中職第一冊2.3一元二次不等式?一、教學(xué)目標(biāo)1.知識與技能目標(biāo)理解一元二次不等式的概念，掌握一元二次不等式的一般形式。能熟練求解一元二次不等式，并能在數(shù)軸上表示其解集。了解一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程之間的關(guān)系。2.過程與方法目標(biāo)通過從實(shí)際問題中抽象出一元二次不等式模型的過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力。在求解一元二次不等式的過程中，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、類比、歸納等數(shù)學(xué)思維過程，提高學(xué)生的邏輯推理能力。通過借助二次函數(shù)圖象求解一元二次不等式，讓學(xué)生體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，增強(qiáng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的意識。3.情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)通過創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生積極探索的精神。在小組合作學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)學(xué)生的團(tuán)隊(duì)合作意識和交流能力，讓學(xué)生體驗(yàn)成功的喜悅。通過對一元二次不等式的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的廣泛應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性。

二、教學(xué)重難點(diǎn)1.教學(xué)重點(diǎn)一元二次不等式的解法。一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程之間的關(guān)系。2.教學(xué)難點(diǎn)理解一元二次不等式解集的含義，并能正確求解一元二次不等式。運(yùn)用一元二次不等式解決實(shí)際問題時，如何建立合理的數(shù)學(xué)模型。

三、教學(xué)方法1.講授法：講解一元二次不等式的基本概念、一般形式以及求解方法等基礎(chǔ)知識，使學(xué)生系統(tǒng)地掌握新知識。2.討論法：組織學(xué)生對一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程之間的關(guān)系進(jìn)行討論，鼓勵學(xué)生積極思考、發(fā)表見解，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流能力和思維能力。3.練習(xí)法：通過布置適量的練習(xí)題，讓學(xué)生鞏固所學(xué)的一元二次不等式的求解方法，提高學(xué)生運(yùn)用知識解決問題的能力。4.多媒體輔助教學(xué)法：利用多媒體展示二次函數(shù)圖象、一元二次不等式的求解過程等，直觀形象地幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)知識，提高教學(xué)效果。

四、教學(xué)過程

（一）導(dǎo)入新課（5分鐘）1.創(chuàng)設(shè)情境通過多媒體展示以下兩個實(shí)際問題：問題1：某商場銷售某種商品，進(jìn)價為每件40元，售價為每件60元，每天可銷售300件。市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，單價每上漲1元，每天銷售量就減少10件。設(shè)每件商品的售價上漲x元（x為正整數(shù)），每天的銷售利潤為y元。（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)每件商品的售價定為多少元時，每天的銷售利潤恰好為6090元？（3）當(dāng)每件商品的售價定為多少元時，每天的銷售利潤不低于6090元？問題2：某種汽車在勻速行駛中每小時的耗油量y（升）關(guān)于行駛速度x（千米/小時）的函數(shù)解析式可以表示為\(y=\frac{1}{128000}x^3\frac{3}{80}x+8\)（0<x≤120）。已知甲、乙兩地相距100千米。（1）當(dāng)汽車以40千米/小時的速度勻速行駛時，從甲地到乙地要耗油多少升？（2）當(dāng)汽車以多大的速度勻速行駛時，從甲地到乙地耗油最少？最少為多少升？2.引導(dǎo)思考讓學(xué)生思考如何解決上述問題中的第（3）問，從而引出本節(jié)課的主題一元二次不等式。

（二）講解新課（25分鐘）1.一元二次不等式的概念引導(dǎo)學(xué)生觀察問題1中得到的不等式\((60+x40)(30010x)\geq6090\)，以及問題2中可能出現(xiàn)的類似不等式，讓學(xué)生分析這些不等式的共同特點(diǎn)。教師總結(jié)：這些不等式都只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2，像這樣的不等式叫做一元二次不等式。給出一元二次不等式的一般形式：\(ax^2+bx+c>0\)或\(ax^2+bx+c<0\)（\(a\neq0\)），其中\(zhòng)(a\)、\(b\)、\(c\)是實(shí)數(shù)。2.一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程的關(guān)系以二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）為例，通過多媒體展示二次函數(shù)的圖象，引導(dǎo)學(xué)生觀察當(dāng)\(y=0\)時，對應(yīng)的一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的根與二次函數(shù)圖象和\(x\)軸交點(diǎn)的關(guān)系。進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考：當(dāng)\(y>0\)或\(y<0\)時，對應(yīng)的\(x\)的取值范圍與二次函數(shù)圖象有什么關(guān)系？組織學(xué)生分組討論，然后每組派代表發(fā)言，教師進(jìn)行總結(jié)歸納：一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)（\(a\neq0\)）的根就是二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）圖象與\(x\)軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。一元二次不等式\(ax^2+bx+c>0\)的解集就是二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）圖象在\(x\)軸上方部分對應(yīng)的\(x\)的取值范圍；一元二次不等式\(ax^2+bx+c<0\)的解集就是二次函數(shù)\(y=ax^2+bx+c\)（\(a\neq0\)）圖象在\(x\)軸下方部分對應(yīng)的\(x\)的取值范圍。3.一元二次不等式的解法以不等式\(x^22x3>0\)為例，講解一元二次不等式的求解方法。方法一：因式分解法首先將不等式左邊因式分解為\((x3)(x+1)>0\)。然后根據(jù)"同號得正，異號得負(fù)"的原則，得到兩個不等式組：\(\begin{cases}x3>0\\x+1>0\end{cases}\)或\(\begin{cases}x3<0\\x+1<0\end{cases}\)解第一個不等式組\(\begin{cases}x3>0\\x+1>0\end{cases}\)，得\(\begin{cases}x>3\\x>1\end{cases}\)，取交集得\(x>3\)。解第二個不等式組\(\begin{cases}x3<0\\x+1<0\end{cases}\)，得\(\begin{cases}x<3\\x<1\end{cases}\)，取交集得\(x<1\)。所以不等式\(x^22x3>0\)的解集為\(\{x|x<1或x>3\}\)。方法二：圖象法先畫出二次函數(shù)\(y=x^22x3\)的圖象。對于二次函數(shù)\(y=x^22x3\)，其中\(zhòng)(a=1\)，\(b=2\)，\(c=3\)。根據(jù)對稱軸公式\(x=\frac{2a}=\frac{2}{2\times1}=1\)，把\(x=1\)代入函數(shù)可得\(y=1^22\times13=4\)，所以函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,4)\)。再令\(y=0\)，即\(x^22x3=0\)，因式分解得\((x3)(x+1)=0\)，解得\(x=3\)或\(x=1\)，所以函數(shù)圖象與\(x\)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為\((1,0)\)和\((3,0)\)。畫出函數(shù)圖象后，觀察圖象在\(x\)軸上方部分對應(yīng)的\(x\)的取值范圍，即\(x<1\)或\(x>3\)，所以不等式\(x^22x3>0\)的解集為\(\{x|x<1或x>3\}\)。總結(jié)一元二次不等式\(ax^2+bx+c>0\)（\(a>0\)）的求解步驟：步驟一：將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式\(ax^2+bx+c>0\)（\(a>0\)）。步驟二：計算判別式\(\Delta=b^24ac\)的值。步驟三：當(dāng)\(\Delta>0\)時，方程\(ax^2+bx+c=0\)有兩個不相等的實(shí)根\(x_1\)，\(x_2\)（\(x_1<x_2\)），不等式的解集為\(\{x|x<x_1或x>x_2\}\)。當(dāng)\(\Delta=0\)時，方程\(ax^2+bx+c=0\)有兩個相等的實(shí)根\(x_0\)，不等式的解集為\(\{x|x\neqx_0\}\)。當(dāng)\(\Delta<0\)時，方程\(ax^2+bx+c=0\)無實(shí)根，不等式的解集為\(R\)。步驟四：在數(shù)軸上表示不等式的解集。

（三）例題講解（15分鐘）1.求解不等式\(2x^23x2>0\)。解：方法一：因式分解法將不等式左邊因式分解為\((2x+1)(x2)>0\)。根據(jù)"同號得正，異號得負(fù)"的原則，得到兩個不等式組：\(\begin{cases}2x+1>0\\x2>0\end{cases}\)或\(\begin{cases}2x+1<0\\x2<0\end{cases}\)解第一個不等式組\(\begin{cases}2x+1>0\\x2>0\end{cases}\)，得\(\begin{cases}x>\frac{1}{2}\\x>2\end{cases}\)，取交集得\(x>2\)。解第二個不等式組\(\begin{cases}2x+1<0\\x2<0\end{cases}\)，得\(\begin{cases}x<\frac{1}{2}\\x<2\end{cases}\)，取交集得\(x<\frac{1}{2}\)。所以不等式\(2x^23x2>0\)的解集為\(\{x|x<\frac{1}{2}或x>2\}\)。方法二：圖象法對于二次函數(shù)\(y=2x^23x2\)，其中\(zhòng)(a=2\)，\(b=3\)，\(c=2\)。對稱軸\(x=\frac{2a}=\frac{3}{2\times2}=\frac{3}{4}\)，把\(x=\frac{3}{4}\)代入函數(shù)可得\(y=2\times(\frac{3}{4})^23\times\frac{3}{4}2=\frac{25}{8}\)，所以函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為\((\frac{3}{4},\frac{25}{8})\)。令\(y=0\)，即\(2x^23x2=0\)，因式分解得\((2x+1)(x2)=0\)，解得\(x=\frac{1}{2}\)或\(x=2\)，所以函數(shù)圖象與\(x\)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為\((\frac{1}{2},0)\)和\((2,0)\)。畫出函數(shù)圖象后，觀察圖象在\(x\)軸上方部分對應(yīng)的\(x\)的取值范圍，即\(x<\frac{1}{2}\)或\(x>2\)，所以不等式\(2x^23x2>0\)的解集為\(\{x|x<\frac{1}{2}或x>2\}\)。2.已知不等式\(ax^2+bx+2>0\)的解集為\(\{x|\frac{1}{2}<x<\frac{1}{3}\}\)，求\(a\)，\(b\)的值。解：因?yàn)椴坏仁絓(ax^2+bx+2>0\)的解集為\(\{x|\frac{1}{2}<x<\frac{1}{3}\}\)，所以\(\frac{1}{2}\)，\(\frac{1}{3}\)是方程\(ax^2+bx+2=0\)的兩個根。根據(jù)韋達(dá)定理，可得\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{a}\)，\(\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{a}\)。由\(\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}=\frac{2}{a}\)，解得\(a=12\)。將\(a=12\)代入\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{a}\)，即\(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{12}\)，解得\(b=2\)。

（四）課堂練習(xí)（10分鐘）1.求解不等式\(3x^27x+2<0\)。2.已知不等式\(mx^2+2x+1>0\)的解集為\(R\)，求\(m\)的取值范圍。

（五）課堂小結(jié)（5分鐘）1.引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，包括一元二次不等式的概念、一元二次不等式與二次函數(shù)、一元二次方程之間的關(guān)系以及一元二次不等式的解法。2.讓學(xué)生總結(jié)求解一元二次不等式的步驟和方法，強(qiáng)調(diào)在求解過程中需要注意的問題，如因式分解、判別式的計算、韋達(dá)定理的應(yīng)用等。3.教師對學(xué)生的總結(jié)進(jìn)行補(bǔ)充和完善，再次強(qiáng)調(diào)本節(jié)課的重點(diǎn)和難點(diǎn)，確保學(xué)生對所學(xué)知識有一個系統(tǒng)、清晰的認(rèn)識。

（六）布置作業(yè)（5分鐘）1.書面作業(yè)：課本第[X]頁練習(xí)第[X]題、習(xí)題第[X]題。已知不等式\(x^2+ax+b<0\)的解集為\(\{x|1<x<2\}\)，求\(a\)，\(b\)的值。2.拓展作業(yè)：某商場將進(jìn)價為20元的臺燈以45元售出，平均每月能售出50盞。調(diào)查表明：這種臺燈的售價每上漲1元，其銷售量就將減少1盞。為了實(shí)現(xiàn)平均每月1000元的銷售利潤，這種臺