必修5導(dǎo)學(xué)案、教案

第一章解斜三角形

1.1.1正弦定理

（-）教學(xué)目標(biāo)

1.知識與技能:通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方

法；會運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形中的一類簡單問題

2.過程與方法:讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)

系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用

的實(shí)踐操作。

3.情態(tài)與價值：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情

推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間

的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

（-）教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

難點(diǎn)：正弦定理的推導(dǎo)即理解

（三）學(xué)法與教學(xué)用具

學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)生首先從直角三角形中揭示邊角關(guān)系：號=—2萬=「J，接著就一般斜

sin/4sin3sine

三角形進(jìn)行探索，發(fā)現(xiàn)也有這一關(guān)系；分別利用傳統(tǒng)證法和向量證法對正弦定理進(jìn)行推導(dǎo)，

讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)向量知識的簡捷，新穎。

教學(xué)用具：直尺、投影儀、計算器

（四）教學(xué)過程

1［創(chuàng)設(shè)情景］

如圖1.1-1,固定AABC的邊CB及/B,使邊AC繞著頂點(diǎn)C轉(zhuǎn)動。/A

思考：/C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？/\

顯然，邊AB的長度隨著其對角NC的大小的增大而增大。能否才/\

用一個等式把這種關(guān)系精確地表示出來？-----------XB

2［探索研究］（圖LIT）

在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等

式關(guān)系。如圖1.12,在RtAABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)

的定義，有旦=sin/,—=sin2?,又sinC=l=￡,

ccc

a_b

則----c

sin/Jsin8sinC

a_b

從而在直角三角形ABC中,

sin/4sin8sinC

（圖1.1-2）

思考：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立?

（由學(xué)生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

如圖1.1-3,當(dāng)AABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD,根據(jù)任意角三角函數(shù)的

定義'有CD=asin5=6sin/,則京^/花

b

同理可得

sinCsin6

ab

從而

sin/sinSsin。

（圖1.1-3）

思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究

這個問題。

（證法二）：過點(diǎn)A作

由向量的加法可得AB=AC+CB

則j"B=j<AC+CB）

j-AB=j-AC+j-CB

|j||AB|cos（900-A）=0+|J||CB|COS（900-C）

cic

/.csinA=asinC,艮|J—~T

sinA=s.ine

bc

同理，過點(diǎn)C作兒BC,可得

sin/1sin8sinC

類似可推出，當(dāng)△ABC是鈍角三角形時，以上關(guān)系式仍然成立。（由學(xué)生課后自己推導(dǎo)）

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

a_b_c

sin/sin6sinC

［理解定理］

（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即

存在正數(shù)k使a=4sin4,b=ksinB,c=ksinC；

（2）△-=上='等價于3=上，,=上，

sin/lsin/sin。sin/sinBsin。sinBsin力sinC

從而知正弦定理的基本作用為：

①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如a="2；

smB

B

②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如sin4=/血

一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。

3［例題分析］

例1.在AABC中，已知A=32.0°,8=81.8°,a=42.9cm,解三角形。

解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，

C=180°-(A+B)

=180°-(32.00+81.8°)

=66.2°；

根據(jù)正弦定理，

,asinB42.9sin81.8°

b=-------=----------------?80.l(c/?2)；

sinAsin32.0°

根據(jù)正弦定理,

asinC42.9sin66.2°

c-sinA-sin32.0°H74.l(cm).

評述：對于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計算器。

BDAB

例如圖，在△中，的平分線與邊相交于點(diǎn)求證:

2ABC/AADBCD,~DC~~AC

證明：如圖在AABD和ACAD中，由正弦定理，

妨BDABDCACAC

得-----=-----，-----=------------=-----

sinPsinasin夕sin(180-a)sina

兩式相除得器ABCA

五鞏固深化反饋研究

1已知△ABC已知A=60°,B=30°,

A3B2CV3D42

(2)已知AABC已知A=45°,B=75°,b=8；求邊a=()

A8B4C473-3D873-8

（3）正弦定理的內(nèi)容是-------------------------

（4）已知a+知12B=45°A=60°則姍則a=--------------------------,b=-------------------------

（5）已知在AABC中，三內(nèi)角的正弦比為4:5:6,有三角形的周長為7.5,則其三邊長分別為

?a+bsinA+sinB

（6）.在△ABC中，利用正弦定理證明-----==————

csinC

六，課堂小結(jié)（有學(xué)生自己總結(jié)）

七板書設(shè)計略

五［課堂小結(jié)］(由學(xué)生歸納總結(jié))

1.1.1正弦定理學(xué)案

【預(yù)習(xí)達(dá)標(biāo)】

在AABC中，角A、B、C的對邊為a、b、c,

1.在Rt△ABC中，ZC=90°,csinA=___,csinB=_____,即—^―=____=_______。

sinA

2.在銳角△ABC中，過C做CD_LAB于D,則|CD|=___=______,即/一=_____，同

sinA

理得，故有o

sinA

3.在鈍角AABC中，NB為鈍角，過C做CDJ_AB交AB的延長線D,則ICD|==,

即上一=_____，故有一=。

sinAsinA

【典例解析】一新課導(dǎo)入，推導(dǎo)公式

(1)直角三角形中

(2)斜三角形中

正弦定理是

例1.在A4BC中，已知4=32.0°,3=81.8°,a=42.9cm,解三角形。

BDA8

例2如圖，在AABC中，/A的平分線AD與邊BC相交于點(diǎn)D,求證：——=——

DCAC

【達(dá)標(biāo)練習(xí)】

1.已知△ABC已知A=60。，B=30°,a=3；求邊b=():

A3B2C73DV2

(2)已知AABC已知A=45°,B=75°,b=8；求邊a=()

A8B4C4百-3D86-8

-(3)正弦定理的內(nèi)容是-------------------------

(4)已知a+b=12B=45°A=60°'惻則

則a=-------------------------,b=--------------------------

(5)已知在AABC中，三內(nèi)角的正弦比為4:5:6,有三角形的周長為75則其三邊長分

別為----------------

.,E.r,a+bsinA+sinB

(6).在AABC中，利用正弦定理證明----==------------

csinC

參考答案

【預(yù)習(xí)達(dá)標(biāo)】

bcbacb

1.a,b,--------=---------2.bsinAasinB,--------,---------=---------,---------=---------.

sinBsinCsinBsinAsinCsinBsinC

hb

3..bsinAasinB.--------

sin3sinBsinC

【典例解析】

在初中，我們已學(xué)過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等

式關(guān)系.如圖1.1-2,在殿A(yù)ABC中，設(shè)況=覬蝮=瞋蝮=c，根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)

3h

的定義，有一=sin4，一=sin3,又sinC=l

cc

ab_c_

則

sinAsin5sinC

a_b_c

從而在直角三角形ABC中,

sinlsinffsin。

（圖1.1-2）

思考：那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？

（由學(xué)生討論、分析）

可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況：

如圖L1-3,當(dāng)AABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD,根據(jù)任意角三角函數(shù)的

b

定義，有CD=asinj5=Z?sinJ,則

sin/sin8

b

同理可得

sinCsinB

ab

從而

sinZsinBsinC

（圖L1-3）

思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究

這個問題。

（證法二）：過點(diǎn)A作力C,

由向量的加法可得AB=AC+CB

則j,AB=j.（AC+CB）

：.J-AB=J-AC+j-CB

|J||AB|COS（90°-A）=0+|J||CB|COS（900-C）

csinA=asinC,即

sinAsinC

bc

同理，過點(diǎn)C作可得

sinBsinC

sin/sin6sin(7

類似可推出，當(dāng)△ABC是鈍角三角形時，以上關(guān)系式仍然成立。(由學(xué)生課后自己推導(dǎo))

從上面的研探過程，可得以下定理

正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即

a_b_c

sin/sin6sinC

例1解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，

C=180°-(A+B)

=180°-(32.0°+81.8°)

=66.2°；

根據(jù)正弦定理，

h_asmB42.9sin81.8°

=?80.l(cm)；

sinA~sin32.0°

根據(jù)正弦定理,

tzsinC42.9sin66.2°

c=-：-T-?74.l(c/n).

sinAsin32.0°

評述：對于解三角形中的復(fù)雜運(yùn)算可使用計算器。

例2證明：如圖在AABD和ACAD中，由正弦定理,

妨BDABDCACAC

得-----=-----，-----=-------5-------=--------，

sin(3sinasin￡sin(180-a)sina

AB

兩式相除得不個~AC

【雙基達(dá)標(biāo)】

1.(1)C(2)D(3)—.(4)36-12V6

sinAsinBsinC

12V6-24(5)2,2.5,3

2.證明：設(shè)一--=—^--=——=k,則。=左5皿A,/?=Zsin3,c=ZsinC

sinAsinBsinC

a+b_ZcsinA+A:sinB_sinA+sinB

AsinCsinC

§1.1.2正弦定理

【三維目標(biāo)工

一、知識與技能

1會運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題

2通過三角函數(shù)、正弦定理、等多處知識間聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一.

3.在問題解決中,培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和自主探索能力.

二、過程與方法

讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)

生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。

三、情感、態(tài)度與價值觀

1.培養(yǎng)學(xué)生處理解三角形問題的運(yùn)算能力；

【教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)工

重點(diǎn)：正弦定理的探索及其基本應(yīng)用。

難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。

【授課類型】：新授課

四教學(xué)過程

一、知識回顧1正弦定理的內(nèi)容是什么？

二、例題講解

例1試推導(dǎo)在三角形中號=3==2R其中R是外接

sinAsinBsinC

圓半徑

證明如圖所示，ZA=Z￡)

=CD=2R同理一^-=2R,—^=2R

sinAsinDsinBsinC

a

sinA

例2在AABC中，/?=6,3=60°,。=1,求。和AC

hc.廠csinB1xsin60°1

------=,sinC==-------z=----=—

sin5sinC-----------------b也2

?.">c,8=60°,;.C<B,C為銳角，

C=30°,B=90°a=^b2+c2=2

例3A48c中，。=后,4=45°,。=2,求6和區(qū)。

…ac.csinAV6xsin45°V3

解-----=-----sinC=-------------=-----------------=——

sinAsinCa22

vcsinA<a<c9:.C=60°或120°

.?.當(dāng)C=60°時，3=75°,6=%0=丑吧尊=6+1,

sinCsin60°

.?.當(dāng)C=120。時，8=150力=%0=逆網(wǎng)里=6一1

sinCsin60°

=V3+1,5=75°,C=6()()s￡Z?=V3-=15°,C=120°

五、鞏固深化，反饋矯正

1試判斷下列三角形解的情況：

已知b=ll,c=12,3=60°則三角形ABC有()解

A一B兩C無解

2已知a=7,b=3,A=110°則三角形ABC有()解

A—B兩C無解

3.在AA8C中，三個內(nèi)角之比A:8:C=1:2:3,那么a:0:c等于一

4.在AA8C中，，B=135°C=15°a=5則此三角形的最大邊長為

5在AABC中，已知a=xcvn力=2C7〃,5=45°,如果利用正弦定理解三角形有兩解，則x

的取值范圍是_____

6.在AABC中，已知方=2csin5,求NC的度數(shù)

六、小結(jié)

(1)正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，

即存在正數(shù)火使。=攵$皿A,Z?=Zsinb,c=ZsinC；

ahc_abhcac

(2)=-------二-----等價于-----=-----,-----=-----,-----二-----，即

sinAsinBsinCsinAsinBsinBsinCsinAsinC

可得正弦定理的變形形式：

1)a=2/?sinA.b=2/?sinB,c=2/?sinC；

、.4Q.nb.cc

2)sinA=——,sinB=——,sinC=——

2R2R2R

3）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可解決以下兩類斜三角形問題：

bsA

1）兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；如4=一一不；

sinB

2）兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角，進(jìn)而可求其它的邊和角.如sinA=fsinB。

b

一般地，已知角A邊a和邊b解斜三角形，有兩解或一解或無解（見圖示）.

外接圓法）如圖所示，ZA=ZD

a=bsinA有一解a>bsinA有兩解a>b有一解a>b有一解

七板書設(shè)計略

1.1.2正弦定理學(xué)案

一預(yù)習(xí)達(dá)標(biāo)

1正弦定理的內(nèi)容是-------------------------------------

2在三角形ABC中已知c=10A=45°C=30°,則邊a=--------,邊b=-------,角B=——

3在三角形ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,則角B=------------（可借助計算器）

二典例解析

例1試推導(dǎo)在三角形中」\=芻=—==2R其中R是外接圓半

smAsinBsinC

徑

例2在AABC中,b=y[3,B=60°,c=1,求a和A,C

例3A4BC中，c=后,A=45°,a=2,求b和3,C

三達(dá)標(biāo)練習(xí)

1試判斷下列三角形解的情況：

已知b=ll,c=12,8=60°則三角形ABC有（）解

A—B兩C無解

2已知。=71=3,A=110°則三角形ABC有（）解

A—B兩C無解

3.在A4BC中，三個內(nèi)角之比A:8:C=1:2:3,那么a:Z?:c等于__

4.在A4BC中，B=135°C=15°a=5，則此三角形的最大邊長為一

5.在AABC中，已知“=xc7n,》=2c7n,B=45°,如果利用正弦定理解三角形有兩解，則

x的取值范圍是_____

6.在A4BC中，已知。=2csinB,求/C的度數(shù)

學(xué)案答案

ab

一預(yù)習(xí)達(dá)標(biāo)1J210V25A/6+5V2364°或

sinAsinBsinC

116°

二典例解析

例1證明如圖所示，ZA=ZD

ab

=CD=2R同理2R,

sinAsinDsinB小R

—J=q=2R

sinAsinBsinC

例2在A43C中，8=石,3=60°,。=1,求。和4。

bcsinB1xsin60°

sinC

sinBsinC?bV32

???Z?>c,8=600,.?.C<B,C為銳角,

C=30°,B=90°.\a=ylh2+c2=2

例3A4BC中，。=遙,4=45°,。=2,求6和5,。

csinJ4_展xsin450_M

解,：,sinC=

sinAsinC22

"csinA<a<c,：,C=60°或120°

,當(dāng)C=6。。時，X5。八黑二為=園】,

，當(dāng)C"。-。人意=京31

二5=/+1乃=75°,?=60°或力=/-1,8=15°,。=120°

三達(dá)標(biāo)練習(xí)

1:BA31收2457252<xv2點(diǎn)630°或150°

課題：1.1.2余弦定理

授課類型:新授課

【教學(xué)目標(biāo)】

1.知識與技能:掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運(yùn)用余弦定

理解決兩類基本的解三角形問題。

2.過程與方法:利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實(shí)踐演算掌握運(yùn)用余弦定

理解決兩類基本的解三角形問題，

3.情態(tài)與價值：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；通過三角函數(shù)、

余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關(guān)系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

【教學(xué)重、難點(diǎn)】

重點(diǎn)：余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應(yīng)用；

難點(diǎn)：勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。

【教學(xué)過程】

［創(chuàng)設(shè)情景］

如圖1.1-4,在AABC中，設(shè)BC=a,AC=b,AB=c,

己知a,b和NC,求邊c

［探索研究］

聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？

用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。

由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。A

如圖1.1_5>設(shè)==a,CA—b,AB—c,那么c=a—Z>,則I

-3+66caB

-L2w22a

H+以

1-

從而=4+〃一2g8cosC（圖1.1-5）

同理可證a2=62+c2-2bccosA

b1-a~+C1—2accosB

于是得到以下定理

余弦定理:三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角

的余弦的積的兩倍。即a2=A2+c2-2AccosJ

Z72=a2+c2-2accosj?

思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由

三邊求出一角？

（由學(xué)生推出）從余弦定理，又可得到以下推論：

a2+c2-b2

cosB=

2ac

b2+a2-c2

-2Ui-

［理解定理］

從而知余弦定理及其推論的基本作用為：

①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。

思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角

形中三邊平方之間的關(guān)系，如何看這兩個定理之間的關(guān)系？

（由學(xué)生總結(jié)）若△ABC中，C=90°,則cosC=0,這時。2=4+廿

由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。

【典例分析】

例1.在△ABC中，已知。=26，c=瓜+應(yīng),3=60°,求b及A

⑴解：Vb2=a2+c2-2accosB

=(2拘?+函+偽2-22分(#+0)cos45°

=12+(遙+偽2-4瓜Q+1)

=8

?.b=2y/2.

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:

“b2+c2-a2(2>/2)2+(76+V2)2—(2百)21

⑵解法一:

cos——2x2V2x(V6+V2)=于

/.4=60°.

VsinA=-JsinB=^-

解法二:-sin45°,

b2x/2

又,：庭+C.>2.4+1.4=3.8,

25/3<2x1.8=3.6,

：.a<c,即0°<A<90。，

A=60°.

評述：解法二應(yīng)注意確定A的取值范圍。

【變式訓(xùn)練1】

.在△ABC中，若（a+c）（a—c）=/?（/?+c）,則NA=

解：a2-c2=b2+bc,b2+c2-a2=-bc,cos4=-；,A=120°

例2.在AABC中，已知a=134&〃z,b^l.Scm,c=l6l.lcm,解三角形

（見課本第8頁例4,可由學(xué)生通過閱讀進(jìn)行理解）

例3.例2.在^ABC中，BC=a,AC=b,且a,人是方程——2瓜+2=0的兩根,

2cos（A+B）=1o

（1）求角C的度數(shù)；

（2）求AB的長；

（3）求aABC的面積。

解：（1）cosC=cos[^--（A+B）]=-cos（A+B）=-1=>c=120°

（2）因?yàn)?。，。是方程一?岳+2=0的兩根，所以”=

ab=2

?.AB2=h2+a2-2abcos120°=（a+h）——ah=10AB—>/10

（3）Sgsc二;absinC=孚

評析：在余弦定理的應(yīng)用中，注意與一元二次方程中韋達(dá)定理的應(yīng)用。方程的根往往不必

直接求出，要充分利用兩根之和與兩根之差的特點(diǎn)。

【變式訓(xùn)練2】

在aABC中，A=120°,c>Z?,a=V^l,S.仁=百，求A。。

=—Z?csinA=6,be-4,

a2=b~+c2-2b（cosA力與，而c>Z?

所以6=l,c=4

【課堂演練】

1.邊長為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是（）

A.90°B.120°C.135°D.150°

?：21Q2_721

解：設(shè)中間角為6,則cos6=^--------=一,6=60°,180°—60°=120°為所求

2x5x82

答案：B

2.以4、5、6為邊長的三角形一定是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角或鈍角三角形

解：長為6的邊所對角最大，設(shè)它為a,則cosa=16+25-36二

2x4x58

.?.00<a<90°

答案：A

3.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為（）

解：設(shè)頂角為C,因?yàn)?=5c,；?a=Z?=2c,

ca2+h2-c24c2+4c2-c27

由余弦定理得:cosC=---------------=-------------------=—

2ab2x2cx2c8

答案：D

4.在AA3C中，角A、B、C的對邊分別為〃、bc,若（。2+。2_〃2）tan8=則

角B的值為（)

71

A.一B.—C.一或一D.一或——

636633

2,2R(a2+c2-b2)6cos86cosB

解：由（/+C、W-h)tanB=43〃c得-----------=---------ERcosB=-------------

lac2sinB2sinB

.?.sinB=走，又B為AABC的內(nèi)角，所以B為2或生

233

答案：D

13

5.在aABC中，若Q=7/=8,cosC=森，則最大角的余弦是（）

解：＜?="+/?2-2a/?cosC=9,c=3,B為最大角,cosB=~—

7

答案：C

6.在AABC中，bcosA=acosB,則三角形為（）

A.直角三角形B.銳角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

解：由余弦定理可將原等式化為

,b2+c2-a2a2+c2-b2

b----------------=a-----------------

2be2ac

即2b2=2a?,a=b

答案：C

［課堂小結(jié)］

（1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的應(yīng)用范圍：①.已知三邊求三角；②.已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。

作業(yè)：第11頁［習(xí)題1.1］A組第3（1）,4（1）題。

§1.1.2余弦定理

【課前學(xué)案】

【預(yù)習(xí)達(dá)標(biāo)】

在△ABC中，角A、B、C的對邊為a、b、c,

1.在△ABC中過A做AD垂直BC于D,則AD=b,DC=b,BD=a.由勾股定理

得c2===；同理得

a=；b2=o

2.cosA-；cosB;；cosC=。

【典例解析】

例1在三角形ABC中，已知a=3,b=2,c=M,求此三角形的其他邊、角的大小及其面積(精

確到0.1)

例2三角形ABC的頂點(diǎn)為A(6,5),B(-2,8)和C(4,1),求/A(精確到0.1)

例3已知△ABC的周長為、巧+1,且sinA+sin6=J^sinC.

(I)求邊AB的長；

(II)若△ABC的面積為』sinC,求角C的度數(shù).

6

【雙基達(dá)標(biāo)】

1.已知a,b,c是AA8C三邊之長，若滿足等式(a+b—c)(a+b+c)=ab,則角C大小為()

A.60°B.90°C.120°D.150°

2.已知AA8C的三邊分別為2,3,4,則此三角形是()

A.銳角三角形B.鈍角三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

3.已知AABC,求證：

(1)如果/+/=/,則/C為直角；

(2)如果/+〃>,2,則NC為銳角；

(3)如果則NC為鈍角.

4.已知a:b:c=3:4:5,試判斷三角形的形狀。

5.在△ABC中，已知tan8=J5,cosC=；,AC=,求△ABC的面積.

2/s

6.在A/IBC中，N8=45o,AC=W,cosC=^，求

(1)BC=1

(2)若點(diǎn)。是A3的中點(diǎn)，求中線CD的長度。

【典例解析】

例1（見教材）

例2（見教材）

例3解：（I）由題意及正弦定理，得AB+BC+AC=&+1,

BC+AC=6AB,

兩式相減，得AB=1.

(II)由△ABC的面積sinC='sinC,得BCAC=—

263

AC2+BC2-AB2

由余弦定理，得cosC=

2ACBC

(AC+BC)2-2ACBC-AB2_1

所以C=60.

2ACBC~2

【課堂演練】

1.邊長為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是（）

A.90°B.120°C.135°D.150°

2.以4、5、6為邊長的三角形一定是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角或鈍角三角形

3.如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為（）

3V37

A.B.D.

18428

4.在ZV16C中，角A、B、C的對邊分別為。、b、c,若（。2+。2-r）tanB=J3ac,則

角B的值為（)

7171乃35)乃…2乃

A.—B.一C.一或——D.一或——

636633

13

5.在Z\ABC中,若4=7/=8,COSC=」，則最大角的余弦是（）

14

6.在AABC中，bcosA=acosB,則三角形為（）

A.直角三角形B.銳角三角形

C.等腰三角形D.等邊三角形

【課后訓(xùn)練題】

1.在^ABC中，若a=7,/?=3,c=8,則其面積等于()

A.12B.—C.28D.66

2

2.己知銳角三角形的三邊長分別為2、3,x,則x的取值范圍是.

3.在4ABC中，若(a+c)(a-c)=b(b+c),則ZA=

4.若三條線段的長分別為5,6,7,則用這三條線段能組成()三角形。

A.銳角B.鈍角C.直角D.等腰

5.△ABC中，若a4+b“+c4=2(a2+b2)c2則NC的度數(shù)()

A、600B、45°或135°C、1200D、30°

6.設(shè)a,a+l,a+2是鈍角三角形的三邊，則a的取值范圍是()

A.0<?<3B.1<tz<3C.3<a<4D.4<a<6

7.Z\ABC中，a,b,c分別是NA、NB、NC的對邊，若^~+~h~-~+~c~土?<(),則AABC

lab

()

8.在4ABC中，a=l,B=45°;5MBC=2,則4ABC的外接圓的直徑是.

9.在4ABC中,s%2A=si"23+si〃8si〃C+s加?C,則角A=.

三.解答題

10.在四邊形ABCD中，BC=a,DC=2a,四個角A、B、C、D的度數(shù)的比為3:7:4:10,求

AB的長。

11.在△ABC中，bcosA=acosB,試判斷三角形的形狀.

12.在A43C中，角所對的邊分別為a,"c,且滿足cos3=2)6,AB-Ae3.

25

(I)求AA3C的面積;(II)若b+c=6,求。的值.

課題:§1.1.2余弦定理應(yīng)用

授課類型；習(xí)題課

【教學(xué)目標(biāo)】

1.掌握余弦定理的推導(dǎo)過程，熟悉余弦定理的變形用法。

2.較熟練應(yīng)用余弦定理及其變式，會解三角形，判斷三角形的形狀。

【教學(xué)重、難點(diǎn)】

重點(diǎn)：熟練應(yīng)用余弦定理。

難點(diǎn)：解三角形，判斷三角形的形狀。

【教學(xué)過程】

【知識梳理】

1.余弦定理：

（1）形式一：a2=b2+c2-2bc-cosA,b2=a2+c2-2ac-cosB,c2=a2+b2-2abcosC

222222222

形式二：cosA=b"+C~~a~，cosB=a~+C~~b~，cosC=a-+b--c-，（角到邊的轉(zhuǎn)換）

2bc2ac2ab

2.解決以下兩類問題：

1）、已知三邊，求三個角；（唯一解）

2）、己知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；（唯一解）

a2=b2+c2^力是直角=AABC是直角三角形

3.三角形ABC中。2>62+。204是鈍角00!3（：是鈍角三角形

a?<〃+0[是銳角與AABC是銳角三角形

4.解決以下兩類問題：

1）、已知三邊，求三個角；（唯一解）

2）、已知兩邊和它們的夾角，