第21頁（共21頁）2024-2025學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）期中必刷?？碱}之排列與組合一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?吉林期末）2025年的寒假就要到了，甲、乙、丙、丁四個(gè)同學(xué)都計(jì)劃去旅游，除常見的五個(gè)旅游熱門地北京、上海、廣州、深圳、成都外，延邊打卡也火爆全國，則甲、乙、丙、丁四個(gè)同學(xué)恰好選擇三個(gè)城市旅游的方法種數(shù)共有（）A．1800 B．1080 C．720 D．3602．（2024秋?甘肅期末）某學(xué)校廣播站有6個(gè)節(jié)目準(zhǔn)備分2天播出，每天播出3個(gè)，其中學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)介紹和新聞報(bào)道兩個(gè)節(jié)目必須在第一天播出，談話節(jié)目必須在第二天播出，則不同的播出方案共有（）A．108種 B．90種 C．72種 D．36種3．（2024秋?呼和浩特期末）為了支援與促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)發(fā)展，某市教育系統(tǒng)選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，這五名教師被分派到三個(gè)不同地方對口支援，每位教師只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個(gè)地方的方法種數(shù)為（）A．18 B．150 C．36 D．544．（2024秋?巴中期末）為了加強(qiáng)家校聯(lián)系，某班舉行一次座談會(huì)，會(huì)上邀請了6位學(xué)生及他們的父母總共18人參加，并從中選出6位代表發(fā)言，如果這6人由其中一個(gè)家庭的3人與其他三個(gè)家庭中的各1人組成，那么不同的選人方案有（）A．720種 B．1240種 C．1440種 D．1620種5．（2024秋?錫山區(qū)校級期末）運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，將甲、乙等5名志愿者安排到A，B，C三個(gè)場地參加志愿服務(wù)，每名志愿者只能安排去一個(gè)場地，每個(gè)場地至少需要1名志愿者，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個(gè)場地，則不同的安排方法種數(shù)為（）A．72 B．96 C．114 D．124二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?酒泉期末）若C13m+1A．3 B．4 C．5 D．6（多選）7．（2024秋?呼和浩特期末）甲、乙、丙等6人排成一列，下列說法正確的有（）A．若甲和乙相鄰，共有240種排法 B．若甲不排第一個(gè)共有480種排法 C．若甲與丙不相鄰，共有480種排法 D．若甲在乙的前面，共有360種排法（多選）8．（2024秋?惠山區(qū)校級期末）某學(xué)校高二年級數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組中有男生5人，女生3人，則下列說法正確的是（）A．從中選2人，1人做正組長，1人做副組長，共有64種不同的選法 B．從中選2人參加數(shù)學(xué)競賽，其中男、女生各1人，共有15種不同的選法 C．將這8名學(xué)生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320種 D．8名學(xué)生排成一排，已知5名男生已排好，現(xiàn)將3名女生插入隊(duì)伍中，則共有336種排法三．填空題（共4小題）9．（2024秋?江西期末）現(xiàn)將8個(gè)體積相同但質(zhì)量均不同的小球放入恰好能容納8個(gè)小球且底面圓直徑與小球直徑相同的圓柱形卡槽內(nèi)，這8個(gè)小球分別為2個(gè)紅球、4個(gè)白球、2個(gè)黑球，若4個(gè)白球互不相鄰，且其中一個(gè)白球不能放入卡槽的兩端，則共有種不同的放法；若2個(gè)紅球之間恰好有白球和黑球各1個(gè)，則共有種不同的放法．10．（2024秋?浦東新區(qū)校級期末）已知n為正整數(shù)，且An2=30，則n＝11．（2025?廣東一模）如圖，左邊是編號(hào)為1、2、3、4的A型鋼板，右邊是編號(hào)為甲、乙、丙的B型鋼板，現(xiàn)將兩堆鋼板自上而下地堆放在一起．則B型鋼板均不相鄰的放法共種；乙號(hào)鋼板上方的A型鋼板的編號(hào)之和與其下方的A型鋼板的編號(hào)之和相等的放法共種．12．（2024秋?焦作期末）第13屆中國電子信息博覽會(huì)將于2025年4月在深圳舉行．某公司要從A，B，C，D，E，F(xiàn)共6個(gè)不同的展位中選3個(gè)分別展示甲、乙、丙3種不同的電子產(chǎn)品，且主推產(chǎn)品甲必須在A展位，則共有種不同的展示方法．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?畢節(jié)市校級期末）為了了解高二年級學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，某學(xué)校對高二年級學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查，隨機(jī)抽取200名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：分鐘）作為樣本，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這200名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間均在[45，105]內(nèi)，繪制的頻率分布表如表所示：日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間[45，55）[55，65）[65，75）[75，85）[85，95）[95，105]頻率0.050.100.250.350.150.10（1）試估計(jì)這200名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）試估計(jì)這200名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間的第30百分位數(shù)；（3）現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣從日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間在[85，95）與[95，105]內(nèi)的學(xué)生中抽取5名學(xué)生進(jìn)行個(gè)案分析，再從這被抽取的5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生提供個(gè)性化指導(dǎo)方案，求被抽取的3名學(xué)生中至少有2名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間在[85，95）內(nèi)的概率．14．（2024秋?撫順期末）在2名指導(dǎo)老師的帶領(lǐng)下，4名大學(xué)生（男生2名，女生2名）志愿者深入鄉(xiāng)村，開啟了支教之旅．他們?yōu)猷l(xiāng)村的孩子們精心設(shè)計(jì)了閱讀、繪畫、心理輔導(dǎo)等多元化課程，并組織了豐富多彩的文體游戲．支教結(jié)束后，現(xiàn)讓這6名師生站成一排進(jìn)行合影，在下列情況下，各有多少種不同的站法？（1）2名指導(dǎo)老師相鄰且站正中間，2名女大學(xué)生相鄰；（2）2名男大學(xué)生互不相鄰，且男大學(xué)生甲不站最左側(cè)；（3）2名指導(dǎo)老師之間恰有1名女大學(xué)生和1名男大學(xué)生．15．（2024秋?北京校級期末）從3名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選擇4位同學(xué)去參加志愿者活動(dòng)．（1）共有多少種不同的選法？（2）既有男生又有女生的選法有多少種？

2024-2025學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)人教A版（2019）期中必刷?？碱}之排列與組合參考答案與試題解析題號(hào)12345答案CACDC一．選擇題（共5小題）1．（2024秋?吉林期末）2025年的寒假就要到了，甲、乙、丙、丁四個(gè)同學(xué)都計(jì)劃去旅游，除常見的五個(gè)旅游熱門地北京、上海、廣州、深圳、成都外，延邊打卡也火爆全國，則甲、乙、丙、丁四個(gè)同學(xué)恰好選擇三個(gè)城市旅游的方法種數(shù)共有（）A．1800 B．1080 C．720 D．360【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】對應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】先求出恰有2個(gè)同學(xué)所選的旅游地相同，再應(yīng)用分步計(jì)數(shù)及排列、組合數(shù)求得結(jié)果．【解答】解：甲、乙、丙、丁四個(gè)同學(xué)從五個(gè)旅游熱門地選擇三個(gè)城市旅游，第一步，先選恰有2個(gè)同學(xué)所選的旅游地相同，有C4第二步，從6個(gè)旅游地中選出3個(gè)排序，有A6根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，方法有6×120＝720種．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．2．（2024秋?甘肅期末）某學(xué)校廣播站有6個(gè)節(jié)目準(zhǔn)備分2天播出，每天播出3個(gè)，其中學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)介紹和新聞報(bào)道兩個(gè)節(jié)目必須在第一天播出，談話節(jié)目必須在第二天播出，則不同的播出方案共有（）A．108種 B．90種 C．72種 D．36種【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①在其他3個(gè)節(jié)目中選出1個(gè)，與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)介紹和新聞報(bào)道兩個(gè)節(jié)目一起在第一天播出，②剩下的3個(gè)節(jié)目在第二天播出，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：①在其他3個(gè)節(jié)目中選出1個(gè)，與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)介紹和新聞報(bào)道兩個(gè)節(jié)目一起在第一天播出，有C31②剩下的3個(gè)節(jié)目在第二天播出，有A33則有18×6＝108種播出方案．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．3．（2024秋?呼和浩特期末）為了支援與促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)發(fā)展，某市教育系統(tǒng)選派了三位男教師和兩位女教師支援新疆，這五名教師被分派到三個(gè)不同地方對口支援，每位教師只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，其中兩位女教師分派到同一個(gè)地方的方法種數(shù)為（）A．18 B．150 C．36 D．54【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】對應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】按照兩位女教師分派到同一個(gè)地方時(shí)，男老師也分配到該地方的人數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類討論，進(jìn)而即得．【解答】解：五名教師被分派到三個(gè)不同地方對口支援，每位教師只去一個(gè)地方，每個(gè)地方至少去一人，分派方案可按人數(shù)分為3，1，1或2，2，1兩種情況，根據(jù)題意兩位女教師分派到同一個(gè)地方，分派方案可分為兩種情況：若兩位女教師分配到同一個(gè)地方，且該地方?jīng)]有男老師，則有：C3若兩位女教師分配到同一個(gè)地方，且該地方有一位男老師，則有：C3故共有：36種分派方法．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了排列組合的混合問題，先選后排是最基本的指導(dǎo)思想，屬于中檔題．4．（2024秋?巴中期末）為了加強(qiáng)家校聯(lián)系，某班舉行一次座談會(huì)，會(huì)上邀請了6位學(xué)生及他們的父母總共18人參加，并從中選出6位代表發(fā)言，如果這6人由其中一個(gè)家庭的3人與其他三個(gè)家庭中的各1人組成，那么不同的選人方案有（）A．720種 B．1240種 C．1440種 D．1620種【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】對應(yīng)思想；定義法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】先選出一個(gè)家庭，該家庭的所有成員都被選中，再從剩余家庭中選出3個(gè)，每個(gè)家庭再選一人即可，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得結(jié)果．【解答】解：根據(jù)題意6人由其中一個(gè)家庭的3人與其他三個(gè)家庭中的各1人組成，可知從6個(gè)家庭中任意選出一個(gè)，這個(gè)家庭的3人都被選中，共有C6再從剩余的5個(gè)家庭里面選出3個(gè)家庭，共有C5最后從3組家庭中各選一人，即有C3因此不同的選人方案共有C6故選：D．【點(diǎn)評】本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題．5．（2024秋?錫山區(qū)校級期末）運(yùn)動(dòng)會(huì)期間，將甲、乙等5名志愿者安排到A，B，C三個(gè)場地參加志愿服務(wù)，每名志愿者只能安排去一個(gè)場地，每個(gè)場地至少需要1名志愿者，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個(gè)場地，則不同的安排方法種數(shù)為（）A．72 B．96 C．114 D．124【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】根據(jù)題意，先將5人分為三組并分配到各個(gè)場地，再計(jì)算得出甲乙不在同一個(gè)場地的情況即可求解．【解答】解：根據(jù)題意，分2種情況討論：①將5名志愿者分為1，2，2的三組，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個(gè)場地，則不同的安排方法有C2②將5名志愿者分為1，1，3的三組，且甲、乙兩名志愿者不安排到同一個(gè)場地，則不同的安排方法有A3故不同的安排方法共有72+42＝114種．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．二．多選題（共3小題）（多選）6．（2024秋?酒泉期末）若C13m+1A．3 B．4 C．5 D．6【考點(diǎn)】組合及組合數(shù)公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】BC【分析】利用組合數(shù)的計(jì)算即可求解．【解答】解：因?yàn)镃13所以m+1＝2m﹣3或m+1+2m﹣3＝13，解得m＝4或5．故選：BC．【點(diǎn)評】本題主要考查組合數(shù)公式，屬于基礎(chǔ)題．（多選）7．（2024秋?呼和浩特期末）甲、乙、丙等6人排成一列，下列說法正確的有（）A．若甲和乙相鄰，共有240種排法 B．若甲不排第一個(gè)共有480種排法 C．若甲與丙不相鄰，共有480種排法 D．若甲在乙的前面，共有360種排法【考點(diǎn)】排列組合的綜合應(yīng)用．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】利用“捆綁法”可判斷A，分類討論可判斷B，利用“插空法”可判斷C，利用“定序法”可判斷D．【解答】解：對于A，若甲和乙相鄰，共有A22?A對于B，若甲不排第一個(gè)，共有A51?A對于C，若甲與丙不相鄰，共有A44?A對于D，若甲在乙的前面，共有A66A2故選：ACD．【點(diǎn)評】本題主要考查了排列組合知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．（多選）8．（2024秋?惠山區(qū)校級期末）某學(xué)校高二年級數(shù)學(xué)課外活動(dòng)小組中有男生5人，女生3人，則下列說法正確的是（）A．從中選2人，1人做正組長，1人做副組長，共有64種不同的選法 B．從中選2人參加數(shù)學(xué)競賽，其中男、女生各1人，共有15種不同的選法 C．將這8名學(xué)生排成一排，3位女生排在一起的方法共有4320種 D．8名學(xué)生排成一排，已知5名男生已排好，現(xiàn)將3名女生插入隊(duì)伍中，則共有336種排法【考點(diǎn)】簡單排列問題．【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】BCD【分析】選項(xiàng)A可以看作從8個(gè)人中取2個(gè)人的排列；選項(xiàng)B先從男生中選1個(gè)有A51種情況，再從女生中選1人有A31種情況，進(jìn)而可得；選項(xiàng)C先排3位女生有A33種情況，再把3位女生看成1個(gè)人與5個(gè)男生一起排列有A66種情況，進(jìn)而可得；選項(xiàng)D依次把3個(gè)女生插入隊(duì)伍中，共有【解答】解：選項(xiàng)A：從8個(gè)人中選2人，1人做正組長，1人做副組長選法共有A82=56選項(xiàng)B：從8個(gè)人中選2人參加數(shù)學(xué)競賽，其中男、女生各1人選法共有A51A選項(xiàng)C：選排3位女生有A33種情況，再把3位女生看成1個(gè)人與5個(gè)男生一起排列有共有A33A選項(xiàng)D：8名學(xué)生排成一排，已知5名男生已排好，先排第一個(gè)女生可以排5個(gè)男生中間的4個(gè)空或2頭，有6種情況，再排第二個(gè)女生可以排到排好的6個(gè)人中間的5個(gè)空或2頭，有7種情況，最后排第三個(gè)女生可以排到排好的7個(gè)人中間的6個(gè)空或2頭，有8種情況，共有6×7×8＝336種情況，故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評】本題主要考查了排列組合知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．三．填空題（共4小題）9．（2024秋?江西期末）現(xiàn)將8個(gè)體積相同但質(zhì)量均不同的小球放入恰好能容納8個(gè)小球且底面圓直徑與小球直徑相同的圓柱形卡槽內(nèi)，這8個(gè)小球分別為2個(gè)紅球、4個(gè)白球、2個(gè)黑球，若4個(gè)白球互不相鄰，且其中一個(gè)白球不能放入卡槽的兩端，則共有1728種不同的放法；若2個(gè)紅球之間恰好有白球和黑球各1個(gè)，則共有3840種不同的放法．【考點(diǎn)】部分元素不相鄰的排列問題．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】1728；3840．【分析】依題意可將把8個(gè)小球放入卡槽內(nèi)的過程轉(zhuǎn)化為這8個(gè)小球位置上的排列組合問題，若4個(gè)白球互不相鄰，且其中一個(gè)白球不能放入卡槽的兩端，先排紅球和黑球，再利用插空法排白球，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得；若2個(gè)紅球之間恰好有白球和黑球各1個(gè)，先任選1個(gè)白球，1個(gè)黑球放入2個(gè)紅球中間，再將1個(gè)白球，1個(gè)黑球和2個(gè)紅球進(jìn)行捆綁與剩余的4個(gè)小球進(jìn)行全排列，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得．【解答】解：將8個(gè)體積相同但質(zhì)量均不同的小球放入恰好能容納8個(gè)小球且底面圓直徑與小球直徑相同的圓柱形卡槽內(nèi)，這8個(gè)小球分別為2個(gè)紅球、4個(gè)白球、2個(gè)黑球，若4個(gè)白球互不相鄰，且其中一個(gè)白球不能放入卡槽的兩端，則把8個(gè)小球放入卡槽內(nèi)的過程轉(zhuǎn)化為這8個(gè)小球位置上的排列組合問題，若4個(gè)白球互不相鄰，且其中一個(gè)白球不能放入卡槽的兩端，先排紅球和黑球共有A44種方法，再排其中1個(gè)白球有最后排剩余的3個(gè)白球有A43種方法，所以共有A443×若2個(gè)紅球之間恰好有白球和黑球各1個(gè)，先任選1個(gè)白球，1個(gè)黑球放入2個(gè)紅球中間，有C2又2個(gè)紅球的放法有A2再將1個(gè)白球，1個(gè)黑球和2個(gè)紅球進(jìn)行捆綁與剩余的4個(gè)小球進(jìn)行全排列有A5所以共有C2故答案為：1728；3840．【點(diǎn)評】本題考查了排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，重點(diǎn)考查了分類加法及分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬中檔題．10．（2024秋?浦東新區(qū)校級期末）已知n為正整數(shù)，且An2=30，則n＝【考點(diǎn)】排列及排列數(shù)公式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】6．【分析】根據(jù)排列數(shù)公式求解即可．【解答】解：由題可得：n（n﹣1）＝30，解得n＝6（﹣5舍）．故答案為：6．【點(diǎn)評】本題主要考查排列數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．11．（2025?廣東一模）如圖，左邊是編號(hào)為1、2、3、4的A型鋼板，右邊是編號(hào)為甲、乙、丙的B型鋼板，現(xiàn)將兩堆鋼板自上而下地堆放在一起．則B型鋼板均不相鄰的放法共1440種；乙號(hào)鋼板上方的A型鋼板的編號(hào)之和與其下方的A型鋼板的編號(hào)之和相等的放法共336種．【考點(diǎn)】部分元素不相鄰的排列問題．【專題】計(jì)算題；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】1440，336．【分析】第一空：用插空法分析：先將A型鋼板放好，再將B型鋼板插在其空位中，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案；第二空：分析可得乙號(hào)鋼板上方的A型鋼板的編號(hào)之和與其下方的A型鋼板的編號(hào)之和相等的情況，再將甲號(hào)、丙號(hào)鋼板安排在空位中，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，第一空：先將A型鋼板放好，有A44＝24種放法，排好后，有5個(gè)空位，再將B型鋼板插在其空位中，有A53＝60種情況，則有24×60＝1440種不同的放法，第二空：要求乙號(hào)鋼板上方的A型鋼板的編號(hào)之和與其下方的A型鋼板的編號(hào)之和相等，則乙號(hào)鋼板上方為1、4的A型鋼板，下方為2、3的A型鋼板或者上方為2、3的A型鋼板，下方為1、4的A型鋼板，則A型鋼板的放法有A22×A22×A22＝8種，排好后，有6個(gè)空位，則甲號(hào)鋼板有6種放法，排好后，有7個(gè)空位，則丙號(hào)鋼板有7種放法，則有8×7×6＝336種放法；故答案為：1440，336．【點(diǎn)評】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步分類計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，屬于中檔題．12．（2024秋?焦作期末）第13屆中國電子信息博覽會(huì)將于2025年4月在深圳舉行．某公司要從A，B，C，D，E，F(xiàn)共6個(gè)不同的展位中選3個(gè)分別展示甲、乙、丙3種不同的電子產(chǎn)品，且主推產(chǎn)品甲必須在A展位，則共有20種不同的展示方法．【考點(diǎn)】部分位置的元素有限制的排列問題．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】20．【分析】運(yùn)用分步乘法原理，結(jié)合排列知識(shí)計(jì)算即可．【解答】解：從A，B，C，D，E，F(xiàn)共6個(gè)不同的展位中選3個(gè)分別展示甲、乙、丙3種不同的電子產(chǎn)品，且產(chǎn)品甲必須在A展位，所以需從B，C，D，E，F(xiàn)共5個(gè)不同的展位中任選2個(gè)分別展示乙、丙，故共有A5故答案為：20．【點(diǎn)評】本題考查了排列、組合及簡單計(jì)數(shù)問題，重點(diǎn)考查了分步乘法計(jì)數(shù)原理，屬中檔題．四．解答題（共3小題）13．（2024秋?畢節(jié)市校級期末）為了了解高二年級學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，某學(xué)校對高二年級學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間進(jìn)行了調(diào)查，隨機(jī)抽取200名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：分鐘）作為樣本，經(jīng)統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)這200名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間均在[45，105]內(nèi)，繪制的頻率分布表如表所示：日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間[45，55）[55，65）[65，75）[75，85）[85，95）[95，105]頻率0.050.100.250.350.150.10（1）試估計(jì)這200名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（2）試估計(jì)這200名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間的第30百分位數(shù)；（3）現(xiàn)采用分層隨機(jī)抽樣從日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間在[85，95）與[95，105]內(nèi)的學(xué)生中抽取5名學(xué)生進(jìn)行個(gè)案分析，再從這被抽取的5名學(xué)生中隨機(jī)抽取3名學(xué)生提供個(gè)性化指導(dǎo)方案，求被抽取的3名學(xué)生中至少有2名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間在[85，95）內(nèi)的概率．【考點(diǎn)】簡單組合問題；古典概型及其概率計(jì)算公式；平均數(shù)；百分位數(shù)．【專題】對應(yīng)思想；綜合法；概率與統(tǒng)計(jì)；運(yùn)算求解．【答案】（1）77.5；（2）71；（3）710【分析】（1）根據(jù)每組的頻率與組中值之積，再求和，即可得解；（2）根據(jù)百分位數(shù)的定義計(jì)算可得；（3）分別求出[85，95）、[95，105]中抽取的人數(shù)，再利用列舉法列出所有可能結(jié)果，最后利用古典概型的概率公式計(jì)算可得．【解答】解：（1）依題意可得日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間的平均數(shù)為：50×0.05+60×0.1+70×0.25+80×0.35+90×0.15+100×0.1＝77.5；（2）因?yàn)?.05+0.1＝0.15＜0.3，0.05+0.1+0.25＝0.4＞0.3，所以第30百分位數(shù)位于[65，75），設(shè)為x，則0.15+（x﹣65）×0.25÷10＝0.3，解得x＝71，所以第30百分位數(shù)為71；（3）依題意[85，95）中抽取5×0.150.15+0.1=3名學(xué)生，分別記作a、[95，105]中抽取5×0.10.15+0.1=2名學(xué)生，分別記作從這5名學(xué)生中，隨機(jī)抽取3名學(xué)生，則可能結(jié)果有：ABa，ABb，ABc，Aab，Aac，Abc，Bab，Bac，Bbc，abc共10個(gè)；其中至少有2名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間在85，95）有：Aab，Aac，Abc，Bab，Bac，Bbc，abc共7個(gè)，所以至少有2名學(xué)生的日均數(shù)學(xué)自主學(xué)習(xí)時(shí)間在[85，95）的概率P=【點(diǎn)評】本題考查了根據(jù)頻率分布表計(jì)算平均數(shù)、百分?jǐn)?shù)，考查了用列舉法解決古典概型問題，屬于中檔題．14．（2024秋?撫順期末）在2名指導(dǎo)老師的帶領(lǐng)下，4名大學(xué)生（男生2名，女生2名）志愿者深入鄉(xiāng)村，開啟了支教之旅．他們?yōu)猷l(xiāng)村的孩子們精心設(shè)計(jì)了閱讀、繪畫、心理輔導(dǎo)等多元化課程，并組織了豐富多彩的文體游戲．支教結(jié)束后，現(xiàn)讓這6名師生站成一排進(jìn)行合影，在下列情況下，各有多少種不同的站法？（1）2名指導(dǎo)老師相鄰且站正中間，2名女大學(xué)生相鄰；（2）2名男大學(xué)生互不相鄰，且男大學(xué)生甲不站最左側(cè)；（3）2名指導(dǎo)老師之間恰有1名女大學(xué)生和1名男大學(xué)生．【考點(diǎn)】部分元素不相鄰的排列問題；部分元素相鄰的排列問題．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（1）16．（2）384．（3）96．【分析】（1）利用分步計(jì)數(shù)原理即可；（2）利用插空法來排列即可；（3）利用捆綁法來排列即可．【解答】解：（1）這6名師生站成一排進(jìn)行合影，2名指導(dǎo)老師相鄰且站正中間，2名女大學(xué)生相鄰，先排2名指導(dǎo)老師，有A22再排2名女大學(xué)生，有C21最后排剩余的2名男大學(xué)生，有A22所以共有A2（2）先排2名指導(dǎo)老師和2名女大學(xué)生，有A44再用插空法排男大學(xué)生甲，除去最左側(cè)有C41最后繼續(xù)用插空法，排剩余的1名男大學(xué)生，有C41所以2名男大學(xué)生互不相鄰，且男大學(xué)生甲不站最左側(cè)，共有A4（3）先選1名女大學(xué)生和1名男大學(xué)生站2名指導(dǎo)老師中間，有C21再排2名指導(dǎo)老師，有A22最后將選中的1名女大學(xué)生，1名男大學(xué)生及2名指導(dǎo)老師視為一個(gè)整體，利用捆綁法與剩余的2名大學(xué)生全排列，有A33所以2名指導(dǎo)老師之間恰有1名女大學(xué)生和1名男大學(xué)生，共有C2【點(diǎn)評】本題考查排列、組合的實(shí)際應(yīng)用，是中檔題．15．（2024秋?北京校級期末）從3名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選擇4位同學(xué)去參加志愿者活動(dòng)．（1）共有多少種不同的選法？（2）既有男生又有女生的選法有多少種？【考點(diǎn)】部分位置的元素有限制的排列問題．【專題】整體思想；綜合法；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】（1）70；（2）65．【分析】（1）直接由組合數(shù)公式求解即可．（2）分類討論，選出4名同學(xué)分別為1男3女，2男2女和3男1女三種情況，即可得解．【解答】解：（1）從3名男同學(xué)和5名女同學(xué)中選擇4位同學(xué)去參加志愿者活動(dòng)，共有C84（2）選出4名同學(xué)既有男生又有女生有三種情況：有1名男同學(xué)和3名女同學(xué)，則有：C31有2名男同學(xué)和2名女同學(xué)，則有：C32有3名男同學(xué)和1名女同學(xué)，則有：C33所以既有男生又有女生的選法有30+30+5＝65種．【點(diǎn)評】本題主要考查了排列組合知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．

考點(diǎn)卡片1．古典概型及其概率計(jì)算公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義：如果一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：（1）有限性：每次試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果（即基本事件）只有有限個(gè)；（2）等可能性：每次試驗(yàn)中，各基本事件的發(fā)生都是等可能的．則稱這種隨機(jī)試驗(yàn)的概率模型為古典概型．*古典概型由于滿足基本事件的有限性和基本事件發(fā)生的等可能性這兩個(gè)重要特征，所以求事件的概率就可以不通過大量的重復(fù)試驗(yàn)，而只要通過對一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果進(jìn)行分析和計(jì)算即可．2．古典概率的計(jì)算公式如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，那么每一個(gè)基本事件的概率都是1n如果某個(gè)事件A包含的結(jié)果有m個(gè)，那么事件A的概率為P（A）=m【解題方法點(diǎn)撥】1．注意要點(diǎn)：解決古典概型的問題的關(guān)鍵是：分清基本事件個(gè)數(shù)n與事件A中所包含的基本事件數(shù)．因此要注意清楚以下三個(gè)方面：（1）本試驗(yàn)是否具有等可能性；（2）本試驗(yàn)的基本事件有多少個(gè)；（3）事件A是什么．2．解題實(shí)現(xiàn)步驟：（1）仔細(xì)閱讀題目，弄清題目的背景材料，加深理解題意；（2）判斷本試驗(yàn)的結(jié)果是否為等可能事件，設(shè)出所求事件A；（3）分別求出基本事件的個(gè)數(shù)n與所求事件A中所包含的基本事件個(gè)數(shù)m；（4）利用公式P（A）=mn求出事件3．解題方法技巧：（1）利用對立事件、加法公式求古典概型的概率（2）利用分析法求解古典概型．2．平均數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣平均數(shù)：數(shù)據(jù)集中所有值的算術(shù)平均，計(jì)算公式為x=【解題方法點(diǎn)撥】﹣計(jì)算：求出數(shù)據(jù)集中所有值的總和，再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)．【命題方向】﹣主要考察平均數(shù)的計(jì)算和解釋．3．百分位數(shù)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】百分位數(shù)的定義：一般地，當(dāng)總體是連續(xù)變量時(shí)，給定一個(gè)百分?jǐn)?shù)p∈（0，1），總體的p分位數(shù)有這樣的特點(diǎn)，總體數(shù)據(jù)中的任意一個(gè)數(shù)小于或等于它的可能性是p．四分位數(shù)：25%，50%，75%分位數(shù)是三個(gè)常用的百分位數(shù)．把總體數(shù)據(jù)按照從小到大排列后，這三個(gè)百分位數(shù)把總體數(shù)據(jù)分成了4個(gè)部分，在這4個(gè)部分取值的可能性都是14【解題方法點(diǎn)撥】一般地，一組數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)是這樣一個(gè)值，它使得這組數(shù)據(jù)中至少有p%的數(shù)據(jù)小于或等于這個(gè)值，且至少有（100﹣p）%的數(shù)據(jù)大于或等于這個(gè)值．計(jì)算一組n個(gè)數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)步驟如下：①按從小到大排列原始數(shù)據(jù)；②計(jì)算i＝n×p%；③若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j，則第p百分位數(shù)為第j項(xiàng)數(shù)據(jù)；若i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項(xiàng)與第（i+1）項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)．【命題方向】理解連續(xù)變量的百分位數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義，考察百分位數(shù)的計(jì)算，學(xué)會(huì)用樣本估計(jì)總體的百分位數(shù)．4．排列及排列數(shù)公式【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．定義（1）排列：一般地，從n個(gè)不同的元素中任取m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．（其中被取的對象叫做元素）（2）排列數(shù)：從n個(gè)不同的元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)An2．相關(guān)定義：（1）全排列：一般地，n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)不同元素的一個(gè)全排列．（2）n的階乘：正整數(shù)由1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示．（規(guī)定0!＝1）3．排列數(shù)公式（1）排列計(jì)算公式：Anm=n(n-1)(n-2)?(n（2）全排列公式：Ann=n?（n﹣1）?（n﹣2）?…?3?2?1＝5．簡單排列問題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣簡單排列問題通常涉及無任何限制條件的排列情況．n個(gè)不同元素的全排列總數(shù)為An﹣該類問題通常是排列問題的基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)對基本排列公式的理解與應(yīng)用．【解題方法點(diǎn)撥】﹣直接應(yīng)用排列公式進(jìn)行計(jì)算．對于全排列問題，計(jì)算階乘即可得到排列數(shù)．﹣在計(jì)算過程中，注意排列數(shù)中的階乘表示法，并理解排列的意義．﹣對于涉及排列的實(shí)際問題，可以通過具體化問題，將其轉(zhuǎn)化為排列數(shù)計(jì)算．【命題方向】﹣基本排列問題的命題常見于簡單元素排列的計(jì)算，如全排列數(shù)的求解、特定位置的排列數(shù)計(jì)算．﹣可能涉及對排列數(shù)公式的直接應(yīng)用，以及對排列問題的基礎(chǔ)性理解與操作．6．部分位置的元素有限制的排列問題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣部分位置的元素排列受限是指在排列問題中，某些元素只能出現(xiàn)在特定位置或區(qū)域．例如：特定元素只能出現(xiàn)在排列的前幾位或某些位置．﹣這種問題通常要求考生在處理排列時(shí)，先考慮限制條件，再進(jìn)行一般排列．【解題方法點(diǎn)撥】﹣處理此類問題時(shí)，首先對有限制的部分進(jìn)行排列，將有限制的元素排好位置，然后對剩余元素進(jìn)行排列組合．﹣使用乘法原理，將有限制的排列與剩余元素的排列相乘得到總數(shù)．﹣對于較復(fù)雜的限制條件，可能需要分類討論，并對每種情況進(jìn)行單獨(dú)計(jì)算．【命題方向】﹣?？疾煸谔囟ㄎ恢没騾^(qū)域內(nèi)元素的排列，如規(guī)定某些元素必須在前幾位，或必須固定在某些位置的排列問題．﹣命題可能涉及多重限制條件的綜合分析，要求考生靈活運(yùn)用排列數(shù)公式．7．部分元素不相鄰的排列問題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣部分元素不相鄰的排列問題要求在排列過程中，特定元素必須保持不相鄰．例如：在排列中，兩個(gè)特定元素不能排在一起．﹣這類問題通常通過排除法、間隔法或插空法來解決．【解題方法點(diǎn)撥】﹣使用間隔法，首先將不受限制的元素排列，然后在排列間隙中插入受限制的元素，保證其不相鄰．﹣排除法是先計(jì)算不考慮相鄰條件的排列總數(shù)，再減去相鄰元素排列的情況．﹣對于更復(fù)雜的排列問題，可以結(jié)合插空法或利用遞推關(guān)系進(jìn)行解題．【命題方向】﹣命題方向可能要求考生求解特定元素不相鄰的排列總數(shù)，或者分析多個(gè)元素不相鄰的組合情況．﹣題目可能涉及多個(gè)不相鄰條件的疊加，要求考生準(zhǔn)確處理這些條件．8．部分元素相鄰的排列問題【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】﹣部分元素相鄰的排列問題要求在排列過程中，特定元素必須相鄰排列．例如：在排列中，兩個(gè)或多個(gè)元素必須排在一起．﹣這類問題通常通過將相鄰元素視為一個(gè)整體來簡化排列．【解題方法點(diǎn)撥】﹣通過將相鄰的元素看作一個(gè)整體，然后對這個(gè)整體和其他元素一起進(jìn)行排列．最后，再對這個(gè)整體內(nèi)部的元素進(jìn)行排列．﹣使用乘法原理，將整體的排列與內(nèi)部元素的排列相乘，得到總的排列數(shù)．﹣對于涉及多個(gè)相鄰元素的問題，可以進(jìn)行多重整體處理，逐層遞進(jìn)排列．【命題方向】﹣常見命題方向包括要求特定元素相鄰的排列問題，或多組元素必須相鄰排列的情況．﹣題目可能涉及多個(gè)相鄰條件的處理，要求考生靈活應(yīng)用相鄰元素排列的策略．9．組