18.2.1.1矩形的性質(zhì)【練基礎(chǔ)】必備知識(shí)1矩形的定義1.如圖，工人師傅要做一個(gè)矩形鋁合金窗框，分下面三個(gè)步驟進(jìn)行，請(qǐng)根據(jù)步驟補(bǔ)全相應(yīng)的依據(jù).(1)先截出兩對(duì)符合規(guī)格的鋁合金窗料(如圖1)，使AB=CD，EF=GH.(2)擺放成如圖2所示的四邊形，則這時(shí)窗框的形狀是平行四邊形，它的依據(jù)是__________________________________________________________.

(3)將直尺緊靠窗框的一個(gè)角(如圖3)，調(diào)整窗框的邊框，當(dāng)直角尺的兩條直角邊與窗框無(wú)縫隙時(shí)(如圖4)，說(shuō)明窗框合格，這時(shí)窗框是矩形，它的依據(jù)是_____________________________________________________________.

必備知識(shí)2矩形的性質(zhì)2.下列性質(zhì)中，矩形具有但平行四邊形不一定具有的是（）A.對(duì)邊相等B.對(duì)角相等C.對(duì)角線相等D.對(duì)角線互相平分3.如圖，AC，BD是矩形ABCD的對(duì)角線，∠AOB=40°，則∠ACD的度數(shù)為（）A.50°B.55°C.65°D.70°4.如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，EO⊥AC于點(diǎn)O，交BC于點(diǎn)E.若△ABE的周長(zhǎng)為5，AB=2，則AD的長(zhǎng)為（）A.2B.2.5C.3D.45.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，且AE平分∠BAC，AE=CE，BE=2，則矩形ABCD的面積為（）A.243B.24C.123D.126.如圖，在矩形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，M，N分別為AB，OA的中點(diǎn).若MN=2，CD=4，則∠ACB的度數(shù)為_(kāi)______.

7.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，AB=8，AD=4，點(diǎn)E在AB邊上.若EO⊥BD于點(diǎn)O，則DE的長(zhǎng)是_______.

8.如圖，矩形ABCD的長(zhǎng)為8，寬為4，現(xiàn)將矩形ABCD沿直線EF翻折，使點(diǎn)C恰好與點(diǎn)A重合，則AF的長(zhǎng)為_(kāi)______.

9.如圖，E，F(xiàn)分別為矩形ABCD的邊AD和BC上的點(diǎn)，AE=CF.求證：BE=DF.必備知識(shí)3直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)10.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=55°，D是斜邊AB的中點(diǎn)，那么∠ACD的度數(shù)為（）A.15°B.25°C.35°D.45°11.如圖，E是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB=90°，D是邊AB的中點(diǎn)，延長(zhǎng)線段DE交邊BC于點(diǎn)F，F(xiàn)是邊BC的中點(diǎn)，若AB=6，EF=1，則線段AC的長(zhǎng)為_(kāi)______.

【練能力】12.如圖，在△ABC中，BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，M，N分別是BC，DE的中點(diǎn).(1)求證：MN⊥DE.(2)若∠A=60°，連接EM，DM，判斷△EDM的形狀，并說(shuō)明理由.13.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在BC上，DF⊥AE，垂足為F，DF=AB.(1)求證：AE=BC.(2)若∠FDC=30°，且AB=4，連接DE，求∠DEF的大小和AD的長(zhǎng).【練素養(yǎng)】14.如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落到點(diǎn)B'的位置，AB'與CD交于點(diǎn)E.(1)求證：△ADE≌△CB'E.(2)若AB=8，DE=3，P為線段AC上的任意一點(diǎn)，PG⊥AE于點(diǎn)G，PH⊥DC于點(diǎn)H，求PG+PH的值.

參考答案【練基礎(chǔ)】1.(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形(3)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形2.C3.D4.C5.C6.30°7.58.59.【證明】∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，AD=BC.又∵AE=CF，∴AD-AE=BC-CF，即ED=BF，而ED∥BF，∴四邊形BFDE為平行四邊形，∴BE=DF(平行四邊形對(duì)邊相等).10.C【解析】解法一在△ABC中，∠ACB=90°.∵D是斜邊AB的中點(diǎn)，∴CD=BD=12AB，∴∠B=∠DCB=55°又∵∠ACB=90°，∴∠ACD=90°-55°=35°.解法二∵∠ACB=90°，∠B=55°，∴∠A=180°-∠ACB-∠B=35°.∵D是斜邊AB的中點(diǎn)，∴CD=AD=12AB∴∠ACD=∠A=35°.11.8【練能力】12.【解析】(1)證明：如圖，連接DM，EM.∵BD⊥AC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，M是BC的中點(diǎn)，∴MD=ME=12∵N是DE的中點(diǎn)，∴MN⊥DE.(2)△EDM是等邊三角形.理由：∵M(jìn)D=ME=BM=CM，∴∠BME+∠CMD=180°-2∠ABC+180°-2∠ACB=360°-2(∠ABC+∠ACB).∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°-60°=120°，∴∠BME+∠CMD=360°-2×120°=120°，∴∠DME=60°，∴△EDM是等邊三角形.13.【解析】(1)證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD=BC，∠B=∠ADC，∴∠DAE=∠AEB.在△ABE與△DFA中，∠∴△ABE≌△DFA(AAS)，∴AE=AD.∵AD=BC，∴AE=BC.(2)∵DF⊥AE，∠C=90°，∴∠DFE=∠DCE.∵AB=DF，AB=DC，∴DF=DC.在Rt△DEF與Rt△DEC中，DF∴Rt△DEF≌Rt△DEC(HL)，∴∠FDE=∠CDE.∵∠FDC=30°，∴∠FDE=∠CDE=30°÷2=15°，∴∠DEF=180°-90°-15°=75°.∵△ABE≌△DFA，AB=4，∴DF=4.∵∠FDC=30°，∴∠ADF=90°-30°=60°，∴∠DAE=180°-90°-60°=30°.∵DF=4，∴AD=4×2=8.因此，∠DEF=75°，AD=8.【練素養(yǎng)】14.【解析】(1)證明：∵將矩形ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)B落到點(diǎn)B'的位置，∴CB'=CB，∠EB'C=∠CBA=90°.∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=B'C，∠ADE=90°.在△ADE和△CB'E中，∠∴△ADE≌△CB'E(AAS).(2)