2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第6章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用6.2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)6.2.1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性教學(xué)實(shí)錄新人教B版選擇性必修第三冊(cè)授課內(nèi)容授課時(shí)數(shù)授課班級(jí)授課人數(shù)授課地點(diǎn)授課時(shí)間設(shè)計(jì)思路本節(jié)課以“導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性”為主題，通過(guò)引入實(shí)際生活案例，引導(dǎo)學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用。課程設(shè)計(jì)注重理論與實(shí)踐相結(jié)合，通過(guò)課堂講解、例題分析和學(xué)生自主探究，幫助學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，提高學(xué)生運(yùn)用導(dǎo)數(shù)分析問(wèn)題的能力。核心素養(yǎng)目標(biāo)1.提升邏輯推理能力，通過(guò)導(dǎo)數(shù)的概念和性質(zhì)，理解函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。

2.培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模意識(shí)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題。

3.增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，學(xué)會(huì)將導(dǎo)數(shù)應(yīng)用于實(shí)際情境，解決實(shí)際問(wèn)題。學(xué)習(xí)者分析1.學(xué)生已經(jīng)掌握了哪些相關(guān)知識(shí)：

學(xué)生在進(jìn)入本節(jié)課之前，已具備函數(shù)概念、極限的基本知識(shí)以及導(dǎo)數(shù)的初步理解。他們能夠運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，如求導(dǎo)法則，計(jì)算簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

2.學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、能力和學(xué)習(xí)風(fēng)格：

高中學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科普遍具有好奇心和探索欲，尤其是對(duì)與實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合的數(shù)學(xué)知識(shí)。他們的數(shù)學(xué)能力包括邏輯思維、抽象思維和解決問(wèn)題的能力。學(xué)習(xí)風(fēng)格上，部分學(xué)生偏好通過(guò)直觀圖形理解概念，而另一些學(xué)生則更傾向于邏輯推導(dǎo)和分析。

3.學(xué)生可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：

在理解導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系時(shí)，學(xué)生可能會(huì)遇到以下困難：一是對(duì)導(dǎo)數(shù)的概念理解不夠深入，難以將導(dǎo)數(shù)的幾何意義與函數(shù)的單調(diào)性聯(lián)系起來(lái)；二是缺乏將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的能力，難以將所學(xué)知識(shí)應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題；三是對(duì)于復(fù)雜的函數(shù)，學(xué)生可能在計(jì)算導(dǎo)數(shù)時(shí)遇到困難，如應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)或復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則。教學(xué)資源準(zhǔn)備1.教材：確保每位學(xué)生都具備人教版選擇性必修第三冊(cè)數(shù)學(xué)教材，并包含本節(jié)課的相關(guān)內(nèi)容。

2.輔助材料：準(zhǔn)備與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性相關(guān)的圖片、圖表、動(dòng)畫(huà)等多媒體資源，以幫助學(xué)生直觀理解概念。

3.教學(xué)工具：準(zhǔn)備計(jì)算器、投影儀等，以便演示導(dǎo)數(shù)計(jì)算過(guò)程和展示圖形動(dòng)態(tài)變化。

4.教室布置：設(shè)置互動(dòng)討論區(qū)，為學(xué)生提供合作學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，并確保教室環(huán)境整潔，便于教學(xué)活動(dòng)開(kāi)展。教學(xué)過(guò)程一、導(dǎo)入（約5分鐘）

1.激發(fā)興趣：

-提問(wèn)：同學(xué)們，你們?cè)谏钪杏龅竭^(guò)需要判斷事物變化趨勢(shì)的情況嗎？比如，如何判斷一輛汽車(chē)是否在加速或減速？

-展示動(dòng)態(tài)變化的圖形，如速度-時(shí)間圖，引導(dǎo)學(xué)生思考圖形如何反映物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。

2.回顧舊知：

-回顧函數(shù)的概念和基本性質(zhì)，以及極限和導(dǎo)數(shù)的初步知識(shí)。

-提問(wèn)：我們之前學(xué)習(xí)了導(dǎo)數(shù)，那么導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的變化有什么關(guān)系呢？

二、新課呈現(xiàn)（約25分鐘）

1.講解新知：

-詳細(xì)講解導(dǎo)數(shù)的定義，包括導(dǎo)數(shù)的幾何意義和物理意義。

-介紹導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，如導(dǎo)數(shù)為正表示函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)為負(fù)表示函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞減。

2.舉例說(shuō)明：

-以簡(jiǎn)單的函數(shù)為例，如f(x)=x^2，展示如何計(jì)算導(dǎo)數(shù)并分析其單調(diào)性。

-通過(guò)圖形展示導(dǎo)數(shù)為零時(shí)函數(shù)的極值點(diǎn)，以及導(dǎo)數(shù)符號(hào)變化時(shí)函數(shù)的拐點(diǎn)。

3.互動(dòng)探究：

-引導(dǎo)學(xué)生討論：如何根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性？

-分組進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生嘗試對(duì)不同的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，并觀察導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖形的變化關(guān)系。

三、鞏固練習(xí)（約20分鐘）

1.學(xué)生活動(dòng)：

-學(xué)生獨(dú)立完成教材中的練習(xí)題，包括計(jì)算導(dǎo)數(shù)、判斷單調(diào)性等。

-學(xué)生之間互相檢查作業(yè)，共同討論解決過(guò)程中遇到的問(wèn)題。

2.教師指導(dǎo)：

-教師巡視課堂，解答學(xué)生在練習(xí)中遇到的問(wèn)題。

-針對(duì)共性問(wèn)題，進(jìn)行集體講解和示范。

四、拓展延伸（約10分鐘）

1.提出問(wèn)題：

-提問(wèn)：如果函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)不存在，我們還能判斷該點(diǎn)附近函數(shù)的單調(diào)性嗎？

-引導(dǎo)學(xué)生思考并嘗試解答。

2.分享討論：

-學(xué)生分享自己的思考結(jié)果，教師進(jìn)行總結(jié)和點(diǎn)評(píng)。

五、課堂小結(jié)（約5分鐘）

1.回顧本節(jié)課的主要內(nèi)容：

-導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義。

-導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系。

2.強(qiáng)調(diào)重點(diǎn)：

-導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的重要工具，學(xué)會(huì)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要技能。

六、課后作業(yè)（約10分鐘）

1.布置作業(yè)：

-完成教材中的課后習(xí)題，鞏固本節(jié)課所學(xué)知識(shí)。

2.鼓勵(lì)學(xué)生：

-鼓勵(lì)學(xué)生在課后繼續(xù)探究導(dǎo)數(shù)在其他數(shù)學(xué)問(wèn)題中的應(yīng)用。拓展與延伸1.提供與本節(jié)課內(nèi)容相關(guān)的拓展閱讀材料：

-《導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用》：介紹導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)分析中的實(shí)際應(yīng)用，如成本函數(shù)、收入函數(shù)的邊際分析。

-《微分方程簡(jiǎn)介》：簡(jiǎn)要介紹微分方程的基本概念，以及導(dǎo)數(shù)在解決微分方程中的應(yīng)用。

-《數(shù)學(xué)建模與導(dǎo)數(shù)》：探討如何利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，解決實(shí)際問(wèn)題。

2.鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行課后自主學(xué)習(xí)和探究：

-學(xué)生可以嘗試分析實(shí)際問(wèn)題，如物理學(xué)中的運(yùn)動(dòng)學(xué)問(wèn)題，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的成本和收益問(wèn)題，通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決這些問(wèn)題。

-鼓勵(lì)學(xué)生探索導(dǎo)數(shù)在更復(fù)雜函數(shù)中的應(yīng)用，如隱函數(shù)求導(dǎo)、參數(shù)方程求導(dǎo)等。

-學(xué)生可以嘗試研究導(dǎo)數(shù)在圖形變換中的應(yīng)用，例如，通過(guò)導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)圖像的伸縮、平移和旋轉(zhuǎn)。

-鼓勵(lì)學(xué)生利用計(jì)算機(jī)軟件（如MATLAB、Python等）進(jìn)行數(shù)值分析，觀察導(dǎo)數(shù)在函數(shù)圖形上的表現(xiàn)，加深對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解。

-學(xué)生可以閱讀相關(guān)數(shù)學(xué)史資料，了解導(dǎo)數(shù)的起源和發(fā)展，以及它在數(shù)學(xué)和科學(xué)中的重要性。

-通過(guò)小組合作，學(xué)生可以共同完成一個(gè)關(guān)于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的綜合性項(xiàng)目，如設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的游戲，其中的角色移動(dòng)速度受導(dǎo)數(shù)控制，以此來(lái)提高學(xué)生的創(chuàng)新能力和團(tuán)隊(duì)協(xié)作能力。

3.實(shí)踐活動(dòng)建議：

-設(shè)計(jì)一個(gè)實(shí)驗(yàn)，使用傳感器收集物體運(yùn)動(dòng)的數(shù)據(jù)，然后通過(guò)導(dǎo)數(shù)分析物體的加速度。

-分析一個(gè)實(shí)際的經(jīng)濟(jì)數(shù)據(jù)集，使用導(dǎo)數(shù)來(lái)估計(jì)經(jīng)濟(jì)變量的變化率。

-選擇一個(gè)藝術(shù)作品，如音樂(lè)或繪畫(huà)，嘗試用導(dǎo)數(shù)的概念來(lái)描述其變化和節(jié)奏。板書(shū)設(shè)計(jì)①導(dǎo)數(shù)概念

-導(dǎo)數(shù)的定義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是函數(shù)增量與自變量增量之比當(dāng)增量趨于零時(shí)的極限。

-導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)曲線在該點(diǎn)切線的斜率。

②導(dǎo)數(shù)性質(zhì)

-導(dǎo)數(shù)的符號(hào)：導(dǎo)數(shù)為正表示函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，導(dǎo)數(shù)為負(fù)表示函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞減。

-導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱(chēng)為函數(shù)的駐點(diǎn)，可能是極值點(diǎn)。

③導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

-判斷函數(shù)單調(diào)性：通過(guò)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性。

-求函數(shù)的極值：利用導(dǎo)數(shù)找駐點(diǎn)，進(jìn)一步判斷極值點(diǎn)的性質(zhì)。

-分析函數(shù)的凹凸性：通過(guò)二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性。課堂1.課堂提問(wèn)與討論：

-通過(guò)提問(wèn)環(huán)節(jié)，檢查學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)概念和性質(zhì)的理解程度。

-設(shè)計(jì)開(kāi)放性問(wèn)題，如“你能舉例說(shuō)明導(dǎo)數(shù)在生活中的應(yīng)用嗎？”鼓勵(lì)學(xué)生積極參與討論，表達(dá)自己的觀點(diǎn)。

-觀察學(xué)生在討論中的表現(xiàn)，包括是否能夠清晰闡述自己的觀點(diǎn)、是否能夠傾聽(tīng)他人意見(jiàn)、是否能夠提出建設(shè)性意見(jiàn)等。

2.實(shí)時(shí)反饋與糾正：

-在講解過(guò)程中，注意觀察學(xué)生的反應(yīng)，對(duì)于學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤或困惑，及時(shí)給予糾正和解釋。

-通過(guò)提問(wèn)和示范，幫助學(xué)生建立正確的數(shù)學(xué)思維模式。

3.課堂練習(xí)與測(cè)試：

-安排課堂練習(xí)，讓學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)完成導(dǎo)數(shù)的計(jì)算和單調(diào)性分析，以檢驗(yàn)學(xué)生的實(shí)際操作能力。

-對(duì)學(xué)生的練習(xí)進(jìn)行即時(shí)評(píng)價(jià)，指出錯(cuò)誤原因，并給予正確的解答。

4.學(xué)生互評(píng)與自評(píng)：

-引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行互評(píng)，鼓勵(lì)學(xué)生互相學(xué)習(xí)，共同進(jìn)步。

-學(xué)生自評(píng)環(huán)節(jié)，讓學(xué)生反思自己在學(xué)習(xí)過(guò)程中的收獲和不足，培養(yǎng)自我評(píng)價(jià)能力。

5.課后作業(yè)評(píng)價(jià)：

-對(duì)學(xué)生的課后作業(yè)進(jìn)行認(rèn)真批改，關(guān)注作業(yè)中的錯(cuò)誤類(lèi)型和數(shù)量。

-針對(duì)學(xué)生的作業(yè)反饋，給予個(gè)性化的指導(dǎo)和建議，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺。

6.評(píng)價(jià)方式多樣化：

-采用多種評(píng)價(jià)方式，如口頭評(píng)價(jià)、書(shū)面評(píng)價(jià)、實(shí)踐評(píng)價(jià)等，全面了解學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。

-結(jié)合定量評(píng)價(jià)和定性評(píng)價(jià)，客觀評(píng)價(jià)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。

7.評(píng)價(jià)反饋與改進(jìn)：

-及時(shí)將評(píng)價(jià)結(jié)果反饋給學(xué)生，鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)努力。

-教師根據(jù)評(píng)價(jià)結(jié)果，調(diào)整教學(xué)策略，改進(jìn)教學(xué)方法，提高教學(xué)效果。

8.長(zhǎng)期跟蹤與評(píng)估：

-對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行長(zhǎng)期跟蹤，觀察學(xué)生的進(jìn)步和變化。

-定期進(jìn)行階段性評(píng)估，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，為后續(xù)教學(xué)提供參考。重點(diǎn)題型整理1.題型一：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

-已知函數(shù)f(x)=x^3-3x+2，求f'(x)。

-解答：f'(x)=3x^2-3。

2.題型二：判斷函數(shù)的單調(diào)性

-已知函數(shù)f(x)=x^2-4x+3，求函數(shù)的定義域，并判斷其單調(diào)性。

-解答：函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)。求導(dǎo)得f'(x)=2x-4。令f'(x)=0，解得x=2。當(dāng)x<2時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)x>2時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增。

3.題型三：求函數(shù)的極值

-已知函數(shù)f(x)=x^3-9x^2+24x-27，求函數(shù)的極值點(diǎn)。

-解答：求導(dǎo)得f'(x)=3x^2-18x+24。令f'(x)=0，解得x=2或x=4。進(jìn)一步分析，當(dāng)x<2或x>4時(shí)，f'(x)>0，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)2<x<4時(shí)，f'(x)<0，函數(shù)單調(diào)遞減。因此，x=2和x=4為極值點(diǎn)。

4.題型四：分析函數(shù)的凹凸性

-已知函數(shù)f(x)=e^x-x，求函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，并判斷其凹凸性。

-解答：f'(x)=e^x-1，f''(x)=e^x。由于e^x恒大于0，所以f''(x)>0，函數(shù)在整個(gè)定義域上為凹函數(shù)。