導數(shù)及其應用第三章第2講導數(shù)在研究函數(shù)中的應用【考綱導學】1．了解函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系；能利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，會求函數(shù)的單調區(qū)間(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)．2．了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件；會用導數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)；會求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項式函數(shù)一般不超過三次)．欄目導航01課前基礎診斷03課后感悟提升02課堂考點突破04配套訓練課前基礎診斷11．函數(shù)的單調性與導數(shù)(1)在區(qū)間D上，若f′(x)≥0，且f′(x)＝0不連續(xù)成立?函數(shù)f(x)在區(qū)間D上___________；(2)在區(qū)間D上，若f′(x)≤0，且f′(x)＝0不連續(xù)成立?函數(shù)f(x)在區(qū)間D上___________；(3)在區(qū)間D上，若f′(x)＝0恒成立?函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是___________．遞增遞減常函數(shù)2．函數(shù)的極值與導數(shù)>

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大小大小3．函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值，且最大(小)值必在區(qū)間端點或極值點處取得．(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調遞增，則__________為函數(shù)的最小值，__________為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調遞減，則__________為函數(shù)的最大值，__________為函數(shù)的最小值．f(a)

f(b)

f(a)

f(b)

1．(教材習題改編)如圖所示是f(x)的導函數(shù)f′(x)的圖象，則f(x)的極小值點的個數(shù)為(

)A．1

B．2

C．3

D．4【答案】A

【解析】由題意知在x＝－1處f′(－1)＝0，且其左右兩側導數(shù)符號為左負右正．故選A．2．若函數(shù)f(x)＝kx－lnx在區(qū)間(1，＋∞)內單調遞增，則k的取值范圍是(

)A．(－∞，－2] B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)

D．[1，＋∞)【答案】D

3．(2018年烏魯木齊模擬)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1時的極值為10，那么a＋b的值為(

)A．－7 B．0C．－7或0 D．以上都不對【答案】A

4．(2018年荊州模擬)函數(shù)f(x)＝x3－x2＋2在(0，＋∞)上的最小值為_______．【答案】3

1．求函數(shù)單調區(qū)間與函數(shù)極值時沒有列表的習慣，會造成問題不能直觀且有條理地解決．2．求函數(shù)最值時，易誤認為極值點就是最值點，不通過比較就下結論．3．解題時要注意區(qū)分求單調性和已知單調性的問題，處理好f′(x)＝0時的情況；區(qū)分極值點和導數(shù)為0的點．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)：(1)f′(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充要條件．(

)(2)函數(shù)在其定義域內離散的點處導數(shù)等于0不影響函數(shù)的單調性．(

)(3)函數(shù)的極大值不一定比極小值大．(

)(4)對可導函數(shù)f(x)，f′(x0)＝0是x0為極值點的充要條件．(

)(5)函數(shù)在開區(qū)間一定不存在最大值和最小值．(

)(6)函數(shù)的最大值不一定是極大值，函數(shù)的最小值也不一定是極小值．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

(5)×

(6)√課堂考點突破2利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

已知函數(shù)f(x)＝ex－ax－1.(1)求f(x)的遞增區(qū)間；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上為減函數(shù)？說明理由．【解析】(1)由f(x)＝ex－ax－1，得f′(x)＝ex－a.當a≤0時，f′(x)＝ex－a≥0，f(x)在R上遞增；當a>0時，由f′(x)＝ex－a≥0，解得x≥lna.所以當a≤0時，f(x)的遞增區(qū)間為R；當a>0時，f(x)的遞增區(qū)間是[lna，＋∞)．(2)要使f(x)在(－2,3)上為減函數(shù)，則f′(x)＝ex－a≤0在(－2,3)上恒成立，即a≥ex在x∈(－2,3)上恒成立．又因為－2<x<3，所以e－2<ex<e3，只需a≥e3.故存在實數(shù)a≥e3，使f(x)在(－2,3)上為減函數(shù)．【規(guī)律方法】(1)確定函數(shù)單調區(qū)間的步驟：①確定函數(shù)f(x)的定義域；②求f′(x)；③解不等式f′(x)>0，解集在定義域內的部分為單調遞增區(qū)間；④解不等式f′(x)<0，解集在定義域內的部分為單調遞減區(qū)間．(2)利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性的關鍵在于準確判定導數(shù)的符號，當f(x)含參數(shù)時，需依據(jù)參數(shù)取值對不等式解集的影響進行分類討論．分類討論時，要做到不重不漏．已知函數(shù)的單調性求參數(shù)【規(guī)律方法】(1)函數(shù)f(x)存在單調遞減區(qū)間，即導函數(shù)在某區(qū)間上的值為負，即f′(x)<0有解．(2)f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0，且在(a，b)內的任一非空子區(qū)間上f′(x)不恒為0.【跟蹤訓練】2．已知函數(shù)f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在R上為增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)的單調減區(qū)間為(－1,1)，求a的值．【解析】(1)因為f(x)在R上是增函數(shù)，所以f′(x)＝3x2－a≥0在R上恒成立，即a≤3x2對x∈R恒成立．因為3x2≥0，所以只需a≤0.又因為a＝0時，f′(x)＝3x2≥0，當且僅當x＝0時取等號，所以f(x)＝x3－1在R上是增函數(shù)．所以實數(shù)a的取值范圍是(－∞，0]．利用導數(shù)研究函數(shù)的極值【考向分析】函數(shù)的極值是每年高考的必考內容，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，難度適中，為中、高檔題．常見的考向：(1)由圖象判斷函數(shù)極值；(2)已知函數(shù)求極值；(3)已知極值求參數(shù)．由圖象判斷函數(shù)極值

設函數(shù)f(x)在R內可導，其導函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)y＝(1－x)f′(x)的圖象如圖所示，則下列結論中一定成立的是(

)A．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(1)C．函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(－2)D．函數(shù)f(x)有極大值f(－2)和極小值f(2)【答案】D

【解析】由圖可知，當x＜－2時，f′(x)＞0；當－2＜x＜1時，f′(x)＜0；當1＜x＜2時，f′(x)＜0；當x＞2時，f′(x)＞0.由此可以得到函數(shù)f(x)在x＝－2處取得極大值，在x＝2處取得極小值．故選D．已知函數(shù)求極值

已知函數(shù)f(x)＝x－alnx(a∈R)．(1)當a＝2時，求曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的極值．已知極值求參數(shù)【規(guī)律方法】(1)求函數(shù)f(x)極值的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求導數(shù)f′(x)；③解方程f′(x)＝0，求出函數(shù)定義域內的所有根；④列表檢驗f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右兩側值的符號，如果左正右負，那么f(x)在x0處取極大值，如果左負右正，那么f(x)在x0處取極小值．(2)可導函數(shù)y＝f(x)在點x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側與右側f′(x)的符號不同．應注意，導數(shù)為零的點不一定是極值點．對含參數(shù)的求極值問題，應注意分類討論．利用導數(shù)求函數(shù)的最值

(2018年石嘴山模擬)已知函數(shù)f(x)＝ax2－(a＋2)x＋lnx.(1)當a＝1時，求f(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值；(2)若對任意x1，x2∈(0，＋∞)且x1＜x2，f(x1)＋2x1＜f(x2)＋2x2恒成立，求a的取值范圍．【規(guī)律方法】求函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟：(1)求函數(shù)在(a，b)內的極值；(2)求函數(shù)在區(qū)間端點的函數(shù)值f(a)，f(b)；(3)將函數(shù)f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．課后感悟提升31個提醒——函數(shù)的定義域求函數(shù)的單調區(qū)間應遵循定義域優(yōu)先的原則．2個條件——函數(shù)在區(qū)間(a，b)內單調的條件(1)在某區(qū)間內f′(x)>0(f′(x)<0)是函數(shù)f(x)在此區(qū)間上為增(減)函數(shù)的充分不必要條件．(2)可導函數(shù)f(x)在(a，b)內是增(減)函數(shù)的充要條件為：對?x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子區(qū)間內都不恒為零．4個步驟——求函數(shù)單調區(qū)間的步驟第一步：求函數(shù)f(x)的定義域；第二步：求導數(shù)f′(x)；第三步：在函數(shù)定義域內解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；第四步：確定f(x)的單調區(qū)間．1．(2016年四川)已知a為函數(shù)f(x)＝x3－12x的極小值點，則a＝(

)A．－4

B．－2

C．4

D．2【答案】D

【解析】f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2，易得f(