2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章三角恒等變形3第2課時(shí)半角的正弦、余弦和正切（教師用書）教學(xué)實(shí)錄北師大版必修4科目授課時(shí)間節(jié)次--年—月—日（星期——）第—節(jié)指導(dǎo)教師授課班級、授課課時(shí)授課題目（包括教材及章節(jié)名稱）2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章三角恒等變形3第2課時(shí)半角的正弦、余弦和正切（教師用書）教學(xué)實(shí)錄北師大版必修4課程基本信息1.課程名稱：2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章三角恒等變形3第2課時(shí)半角的正弦、余弦和正切

2.教學(xué)年級和班級：高一年級（1）班

3.授課時(shí)間：2024年10月12日星期五上午第二節(jié)課

4.教學(xué)時(shí)數(shù)：1課時(shí)核心素養(yǎng)目標(biāo)分析本節(jié)課旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。通過半角三角函數(shù)公式的推導(dǎo)和應(yīng)用，學(xué)生能夠理解數(shù)學(xué)與實(shí)際生活的聯(lián)系，提高問題解決能力。學(xué)生將學(xué)會運(yùn)用三角恒等變形方法，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S和運(yùn)算能力，同時(shí)增強(qiáng)對數(shù)學(xué)符號語言的理解和應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)與重點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)：

-重點(diǎn)掌握半角三角函數(shù)公式：$\sin(\frac{\alpha}{2})=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$，$\cos(\frac{\alpha}{2})=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$，$\tan(\frac{\alpha}{2})=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$（其中正負(fù)號取決于$\alpha$的象限）。

-能夠運(yùn)用半角公式進(jìn)行三角函數(shù)的化簡和求值。

-舉例：化簡表達(dá)式$\sin^2\frac{\alpha}{4}+\cos^2\frac{\alpha}{4}$。

2.教學(xué)難點(diǎn)：

-理解半角公式的推導(dǎo)過程，特別是對$\sin^2\frac{\alpha}{2}$和$\cos^2\frac{\alpha}{2}$的變形。

-正負(fù)號的確定：在應(yīng)用半角公式時(shí)，正確判斷$\alpha$的象限，確定正負(fù)號。

-舉例：推導(dǎo)$\sin^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{2}$的過程，并解釋如何確定$\sin(\frac{\alpha}{2})$的正負(fù)。

-在解題中靈活運(yùn)用半角公式，尤其是在解決復(fù)合三角函數(shù)問題時(shí)。

-舉例：求解$\tan\frac{\alpha}{3}$，其中$\alpha=2\pi-\frac{\pi}{6}$，需要正確應(yīng)用半角公式并處理復(fù)合角。教學(xué)資源-軟硬件資源：電子白板、計(jì)算機(jī)、投影儀、幾何畫板軟件

-課程平臺：學(xué)校內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)教學(xué)平臺

-信息化資源：半角三角函數(shù)公式推導(dǎo)動畫、相關(guān)數(shù)學(xué)軟件的使用教程視頻

-教學(xué)手段：實(shí)物教具（如直角三角形模型）、PPT課件、課堂練習(xí)題紙教學(xué)流程1.導(dǎo)入新課

-詳細(xì)內(nèi)容：首先，教師通過提問的方式復(fù)習(xí)上節(jié)課學(xué)習(xí)的三角恒等式，如$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$和$\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$。接著，教師展示一些實(shí)際生活中的三角問題，如建筑工人使用三角板測量角度，引導(dǎo)學(xué)生思考如何更簡便地計(jì)算三角函數(shù)的值。最后，引出本節(jié)課的主題——半角的正弦、余弦和正切。用時(shí)：5分鐘。

2.新課講授

-詳細(xì)內(nèi)容：

a.推導(dǎo)半角公式

-教師利用幾何畫板軟件演示直角三角形中，角度$\alpha$的一半對應(yīng)的直角三角形，引導(dǎo)學(xué)生觀察并推導(dǎo)$\sin^2\frac{\alpha}{2}$和$\cos^2\frac{\alpha}{2}$的表達(dá)式。

-學(xué)生跟隨教師的步驟，嘗試自己推導(dǎo)半角公式。

-教師總結(jié)推導(dǎo)過程，強(qiáng)調(diào)正負(fù)號的確定方法。

-用時(shí)：10分鐘。

b.應(yīng)用半角公式

-教師展示幾個(gè)應(yīng)用半角公式進(jìn)行三角函數(shù)化簡和求值的例題，如$\sin^2\frac{\alpha}{3}+\cos^2\frac{\alpha}{3}$和$\tan^2\frac{\alpha}{4}$。

-學(xué)生獨(dú)立完成練習(xí)，教師巡視指導(dǎo)。

-教師選取典型題目進(jìn)行講解，強(qiáng)調(diào)解題思路和方法。

-用時(shí)：10分鐘。

c.復(fù)合三角函數(shù)問題

-教師給出一些包含復(fù)合三角函數(shù)的問題，如$\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}\right)$，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用半角公式和兩角和與差的公式進(jìn)行化簡。

-學(xué)生小組討論，教師巡視指導(dǎo)，解答學(xué)生疑問。

-教師選取典型題目進(jìn)行講解，強(qiáng)調(diào)解題步驟和注意事項(xiàng)。

-用時(shí)：10分鐘。

3.實(shí)踐活動

-詳細(xì)內(nèi)容：

a.實(shí)物教具操作

-教師分發(fā)直角三角形模型，學(xué)生利用模型直觀感受半角公式在計(jì)算三角函數(shù)值中的應(yīng)用。

-學(xué)生分組進(jìn)行操作，教師巡視指導(dǎo)。

-用時(shí)：5分鐘。

b.課堂練習(xí)

-教師發(fā)放練習(xí)題，學(xué)生獨(dú)立完成，教師巡視指導(dǎo)。

-教師選取典型題目進(jìn)行講解，強(qiáng)調(diào)解題思路和方法。

-用時(shí)：10分鐘。

c.小組合作探究

-教師給出一個(gè)探究問題，如“證明$\tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$”，學(xué)生分組進(jìn)行討論和探究。

-教師巡視指導(dǎo)，解答學(xué)生疑問。

-教師選取典型答案進(jìn)行講解，強(qiáng)調(diào)證明思路和方法。

-用時(shí)：10分鐘。

4.學(xué)生小組討論

-詳細(xì)內(nèi)容舉例回答：

a.學(xué)生在討論如何確定半角公式中的正負(fù)號時(shí)，舉例說明：當(dāng)$\alpha$在第一象限時(shí)，$\sin(\frac{\alpha}{2})$為正，$\cos(\frac{\alpha}{2})$也為正，因此$\sin(\frac{\alpha}{2})=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$。

b.學(xué)生在討論如何應(yīng)用半角公式進(jìn)行三角函數(shù)化簡時(shí)，舉例說明：將$\sin^2\frac{\alpha}{4}$化簡為$\frac{1-\cos\alpha}{2}$，然后利用$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，得到$\sin^2\frac{\alpha}{4}=\frac{1-\cos\alpha}{2}$。

c.學(xué)生在討論如何證明$\tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$時(shí)，舉例說明：利用$\tan^2\alpha=\frac{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}$，得到$\tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{\sin^2\frac{\alpha}{2}}{\cos^2\frac{\alpha}{2}}$，然后代入半角公式，得到$\tan^2\frac{\alpha}{2}=\frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha}$。

5.總結(jié)回顧

-內(nèi)容：教師對本節(jié)課的核心內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)，強(qiáng)調(diào)半角公式的重要性及其應(yīng)用，并提醒學(xué)生在今后的學(xué)習(xí)中如何靈活運(yùn)用。

-用時(shí)：5分鐘。

總用時(shí)：35分鐘。知識點(diǎn)梳理1.半角三角函數(shù)公式

-$\sin(\frac{\alpha}{2})=\pm\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}$（正負(fù)號取決于$\alpha$的象限）

-$\cos(\frac{\alpha}{2})=\pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}$（正負(fù)號取決于$\alpha$的象限）

-$\tan(\frac{\alpha}{2})=\frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha}$（正負(fù)號取決于$\alpha$的象限）

2.半角公式的推導(dǎo)

-利用直角三角形和角度的半角關(guān)系推導(dǎo)$\sin^2\frac{\alpha}{2}$和$\cos^2\frac{\alpha}{2}$。

-通過三角恒等式$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$推導(dǎo)$\sin^2\frac{\alpha}{2}$和$\cos^2\frac{\alpha}{2}$。

3.半角公式的應(yīng)用

-化簡三角函數(shù)表達(dá)式，如$\sin^2\frac{\alpha}{4}+\cos^2\frac{\alpha}{4}$。

-求解特定角度的三角函數(shù)值，如$\sin\frac{\alpha}{3}$。

-解決復(fù)合三角函數(shù)問題，如$\tan\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}\right)$。

4.正負(fù)號的確定

-根據(jù)角度$\alpha$的象限確定$\sin(\frac{\alpha}{2})$、$\cos(\frac{\alpha}{2})$和$\tan(\frac{\alpha}{2})$的正負(fù)號。

-利用三角函數(shù)在各個(gè)象限的正負(fù)性進(jìn)行判斷。

5.兩角和與差的公式

-$\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

-$\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$

-$\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}$

6.三角函數(shù)的化簡

-利用半角公式和兩角和與差的公式對三角函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行化簡。

-例如，將$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha$化簡為$1$。

7.三角函數(shù)的求值

-利用半角公式和兩角和與差的公式求解特定角度的三角函數(shù)值。

-例如，求解$\sin\frac{\alpha}{3}$，其中$\alpha=2\pi-\frac{\pi}{6}$。

8.復(fù)合三角函數(shù)問題

-解決包含多個(gè)三角函數(shù)的復(fù)合問題，如$\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}-\frac{\pi}{6}\right)$。

-利用半角公式和兩角和與差的公式進(jìn)行化簡。

9.數(shù)學(xué)建模

-將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，利用三角函數(shù)解決問題。

-例如，利用三角函數(shù)解決建筑工人使用三角板測量角度的問題。

10.數(shù)學(xué)運(yùn)算

-在解題過程中，熟練運(yùn)用三角函數(shù)公式進(jìn)行運(yùn)算。

-例如，在求解$\sin\frac{\alpha}{3}$時(shí)，正確應(yīng)用半角公式和兩角和與差的公式。課后拓展1.拓展內(nèi)容：

-閱讀材料：《三角函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用》

本材料介紹了三角函數(shù)在物理學(xué)中的基本應(yīng)用，包括振動、波動和光學(xué)等領(lǐng)域。通過閱讀，學(xué)生可以了解三角函數(shù)如何幫助科學(xué)家和工程師解決實(shí)際問題。

-視頻資源：《三角函數(shù)的幾何意義》

該視頻通過動畫演示的方式，解釋了三角函數(shù)的幾何意義，幫助學(xué)生更直觀地理解三角函數(shù)的概念和性質(zhì)。

2.拓展要求：

-學(xué)生在課后閱讀《三角函數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用》，思考三角函數(shù)如何應(yīng)用于實(shí)際問題，并嘗試列舉一些生活中的實(shí)例。

-觀看《三角函數(shù)的幾何意義》視頻，記錄下視頻中提到的關(guān)鍵點(diǎn)和幾何解釋，嘗試將這些幾何解釋與半角公式聯(lián)系起來。

-完成以下練習(xí)題，以加深對半角公式應(yīng)用的理解：

a.利用半角公式證明$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$。

b.計(jì)算以下表達(dá)式的值：$\sin^2\frac{\pi}{6}$和$\cos^2\frac{\pi}{6}$。

c.應(yīng)用半角公式化簡表達(dá)式$\tan^2\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\alpha}{2}\right)$。

-教師可以推薦以下閱讀材料：

-《數(shù)學(xué)之美》：介紹數(shù)學(xué)在各個(gè)領(lǐng)域的應(yīng)用，激發(fā)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣。

-《數(shù)學(xué)史上的奇跡》：通過數(shù)學(xué)史上的重要事件，展示數(shù)學(xué)的演變和發(fā)展。

-教師應(yīng)鼓勵學(xué)生在遇到疑問時(shí)，積極參與課堂討論，或在課后向教師提問，以確保學(xué)習(xí)效果。

3.拓展活動建議：

-小組合作：學(xué)生分組討論，分享對三角函數(shù)在物理學(xué)中應(yīng)用的看法，以及如何將所學(xué)知識應(yīng)用于解決實(shí)際問題。

-實(shí)踐項(xiàng)目：學(xué)生設(shè)計(jì)一個(gè)簡單的物理實(shí)驗(yàn)，如擺動實(shí)驗(yàn)，利用三角函數(shù)分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

-創(chuàng)作活動：學(xué)生創(chuàng)作一篇關(guān)于三角函數(shù)在日常生活中應(yīng)用的短文，可以是故事、漫畫或詩歌等形式。教學(xué)反思與總結(jié)今天這節(jié)課，我主要講解了半角的正弦、余弦和正切，這是三角恒等變形中的重要內(nèi)容。我覺得整體上，同學(xué)們的反應(yīng)還是不錯的，下面我就從幾個(gè)方面來反思和總結(jié)一下。

首先，我覺得導(dǎo)入環(huán)節(jié)做得還可以。通過復(fù)習(xí)上節(jié)課的內(nèi)容，再結(jié)合實(shí)際生活中的例子，引出本節(jié)課的主題，這樣的方式能夠讓學(xué)生更容易進(jìn)入學(xué)習(xí)狀態(tài)。不過，我也發(fā)現(xiàn)有些同學(xué)對于三角函數(shù)的概念理解還不夠深刻，可能在后續(xù)的推導(dǎo)和應(yīng)用中會遇到一些困難。

在講授新課的過程中，我嘗試了多種教學(xué)方法。比如，我用了幾何畫板軟件來演示半角公式的推導(dǎo)過程，這樣直觀的演示方式讓同學(xué)們更容易理解。同時(shí)，我也鼓勵同學(xué)們自己動手推導(dǎo)，這樣能夠加深他們對知識的理解。但是，我也注意到，在推導(dǎo)過程中，有些同學(xué)對于正負(fù)號的確定有些困惑，這說明我在講解這部分內(nèi)容時(shí)可能沒有做到位。

實(shí)踐活動環(huán)節(jié)，我安排了幾個(gè)小實(shí)驗(yàn)和練習(xí)題，目的是讓學(xué)生在實(shí)踐中應(yīng)用所學(xué)知識。從學(xué)生的表現(xiàn)來看，他們能夠基本完成實(shí)驗(yàn)和練習(xí)，但是在處理一些稍微復(fù)雜的問題時(shí)，還是顯得有些吃力。這說明我在設(shè)計(jì)實(shí)踐活動時(shí)，可能需要更加注重學(xué)生的個(gè)性化需求，提供更具挑戰(zhàn)性的任務(wù)。

在小組討論環(huán)節(jié)，我發(fā)現(xiàn)同學(xué)們能夠積極參與，互相交流想法。他們在討論中提出了一些很有價(jià)值的問題，這讓我很欣慰。但是，我也發(fā)現(xiàn)有些同學(xué)在討論時(shí)不太愿意表達(dá)自己的觀點(diǎn)，這可能是因?yàn)樗麄儗χR掌握不夠自信。因此，我需要在今后的教學(xué)中，更加注重培養(yǎng)學(xué)生的自信心和表達(dá)能力。

總的來說，這節(jié)課的教學(xué)效果還是不錯的，同學(xué)們對半角三角函數(shù)公式有了更深入的理解。但是，也存在一些問題，比如部分同學(xué)對正負(fù)號的確定仍然感到困惑，實(shí)踐活動的設(shè)計(jì)需要更加個(gè)性化等。針對這些問題，我將在今后的教學(xué)中采取以下改進(jìn)措施：

-加強(qiáng)對基礎(chǔ)知識的講解，確保每個(gè)學(xué)生都能理解正負(fù)號的確定方法。

-設(shè)計(jì)更具挑戰(zhàn)性的實(shí)踐活動，讓學(xué)生在解決問題的過程中提高自己的能力。

-鼓勵學(xué)生在討論中積極表達(dá)自己的觀點(diǎn)，提高他們的自信心和表達(dá)能力。

-在總結(jié)回顧環(huán)節(jié)，采用更加生動有趣的方式，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

我相信，通過不斷的反思和改進(jìn)，我的教學(xué)水平會不斷提高，同學(xué)們的學(xué)習(xí)效果也會越來越好。課堂課堂評價(jià)是教學(xué)過程中不可或缺的一環(huán)，它幫助教師了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時(shí)調(diào)整教學(xué)策略。以下是我對這節(jié)課的課堂評價(jià)：

1.課堂提問

-在新課導(dǎo)入環(huán)節(jié)，我通過提問的方式檢查學(xué)生對三角函數(shù)基礎(chǔ)知識的掌握情況，如提問“大家還記得三角函數(shù)的定義嗎？”來檢驗(yàn)他們對基本概念的理解。

-在新課講授過程中，我設(shè)計(jì)了幾個(gè)問題，如“如何推導(dǎo)出半角公式？”和“如何確定半角公式中的正負(fù)號？”來激發(fā)學(xué)生的思考，并觀察他們的回答來評估他們的理解程度。

-課堂提問后，我及時(shí)給予反饋，對于回答正確的學(xué)生給予肯定，對于回答錯誤的學(xué)生耐心解釋，確保每個(gè)學(xué)生都能跟上教學(xué)進(jìn)度。

2.觀察學(xué)生參與度

-在實(shí)踐活動和小組討論環(huán)節(jié)，我觀察了學(xué)生的參與情況，記錄下哪些學(xué)生積極參與討論，哪些學(xué)生表現(xiàn)出困惑或猶豫。

-通過觀察，我發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生能夠積極參與實(shí)踐活動，但在討論時(shí)，部分學(xué)生顯得有些拘謹(jǐn)，這可能是因?yàn)樗麄儗π轮R的掌握還不夠自信。

3.測試

-為了更準(zhǔn)確地評估學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，我在課后布置了一份小測驗(yàn)，涵蓋了對半角公式推導(dǎo)、應(yīng)用和正負(fù)號確定等知識的考察。

-測試結(jié)果顯示，大部分學(xué)生能夠正確應(yīng)用半角公式進(jìn)行計(jì)算，但在處理一些復(fù)合三角函數(shù)問題時(shí)，仍有部分學(xué)生出現(xiàn)錯誤，這表明他們在理解和應(yīng)用公式方面還有提升空間。

4.及時(shí)反饋

-對于學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)和作業(yè)中的錯誤，我給予了及時(shí)的反饋。在課堂上，我針對學(xué)生的錯誤進(jìn)行了講解，并在課后通過個(gè)別輔導(dǎo)和小組討論的方式幫助學(xué)生理解和掌握。

-對于作業(yè)，我認(rèn)真批改并給出了詳細(xì)的點(diǎn)評，指出學(xué)生的錯誤原因，并提供了改進(jìn)建議。

5.鼓勵學(xué)生

-在課堂評價(jià)中，我特別強(qiáng)調(diào)了學(xué)生的努力