向量綜合創(chuàng)新小題微專題

（教師版）

母題：1.（05年江蘇高考題）在AABC中，O為中線AM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AM=2,

則OA-（OB+OC}的最小值是:

答案：-2

分析：突破口關(guān)鍵在于AM為AABC的中線，可得

OA-（OB+OC）=2（OA-血），從而把不共線向量數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為共線向量數(shù)量

積的問題.

解法1：因?yàn)锳M為AA8C的中線，.?.0+歷=2方,

OA-{OB+OC）=2（/?OM）=2OAOMcos兀=-20A0M,

—.—.0A+0M1_.2—.—.—.

又0A0M<（---------）2=-AM=1,OA-{OB+OC）>-2.

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分析突破口：應(yīng)用向量的基本運(yùn)算把不共線的數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為共線的或者易求的數(shù)量積問

題，從而達(dá)到解決問題的目的，此類問題可借助建立直角坐標(biāo)系的方法，降低問題的難度.

解法2：以M為原點(diǎn)，AM所在直線為y軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系.

設(shè)A(0,2),0(0,z),B(x,y),C(-x,-y),則

0A=(0,2—z),OB=(x,y—*,0C=(—x,—y—z),

OB+OC=(0-2z)(0<z<2),

而?(為+而)=(2—2)(—2z)=2(z-I)2-2,

OA-(OB+~0C｝的最小值為2

變式1：在八43。中，M是BC的中點(diǎn)，AM=3,BC=10,貝"夕?AC=

答案：-16

分析：因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，所以BM=CM=5,

A3.衣=（AM++MC）=（AM-'BM）（AM+MC）

--------*2-------*-21,

=AM-BM=32-52=-16

變式2：如圖所示，在A43C中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC

于不同的兩點(diǎn)M、N,若AB=mAM,AC=“AN,則m+n的值為..

A

答案：2

--1-?--

解析：因?yàn)閛是BC的中點(diǎn)，?,?A°=5（AB+AC）

又因?yàn)檐?加而^而?=〃俞，???AOnjAM+jAN

mn_

又M、0、N三點(diǎn)共線，二二+二■=1，則m+n=2.

變式3:已知AA3C中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于M、N

,------------

兩點(diǎn)，若4?=441/葭>0),AC=>0),則不十一的最小值是:

…9

答案：一

2

解析：由題意得，AB+AC=2AO=AAM+RAN,

—>—>—>

---A0=3AM+fAN,又0、M、N三點(diǎn)共線，

乙乙

.?，+幺=1

22'

522+"+2'

-----1-------

2〃2422’

當(dāng)且僅當(dāng)22=〃時(shí)取等號.

變式4:在A4BC中，記力。=a,AB=b,AM=ma,AN=nb,AP=aa+/3b,

a0

其中九〃,。,尸均為實(shí)數(shù)，相￥0,〃70,若乂、P、N三點(diǎn)共線，則一+一=

mn1

答窠：1

解析：由M、p、N三點(diǎn)共線可得礪=XPN,AP-AM=-AP)

(1+X)AP=AM+^AN,

AM+714VinA.n

即"=+-----

1+A1+41+A

rU=------

--?,J1+4a/3_14

因?yàn)?。，。不共線，??加,—+—=-----+------=1

P=~~r

1+4mn1+A1+A

考點(diǎn)分析:考查向量的基本運(yùn)算把不共線的平面向量數(shù)量積問題轉(zhuǎn)化為共線的或者是易求得

數(shù)量積問題，能借助直角坐標(biāo)系降低解決問題的門檻，同時(shí)可以借助圖形數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為幾

何問題。

考高預(yù)測：平面向量數(shù)量積問題，三點(diǎn)共線問題、和平面向量的運(yùn)算的最值問題。

母題2：在平面坐標(biāo)系xOy中，

已知點(diǎn)4(T,-2),3(2,3),C(-2,-1).

(1)求以線段48,4C為鄰邊的平行四邊形的兩條對角線的長；

(2)設(shè)實(shí)數(shù)r滿足—求力的值.

分析：對于(1),焦點(diǎn)主要是要不要求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，還是用向量AB,AC表示對角線

所對應(yīng)的向量.對于(2),焦點(diǎn)主要是坐標(biāo)代人運(yùn)算還是用運(yùn)算法則.

變式1：在問題2的條件下，設(shè)/leR,當(dāng)IAB-/IACI最小時(shí)，求人的值.

分析：將\AB-AAC\平方后轉(zhuǎn)化為關(guān)于幾的二次函數(shù)

|AB-2.AC|2=2(2-1)2+32^32,當(dāng)且僅當(dāng)<=1時(shí)，|AB-/L4cl取得最小值4&.

解法2：可以從研究向量A8-/UC的幾何意義入手解決，如圖，要使|A8-2AC|

取得最小值，只有向量A8-2AC與AC垂直就可以了，解題速度會(huì)快很多，即:

(AS-2AC)AC=0,A=1.

變式2:在平行四邊形ABCZ)中，AC=(l,2),BO=(-3,2),求AO-AC.

分析：用向量表示AC/。，BPAC=AB+AD,BD=AD-AB,很快求得

AD=(-1,2),從而A?AC=(—1,2).(L2)=3.

變式3:若a,b,c均為單位向量，且a?b=0,(a—c>S—c)W0,求|a+〃一c|的

3公+b

最大值。

解法：由eb=O,把問題置于直角坐標(biāo)系中舉行研究，不妨設(shè)

a=(l,O),b=(O,l),c=(x,y),由(a—c>S—c)W0,代入可化簡得(x—)~+(y—W—，且

222

x2+y2=1,向量c在如圖所示的圓弧AB上運(yùn)動(dòng)，又向量OQ=a+6=(1,1),可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)點(diǎn)

C與A或B重合時(shí)，+=的最大值為1.

鞏固練習(xí):

1、在邊長為3的正△ABC中，BC=2BD,CA=3CE,求

解法1：選擇向量AB,AC為基底，將AO,8E用A8,AC表示進(jìn)行計(jì)算;

解法2：以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC和AD分別為x軸和y軸，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算進(jìn)

行計(jì)算；

解法3：用投影法，將向量8E投影到向量AP,利用幾何意義進(jìn)行計(jì)算.

變式1“在等腰AABC中，BC=2BD,且|BC|=3,M是線段AD上任一點(diǎn)，求

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BMBC.M用投影法，BM-BCBC\\BM\cosZMBD^BC\\BD\=3x-=-.

22

變式2“在邊長為3的正△ABC中，BC=3BD,求

仿問題3建系的方法，=

22222

變式3已知點(diǎn)O為AABC的外心，且|AC|=4,?=2,求AO-3C的值.

分析：這個(gè)問題一點(diǎn)也不難，把AABC特殊成直角三角形，外心O就是斜邊BC的中

點(diǎn)，易得AO-8C=AO-1(AC-A8)=6.問題1已知|a|=2,|6|=4,向量a與方的夾角

2

60°,求a-e-a)的值.

a(b-a)=ab-a2=0

說明：向量數(shù)量積的公式:ab=\a\\b\cos0.

2、已知|〃|=2,|加=4,向量。與b的夾角60°,求〃?(5—。)的值.

a(b-a)=ab-a2=0

說明：向量數(shù)量積的公式：a-b=\a\'\b\cos0.

變式1：已知|a|=2,|)|=4,且向量。與萬一。垂直，求向量。與方夾角.

將公式變形，cos0=a=------=—,由0W6這萬，向量。與力夾角為60°.

\a\-\b\\a\-\b\2

說明：此解法實(shí)際上給出了求兩個(gè)向量夾角的具體方法.

變式2已知|0|=2,|萬|=4,向量。與5的夾角60°,求向量。與2a一5的夾角.

解法1：用變題1的方法，先求出12a一例=4和〃與2a—b的。?(2a-㈤=4,再用公式

求出其夾角為60。.

解法2：根據(jù)題意畫了一張圖，發(fā)現(xiàn)向量2a,?和2a—b恰好構(gòu)成一個(gè)正三角形,

很快就求出來了.同時(shí)根據(jù)這個(gè)圖還可以求出向量Q與2a+b的夾角為30°.

說明：數(shù)學(xué)結(jié)合的方法開闊了我們的思路，借助于平面幾何知識的確可以快速解題，也

說明我們掌握了向量的本質(zhì).解法1恰好完成了問題''已知|a|=l,g|=3,向量a與分夾角

120°,貝恤一臼=

變式3已知|a|=2,|6|=4,向量a與b的夾角60°,若向量依+b,a—%夾角為鈍角，

求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

分析：根據(jù)(履+6)-(。-26)<0,解得后>-7.此外，還要考慮到這兩個(gè)向量是否同向

共線，要加上上*-'.

2

說明：事實(shí)上從向量數(shù)量積公式中我們可以知道，向量a,6的夾角為銳角或鈍角，都

要考慮a,b不共線.

變式4在直角AABC中，NA=90°,D為斜邊BC的中點(diǎn),AB=2,AC=4,求.

解法1：將向量分解成AZ>=g(A8+AC)或建立直角坐標(biāo)系來求解.

解法2：如圖，過D作AB的垂線DE,則=

|AB|.(IAD\cosZDAB)=\AB\-\AE\=2x[=2.

說明：解法2的想法太妙了，對平面向量數(shù)量積的公式的本質(zhì)理解了，事實(shí)上這種方法

稱為投影法，它可以把兩個(gè)向量投影到一個(gè)向量上，用長度來計(jì)算，當(dāng)然還需要觀察兩個(gè)向

量的夾角是銳角還是鈍角，以確定符號.

3、已知向量a,Lc滿足H=W=a%=2，(a-c>(B-2c)=0,則B-c的最小值為

()

解：：a=%=af=2,(a-c)-(3-2c)=0,設(shè)0(0,0),A(1,V3),B(2,0),C(x,y),

由(Z二)?區(qū)-2石=0,得(1-x)(2—2x)+(百一。)(一2曠)=0整理得方程C的曲線是個(gè)

圓，設(shè)圓心為k,半徑為r,即(》一1)2+(丁—且)2=0,k=(\,—),r=—,則3—1的

2422

V7—V3

最小值為BC-R,即、(2—+(0-

2

....2

4、在AABC中(BC+AC=AC，則4ABC的形狀一定是()

I2Trr|

解：由(就+麗?互=而一,得'AC-(BC+BA-^C)=0,即

AC(BC+BA+CA)^0,2AC-1BA^0,:.ACJ.BA,A=90,又根據(jù)已知條件不能得

到詬=就，故4ABC一定是直角三角形

5、設(shè)a=(ai,a2),b=(biM).定義一種向量積a③2=(aibi,a2b2).已知向量

/〃=(2,：),〃=(7,0),點(diǎn)P(x,y)在y二sinx的圖象上運(yùn)動(dòng),Q是函數(shù)y二f(x)圖象上

/0

的點(diǎn)，且滿足而=m?0P+n(其中0為坐標(biāo)原點(diǎn))，則函數(shù)y=f(x)的