物理總復(fù)習(xí)：動(dòng)量和能量

編稿：李傳安審稿：

【考綱要求】

1、知道彈性碰撞和非彈性碰撞；

2、能用動(dòng)量守恒定律定量分析一維碰撞問題；

3、知道動(dòng)量守恒定律的普遍意義

4、會(huì)從動(dòng)量和能量的角度分析碰撞問題

【考點(diǎn)梳理】

考點(diǎn)：動(dòng)量關(guān)系與能量關(guān)系的綜合應(yīng)用

要點(diǎn)詮釋：運(yùn)用各種力學(xué)規(guī)律解題的注意事項(xiàng)：

1、使用牛頓運(yùn)動(dòng)定律的關(guān)鍵是：確定研究對象，做好受力分析和過程分析，明

確并建

立力和加速度及運(yùn)動(dòng)與加速度的關(guān)系。

2、使用動(dòng)量定理的關(guān)犍是：確定研究對象，做好受力分析和過程分析,選取正

方向，

明確合外力的沖量及初、末動(dòng)量的正負(fù)。

3、使用動(dòng)能定理的關(guān)鍵是：確定研究對象，做好受力分析和過程分析，明

確哪些力做

功，哪些力不做功，哪些力做正功，哪些力做負(fù)功及動(dòng)能的變化。

4、使用動(dòng)量守恒定律的關(guān)鍵是：確定研究對象，做好受力分析和過程分析，判

斷是否符合動(dòng)量守恒的適用情況和適用條件。

5、使用機(jī)械能守恒定律的關(guān)鍵是：確定研究對象，做好受力分析和過程分析，

判斷是否符合機(jī)械能守恒的適用情況和適用條件。

6、使用能量守恒定律的關(guān)鍵是：確定研究對象，做好受力分析和過程分析，明

確有哪些力做功，做功的結(jié)果是導(dǎo)致什么能向什么能轉(zhuǎn)化，然后建立△/=白4戈

的關(guān)系。

【典型例題】

類型一、"子彈打木塊”問題分析

例1、光滑水平面上有一靜止的質(zhì)量為M的木板,現(xiàn)有一顆質(zhì)量為m、速率

為％的子彈沿水平方向擊中木板，進(jìn)入木板的深度為d(未穿出)，且沖擊過程

中阻力恒定。問：

(1)子彈與木板的阻力多大？在這個(gè)過程中,木板的位移是多少？

(2)沖擊時(shí)間是多少？

二|—人"飛量Q是多少？

叫

M!

【思路點(diǎn)撥】子彈打木塊是完全非彈性碰撞，碰撞中動(dòng)量守恒，能量減少，子彈

未射出，子彈與木板共速，分析子彈的位移、木塊的位移，要用動(dòng)能定理解決。

產(chǎn)生的熱量就是損失的全部動(dòng)能。

s=d

【答案】(1)42d(M+m)、7Mr-

(2)(3)Q=L,nv；-^—

v02A7+m

【解析】因子彈未射出木板，故二者獲得共同速度L在獲得共同速度的過程中，

設(shè)木板的位移為$,則子彈的位移為"八

(1)在獲得共同速度的過程中，動(dòng)量守恒+，〃)□①

碰撞后共同速度為,產(chǎn)」

設(shè)平均阻力為/,根據(jù)動(dòng)能定理，有

對子彈：一/(s+4)=g，加-g〃琢②

對木板：fs=^Mv2③

由①、②和③式可得：片匚木板的位移

2d(M+m)M+in

(2)設(shè)沖擊時(shí)間為1,以子彈為研究對象，根據(jù)子彈相對木板作末速度為零

的勻減速直線運(yùn)動(dòng)，相對位移卬,所以沖擊時(shí)間為金細(xì)

2%

（3）在認(rèn)為損失的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為內(nèi)能的條件下,

產(chǎn)生的熱量：（2=△且小相=fd=；mvl-^―

【點(diǎn)評】子彈打木塊是完全非彈性碰撞，碰撞中動(dòng)量守恒，能量減少。完全非彈

性碰撞在三種碰撞中能量損失最大。在對子彈應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)要注意位移是子彈

對地的位移，在對木板應(yīng)用動(dòng)能定理時(shí)位移是木板對地的位移，而在求轉(zhuǎn)化為內(nèi)

能的量時(shí)要用阻力（摩擦力）乘以相對位移。（可解②和③、①得到結(jié)論）

舉一反三

【變式1]質(zhì)量為M的均勻木塊靜止在光滑水平面上，木塊左右兩側(cè)各有一位

拿著完全相同的步槍和子彈的射擊手。首先左側(cè)射手先開槍，子彈水平射入木塊

的最大深度為di,然后右側(cè)射手開槍，子彈水平射

入木塊的最大深度為d2，如圖所示。設(shè)子彈均未射舞點(diǎn)扁

穿木塊，且兩顆子彈與木塊之間的作用力大小均相

同。當(dāng)兩顆子彈均相對于木塊靜止時(shí)，下列正確的是（）

A.木塊靜止,4=4

B.木塊靜止，d{<d2

C.木塊向右運(yùn)動(dòng)，4<〃2

D.木塊向左運(yùn)動(dòng)，4二4

【答案】B

【解析】設(shè)子彈的質(zhì)量為m,速度為%,子彈與木塊之間的相互作用力為了,

根據(jù)動(dòng)量守恒定律〃?%=（“+〃。匕（1）

根據(jù)動(dòng)能定理必+"川（2）

2片__

由（1）（2）兩式可得4=2-----J--------（3）

右邊的子彈水平射入木塊，設(shè)共同速度為彩，設(shè)向右為正方向

根據(jù)動(dòng)量守恒定律+m）v]-mvQ=（M+2m）v2（4）

比較（1）可知玲=0即木塊靜止。（可以通過分析得出木塊靜止的結(jié)論：木塊和

聯(lián)立①②⑤⑥⑦式得=；(1+乎)x竿⑧

因?yàn)樽訌椩阡摪逯惺艿降淖枇楹懔?，由⑧式可得，射入第二塊鋼板的深度x為

x=g(l+乎)d⑨

類型二、動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律(動(dòng)能定理、能量守恒定律)的綜合應(yīng)

用

例2、如圖，小球a、b用等長細(xì)線懸掛于同一固定點(diǎn)0。讓球a靜止下垂,

將球b向右拉起，使細(xì)線水平。從靜止釋放球b,兩球碰后粘在一起向左擺動(dòng)，

此后細(xì)線與豎直方向之間的最大偏角為60。。忽略空氣阻力，求

(i)兩球a、b的質(zhì)量之比；

(ii)兩球在碰撞過程中損失的機(jī)械能與球b在碰前的最大動(dòng)能之比。

o

【思路點(diǎn)撥】運(yùn)動(dòng)分析：球b從靜止擺到與a碰撞前，機(jī)械能守恒；兩球碰撞,

動(dòng)量前恒；碰后一起上升到最大偏角，機(jī)械能守恒。

【答案］,(i)"=夜-1;(ii)名=1-*

【解析】(i)設(shè)壬求b的質(zhì)量為m2,細(xì)線長為L,球b下落至最低點(diǎn)"日未與球

a相碰時(shí)的速度為u,由機(jī)械能守恒定律得，％=J嗎F①

式中g(shù)是重力加速度的大小。設(shè)球a的質(zhì)量為mi;在兩球碰后的瞬間，兩球共

同速度為/,以向左為正。由動(dòng)量守恒定律得叫I，=(見+，4)/②

設(shè)兩球共同向左運(yùn)動(dòng)到最高處，細(xì)線與豎直方向的夾角為0，由機(jī)械能守恒定律

得

,2

g(%+m2)v=(町+"[2)gL(l-cos0)(3)

聯(lián)立①②③式得色=/1-1④

%VI-cos

代入數(shù)據(jù)得㈣?=⑤

m2

(ii)兩球在碰撞過程中的機(jī)械能損失是

Q=m2gL-(〃4+tn2)gL(i-cos0)⑥

聯(lián)立①⑥式,Q與碰前球b的最大動(dòng)能Ek,Ek=生也之比為

2=i_3i(ios。)⑦2

Ek〃”0f5

聯(lián)立⑤⑦式，并代入題給數(shù)據(jù)得名=1一半⑧

2

【點(diǎn)評】解力學(xué)綜合題最重要的環(huán)節(jié)就是要分清物理過程，本題分為物理過程:

(1)球b從靜止下落到與a求碰撞前，符合機(jī)械能守恒;(2)兩球碰撞粘在一

起是完全非彈性碰撞，符合動(dòng)量守恒；(3)兩球碰后站在一起向左擺動(dòng)到最大偏

角(最高)，符合機(jī)械能守恒。按照各自的物理規(guī)律列方程求解。

舉一反三

【變式】勻強(qiáng)電場的方向沿x軸正向，電場強(qiáng)度E隨x的分布如圖所示，圖中

Eo和d均為已知量。將帶正電的質(zhì)點(diǎn)A在。點(diǎn)由靜止釋放。A離開電場足夠遠(yuǎn)

后，：E3放在O點(diǎn)也由靜止釋放。當(dāng)B在電場中運(yùn)動(dòng)時(shí)，

作用能均為零；B離開電場后，A、B間的相互作用

視為i才量為Q,A和B的質(zhì)量分別為m和：。不計(jì)重力。

4

(1)求A在電場中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間t;

(2)若B的電荷量g=,求兩質(zhì)點(diǎn)相百作用能的最大值Epm；

(3)為使B離開電場后不改變運(yùn)動(dòng)方向，求B所帶電荷量的最大值qmo

【答案】(1)，=侑(2)Ep/攀

【解析】(1)A在電場中做勻加速直線運(yùn)動(dòng)位移為d,根據(jù)牛頓第二定律

=坐①

mm

根據(jù)位移公式得

(2)設(shè)A、B分別離開電場后的速度為乙和%，根據(jù)動(dòng)能定理有

?1ni4

3機(jī)片=EQd②4=七。GQd③

由以上兩式比較可知A、B分別離開電場后的速度為巳小于以，所以B離開電

場后與A間的靜電斥力使B減速，使A加速，A、B系統(tǒng)的總動(dòng)能減小，相互

作用能增大，當(dāng)A、B的速度相同為前寸系統(tǒng)的總動(dòng)能最小，相互作用能最大,

在此過程中只有相互作用的靜電斥力，系統(tǒng)的能量和動(dòng)量都守恒有

mm?

mvA+—=mv+—v(4)

m

12J21212

—mv：+---v?=Emn+—+-----v⑤

2A24B0224

聯(lián)立②③④⑤四式解得

F-E°Qd

pm45

(3)A、B間距達(dá)到最小后靜電斥力繼續(xù)使B減速，使A加速，A、B系統(tǒng)的總

動(dòng)能增大，相互作用能減小，A、B間距達(dá)到無窮大時(shí)相互作用能為0。為使B

離開電場后不改變運(yùn)動(dòng)方向,B的速度滿足條件/之0⑥。根據(jù)系統(tǒng)的能量和動(dòng)

量都守恒有

m,tn.

/^+-vft=wvA+—

—mv\—v；=+—mv^+——v^2?

224224

③式中B的電量為外有

瞿說=&)%"⑨

JI

聯(lián)立②⑥⑦⑧⑨五式解得

(1B端Q，

所以B所帶電荷量的最大值%,若。

類型三、動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律(含彈性勢能)的綜合應(yīng)用

例3、如圖，ABC三個(gè)木塊的質(zhì)量均為mo置于光滑的水平面上，BC之間有

一輕質(zhì)彈

簧，彈簧的兩端與木塊接觸可不固連，將彈簧壓緊到不能再壓縮時(shí)用細(xì)線把BC

緊連，使彈

簧不能伸展，以至于BC可視為一個(gè)整體,現(xiàn)A以初速％沿BC的連線方向朝B

運(yùn)動(dòng)，與B

相碰并粘合在一起，以后細(xì)線突然斷開，彈簧伸展，從而使C與A,B分離，已

知C離開彈

簧后的速度恰為％,求彈簧釋放的勢能。

【思路點(diǎn)撥】運(yùn)動(dòng)分析：A與B碰撞至I」ABC達(dá)到共速，這一過程動(dòng)量守恒，列

一個(gè)方程；C離開彈簧時(shí)，動(dòng)量守恒,列一個(gè)方程；從細(xì)線斷開到C與彈簧分開

的過程中機(jī)械能守恒，再列一個(gè)方程，即可求解。

【答案】E產(chǎn)軻

【解析】設(shè)碰后A、B和C的共同速度的大小為u,由動(dòng)量守恒得3〃“=〃/①

設(shè)C離開彈簧時(shí)，A、B的速度大小為片,由動(dòng)量守恒得3加=2"?匕+以入②

設(shè)彈簧的彈性勢能為%,從細(xì)線斷開到C與彈簧分開的過程中機(jī)械能守恒，有

2(3〃力/+E='(2⑼匕2+工機(jī)詔③

2n2

由①②③式得彈簧所釋放的勢能為E〃=④

【點(diǎn)評】關(guān)于有彈簧的問題，解題的關(guān)鍵是理解題意,本題題目中"將彈簧壓緊

到不能再壓縮時(shí)〃與‘鎖定〃意思相同，是彈簧具有最大彈性勢能。另外："將

彈簧壓縮到最大〃是彈性勢能最大，系統(tǒng)共速；”當(dāng)彈簧伸長到最長時(shí)”也是共

速，彈性勢能最大。

舉一反三

【變式】如圖所示，光滑水平面軌道上有三個(gè)木塊，A、B、C,質(zhì)量分別為

mB=mc=2m,mA=m,A、B用細(xì)繩連接,中間有一壓縮的彈簧(彈簧與滑塊不

栓接)。開始時(shí)A、B以共同速度vo運(yùn)動(dòng)，C靜止。某時(shí)刻細(xì)繩突然斷開，A、B

被彈開，然后B又與C發(fā)生碰撞并粘在一起，最終三滑塊速度恰好相同。求B

與C碰撞前B的速度。

%

A耐B___________C

7777^777/77777777777777/7777

2mm2m

【答案】以=■

【解析】設(shè)共同速度為u，球A和B分開后,B的速度為小由動(dòng)量守恒定律有

（〃2八+根8）%=fnAV+niHVR/=（〃％+加0）丫

聯(lián)立這兩式得B和C碰撞前B的速度為%=2%。

類型四、動(dòng)量守恒定律與各種力學(xué)方法的綜合應(yīng)用

例4、如圖所示，水平地面上固定有高為h的平臺(tái)，臺(tái)面上固定有光滑坡道,

坡道頂端距臺(tái)面高也為h,坡道底端與臺(tái)面相切。小球A從坡道頂端由靜止開始

滑下，到達(dá)水平光滑的臺(tái)面后與靜止在臺(tái)面上的小球B發(fā)生碰撞,并粘連在一

E出，落地點(diǎn)與飛出點(diǎn)的水平距離恰好為臺(tái)高

仝氣阻力，重力加速度為g。求

【思路點(diǎn)撥】運(yùn)動(dòng)分析：A到達(dá)水平光滑的臺(tái)面時(shí),機(jī)械能守恒；A與B碰撞的

過程，動(dòng)量守恒,共速；碰后一起水平飛出，平拋運(yùn)動(dòng)。按照各自的物理規(guī)律列

出方程求解。

【答案】（1）L（2）%：inH=1:3

【解析】（1）小球A在坡道上只有重力做功機(jī)械能守恒，

有g(shù),nAVA=fnAgh①解得匕1=②

（2）小球A、B在光滑臺(tái)面上發(fā)生碰撞粘在一起速度為V,根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)量守恒

得

fnAvA=（%+"%）1'③

離開平臺(tái)后做平拋運(yùn)動(dòng),在豎直方向有:=〃④

在水平方向有二力二yf⑤

聯(lián)立②③④⑤化簡得%：加=1：3

【點(diǎn)評】解綜合題是關(guān)鍵是分清物理過程，按各自的物理規(guī)律列方程求解,有些

時(shí)候還要列出補(bǔ)充方程(如根據(jù)幾何關(guān)系等\

舉一反三

【變式1】如圖所示，質(zhì)量為M的平板車P高〃，質(zhì)量為m的小物塊Q的大小

不計(jì)，位于平板車的左端，系統(tǒng)原來靜止在光滑水平地面上。一不可伸長的輕質(zhì)

細(xì)繩長為R,一端懸于Q正上方高為R處，另一端系一質(zhì)量也為m的小球(不

計(jì)大小\今將小球拉至懸線與豎直位置成60角，由靜止釋放，小球到達(dá)最低點(diǎn)

時(shí)與Q的碰撞時(shí)間極短，且無能量損失,已知Q離開平板車時(shí)速度大小是平板

車速度的兩倍，Q與P之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為〃,M:m=4:l,重力加速度為g,

求：

(1)小物塊Q離開平板車時(shí)速度為多大？

r林安1/1\‘0，gR(^\17R4Ryp2Rh

【答案】(1)%=2v=^~—(2)/=——(3).V+JC=—+——

318〃9〃3

【解析】此題考查圓周運(yùn)動(dòng)與動(dòng)量相結(jié)合的知識，要綜合分析。

(1)小球由靜止擺到最低點(diǎn)的過程中，

有〃igR(l-cos60)=g〃而v()=7^

小球與物塊Q相撞時(shí)，沒有能量損失，動(dòng)量守恒，機(jī)械能守恒,

2

mv.=mv^mvQ（相1=:加片+3加%

解得匕=0,憶=%=病

二者交換速度,即小球靜止下來，而%=%=質(zhì)

Q在平板車上滑行的過程中離開時(shí)平板車速度為P,Q的速度為2y

根據(jù)動(dòng)量守恒，有〃八Q=MH〃?2u解得平板車速度,!%=攀

I——OO

小物塊Q離開平板車時(shí)，速度為=2尸年

（2）設(shè)平板車P的長度為/,由能的轉(zhuǎn)化和守恒定律，

2

知fl=；嶗一;Md一1/Z7（2V）f=pmg

乙乙L

解得平板車的長度為,二F

18〃

（3）小物塊Q在平板車上滑行的過程中，對地的位移為5,

根據(jù)動(dòng)能定理一〃〃?gs=！〃2（2u）2=嶗s=77~

22r-——9〃

平拋時(shí)間,水平是巨離x=2M=告

所以Q落地點(diǎn)距小球的水平距離為s+產(chǎn)費(fèi)+學(xué)

【變式2]如圖（a）所示的裝置中，小物塊A、B質(zhì)量均為m,水平面上PQ

段長為I,與物塊間的動(dòng)摩擦因數(shù)為M,其余段光滑。初