第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年北京市東城區(qū)東直門中學(xué)高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.5位老師和2名學(xué)生排成一隊，學(xué)生既不排在一起也不排在隊伍的首尾，則不同的排法有(????)．A.A55A42種 B.A55A52.若在數(shù)列an中，a1=2，an=1?A.2 B.12 C.?123.已知F為拋物線C:y2=12x的焦點(diǎn)，點(diǎn)Mx0,6在拋物線A.8 B.9 C.7 D.64.如圖，曲線y=fx在點(diǎn)2,2處的切線為直線l，直線l經(jīng)過原點(diǎn)O，則f′2+f2A.1 B.2 C.3 D.45.設(shè)f′x是函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)，將y=fx和y=f′xA. B.

C. D.6.如果函數(shù)fx=xlnx?ax在區(qū)間(1,e)上單調(diào)遞增，那么實數(shù)aA.[1,2] B.(?∞,2] C.[1,+∞) D.(?∞,1]7.設(shè)an是無窮數(shù)列，An=an+an+1A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件8.若函數(shù)fx=lnx?mx3+1有A.0,e3 B.0,e23 9.P是平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)一點(diǎn)，我們以x軸正半軸為始邊，射線OP為終邊構(gòu)成角θ∈0,2π，OP的長度r作為θ的函數(shù)，若其解析式為：r=2sin2θ+sin4θ，則PA. B.

C. D.10.利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識解決新問題是我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一個重要目的，同學(xué)們利用我們所學(xué)數(shù)學(xué)知識，探究函數(shù)fx=xxA.fx有且只有一個極大值點(diǎn)

B.fx在0,1e上單調(diào)遞增

C.存在實數(shù)a∈0,+∞，使得f二、填空題：本題共6小題，每小題5分，共30分。11.用數(shù)字0?2?5?7四個數(shù)可以組成

個無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)．12.已知數(shù)列an的前n項和Sn滿足Sn=2n2?3n13.焦點(diǎn)在y軸上，且實軸長是6，虛軸長8的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

．14.已知方程lnx=ax有三個實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍為

．15.已知函數(shù)fx=x3+ax2+b，a,b∈R.若x∈0,1時，函數(shù)fx有最大值為16.已知各項均不為零的數(shù)列an，其前n項和是Sn,a①a②若an為遞增數(shù)列，則a的取值范圍是0,1③存在實數(shù)a，使得an④?m∈N?，使得當(dāng)k>m時，總有其中所有正確結(jié)論的序號是

．三、解答題：本題共6小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。17.(本小題12分)求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=(2)y=218.(本小題12分)已知函數(shù)fx=x(1)求函數(shù)fx(2)求函數(shù)fx在點(diǎn)0,f(3)若?x=fx?m,x∈19.(本小題12分)如圖，在三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=(1)求證：BC⊥平面PAB；(2)求平面APC與平面PBC所成夾角的大?。?0.(本小題12分)已知橢圓C:x24+y23=1的左頂點(diǎn)為A，右頂點(diǎn)為B，點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓C上(與點(diǎn)A、B不重合(1)求橢圓C的短軸長和離心率；(2)若線段GH的中點(diǎn)為D，求點(diǎn)P坐標(biāo)．21.(本小題12分)已知函數(shù)f(1)求y=fx在區(qū)間?2,3(2)若過點(diǎn)P2,t存在3條直線與曲線y=fx相切，求(3)若過點(diǎn)Qa,b作曲線y=fx22.(本小題12分)設(shè)an為無窮數(shù)列，給定正整數(shù)k(k≥2)，如果對于任意n∈N?，都有an+2k+(1)判斷下列兩個數(shù)列是否具有性質(zhì)P(2)；(結(jié)論不需要證明)①等差數(shù)列A：5，3，1，…；②等比數(shù)列B：1，2，4，…．(2)已知數(shù)列an具有性質(zhì)P(2)，a1=1，a2=2(3)若既具有性質(zhì)P(6)又具有性質(zhì)P(k)的數(shù)列an一定是等差數(shù)列，求k的最小值．

參考答案1.A

2.D

3.D

4.C

5.D

6.D

7.A

8.B

9.B

10.D

11.18

12.an13.y214.0<a<115.1,?1

/?3,116.①②④

17.(1)由題意得y′=1(2)由題意得y′=2

18.(1)由題得f′x=3x2?2x?a由函數(shù)fx在x=1時取得極值，得f′1=1?a=0檢驗：此時f′x顯然x=1是f′x的變號零點(diǎn)，即x=1因此a=1,f′x=3x+13x?1所以當(dāng)x<?13或x>1時，f′x>0，當(dāng)所以函數(shù)fx的遞增區(qū)間是?∞,?13即函數(shù)fx的極大值點(diǎn)是x=?13(2)由(1)知，函數(shù)fx則有f0所以在點(diǎn)0,f0處得切線是y?2=?1即整理得x+y?2=0為所求切線；(3)因為?由(1)可知fx在?2,?13所以fx有極小值為f1端點(diǎn)值為f2=4,f?2由?x直線y=m與函數(shù)y=fx即：m=1或m=59

19.(1)證明：因為PA⊥平面ABC，BC,AB?平面ABC，所以PA⊥BC，PA⊥AB，所以?PAB為直角三角形，又因為PB=PA所以PB2+BC2又因為BC⊥PA，PA∩PB=P，所以BC⊥平面PAB．(2)由(1)BC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，則BC⊥AB，以A為原點(diǎn)，AB為x軸，過A且與BC平行的直線為y軸，AP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則A(0,0,0),P(0,0,1),C(1,1,0),B(1,0,0)，所以AP=(0,0,1),設(shè)平面PAC的法向量為m=x1,令x1=1，則y1設(shè)平面PBC的法向量為n=x2,令x2=1，則z2所以cosm所以平面APC與平面PBC所成夾角的大小π3

20.(1)設(shè)橢圓的半焦距為c．由橢圓方程x24所以橢圓的短軸長2b=23，離心率(2)由題意可知：直線AP的方程為y=y令x=4，得y=6y0直線BP的方程為y=y令x=4，得y=2y0因為GH的中點(diǎn)為D(4,0)，則6y若y0=0，則P(±2,0)，與若y0≠0，則3(x將x0=1代入x24+y2綜上所述：點(diǎn)P坐標(biāo)為1,32或

21.(1)f′x=3x2?3=3x?2?2,?1?1?1,111,33f′+0?0+f?2單調(diào)遞增2單調(diào)遞減?2單調(diào)遞增18fx在?2,3上最大值是18，最小值?2(2)設(shè)切點(diǎn)為x0,y所以切線方程為y?x因為過點(diǎn)P2,t代入切線，有t?即t=3令gx=?2x3+6g′x=?6x2+12x=?6xx?2，令x?∞,000,222,+∞g′?0+0?g單調(diào)遞減?6單調(diào)遞增2單調(diào)遞減作出函數(shù)gx由圖可知：t的取值范圍?6,2．(3)由(2)知切線方程為y?x因為過點(diǎn)Qa,b代入切線，有b?即b=3令gxg′x=?6x2+6ax=?6xx?a，令當(dāng)a=0時，g′x<0，所以gx當(dāng)a>0時x?∞,000,aaa,+∞g′?0+0?g單調(diào)遞減極小值?3a單調(diào)遞增極大值a單調(diào)遞減所以當(dāng)?3a<b<a當(dāng)b=?3a或b=a當(dāng)b<?3a或b>a當(dāng)a<0時，x?∞,aaa,000,+∞g′?0+0?g單調(diào)遞減極小值a單調(diào)遞增極大值?3a單調(diào)遞減當(dāng)a3當(dāng)b=?3a或b=a當(dāng)b<a3?3a綜上所述：當(dāng)a=0,b∈R時，有一條切線當(dāng)a>0時，若?3a<b<a若b=?3a或b=a若b<?3a或b>a當(dāng)a<0時，若a3若b=?3a或b=a若b<a3?3a

22.解：(1)由題意知，數(shù)列

A

通項公式為

An=5?2n?1=?2n+7

，滿足

an+4+an=?2(n+4)+7?2n+7=?4n+6=2a數(shù)列

B

中，代入

n=1

，

a5+a1=17≠2a3

，所以不滿足

an+4+a(2)由數(shù)列

an

具有性質(zhì)

P(2)

，得

an+4所以

an+4?an+2=a所以數(shù)列

A1

：

a1

，

a3

，

a5

，

?

，

又因為

a1=1

，

a所以數(shù)列

A1

的公差

d1同理，得數(shù)列

A2

：

a2

，

a4

，

a6

，?，

a2k

，是等差數(shù)列，公差①若

d1≥0

且

d2≥0

，則數(shù)列

A1

的最小項是

a1=1

，數(shù)列

所以數(shù)列

an

的最小項為1，這與

an②若

d1≤0

且

d2≤0

，同理，得

an

的最大項為2，這與③若

d1<0

且

d2>0

，則

A1

由

ann∈N?=Z

，得3所以只能是

a4=3

，且

d同理，可得0為數(shù)列

A1

所以只能

a3=0

，

d此時，

an

的通項公式為

an=④若

d1>0

，

d2<0

，類似③的討論可得

d1=1此時，

an

的通項公式為

an綜上，

an

的通項公式為

an=3?n(3)由數(shù)列1，1，2，2，3，3，?，

n?1

，

n?1

，

n

，

n

，

n+1

，

n+1

，不是等差數(shù)列，且其同時具有性質(zhì)

P(2)

，

P(4)

，

P(6)

，得

k≠2

且

k≠4

．類似的，由數(shù)列1，1，1，2，2，2，3，3，3，?，

n

，

n

，

n

，不是等差數(shù)列，且其既具有性質(zhì)

P(6)

又具有性質(zhì)

P(3)

，得

k≠3

．所以

k

的最小值大于或等于5.

以下證明

k

的最小值等于5，即證“既具有性質(zhì)

P(6)

又具有性質(zhì)

P(5)

的數(shù)列

an

因為

an

具有性質(zhì)

P(6)

，即

an+12所以對于

m=1,2,3,4,5,6

，

am+6k(k∈N)同理，由

an

具有性質(zhì)

P(5)

，得對于

m=1,2,3,4,5

，

am+5k(k∈N)由

a1

，

a7

，

a13

，

a19

，

a25

，

a31

，為等差數(shù)列(記公差為

u

)，且

a1

，

a6

，

a11

，

a16

，

a21

，

a26

，

a31

為等差數(shù)列(記公差為

v

)令

u=6d

，則

v=5d

，

a1+6k=a1+6kd

同理，由

a1

，

a7

，?，

a37

，為等差數(shù)列，且

a2

，

a7

，

a12

，

a17

，

a22

，

a27

，

a32

，

a37

，為等差數(shù)列(記公差為

d所以

d3=5d

，且

a所以

a2+5k=a2同理，由

a1

，

a7

，

a13

，?，

a43

，為等差數(shù)列，且

a3

，

a8

，