時，設直線的方程為x＋y＝a，代入點P(2，3)可得a＝5，所以所求直線方程為x＋y＝5，即x＋y－5＝0.綜上可得，所求直線方程為x＋y－5＝0或3x－2y＝0.故選AC．8．(2021年云南師大附中模擬)瑞士著名數(shù)學家歐拉在1765年證明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直線被后人稱為三角形的“歐拉線”．已知平面直角坐標系中△ABC各頂點的坐標分別為A(0,0)，B(8,0)，C(0,6)，則其“歐拉線”的方程為______________．【答案】3x－4y＝0【解析】由題設知，△ABC是直角三角形，則其垂心為直角頂點A(0,0)，其外心為斜邊BC的中點M(4,3)，故其重心在OM直線上，故其“歐拉線”的方程為直線AM的方程，為y＝eq\f(3,4)x，即3x－4y＝0.9．(2021年江西科技學院附中期末)若x＋eq\r(1－y2)＝0，則eq\f(y,x－2)的取值范圍為________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))【解析】若x＋eq\r(1－y2)＝0，則eq\r(1－y2)＝－x，則x2＋y2＝1(x≤0)，此方程表示的是圓心在原點，半徑為1的半圓，如圖所示，eq\f(y,x－2)的幾何意義是點(x，y)與點(2,0)所成直線的斜率，如圖，A(0,1)，B(0，－1)，P(2,0)，則kPA＝eq\f(1－0,0－2)＝－eq\f(1,2)，kPB＝eq\f(－1－0,0－2)＝eq\f(1,2)，故eq\f(y,x－2)的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))).10．(2021年合肥新東方學校月考)在平面直角坐標系中，平行四邊形ABCD的三個頂點坐標分別為A(0,0)，B(eq\r(3)，1)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)，0)).(1)求邊CD所在直線的方程(結果寫成一般式)；(2)證明平行四邊形ABCD為矩形，并求其面積．解：(1)因為平行四邊形ABCD的三個頂點坐標分別為A(0,0)，B(eq\r(3)，1)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4\r(3),3)，0))，故CD的斜率，即AB的斜率為eq\f(1－0,\r(3)－0)＝eq\f(\r(3),3)，故CD邊所在的直線方程為y－0＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4\r(3),3)))，即eq\r(3)x－3y－4＝0.(2)由于BC的斜率為eq\f(1－0,\r(3)－\f(4\r(3),3))＝－eq\r(3)，故BC和AB斜率之積等于－1，故AB和BC垂直，故平行四邊形ABCD為矩形．矩形ABCD的面積等于三角形ABC的面積的2倍，為2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(4\r(3),3)×1))＝eq\f(4\r(3),3).[B級能力提升]11．(2021年濟南模擬)函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1)的圖象恒過定點A，若點A在mx＋ny－1＝0(mn>0)上，則eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值為()A．2 B．4C．8 D．1【答案】B【解析】因為函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1)的圖象恒過定點A(1,1)，所以把A(1,1)代入直線方程得m＋n＝1(mn>0)．所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(1,n)))(m＋n)＝2＋eq\f(n,m)＋eq\f(m,n)≥2＋2eq\r(\f(n,m)·\f(m,n))＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當且僅當m＝n＝\f(1,2)時取等號成立))，所以eq\f(1,m)＋eq\f(1,n)的最小值為4.12．(2021年山東創(chuàng)新聯(lián)盟模擬)已知在直角坐標系中，等邊△ABC中A與原點重合，若AB的斜率為eq\f(\r(3),2)，則BC的斜率可能為()A．eq\f(\r(3),3) B．eq\f(\r(3),4)C．－eq\f(\r(3),5) D．eq\f(\r(3),2)【答案】C【解析】設AB的傾斜角α，BC的傾斜角β，則β＝α＋eq\f(π,3)或β＝eq\f(2π,3)＋α，tanα＝eq\f(\r(3),2)，當β＝α＋eq\f(π,3)時，tanβ＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝eq\f(\f(\r(3),2)＋\r(3),1－\f(\r(3),2)×\r(3))＝－3eq\r(3)，當β＝eq\f(2π,3)＋α時，tanβ＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(2π,3)))＝eq\f(\f(\r(3),2)－\r(3),1＋\f(\r(3),2)×\r(3))＝－eq\f(\r(3),5).故選C．13．(2021年濰坊期末)(多選)如圖，直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，傾斜角分別為α1，α2，α3，則下列選項正確的是()A．k1＜k3＜k2B．k3＜k2＜k1C．α1＜α3＜α2D．α3＜α2＜α1【答案】AD【解析】直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，傾斜角分別為α1，α2，α3，則k2＞k3＞0，k1＜0，故eq\f(π,2)＞α2＞α3＞0，α1>eq\f(π,2)，則α1>α2>α3.故選AD．14．(2021年南京月考)若正三角形的一條角平分線所在直線的斜率為2，那么這個正三角形中與該角平分線相鄰的兩條邊所在直線的斜率分別為________，________.【答案】－8＋5eq\r(3)－8－5eq\r(3)【解析】正三角形的一條角平分線所在直線的斜率為2，那么設這個正三角形中與該角平分線相鄰的兩條邊所在直線的斜率分別為k，m，且k＜m，則tan30°＝eq\f(\r(3),3)＝eq\f(k－2,1＋2k)＝eq\f(2－m,1＋2m)，解得k＝－8－5eq\r(3)，m＝－8＋5eq\r(3).15．已知直線l的方程為(m＋1)x＋y＋2－m＝0(m∈R)．(1)若直線l在兩坐標軸上的截距相等，求直線l的方程；(2)若直線l不過第二象限，求實數(shù)m的取值范圍．解：(1)當直線l過原點時，該直線在x軸和y軸上的截距都為零，顯然相等，所以m＝2滿足條件，此時直線l的方程為3x＋y＝0.當直線l不過原點時，若m＝－1，直線l為平行于x軸的直線，在x軸上無截距，不合題意；若m≠－1且m≠2，直線l在x軸上的截距為eq\f(m－2,m＋1)，在y軸上的截距為m－2，因此eq\f(m－2,m＋1)＝m－2，即m＋1＝1，得m＝0，此時直線l的方程為x＋y＋2＝0.綜上所述，直線l的方程為3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)將直線l的方程轉化為y＝－(m＋1)x＋m－2，因為直線l不過第二象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋1＞0，,m－2≤0，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－m＋1＝0，,m－2≤0，))解得m≤－1，所以實數(shù)m的取值范圍為(－∞，－1]．[C級創(chuàng)新突破]16．(多選)已知直線xsinα＋ycosα＋1＝0(α∈R)，則下列選項正確的是()A．直線的傾斜角是π－αB．無論α如何變化，直線不過原點C．無論α如何變化，直線總和一個定圓相切D．當直線和兩坐標軸都相交時，它和坐標軸圍成的三角形的面積不小于1【答案】BCD【解析】根據(jù)直線傾斜角的范圍為[0，π)，而π－α∈R，所以A不正確；當x＝y(tǒng)＝0時，xsinα＋ycosα＋1＝1≠0，所以直線必不過原點，故B正確；由點到直線的距離公式得原點到直線的距離為1，所以直線總和單位圓相切，故C正確；當直線和兩坐標軸都相交時，它和坐標軸圍成的三角形的面積為S＝eq\f(1,2)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,－sinα)))·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,－cosα)))＝eq\f(1,|sin2α|)≥1，所以D正確．故選BCD．17．(2021年內江期中)已知直線y＝eq\f(2a,a2＋1)x＋eq\f(1,a2＋1)與x軸交于A點，與y軸交于B點．(1)若a＜0，∠OAB＝eq\f(π,6)(O為坐標原點)，求a的值；(2)若a≥0，求直線l的傾斜角的取值范圍．解：(1)根據(jù)題意，直線y＝eq\f(2a,a2＋1)x＋eq\f(1,a2＋1)，其斜率k＝eq\f(2a,a2＋1)，在y軸上的截距為eq\f(1,a2＋1)，若a＜0，則k＜0，直線經過一、二、四象限，若∠OAB＝eq\f(π,6)，則直線的傾斜角為π－eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)，則有taneq\f(5π,6)＝eq\f(2a,a2＋1)＝－eq\f(\r(3),3)，變形可得a2＋2eq\r(3)a＋1＝0，解得a＝－eq\r(3)＋eq\r(2)或－eq\r(3)－eq\r(2)，故a＝－eq\r(3)＋eq\r(2)或－eq\r(3)－eq\r(2).(