微專題29與圓有關(guān)的位置關(guān)系考點精講構(gòu)建知識體系考點梳理1.點與圓的位置關(guān)系點在圓外d＝OA①r點在圓上d＝OB②r點在圓內(nèi)d＝OC③r2.直線與圓的位置關(guān)系(2024年首次涉及考查)位置關(guān)系相離相切相交d與r的關(guān)系d④rd⑤rd⑥r(nóng)交點的個數(shù)沒有公共點有且只有一個公共點有兩個公共點示意圖3.切線的性質(zhì)與判定(6年6考)(1)性質(zhì)定理：圓的切線⑦于過切點的半徑(或直徑)(2)性質(zhì)：①切線和圓只有一個公共點；②圓心到切線的距離等于圓的半徑；③切線垂直于過切點的半徑；④經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過切點；⑤經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必過圓心(3)判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線(4)判定方法：①直線與圓公共點已知：連半徑，證垂直；②直線與圓公共點未知：作垂直，證半徑4.切線長與切線長定理圖示切線長在經(jīng)過圓外一點的圓的切線上，這點與⑧之間的線段的長度，叫做這點到圓的切線長切線長定理從圓外一點可以引圓的⑨條切線，它們的切線長⑩，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.(探索并證明切線長定理*選學(xué))5.三角形的內(nèi)切圓(1)定義：與三角形各邊都相切的圓(2)圓心O：內(nèi)心(三角形的內(nèi)切圓圓心或三角形三條?的交點)(3)性質(zhì)：三角形的內(nèi)心到三角形?的距離相等(4)角度關(guān)系：如圖③，圖④，∠BOC＝90°＋12∠【知識拓展】任意三角形的內(nèi)切圓直角三角形的內(nèi)切圓圖③圖④利用等面積法可得：r＝2利用等面積法可得：r＝ab利用切線長定理可得：r＝a練考點1.已知☉O的半徑為3，P為平面內(nèi)一點，OP＝4，則點P在☉O.(填“內(nèi)”“上”或“外”)2.已知圓的半徑為3，圓心到某直線的距離為2，則此直線與圓的位置關(guān)系為.(填“相交”“相切”或“相離”)3.如圖，AC是☉O的直徑.(1)若BC是☉O的切線，則∠ACB＝°；(2)若AB＝5，BC＝4，AC＝3，則BC與☉O.(填“相交”“相切”或“相離”)第3題圖4.如圖，PA，PB是☉O的切線，A，B為切點，連接AB，OA，OB，PO，PO交☉O于點C，交AB于點D，∠OAB＝30°.第4題圖(1)∠APB的度數(shù)為；(2)若OA＝4，則OP的長為.5.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，則△ABC的內(nèi)切圓半徑r＝.第5題圖6.如圖，△ABC的外接圓半徑為5，其圓心O恰好在中線CD上，若AB＝CD，則△ABC的面積為.第6題圖高頻考點考點與切線有關(guān)的證明及計算(6年6考)一、切線的判定(6年4考)方法解讀1.利用平行證垂直：當(dāng)需要證明的切線有一條垂線時，可證明過切點的半徑與這條垂線平行.2.利用等角轉(zhuǎn)換證垂直：題干中直接給出角度關(guān)系或給出切線與弦的夾角等于某個圓周角時，常通過等角代換來證明.3.利用三角形全等證垂直：常在“共點雙切線型”圖形中運用，通過連接圓心與兩條切線的交點構(gòu)造全等三角形來證得垂直.4.作垂直，證半徑：過圓心作直線的垂線段，證明垂線段長等于半徑.方法一連半徑、證垂直例1(利用平行證垂直)核心設(shè)問如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑的☉O交BC于點E，過點E作EF⊥AB于點F.求證：EF是☉O的切線.[2019廣東24(2)題考查]例1題圖例2(利用等角轉(zhuǎn)換證垂直)如圖，AB是☉O的直徑，C是圓上一點，過點C的直線CD交BA延長線于點D，且∠DCA＝∠B，求證：CD是☉O的切線.例2題圖例3(利用三角形全等證垂直)核心設(shè)問如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC為直徑作☉O，交AB于點D，點E為AC上一點，連接DE.若DE＝CE，求證：DE是☉O的切線.[2020廣東22(1)題考查]例3題圖方法二作垂直、證半徑例4核心設(shè)問如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC上一點O為圓心，OC長為半徑作☉O，連接BO，若BO平分∠ABC，求證：AB是☉O的切線.[2024廣東17(2)題考查]例4題圖二、切線性質(zhì)的相關(guān)證明及計算(6年2考)方法解讀1.證明角相等的方法：(1)根據(jù)直角三角形中兩銳角互余，進行等量代換找到對應(yīng)的角；(2)根據(jù)平行線與等腰三角形的性質(zhì)，進行等量代換找到相對應(yīng)的角；(3)通過證明兩個三角形全等，得到對應(yīng)的角相等.2.求線段長的方法：(1)若題干中含有30°，45°，60°等特殊角度或出現(xiàn)三角函數(shù)sin、cos、tan時，考慮利用三角函數(shù)求線段長；(2)若題干無特殊角或三角函數(shù)，觀察圖形發(fā)現(xiàn)已知邊與所求邊分別所在的三角形存在相似關(guān)系，考慮作輔助線將所求線段轉(zhuǎn)化到直角三角形中，利用相似三角形求線段長.3.證明線段平行的方法：(1)通過角之間的等量代換，利用同位角相等、內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補的方法證明兩直線平行.(2)設(shè)法將兩條線段放在同一個三角形中，利用中位線(或等分點)的性質(zhì)證明兩直線平行.例5如圖①，在△ABC中，∠A＝90°，E是BC上一點，以BE為直徑的☉O與AC相切于點D，連接BD，DE.例5題圖①(1)求證：∠ABD＝∠CDE；(2)求證：BD平分∠ABC；(3)若∠ABD＝30°，AD＝3，求OC的長；(4)如圖②，若F為CD的中點，連接EF，∠C＝30°，求證：EF∥AB.例5題圖②真題及變式命題點切線的判定及性質(zhì)(6年6考) 1.(2020廣東22題8分)如圖①，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB是☉O的直徑，CO平分∠BCD.(1)求證：直線CD與☉O相切；(2)如圖②，記(1)中的切點為E，P為優(yōu)弧AE上一點，AD＝1，BC＝2.求tan∠APE的值.第1題圖2.(2019廣東24題9分·北師九下習(xí)題改編)如圖①，在△ABC中，AB＝AC，☉O是△ABC的外接圓，過點C作∠BCD＝∠ACB交☉O于點D，連接AD交BC于點E，延長DC至點F，使CF＝AC，連接AF.(1)求證：ED＝EC；(2)求證：AF是☉O的切線；(3)如圖②，若點G是△ACD的內(nèi)心，BC·BE＝25，求BG的長.第2題圖新考法3.[真實問題情境]陀螺(如圖①)是中國民間最早的娛樂工具之一，歷經(jīng)千年發(fā)展成為備受世界喜愛的一項運動.玩木制陀螺時需要掌握一定的技巧，其中發(fā)動陀螺尤為重要.某數(shù)學(xué)興趣小組畫出如圖②所示的示意圖，陀螺的截面圖記作☉O，將鞭繩纏繞陀螺后余下的鞭繩為AC，點C為接頭，繩桿為PC，發(fā)動陀螺時需將手放在優(yōu)弧AB處固定陀螺，連接AB，AP，AP交☉O于點D，連接BD且∠ABC＝∠ADB.(1)求證：PC與☉O相切；(2)實踐中發(fā)現(xiàn)，當(dāng)AC與☉O相切于點A，且AC⊥PC時，發(fā)動陀螺更加穩(wěn)定，若陀螺半徑r＝4cm，∠BAP＝30°，求繩桿CP的長度.第3題圖

考點精講①＞②＝③＜④＞⑤＝⑥＜⑦垂直⑧切點⑨兩⑩相等?角平分線?三條邊練考點1.外2.相交3.(1)90；(2)相切4.(1)60°；(2)85.16.32高頻考點例1證明：如解圖，連接OE，∵OC＝OE，∴∠OEC＝∠C.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠OEC＝∠B，∴OE∥AB.∵EF⊥AB，∴EF⊥OE，∵OE是☉O的半徑，∴EF是☉O的切線.例1題解圖例2證明：如解圖，連接OC，∵AB是☉O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°.又∵OA＝OC，∴∠CAB＝∠ACO，∵∠DCA＝∠B，∴∠DCO＝∠ACO＋∠DCA＝∠CAB＋∠B＝90°，即CD⊥OC.∵OC是☉O的半徑，∴CD是☉O的切線.例2題解圖例3證明：如解圖，連接OD，OE，在△ODE與△OCE中，OD＝∴△ODE≌△OCE(SSS)，∴∠ODE＝∠OCE＝90°，即OD⊥DE，∵OD是☉O的半徑，∴DE是☉O的切線.例3題解圖例4證明：如解圖，過點O作OD⊥AB于點D，∴∠ODB＝∠OCB＝90°，∴OC⊥BC，∵BO平分∠ABC，∴OD＝OC，∵OC是☉O的半徑，∴OD是☉O的半徑，∴AB是☉O的切線.例4題解圖例5(1)證明：∵BE為☉O的直徑，∴∠BDE＝90°，∴∠ADB＋∠CDE＝90°，∵∠A＝90°，∴∠ABD＋∠ADB＝90°，∴∠ABD＝∠CDE；(2)證明：如解圖①，連接OD，∵AC是☉O切線，∴∠ODC＝90°，∵∠A＝90°，∴AB∥OD，∴∠ABD＝∠ODB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，∴∠ABD＝∠OBD，∴BD平分∠ABC；例5題解圖①(3)解：如解圖①，連接OD，由(1)知∠ABD＝∠CDE，由(2)知∠ABD＝∠OBD，∵∠A＝90°，∠ABD＝30°，AD＝3，∴∠OBD＝∠ODB＝∠CDE＝30°，BD＝23，∴∠DOC＝60°，∵AC與☉O相切于點D，∴∠ODC＝90°，∴∠C＝90°－60°＝30°，∴∠CDE＝∠C，∴DE＝CE，∵∠BDE＝90°，∴BE＝33cos30°＝4，DE＝12BE∴CE＝DE＝2，∴OC＝4；(4)證明：如解圖②，連接OD，由(2)得∠ODC＝90°，∵∠C＝30°，∴∠DOC＝60°，∵OD＝OE，∴△ODE為等邊三角形，∴∠ODE＝60°，∴∠CDE＝90°－60°＝30°，∴∠CDE＝∠C，∴CE＝DE＝OE，∴點E是OC的中點.∵點F是CD的中點，∴EF是△ODC的中位線，∴EF∥OD，由(2)知，OD∥AB，∴EF∥AB.例5題解圖②真題及變式1.(1)證明：如解圖①，過點O作OE⊥CD于點E，∵AD∥BC，∠DAB＝90°，∴∠OBC＝90°，∴∠OBC＝∠OEC，∵CO平分∠BCD，∴∠1＝∠2，又∵CO＝CO，∴△BOC≌△EOC(AAS)，∴OE＝OB，∵OB為☉O的半徑，∴OE為☉O的半徑，又∵OE⊥CD，∴直線CD與☉O相切； (3分)(2)解：如解圖②，連接OD，OE，由(1)得OE＝OB，∴OE＝OA，∵∠OAD＝∠OED＝90°，OD＝OD，∴Rt△AOD≌Rt△EOD(HL)，∴DE＝AD＝1，∠3＝∠4＝12∠AOE∴∠APE＝12∠AOE＝∠3由(1)得△BOC≌△EOC，∴CE＝BC＝2，∴CD＝DE＋CE＝3. (5分)過點D作DF⊥BC，垂足為點F，則四邊形ABFD為矩形，∴CF＝BC－BF＝BC－AD＝1，在Rt△DFC中，DF＝CD2－C∴OA＝12AB＝12DF＝∴tan∠APE＝tan∠3＝ADOA＝12＝22. 第1題解圖一題多解法如解圖③，連接BE，AE，并延長AE交BC的延長線于點F，由題意得∠APE＝∠ABE，∵∠DAB＝90°，AB為☉O直徑，∴AD與☉O相切，∴DE＝AD＝1，同理可得CE＝CB＝2，∵AD∥BC，∴AEFE＝DECE＝12，即FE＝2AE， ∵AB是☉O的直徑，∴BE⊥AF，∵∠ABE＋∠BAE＝90°，∠ABE＋∠FBE＝90°，∴∠BAE＝∠FBE，∴△ABE∽△BFE，∴AEBE＝BEFE＝BE2AE，即BE2＝∴AEBE＝22(負(fù)值已舍去∴tan∠APE＝tan∠ABE＝AEBE＝22. (8第1題解圖③2.(1)證明：如解圖①，∵AB＝AC，∴∠1＝∠3，∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠3.∵∠3＝∠4，∴∠2＝∠4，∴ED＝EC； (2分)第2題解圖①(2)證明：如解圖②，連接OA，OB，OC，∵OB＝OC，AB＝AC，∴AO是BC的垂直平分線，∴AO⊥BC.∵由(1)得∠2＝∠3，∴AB∥DF.∵AB＝AC＝CF，∴四邊形ABCF是平行四邊形，∴AF∥BC，∴AO⊥AF.∵OA是☉O的半徑，∴AF是☉O的切線； (5分)第3題解圖②(3)解：如解圖③，連接AG，∵∠1＝∠2，∠2＝∠5，∴∠1＝∠5.∵G是△ADC的內(nèi)心，∴∠7＝∠8，∵∠BAG＝∠5＋∠7，∠6＝∠1＋∠8，∴∠BAG＝∠6，∴AB＝BG.∵∠3＝∠3，∠1＝∠5，∴△ABE∽△CBA，∴ABBE＝CB∴AB2＝BE·BC＝25，∴AB＝5(負(fù)值已舍去)，∴BG＝5. (9分)第3題解圖③3.(1)證明：如解圖①，連接OA，OB，∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA.∵∠ADB＝12∠AOB＝12(180°－2∠OBA)＝90°－∠∴∠ADB＋∠OBA＝90°，∵∠ABC＝∠ADB，∴∠ABC＋∠OBA＝90°，∴∠OBC＝90°，即OB⊥PC，∵OB是☉O的半徑，∴PC與☉O相切；第3題解圖(2)解：如解圖②，連接OA，OB，OD，∵AC與☉O相切于點A，OA是☉O的半徑，∴AC⊥PC，由(1)知，OB⊥BC，∴∠