第1頁(yè)/共1頁(yè)昆明市2025屆“三診一?！备呷龔?fù)習(xí)教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，并認(rèn)真核準(zhǔn)條形碼上的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效，3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)得四則運(yùn)算，及復(fù)數(shù)的模公式可得解.【詳解】由已知，則，故選：D.2已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)交集的定義即可得解.【詳解】因?yàn)榧?，，所?故選：B.3.已知函數(shù)與的圖象如圖所示，則函數(shù)的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用函數(shù)的定義域排除BC；利用時(shí)的函數(shù)值符號(hào)排除D.【詳解】因?yàn)榈亩x域是函數(shù)與定義域的交集，故排除BC；由圖可知函數(shù)與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)右側(cè)交點(diǎn)為，則時(shí)，且，所以，排除D.故選：A.4.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與E交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M為線段的中點(diǎn)，若點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為p，，則（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】【分析】設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，由中點(diǎn)橫坐標(biāo)以及可得.【詳解】設(shè)，由題設(shè)知，則，得.故選：C5.在中，分別是角的對(duì)邊，且,則角的大小是A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】分析：利用正弦定理、誘導(dǎo)公式可得cosB=﹣，由此求得B的值．詳解：在△ABC中，∵，由正弦定理可得，化簡(jiǎn)可得﹣sin（B+C）=2sinAcosB，即﹣sinA=2sinAcosB，解得cosB=﹣，故B=，故選C．點(diǎn)睛：（1）在三角形中根據(jù)已知條件求未知的邊或角時(shí)，要靈活選擇正弦、余弦定理進(jìn)行邊角之間的轉(zhuǎn)化，以達(dá)到求解的目的．（2）求角的大小時(shí)，在得到角的某一個(gè)三角函數(shù)值后，還要根據(jù)角的范圍才能確定角的大小，這點(diǎn)容易被忽視，解題時(shí)要注意．6.已知圓錐的底面半徑為，高為2，正方體棱長(zhǎng)為a，若點(diǎn)A，B，C，D在該圓錐的側(cè)面上，點(diǎn)，，，在該圓錐的底面上，則（）A.2 B. C.1 D.【答案】C【解析】【分析】過(guò)正方體的一組對(duì)棱，作圓錐的截面，利用三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例列方程即可求解.【詳解】過(guò)正方體的一組對(duì)棱，作圓錐的截面，如圖所示：由題意可得：，，設(shè)這個(gè)正方體棱長(zhǎng)為，則，面對(duì)角線，所以，由，可得，即，解得：，故選：C7.若，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用二倍角正弦余弦公式及三角恒等變換化簡(jiǎn)，再結(jié)合兩角和正切公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，則，則，所以，所以，即得，所以.故選：B.8.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】易得，再結(jié)合已知可得，由，得，即可比較，利用作差法即可比較，即可得解.【詳解】由，得，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，此時(shí)，，這與矛盾，所以，由，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由A選項(xiàng)知，當(dāng)時(shí)，不符題意，所以，由，可得，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，所以，由，得，則，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，綜上所述，.故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為，點(diǎn)在上，且，當(dāng)?shù)碾x心率變化時(shí)，下列三角形可能為等腰三角形的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)，求出離心率即可判斷A；根據(jù)，求出離心率，即可判斷B；根據(jù)，求出離心率，即可判斷C；根據(jù)，求出離心率，即可判斷D.【詳解】如圖，作出橢圓，，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，則為等腰三角形，此時(shí)，則離心率，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，則為等腰三角形，此時(shí)離心率，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)點(diǎn)在線段的中垂線上時(shí)，，則為等腰三角形，由，得，解得，則，所以，所以離心率，故C正確；對(duì)于D，要使，則只能，此時(shí)，由，得，解得，所以，所以，所以，又，所以，所以不可能為等腰三角形，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.某校有男生m人，女生n人，且男生身高的均值為，方差為，女生身高的均值為，方差為，全體學(xué)生身高均值和方差分別為，，則下列說(shuō)法一定正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，利用分層抽樣中數(shù)據(jù)的平均數(shù)與方差的計(jì)算公式，分別求得和的表達(dá)式，結(jié)合選項(xiàng)，逐項(xiàng)求解，即可得到答案.【詳解】對(duì)于A中，若，則，，可得，所以所以A正確；對(duì)于B中，若，則，所以B正確；對(duì)于C中，若，可得則，又由，此時(shí)無(wú)法判定的符號(hào)，所以C不正確；對(duì)于D中，若，則，所以D正確.故選：ABD.11.若函數(shù)滿足：對(duì)，都有，則稱該函數(shù)具有性質(zhì)，下列函數(shù)具有性質(zhì)的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】舉出反例即可判斷AC；判斷出函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，即可判斷B；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再判斷其奇偶性，即可判斷D.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)椋詾槠婧瘮?shù)，因?yàn)楹瘮?shù)都是增函數(shù)，所以函數(shù)是增函數(shù)，不妨設(shè)，則，所以對(duì)，都有，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以為奇函?shù)，由，得，所以函數(shù)是增函數(shù)，不妨設(shè)，則，所以對(duì)，都有，故D正確.故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，若方向相反，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量共線坐標(biāo)公式求解即可.【詳解】因?yàn)榉较蛳喾?，所以，則，解得或，當(dāng)時(shí)，方向相同，當(dāng)時(shí)，方向相反，所以.故答案為：.13.已知點(diǎn)，，若直線l過(guò)且平分的面積，則l被外接圓截得的弦長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】分析可知外接圓圓心為，半徑，直線過(guò)，結(jié)合垂徑定理求弦長(zhǎng).【詳解】分別取的中點(diǎn)，則，可知外接圓圓心為，半徑，由題意可知：直線過(guò)，則直線，即，則圓心到直線的距離，所以所求弦長(zhǎng)為.故答案為：.14.直線與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)為，，，…，（，，），若，，，則________．【答案】##【解析】【分析】利用的兩個(gè)解之間的最小距離為，與圖象中，存在倍，從而可解得，再通過(guò)圖象分析最高點(diǎn)坐標(biāo)代入求解，從而可解決問(wèn)題.【詳解】由題意中的而的區(qū)間長(zhǎng)度剛好是，說(shuō)明區(qū)間的端點(diǎn)剛好是第一個(gè)交點(diǎn)與最后一個(gè)交點(diǎn)，而，說(shuō)明是如圖中，再由在中的兩個(gè)角之間的最小距離是，現(xiàn)在相當(dāng)于把正弦函數(shù)中壓縮到，即滿足，解得,而根據(jù)圖象對(duì)稱性，可知函數(shù)的最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，可代入得：，則，，解得，所以，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用的兩個(gè)解之間的最小距離為，與圖象中，存在倍，從而可解得.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)與的關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)即可得解；（2）利用裂項(xiàng)相消法求解即可.【小問(wèn)1詳解】由，①當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，②由①②得，即，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以.16.某種量子加密技術(shù)所用光子有兩種指向：“0指向”和“1指向”，光子的發(fā)送和接收都有A、B兩種模式．當(dāng)發(fā)送和接收模式相同時(shí)，檢測(cè)器檢測(cè)到的光子指向信息與發(fā)送信息一致，否則檢測(cè)出相異的指向信息．現(xiàn)發(fā)射器以A模式，從兩個(gè)“1指向”、兩個(gè)“0指向”的光子中隨機(jī)選擇兩個(gè)依次發(fā)送，接收器每次以A或者B模式接收，其概率分別為和．每次發(fā)送和接收相互獨(dú)立．（1）求發(fā)射器第一次發(fā)送“0指向”光子的條件下，第二次發(fā)送“1指向”光子的概率；（2）記發(fā)射器共發(fā)射“0指向”光子個(gè)數(shù)為X，求X的分布列；（3）求檢測(cè)器檢測(cè)到兩個(gè)“1指向”光子的概率．【答案】（1）（2）分布列見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）設(shè)事件為發(fā)射器第一次發(fā)送“0指向”光子，事件為發(fā)射器第二次發(fā)送“1指向”光子，然后由條件概率計(jì)算；（2）先求出X的可能取值，再計(jì)算相應(yīng)概率，列出分布列；（3）需要綜合發(fā)送和接收模式，分三種情況求和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)事件為發(fā)射器第一次發(fā)送“0指向”光子，事件為發(fā)射器第二次發(fā)送“1指向”光子，則，由條件概率公式.【小問(wèn)2詳解】由題意可得，，，所以的分布列為：012【小問(wèn)3詳解】?jī)纱螜z測(cè)到“1”需要綜合發(fā)送和接收模式，每次發(fā)送“0”時(shí)，檢測(cè)為“1”的概率為接受模式的概率；發(fā)送“1”時(shí)，檢測(cè)為“1”的概率為接受模式的概率，對(duì)所有可能的發(fā)送組合計(jì)算概率求和：分三種情況：兩次均發(fā)“1”，概率為，檢測(cè)概率為；一次“0”，一次“1”，概率為，檢測(cè)概率為；兩次均發(fā)“0”，概率為，檢測(cè)概率為，所以.17.已知函數(shù)．（1）若在點(diǎn)處的切線與曲線相切，求；（2）若是的兩個(gè)極值點(diǎn)，設(shè)，，直線的斜率為，證明：．【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出在點(diǎn)處的切線方程，再求出切線與曲線相切的切點(diǎn)，代入切線方程即可得解；（2）由題意可得函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，再利用韋達(dá)定理求出，不妨設(shè)，則，求出的表達(dá)式，再構(gòu)造函數(shù)求出其最值，即可得證.【小問(wèn)1詳解】由，得，則，所以在點(diǎn)處的切線方程為，由，得，令，得，則在點(diǎn)處的切線與曲線相切的切點(diǎn)為，所以，解得；【小問(wèn)2詳解】，因?yàn)槭堑膬蓚€(gè)極值點(diǎn)，所以函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，則，且，所以，不妨設(shè)，則，，則，因?yàn)?，所以，所以，令，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以所以，所以.18.如圖，四棱錐中，平面，，，．（1）證明：平面平面；（2）若，動(dòng)點(diǎn)M在內(nèi)（含邊界）且．①求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的長(zhǎng)度；②設(shè)直線與平面所成角為，求的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）①；②【解析】分析】（1）根據(jù)題意可證平面，進(jìn)而可得面面垂直；（2）①建系標(biāo)點(diǎn)，設(shè)，可知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓和點(diǎn)，即可得軌跡長(zhǎng)度；②設(shè)，利用空間向量求線面夾角，結(jié)合三角函數(shù)求取值范圍.【小問(wèn)1詳解】因平面，平面，則，由題意可知：，則，可知，且，平面，可知平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問(wèn)2詳解】①因?yàn)槠矫?，，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，因?yàn)椋瑒t，整理可得：，可知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，和點(diǎn)，所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡的長(zhǎng)度；②由①可設(shè)：或，可得，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，則，若，則，可得，；若，可得；所以的取值范圍為.19.已知雙曲線的焦距為，是的一條漸近線．（1）求的方程；（2）直線與交于、兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，求點(diǎn)的軌跡方程；（3）若曲線與交于、兩點(diǎn)（、兩點(diǎn)位于軸右側(cè)），記直線的斜率為，求的取值范圍．【答案】（1）（2）或（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意可得出關(guān)于、的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可得出雙曲線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)、、，將直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立，由可求得的取值范圍，利用韋達(dá)定理結(jié)合以及平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡(jiǎn)可得點(diǎn)的軌跡方程；（3）聯(lián)立與雙曲線的方程，可得出，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)，，其中，則，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，對(duì)的取值進(jìn)行分類討論，求出的范圍，再由斜率公式結(jié)合基本不等式可求得的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，解得，所以，雙曲線的方程為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)點(diǎn)、、，聯(lián)立可得，則，解得或，所以，，則，因?yàn)?，即，所以，點(diǎn)的軌跡方程為或.【小問(wèn)3詳解】聯(lián)立可得，即，設(shè)點(diǎn)、，不妨設(shè)，由題意可知，，令，