微專題30與圓有關(guān)的計(jì)算考點(diǎn)精講構(gòu)建知識(shí)體系考點(diǎn)梳理1.弧長(zhǎng)與扇形面積(6年5考)圓周長(zhǎng)C＝①r為圓(扇形)的半徑；n°為弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)；l是扇形的弧長(zhǎng)扇形弧長(zhǎng)l＝②圓面積S＝③扇形面積S扇形＝④＝12注：陰影部分圖形的面積計(jì)算，方法講解詳見本書P136～P137微專題三種方法求陰影部分面積2.圓錐的相關(guān)計(jì)算(6年2考)相關(guān)計(jì)算(1)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形；(2)圓錐的母線長(zhǎng)l為扇形的⑤；(3)圓錐底面圓的周長(zhǎng)2πr為扇形的⑥；(4)圓錐的高為h，則r2＋h2＝l2；(5)圓錐的底面圓周長(zhǎng)：C＝2πr；(6)圓錐的底面圓面積：S＝πr2；(7)圓錐的側(cè)面積：S＝πrlr為底面圓半徑l為圓錐的母線長(zhǎng)3.正多邊形與圓名稱公式圖例中心角正n邊形的每個(gè)中心角θ為⑦R：半徑r：邊心距a：邊長(zhǎng)θ：中心角邊心距正n邊形的邊心距r＝R周長(zhǎng)正n邊形的周長(zhǎng)l＝na面積正n邊形的面積S＝⑧rl(l為正n邊形的周長(zhǎng))練考點(diǎn)1.已知扇形AOB的半徑為4，圓心角為60°，則該扇形的弧長(zhǎng)＝，面積＝.2.如圖，扇形的半徑為6，圓心角為120°，用這個(gè)扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則所得圓錐的底面半徑為.第2題圖3.如圖，☉O是正六邊形ABCDEF的外接圓.(1)∠FAO的度數(shù)為；(2)若☉O的半徑OA為6，則圓心到邊AB的距離為.第3題圖高頻考點(diǎn)考點(diǎn)1與弧長(zhǎng)、扇形面積有關(guān)的計(jì)算(6年5考)例1(2024佛山南海區(qū)一模)如圖，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，以CD為直徑的圓與AD交于點(diǎn)E，則CDE的長(zhǎng)是()A.3π B.7π2 C.4π D.例1題圖例2(2024山西)如圖①是小區(qū)圍墻上的花窗，其形狀是扇形的一部分，圖②是其幾何示意圖(陰影部分為花窗).通過(guò)測(cè)量得到扇形AOB的圓心角為90°，OA＝1m，點(diǎn)C，D分別為OA，OB的中點(diǎn)，則花窗的面積為m2.例2題圖考點(diǎn)2與圓錐有關(guān)的計(jì)算(6年2考)例3(2024珠海金灣區(qū)一模)如圖，已知一圓在扇形AOB的外部，沿扇形的AB，從點(diǎn)A滾動(dòng)一周(無(wú)滑動(dòng))，恰好到達(dá)點(diǎn)B.如果OA＝24cm，∠AOB＝60°，圓的半徑為cm.例3題圖變式1(2024煙臺(tái))如圖，在邊長(zhǎng)為6的正六邊形ABCDEF中，以點(diǎn)F為圓心，以FB的長(zhǎng)為半徑作BD，剪下圖中陰影部分做一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面半徑為.變式1題圖考點(diǎn)3正多邊形與圓例4(2024甘孜州)如圖，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于☉O，OA＝1，則AB的長(zhǎng)為()A.2 B.3 C.1 D.1例4題圖變式2(2024佛山順德區(qū)一模)我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽首創(chuàng)“割圓術(shù)”：通過(guò)圓內(nèi)接正多邊形割圓，邊數(shù)越多割得越細(xì)，正多邊形的周長(zhǎng)就越接近圓的周長(zhǎng).如圖，由圓內(nèi)接正六邊形可算出π≈3.若利用圓內(nèi)接正十二邊形來(lái)計(jì)算圓周率，則圓周率π約為()變式2題圖A.12sin30° B.12cos30° C.12sin15° D.12cos15°真題及變式命題點(diǎn)1與圓錐有關(guān)的計(jì)算(6年2考) 1.(2020廣東16題4分)如圖，從一塊半徑為1m的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓周角為120°的扇形ABC，如果將剪下來(lái)的扇形圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的底面圓的半徑為m.第1題圖命題點(diǎn)2與扇形面積有關(guān)的計(jì)算(6年5考) 2.(2022廣東15題3分)扇形的半徑為2，圓心角為90°，則該扇形的面積(結(jié)果保留π)為.3.(2021廣東13題4分·北師九下習(xí)題改編)如圖，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝4.分別以點(diǎn)B，點(diǎn)C為圓心，線段BC長(zhǎng)的一半為半徑作圓弧，交AB，BC，AC于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，則圖中陰影部分的面積為.第3題圖4.(2019廣東22題7分)在如圖所示的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，以點(diǎn)A為圓心的EF與BC相切于點(diǎn)D，分別交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn).(1)求△ABC三邊的長(zhǎng)；(2)求圖中由線段EB，BC，CF及FE所圍成的陰影部分的面積.第4題圖新考法5.[真實(shí)問(wèn)題情境](2024呼倫貝爾)為了促進(jìn)城鄉(xiāng)協(xié)調(diào)發(fā)展，實(shí)現(xiàn)共同富裕，某鄉(xiāng)鎮(zhèn)計(jì)劃修建公路.如圖，AB與CD是公路彎道的外、內(nèi)邊線，它們有共同的圓心O，所對(duì)的圓心角都是72°，點(diǎn)A，C，O在同一條直線上，公路彎道外側(cè)邊線比內(nèi)側(cè)邊線多36米，則公路寬AC的長(zhǎng)是米.(π取3.14，計(jì)算結(jié)果精確到0.1)第5題圖6.[綜合與實(shí)踐](2024廣東21題9分)【主題】濾紙與漏斗【素材】如圖①所示：①一張直徑為10cm的圓形濾紙；②一只漏斗口直徑與母線均為7cm的圓錐形過(guò)濾漏斗.第6題圖①【實(shí)踐操作】步驟1：取一張濾紙；步驟2：按如圖②所示步驟折疊好濾紙；步驟3：將其中一層撐開，圍成圓錐形；步驟4：將圍成圓錐形的濾紙放入如圖①所示漏斗中.第6題圖②【實(shí)踐探索】(1)濾紙是否能緊貼此漏斗內(nèi)壁(忽略漏斗管口處)？用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)說(shuō)明；(2)當(dāng)濾紙緊貼漏斗內(nèi)壁時(shí)，求濾紙圍成圓錐形的體積.(結(jié)果保留π)

考點(diǎn)精講①2πr②nπr180③πr2④nπr2⑦360°n練考點(diǎn)1.4π32.23.(1)60°；(2)33高頻考點(diǎn)例1C【解析】如解圖，取CD的中點(diǎn)O，連接OE，∵在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，∴∠D＝∠B＝60°，CD＝AB＝6，∴∠COE＝2∠D＝120°，OC＝3，∴CDE的長(zhǎng)是240π×3例1題解圖例2(π4－18)【解析】∵點(diǎn)C，D分別為OA，OB的中點(diǎn)，OA＝1m，∴OC＝12OA＝12m，OD＝12OB＝12m.∴S陰影＝S扇形AOB－S△OCD＝90π360－12OC·例34【解析】設(shè)圓的半徑為rcm，2πr＝60π×24180，解得變式13【解析】設(shè)圓錐的底面半徑為r，∵正六邊形邊長(zhǎng)為6，∴AB＝AF＝6，∠BAF＝120°，∴∠AFB＝30°，∴BF＝2AF·cos30°＝63，∵∠BFD＝∠AFE－2∠AFB＝60°，∴60π×63180＝2πr，例4C【解析】∵正六邊形ABCDEF，∴∠AOB＝360°6＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB為等邊三角形，∴AB＝OA＝變式2C【解析】如解圖，連接OA1，OA2，過(guò)點(diǎn)O作OM⊥A1A2，垂足為點(diǎn)M，設(shè)☉O的半徑為R，∵十二邊形A1A2…A12是圓內(nèi)接正十二邊形，∴∠A1OA2＝360°12＝30°，又∵OA1＝OA2，OM⊥A1A2，∴∠A1OM＝15°，在Rt△A1OM中，∠A1OM＝15°，OA1＝R，∴A1M＝R·sin15°，∴A1A2＝2A1M＝2R·sin15°，∴正十二邊形A1A2…A12的周長(zhǎng)為12A1A2＝2R·sin15°×12，∴2πR＝2R·sin15°×12，解得π＝12sin變式2題解圖真題及變式1.13【解析】設(shè)圓錐的底面圓半徑為Rm，根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)等于底面圓周長(zhǎng)，可得到120π×1180＝2πR，2.π【解析】扇形面積為90π×23.4－π【解析】在等腰直角三角形ABC中，∵∠A＝90°，BC＝4，∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC＝22BC＝22，∵BC＝4，∴BE＝CE＝12BC＝2，∴S陰影＝S△ABC－S扇形BDE－S扇形CEF＝12×22×22－45π×224.解：(1)根據(jù)題圖可知AB2＝22＋62＝40，∴AB＝210. (1分)∵AC2＝22＋62＝40，∴AC＝210. (2分)∵BC2＝42＋82＝80，∴BC＝45； (3分)(2)如解圖，連接AD，由(1)知AB2＋AC2＝BC2，AB＝AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°. (4分)∵以點(diǎn)A為圓心的EF與BC相切于點(diǎn)D，∴AD⊥BC，∴AD＝12BC＝25. (5分∵S△ABC＝12BC·AD＝12×45×25＝S扇形EAF＝14π×(25)2＝5π， (6分∴S陰影＝S△ABC－S扇形EAF＝20－5π. (7分)第4題解圖5.28.7【解析】根據(jù)題意，得AB的長(zhǎng)為72π·OA180，CD的長(zhǎng)為72π·OC180，∵公路彎道外側(cè)邊線比內(nèi)側(cè)邊線多36米，∴72π·OA180－72π·OC180＝36，∴72π·(6.解：(1)能，理由如下： (1分)