2023九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章一元二次方程6應(yīng)用一元二次方程第2課時(shí)利用一元二次方程解決經(jīng)濟(jì)問題教學(xué)實(shí)錄（新版）北師大版科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級(jí)、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）2023九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章一元二次方程6應(yīng)用一元二次方程第2課時(shí)利用一元二次方程解決經(jīng)濟(jì)問題教學(xué)實(shí)錄（新版）北師大版教學(xué)內(nèi)容本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容為北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章一元二次方程6應(yīng)用一元二次方程第2課時(shí)，主要內(nèi)容包括：通過實(shí)際問題引入一元二次方程，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用一元二次方程解決經(jīng)濟(jì)問題，如利潤(rùn)、成本、投資等。具體內(nèi)容包括：一元二次方程的應(yīng)用，一元二次方程的解法，一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用案例。核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)。通過解決經(jīng)濟(jì)問題，學(xué)生能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，提高運(yùn)用一元二次方程解決實(shí)際問題的能力。同時(shí)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)和交流的能力，增強(qiáng)邏輯推理和問題解決意識(shí)。此外，通過實(shí)際案例的分析，提高學(xué)生數(shù)據(jù)分析的能力，為后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)。

學(xué)生在進(jìn)入本節(jié)課之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了代數(shù)基本概念，掌握了一元二次方程的基本解法，包括配方法、公式法和因式分解法。此外，學(xué)生對(duì)正比例和反比例函數(shù)的性質(zhì)和圖像也有一定的了解，這為理解一元二次方程在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用奠定了基礎(chǔ)。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格。

九年級(jí)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)仍然保持著較高的興趣，尤其對(duì)解決實(shí)際問題感興趣。他們的數(shù)學(xué)能力已經(jīng)具備一定的抽象思維和邏輯推理能力，能夠通過觀察和實(shí)驗(yàn)來理解數(shù)學(xué)概念。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，部分學(xué)生可能更傾向于通過具體實(shí)例來學(xué)習(xí)，而另一部分學(xué)生可能更喜歡抽象的邏輯推導(dǎo)。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)。

學(xué)生在解決一元二次方程應(yīng)用問題時(shí)，可能會(huì)遇到以下困難：一是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力不足，二是理解方程與實(shí)際問題的對(duì)應(yīng)關(guān)系，三是應(yīng)用方程解決復(fù)雜問題時(shí)缺乏策略。此外，學(xué)生在進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算時(shí)，可能會(huì)因?yàn)橛?jì)算錯(cuò)誤或理解偏差而難以找到正確的答案。因此，教師需要提供適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)和支持，幫助學(xué)生克服這些挑戰(zhàn)。教學(xué)方法與策略1.教學(xué)方法：采用講授法結(jié)合案例研究法，通過講解一元二次方程的基本概念和解決經(jīng)濟(jì)問題的方法，引導(dǎo)學(xué)生理解并應(yīng)用。

2.教學(xué)活動(dòng)：設(shè)計(jì)角色扮演活動(dòng)，讓學(xué)生扮演不同的經(jīng)濟(jì)角色，如賣家、買家、投資者等，通過模擬交易場(chǎng)景，讓學(xué)生在實(shí)踐中理解一元二次方程的應(yīng)用。

3.教學(xué)媒體：利用多媒體課件展示一元二次方程的應(yīng)用實(shí)例，結(jié)合動(dòng)畫和圖表，幫助學(xué)生直觀理解方程與實(shí)際問題的關(guān)系，同時(shí)使用實(shí)物教具如計(jì)算器，讓學(xué)生在操作中鞏固計(jì)算技能。教學(xué)過程一、導(dǎo)入新課

（教師）同學(xué)們，今天我們來學(xué)習(xí)第二章的一元二次方程6應(yīng)用一元二次方程第2課時(shí)，這一節(jié)課我們將探討如何利用一元二次方程解決經(jīng)濟(jì)問題。

（學(xué)生）好的，老師。

二、新課導(dǎo)入

（教師）首先，回顧一下我們之前學(xué)過的一元二次方程的基本知識(shí)，包括它的定義、解法等。

（學(xué)生）一元二次方程是形如ax^2+bx+c=0的方程，其中a、b、c是常數(shù)，且a≠0。解一元二次方程的方法有配方法、公式法和因式分解法。

（教師）非常好，接下來，我們將通過一個(gè)實(shí)際問題來引入一元二次方程在經(jīng)濟(jì)問題中的應(yīng)用。

三、新課講授

（教師）同學(xué)們，請(qǐng)看這樣一個(gè)案例：某商店銷售一種商品，售價(jià)為每件100元，成本為每件60元。為了促銷，商店決定對(duì)每件商品給予10%的折扣。請(qǐng)問，如果商店要保證每件商品的利潤(rùn)至少為10元，那么每天至少需要銷售多少件商品？

（學(xué)生）這個(gè)問題可以通過一元二次方程來解決。設(shè)每天銷售的件數(shù)為x，則每件商品的售價(jià)為100元的90%，即90元。因此，每件商品的利潤(rùn)為90-60=30元。要保證每件商品的利潤(rùn)至少為10元，我們可以建立以下方程：

30x-10x=10

（教師）很好，同學(xué)們已經(jīng)能夠?qū)?shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型。接下來，我們解這個(gè)方程。

（學(xué)生）將方程簡(jiǎn)化得：

20x=10

x=10/20

x=0.5

（教師）解得x=0.5，這意味著每天至少需要銷售0.5件商品。但是，商品的數(shù)量不能是小數(shù)，所以我們需要向上取整，即至少需要銷售1件商品。

四、鞏固練習(xí)

（教師）同學(xué)們，現(xiàn)在我們來做一些練習(xí)題，鞏固一下所學(xué)知識(shí)。

（學(xué)生）好的。

（教師）請(qǐng)看以下問題：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為50元，售價(jià)為每件100元。為了提高銷量，工廠決定降低售價(jià)，每降低1元，銷量增加20件。請(qǐng)問，為了使工廠的利潤(rùn)達(dá)到最大，應(yīng)該將售價(jià)降低多少元？

（學(xué)生）設(shè)售價(jià)降低x元，則售價(jià)變?yōu)?00-x元，銷量變?yōu)?0x件。每件產(chǎn)品的利潤(rùn)為(100-x)-50=50-x元。因此，總利潤(rùn)為(50-x)×(20x)。

（教師）很好，現(xiàn)在我們解這個(gè)一元二次方程。

（學(xué)生）將總利潤(rùn)表達(dá)式展開得：

1000x-20x^2

為了使利潤(rùn)最大，我們需要找到這個(gè)二次函數(shù)的最大值。由于二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，這是一個(gè)開口向下的拋物線，其最大值在對(duì)稱軸上取得。

（教師）很好，對(duì)稱軸的公式是x=-b/2a，其中a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)。在這個(gè)例子中，a=-20，b=1000，我們可以計(jì)算出對(duì)稱軸的位置。

（學(xué)生）對(duì)稱軸的位置是x=-1000/(2×(-20))=25。

（教師）解得x=25，這意味著工廠應(yīng)該將售價(jià)降低25元。

五、課堂小結(jié)

（教師）同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)了如何利用一元二次方程解決經(jīng)濟(jì)問題。通過實(shí)際案例的講解和練習(xí)，我們掌握了將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的方法，并學(xué)會(huì)了如何解一元二次方程。

（學(xué)生）是的，老師，我們學(xué)到了很多。

六、布置作業(yè)

（教師）請(qǐng)同學(xué)們課后完成以下作業(yè)：

1.閱讀教材相關(guān)內(nèi)容，復(fù)習(xí)一元二次方程的基本知識(shí)。

2.完成教材中的例題和練習(xí)題，鞏固所學(xué)知識(shí)。

3.選擇一個(gè)實(shí)際的經(jīng)濟(jì)問題，嘗試運(yùn)用一元二次方程進(jìn)行解決。

（學(xué)生）好的，老師，我們明白了。拓展與延伸一、拓展閱讀材料

1.《一元二次方程在經(jīng)濟(jì)決策中的應(yīng)用》

本篇文章深入探討了一元二次方程在經(jīng)濟(jì)決策中的應(yīng)用，包括成本分析、銷售預(yù)測(cè)、利潤(rùn)最大化等。通過具體的案例分析，讀者可以更好地理解一元二次方程在經(jīng)濟(jì)問題中的實(shí)際應(yīng)用。

2.《一元二次方程在工程中的應(yīng)用》

這篇文章介紹了如何將一元二次方程應(yīng)用于工程領(lǐng)域，如橋梁設(shè)計(jì)、建筑設(shè)計(jì)等。通過實(shí)際案例，展示了如何使用一元二次方程來解決工程中的復(fù)雜問題。

二、課后自主學(xué)習(xí)和探究

1.閱讀相關(guān)教材章節(jié)，深入理解一元二次方程的基本概念和解法。

2.通過網(wǎng)絡(luò)或圖書館資源，尋找更多關(guān)于一元二次方程在實(shí)際生活中的應(yīng)用案例，如經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)、生物學(xué)等領(lǐng)域的應(yīng)用。

3.選擇一個(gè)與一元二次方程相關(guān)的實(shí)際問題，如房?jī)r(jià)預(yù)測(cè)、產(chǎn)品庫(kù)存管理等，嘗試自己建立數(shù)學(xué)模型，并求解方程。

4.結(jié)合一元二次方程的性質(zhì)，探討其在不同領(lǐng)域中的應(yīng)用，如優(yōu)化問題、資源分配問題等。

5.通過小組討論或線上論壇，與同學(xué)們分享你在自主學(xué)習(xí)和探究過程中遇到的難題和解決方法，共同進(jìn)步。

三、拓展知識(shí)點(diǎn)

1.一元二次方程的根的判別式

根據(jù)判別式△=b^2-4ac的值，可以判斷一元二次方程根的性質(zhì)：

-當(dāng)△>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。

-當(dāng)△=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根（重根）。

-當(dāng)△<0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)根，只有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根。

2.一元二次方程的求解方法

除了配方法、公式法和因式分解法之外，還可以使用求根公式、圖像法等方法來求解一元二次方程。

3.一元二次方程的應(yīng)用領(lǐng)域

一元二次方程在經(jīng)濟(jì)、工程、物理、生物等多個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，如成本分析、優(yōu)化問題、曲線擬合等。

4.一元二次方程的圖像

一元二次方程的圖像是一個(gè)拋物線，其開口方向由二次項(xiàng)系數(shù)a的正負(fù)決定。通過分析拋物線的形狀和位置，可以更好地理解一元二次方程的解的性質(zhì)。

5.一元二次方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用案例

通過分析實(shí)際問題，如房?jī)r(jià)預(yù)測(cè)、產(chǎn)品庫(kù)存管理、投資收益等，將一元二次方程應(yīng)用于解決實(shí)際問題，提高學(xué)生的應(yīng)用能力。

四、實(shí)踐項(xiàng)目

1.設(shè)計(jì)一個(gè)模擬投資項(xiàng)目的案例，讓學(xué)生根據(jù)實(shí)際情況建立一元二次方程，并求解最佳投資策略。

2.組織一次班級(jí)比賽，讓學(xué)生以小組為單位，收集現(xiàn)實(shí)生活中的一元二次方程應(yīng)用案例，并進(jìn)行分析和解決。

3.邀請(qǐng)相關(guān)領(lǐng)域的專家或教授進(jìn)行講座，分享一元二次方程在特定領(lǐng)域中的應(yīng)用和研究成果。反思改進(jìn)措施反思改進(jìn)措施（一）教學(xué)特色創(chuàng)新

1.案例教學(xué)法：我在本節(jié)課中采用了案例教學(xué)法，通過實(shí)際的經(jīng)濟(jì)問題引入一元二次方程的應(yīng)用，讓學(xué)生在實(shí)際情境中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，這種教學(xué)方法能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高他們的實(shí)踐能力。

2.多媒體輔助教學(xué)：我使用了多媒體課件和動(dòng)畫，將抽象的數(shù)學(xué)概念具體化，幫助學(xué)生更好地理解一元二次方程的應(yīng)用，這種教學(xué)手段能夠提高教學(xué)效果。

反思改進(jìn)措施（二）存在主要問題

1.學(xué)生基礎(chǔ)差異：由于學(xué)生之間的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)存在差異，部分學(xué)生在理解一元二次方程的應(yīng)用時(shí)遇到了困難。這需要我在今后的教學(xué)中更加注重個(gè)別輔導(dǎo)，針對(duì)不同學(xué)生的學(xué)習(xí)情況提供差異化的教學(xué)支持。

2.教學(xué)互動(dòng)不足：在課堂互動(dòng)方面，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生的參與度不夠高，有時(shí)候課堂氣氛較為沉悶。這可能是因?yàn)槲覜]有充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，今后我需要在設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng)時(shí)更加注重學(xué)生的參與和互動(dòng)。

3.評(píng)價(jià)方式單一：目前我主要依靠課堂表現(xiàn)和作業(yè)完成情況來評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，這種評(píng)價(jià)方式較為單一，今后我計(jì)劃引入更多的評(píng)價(jià)方式，如小組合作評(píng)價(jià)、自我評(píng)價(jià)等，以更全面地評(píng)估學(xué)生的學(xué)習(xí)成果。

反思改進(jìn)措施（三）

1.加強(qiáng)個(gè)別輔導(dǎo)：針對(duì)學(xué)生基礎(chǔ)差異的問題，我將在今后的教學(xué)中更加注重個(gè)別輔導(dǎo)，為不同層次的學(xué)生提供相應(yīng)的學(xué)習(xí)資源和方法指導(dǎo)。

2.提高課堂互動(dòng)：為了提高課堂互動(dòng)，我計(jì)劃在教學(xué)中設(shè)計(jì)更多的問題和討論環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生積極參與，同時(shí)也會(huì)使用一些教學(xué)技巧，如小組討論、角色扮演等，以活躍課堂氣氛。

3.豐富評(píng)價(jià)方式：為了更全面地評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，我將在今后的教學(xué)中引入多元化的評(píng)價(jià)方式，包括課堂表現(xiàn)、小組合作、自我評(píng)價(jià)、作品展示等，以更客觀地反映學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。

4.關(guān)注學(xué)生興趣：我會(huì)更加關(guān)注學(xué)生的興趣和需求，設(shè)計(jì)更具吸引力的教學(xué)活動(dòng)，如實(shí)際項(xiàng)目、競(jìng)賽等，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性。

5.持續(xù)學(xué)習(xí)與反思：作為教師，我需要不斷學(xué)習(xí)新的教學(xué)理念和方法，同時(shí)也要對(duì)自己的教學(xué)進(jìn)行反思，不斷調(diào)整和改進(jìn)教學(xué)策略，以適應(yīng)學(xué)生的變化和需求。典型例題講解例題1：某商品原價(jià)為x元，降價(jià)20%后，售價(jià)為每件0.8x元。如果銷售這種商品m件，總利潤(rùn)為w元。請(qǐng)建立利潤(rùn)w關(guān)于銷售件數(shù)m的函數(shù)關(guān)系式，并說明函數(shù)的性質(zhì)。

解答：利潤(rùn)w=(售價(jià)-成本)×銷售件數(shù)

w=(0.8x-x)×m

w=-0.2xm

這是一個(gè)關(guān)于m的一次函數(shù)，函數(shù)的斜率為-0.2x，表示每增加一件商品，利潤(rùn)減少0.2x元。

例題2：某工廠生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品的成本為50元，售價(jià)為每件100元。為了促銷，工廠決定每降低1元售價(jià)，銷量增加20件。請(qǐng)建立售價(jià)p與銷量q的關(guān)系式，并求出當(dāng)利潤(rùn)最大時(shí)的售價(jià)。

解答：設(shè)降價(jià)為x元，則售價(jià)p=100-x，銷量q=20x。利潤(rùn)w=(售價(jià)-成本)×銷量

w=(100-x-50)×20x

w=(50-x)×20x

w=-20x^2+1000x

這是一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，為了求利潤(rùn)最大值，我們需要找到這個(gè)二次函數(shù)的最大值。對(duì)稱軸的公式是x=-b/2a，其中a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)。在這個(gè)例子中，a=-20，b=1000，我們可以計(jì)算出對(duì)稱軸的位置。

x=-1000/(2×(-20))=25

當(dāng)x=25時(shí)，利潤(rùn)最大，此時(shí)的售價(jià)p=100-25=75元。

例題3：某水果店出售蘋果，每斤售價(jià)為5元，每天賣出100斤。為了促銷，店主決定降價(jià)，每降價(jià)1元，每天多賣出10斤。請(qǐng)建立售價(jià)x與銷量y的關(guān)系式，并求出當(dāng)每天利潤(rùn)最大時(shí)的售價(jià)。

解答：設(shè)降價(jià)為a元，則售價(jià)x=5-a，銷量y=100+10a。利潤(rùn)w=(售價(jià)-成本)×銷量

w=(5-a-2)×(100+10a)

w=(3-a)×(100+10a)

w=300+30a-100a-10a^2

w=-10a^2-70a+300

這是一個(gè)關(guān)于a的一元二次方程，為了求利潤(rùn)最大值，我們需要找到這個(gè)二次函數(shù)的最大值。對(duì)稱軸的公式是a=-b/2a，其中a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)。在這個(gè)例子中，a=-10，b=-70，我們可以計(jì)算出對(duì)稱軸的位置。

a=-(-70)/(2×(-10))=3.5

當(dāng)a=3.5時(shí)，利潤(rùn)最大，此時(shí)的售價(jià)x=5-3.5=1.5元。

例題4：某書店進(jìn)購(gòu)了一批圖書，每?jī)?cè)成本為20元，定價(jià)為30元。為了促銷，書店決定對(duì)每?jī)?cè)圖書進(jìn)行打折，每降低1元，銷量增加50冊(cè)。請(qǐng)建立定價(jià)x與銷量y的關(guān)系式，并求出當(dāng)每天利潤(rùn)最大時(shí)的定價(jià)。

解答：設(shè)打折為b元，則定價(jià)x=30-b，銷量y=50b。利潤(rùn)w=(定價(jià)-成本)×銷量

w=