第三章第4講[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．(2021年南平期末)冪函數(shù)f(x)＝(m2－3m＋3)xm2－6m＋6在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，則mA．1 B．2C．3 D．1或2【答案】A2．若函數(shù)f(x)＝4x2－ka－8在(－∞，5)上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為()A．(－24,40) B．[－24,40]C．(－∞，－24] D．[40，＋∞)【答案】D3．(2021年浙江模擬)已知f(x)＝x2－2021x，若f(m)＝f(n)，m≠n，則f(m＋n)等于()A．2021 B．－2021C．0 D．10021【答案】C4．(2021年大慶期中)若冪函數(shù)f(x)＝(2m2－6m＋5)x2m－3沒有零點(diǎn)，則f(A．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 B．關(guān)于x軸對(duì)稱C．關(guān)于y軸對(duì)稱 D．不具有對(duì)稱性【答案】A5．(2021年天津模擬)已知冪函數(shù)f(x)＝xα滿足2f(2)＝f(16)，若a＝f(log42)，b＝f(ln2)，c＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(1,2)))，則a，b，c的大小關(guān)系是()A．a(chǎn)＞c＞b B．a(chǎn)＞b＞cC．b＞a＞c D．b＞c＞a【答案】C6．(2021年重慶十八中期末)(多選)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋4(a＞0)，若x1＜x2，則()A．當(dāng)x1＋x2＞－2時(shí)，f(x1)＜f(x2)B．當(dāng)x1＋x2＝－2時(shí)，f(x1)＝f(x2)C．當(dāng)x1＋x2＞－2時(shí)，f(x1)＞f(x2)D．f(x1)與f(x2)的大小與a有關(guān)【答案】AB【解析】二次函數(shù)f(x)＝ax2＋2ax＋4(a＞0)的圖象開口向上，對(duì)稱軸為x＝－1.當(dāng)x1＋x2＝－2時(shí)，x1，x2關(guān)于x＝－1對(duì)稱，此時(shí)f(x1)＝f(x2)，選項(xiàng)B正確；當(dāng)x1＋x2＞－2時(shí)，x1與x2的中點(diǎn)大于－1，又x1＜x2，所以點(diǎn)x2到對(duì)稱軸的距離大于點(diǎn)x1到對(duì)稱軸的距離，所以f(x1)＜f(x2)，選項(xiàng)A正確，C錯(cuò)誤；顯然當(dāng)a＞0時(shí)，f(x1)與f(x2)的大小與a無關(guān)，選項(xiàng)D錯(cuò)誤．故選AB．7．(多選)已知函數(shù)f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是冪函數(shù)，對(duì)任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，滿足eq\f(fx1－fx2,x1－x2)＞0.若a，b∈R，且f(a)＋f(b)的值為負(fù)值，則下列結(jié)論可能成立的有()A．a(chǎn)＋b＞0，ab＜0 B．a(chǎn)＋b＜0，ab＞0C．a(chǎn)＋b＜0，ab＜0 D．a(chǎn)＋b＞0，ab＞0【答案】BC【解析】由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－m－1＝1，,m2＋m－3＞0，))解得m＝2，所以f(x)＝x3.因?yàn)閒(a)＋f(b)＝a3＋b3＝(a＋b)·(a2－ab＋b2)的值為負(fù)值，若A成立，則f(a)＋f(b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＞0，不滿足題意；若B成立，則f(a)＋f(b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,2)))2＋\f(3b2,4)))＜0，滿足題意；若C成立，則f(a)＋f(b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＜0，滿足題意；若D成立，則f(a)＋f(b)＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(b,2)))2＋\f(3b2,4)))＞0，不滿足題意．故選BC．8．(2021年清遠(yuǎn)模擬)已知點(diǎn)(4,2)在冪函數(shù)y＝f(x)的圖象上，則不等式f(x)≥3的解集為________．【答案】[9，＋∞)9．(2021年浙江模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋a(a≠0)．若f(x)＞0恒成立，則eq\f(b,a)的取值范圍是________．【答案】(－2,2)【解析】若f(x)＞0恒成立，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＞0，,b2－4a2＜0，))所以－2a＜b＜2a，所以－2＜eq\f(b,a)＜2.10．(2021年上海期末)已知函數(shù)f(x)＝x2＋2ax－a＋2.(1)若對(duì)于任意x∈R，f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若對(duì)于任意x∈[－1,1]，f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)若對(duì)于任意a∈[－1,1]，f(x)＞0成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．解：(1)f(x)＝x2＋2ax－a＋2≥0恒成立，可得Δ＝4a2－4(2－a)≤0，解得－2≤a≤即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－2,1]．(2)若對(duì)于任意x∈[－1,1]，f(x)≥0恒成立，則f(x)min≥0.f(x)＝x2＋2ax－a＋2的對(duì)稱軸為x＝－a.當(dāng)－a＜－1，即a＞1時(shí)，f(x)min＝f(－1)＝3－3a≥0，解得a≤當(dāng)－a＞1，即a＜－1時(shí)，f(x)min＝f(1)＝3＋a≥0，可得－3≤a＜－1.當(dāng)－1≤－a≤1，即－1≤a≤1時(shí)，f(x)min＝f(－a)＝－a2－a＋2≥0，可得－1≤a≤1.綜上所述，求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－3,1]．(3)對(duì)于任意a∈[－1,1]，f(x)＞0成立，等價(jià)于對(duì)于任意a∈[－1,1]，g(a)＝(2x－1)a＋x2＋2＞0，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(g－1＝x2－2x＋3＞0，,g1＝x2＋2x＋1＞0，))解得x≠－1，所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)．[B級(jí)能力提升]11．(2021年杭州模擬)已知二次函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，若f(x2＋2x－1)＝0有四個(gè)不同的根x1＜x2＜x3＜x4，且x1，x2，x3，x4成等差數(shù)列，則a－b不可能是()A．0 B．1C．2 D．3【答案】D【解析】設(shè)f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)為m，n，不妨設(shè)x1，x4為x2＋2x－1－n＝0的兩根，x2，x3為x2＋2x－1－m＝0的兩根，則x1＋x4＝x2＋x3＝－2，x1x4＝－1－n，x2x3＝－1－m.又因?yàn)閙，n為f(x)＝x2＋ax＋b的零點(diǎn)，所以－a＝m＋n，b＝mn，所以a－b＝－m－n－mn＝1－(1＋m)(1＋n)＝1－x1x2x3x4.由x1，x2，x3，x4成等差數(shù)列，設(shè)x1＝1－3d，x2＝1－d，x3＝1＋d，x4＝1＋3d，則a－b＝1－(1－3d)(1－d)(1＋d)(1＋3d)＝10d2－9d4＝－9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(d2－\f(5,9)))2＋eq\f(25,9)，所以a－b的最大值為eq\f(25,9)，故D選項(xiàng)不符合．故選D．12．(2021年濟(jì)南期末)(多選)若函數(shù)f(x)＝－x2＋2ax(a∈Z)在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[3,4]上單調(diào)遞減，則a的可能取值為()A．4 B．3C．2 D．1【答案】BCD【解析】f(x)＝－x2＋2ax的圖象開口向下，對(duì)稱軸為x＝a，因?yàn)閒(x)＝在[0,1]上單調(diào)遞增，在[3,4]上單調(diào)遞減，所以1≤a≤3.又a是整數(shù)，所以a的可能取值為1,2,3.故選BCD．13．(2021年衢州月考)(多選)已知冪函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m＋\f(9,5)))xm，則下列結(jié)論正確的有()A．f(－32)＝eq\f(1,16)B．f(x)的定義域是RC．f(x)是偶函數(shù)D．不等式f(x－1)≥f(2)的解集是[－1,1)∪(1,3]【答案】ACD【解析】由題意可知m＋eq\f(9,5)＝1，所以m＝－eq\f(4,5)，所以f(x)＝x－eq\f(4,5)，定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤．因?yàn)閒(－32)＝(－32)－eq\f(4,5)＝eq\f(1,16)，故選項(xiàng)A正確．因?yàn)閒(－x)＝eq\f(1,\r(5,－x4))＝eq\f(1,\r(5,x4))＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù)，故選項(xiàng)C正確．因?yàn)閒(x)＝x－eq\f(4,5)，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，在(－∞，0)上單調(diào)遞增，所以f(x－1)≥f(2)等價(jià)于f(|x－1|)≥f(2)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1≠0，,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x－1))≤2，))解得－1≤x＜1或1＜x≤3，故選項(xiàng)D正確．故選ACD．14．(2021年日照模擬)已知a，b，c為正整數(shù)，方程ax2＋bx＋c＝0的兩實(shí)根為x1，x2(x1≠x2)，且|x1|＜1，|x2|＜1，則a＋b＋c的最小值為________．【答案】11【解析】因?yàn)閍，b，c為正整數(shù)，所以x1＋x2＝－eq\f(b,a)＜0，x1x2＝eq\f(c,a)＞0.又|x1|＜1，|x2|＜1，所以x1，x2∈(－1,0)，令f(x)＝ax2＋bx＋c，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac＞0，,f－1＝a－b＋c＞0，,f0＝c＞0，,－1＜－\f(b,2a)＜0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2－4ac＞0，,b＜a＋c，,b＜2a.))①因?yàn)閍，b，c為正整數(shù)，取c＝1，則a＋1＞b，所以a≥b，所以a2≥b2＞4ac＝4a，所以a＞4，所以a≥5，所以b2＞4ac≥20，所以b≥5，當(dāng)a＝b＝5，c＝1時(shí)，符合①式，即符合題意，此時(shí)a＋b＋c＝11.當(dāng)c≥2時(shí)，因?yàn)閤1，x2∈(－1,0)，所以x1x2＝eq\f(c,a)＜1，所以c＜a，所以a≥3，所以b2＞4ac≥24，所以b≥5，又a＋c＞b≥5，所以a＋c≥6，所以a＋b＋c≥11.綜上，a＋b＋c最小值為11.15．(2021年晉中月考)已知二次函數(shù)f(x)滿足f(x)＝f(－4－x)，f(0)＝3，若x1，x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，且|x1－x2|＝2.(1)求f(x)的解析式；(2)若x>0，求g(x)＝eq\f(x,fx)的最大值．解：(1)因?yàn)槎魏瘮?shù)滿足f(x)＝f(－4－x)，所以f(x)的圖象的對(duì)稱軸為直線x＝－2.因?yàn)閤1，x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，且|x1－x2|＝2，又x1＋x2＝－2x2＝－4，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－3，,x2＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－1，,x2＝－3.))設(shè)f(x)＝a(x＋3)(x＋1)(a≠0)．由f(0)＝3a＝3，得a＝1.所以f(x)＝x2＋4x(2)由(1)，得g(x)＝eq\f(x,fx)＝eq\f(x,x2＋4x＋3)＝eq\f(1,x＋\f(3,x)＋4)(x>0)．因?yàn)閤>0，所以eq\f(1,x＋\f(3,x)＋4)≤eq\f(1,4＋2\r(3))＝1－eq\f(\r(3),2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(3,x)，即x＝eq\r(3)時(shí)等號(hào)成立．所以g(x)的最大值是1－eq\f(\r(3),2).[C級(jí)創(chuàng)新突破]16．(2021年北京八中期末)已知集合A是滿足下列條件的函數(shù)f(x)的全體：在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x0，使得f(x0＋1)＋f(x0)＝f(1)成立．(1)判斷冪函數(shù)f(x)＝x－1是否屬于集合A，并說明理由；(2)設(shè)g(x)＝lg(2x＋a)，x∈(－∞，1)，若g(x)∈A，求a的取值范圍．解：(1)f(x)∈A，理由如下：令f(x＋1)＋f(x)＝f(1)，則eq\f(1,x＋1)＋eq\f(1,x)＝1，即x2－x－1＝0，解得x1＝eq\f(1－\r(5),2)，x2＝eq\f(1＋\r(5),2)，均滿足定義域{x|x≠0}，所以當(dāng)f(x)＝x－1時(shí)，f(x)∈A．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜1，,x＋1＜1，)