第=page11頁，共=sectionpages11頁河北省昌黎第一中學2025屆高三上學期期末數(shù)學試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A=xx2?6<0，B=xA.1,6 B.0,6 C.2.若z2?i=z+2i3，則zA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量a=1,3,b=?2,4，且a在b上的投影為A.5 B.6 C.24.已知α+β=π3，且sin2α+π6A.13 B.23 C.385.已知圓柱的底面半徑等于球O的半徑，圓柱的側面積與球O的表面積之比為12，則圓柱外接球的體積與球O的體積之比為(

)A.334 B.3386.已知定義在R上的函數(shù)fx滿足：fx+1為偶函數(shù)，fx+2?2為奇函數(shù)，且f3A.0 B.2 C.4 D.67.已知函數(shù)fx=2sinx?cosx在0,θ上的值域為?1,A.?12,2 B.?2,43 8.已知函數(shù)fx=2x?a+x?1?4恰好有A.?2,1 B.?3,1 C.?3,?2 D.?2,0二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.已知2x?1n=anx+1nA.i=0nai=1 B.a0=110.已知數(shù)列an的前n項和為Sn=nn+12，bn=tanaA.2Sn=anan+1 B.11.由坐標原點O向雙曲線y=kx(k>0)的各條切線作垂線，垂足對應的軌跡曲線C如下圖所示，若k=2，點Px,y(xy>0)在曲線C上，則A.C的方程為x2+y22=4xy B.曲線C關于直線y=x對稱

C.點P到兩坐標軸距離之積的最大值為2 D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.曲線fx=xcosx在0,0處的切線被圓C:x?113.已知P是橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上第一象限內(nèi)的點，M在y軸的正半軸上，連接PM，并延長與x軸交于點N，且M恰好為PN的中點，點P關于x軸的對稱點為Q，連接QM，設直線PM，QM的斜率分別為k114.2024年6月中專生姜萍以93分全球第12名的成績?nèi)雵驍?shù)學競賽決賽，成為社交媒體上的熱門話題，也使數(shù)學競賽成為各大高校關注的焦點．某高校借此熱度在數(shù)學系舉行了模擬數(shù)學競賽，經(jīng)過選拔之后組織了甲、乙兩個競賽隊進行冠亞軍爭奪賽．比賽時，主持人先展示出一道題目，再從標有1，2，3，4的四張卡片中隨機抽取一張，若數(shù)字為奇數(shù)，則由甲隊答題，若數(shù)字為偶數(shù)，則由乙隊答題，在規(guī)定時間內(nèi)，若答對本題，則本隊得10分，否則對手得10分．按照這種方式依次進行下一題的答題，直到其中一個隊的得分超過另一個隊30分，比賽結束，分高者為冠軍．已知甲、乙答對每道題的概率分別為59、49，且互不影響，前3道題，甲隊獲得20分的概率為

，若第一個問題甲隊得10分，恰好回答完第7道題后決出冠軍，則乙隊獲得冠軍的概率為

四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)記?ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c，已知sinB+cosC=0(1)求C；(2)若a=2，記∠BAC的角平分線與BC交于點D，求AD．16.(本小題12分)如圖，在三棱錐P?ABC中，O為AC的中點，D在線段PC上．已知PA=PC,AB=BC=2，∠ABC=120(1)求證：平面POB⊥平面ABC；(2)是否存在點D，使二面角D?AB?C的正切值為235？若存在，求出17.(本小題12分)已知函數(shù)f(1)若m=?2，求證：fx(2)當x∈0,+∞時，不等式fx≤2x+5恒成立，求18.(本小題12分)已知雙曲線E:x2a2?y2b2(1)求E的方程；(2)過直線x=22上一點P，作雙曲線E的兩條切線，切點分別為A，B(i)求證：直線AB過定點，并求出定點的坐標；(ⅱ)已知點P在第一象限，A，B分別在第一、四象限，若?PAB的面積為5306，求直線19.(本小題12分)若對?n∈N?，都有an?bn≤k(1)設an的前n項和Sn=1?12n,b1(2)若an=2n,(3)已知ai,bi∈1,2,3,4i=1,2,3,4，由數(shù)列an的所有項組成的集合M中恰好有2個元素，若an參考答案1.B

2.D

3.A

4.B

5.C

6.D

7.B

8.C

9.AD

10.AC

11.BCD

12.213.214.100243

；15.(1)因為c=3b，由正弦定理可得：sin所以sinC=?3又因為0<C<π，所以C=2π(2)由余弦定理可得c2=a又c=3b，則b2?b?2=0，解得：b=2，或b=?1(根據(jù)面積關系可得S?ABC即12即3又sinπ12=

16.(1)由PA=PC,AB=BC，，O為AC的中點，故PO⊥AC、BO⊥AC，又PO∩BO=O，PO、BO?平面POB，故AC⊥平面POB，又AC?平面ABC，故平面POB⊥平面ABC；(2)由∠ABC=120°，AB=BC=2，則故BO=22則有PO2+BO2=PB2，故故可以O為原點，建立如圖所示空間直角坐標系O?xyz，則有O0,0,0、P0,0,3、B1,0,0、C則AB=1,3,0設PD=λPC，則AD=由z軸⊥平面ABC，故平面ABC的法向量可為m=設平面ABD的法向量為n=則有n令x=3，則y=?1，即平面ABD的法向量可取n=設二面角D?AB?C為θ，有tanθ=則cosθ=即有cosm化簡得2λ?33λ?2=0，故λ=3由λ∈0,1，故λ=23

17.(1)fx=?2x則f′x令2x02+2x0?1=0則當x∈?1,x0時，f′x>0故fx在?1,x0則fx令?x=ln故?x在0,+∞上單調(diào)遞減，故?即當x>0時，lnx+1故f=4×?1+(2)fx令gx則g′x當m≤0時，mx+m?1≤0，則g′x≤0在故gx在0,+∞上單調(diào)遞減，則g當m≥1時，mx+m?1≥0，則g′x≥0在故gx在0,+∞上單調(diào)遞增，則g當0<m<1時，令mx+m?1=0，則x=1?m則當x∈0,1?mm時，g′x≤0故gx在0,1?mm由g2綜上所述：m≤0．

18.(1)由已知得ca=2c?a=所以E:x(2)(i)引理：二次曲線px2+qy2=1(p,q不為(證明：二次曲線①px2+qy2=1(p,q不為顯然①，②兩方程相減得2px0x+2q由于點Mx由于①②，①③，②③聯(lián)立之后是等價的同解方程組，所以直線③經(jīng)過①②的所有公共點，且與①或②不可能再有其它的公共點，由于曲線①②只有點Mx0,y0當①是橢圓時，直線③與之有且只有點Mx當二次曲線①為雙曲線時，②表示的是經(jīng)過點Mx①②不可能再有除點Mx0,y0也就是說直線③與①有且只有點Mx0,所以它就是雙曲線的切線．引理證畢.)設P22則A,B處的切線方程為x1因為它們都經(jīng)過點P，所以為2所以直線AB的方程為2顯然直線AB經(jīng)過定點2(ii)設P22直線AB的方程為x?2ty?2=0，與則y1y1=1AB=點P到直線AB的距離d=若S?PAB=1令2t2+1=5代入(?)可得：u32?5u2=再設3u=v解得v=1，(負值舍去)，則u=13解得t=33，所以直線AB

19.(1)當n=1時，a1當n≥2時，an當n=1時，也a1=1所以bn+1所以bn所以an所以an與bn是“(2)由an所以an又an與bn為“4級相鄰數(shù)列”，所以n2n令fn=n所以fn=n2n單調(diào)遞減，所以f所以1(3)因為an與bn為“1當ai=1時，bi∈1,2有2種不同選擇；ai=2時，bi∈1,2,3有3種不同選擇；ai由數(shù)列an的所有項組成的集合M中恰好有2個元素，所以M有1,2,1,3當M={1,2}時，數(shù)列an可能是1個1、3個2的排列(有4種不同的排列)；也可能是2個1、2個2的排列(有C42=6種不同的排列)；還可能是3個1、1個2的排列(有1個1、3個2的每一種排列，2個1、2個2的每一種排列，3個1、1個2的每一種排列對應的數(shù)