單樣本卡方檢驗(yàn)公式一、單樣本卡方檢驗(yàn)概述1.1單樣本卡方檢驗(yàn)的定義單樣本卡方檢驗(yàn)是一種統(tǒng)計(jì)方法，用于檢驗(yàn)一個(gè)分類變量在總體中的分布是否與某個(gè)假設(shè)分布相一致。1.2單樣本卡方檢驗(yàn)的應(yīng)用場(chǎng)景①檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)是否符合某個(gè)已知分布；②檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)是否來自某個(gè)總體；③檢驗(yàn)樣本數(shù)據(jù)中某個(gè)比例是否與總體比例一致。1.3單樣本卡方檢驗(yàn)的基本原理單樣本卡方檢驗(yàn)的基本原理是：通過比較樣本數(shù)據(jù)與假設(shè)分布之間的差異，判斷樣本數(shù)據(jù)是否來自該分布。二、單樣本卡方檢驗(yàn)公式2.1公式推導(dǎo)單樣本卡方檢驗(yàn)的公式如下：\\[\\chi^2=\\sum\\frac{(O_iE_i)^2}{E_i}\\]其中，\\(\\chi^2\\)表示卡方統(tǒng)計(jì)量，\\(O_i\\)表示第\\(i\\)個(gè)觀測(cè)值，\\(E_i\\)表示第\\(i\\)個(gè)期望值。2.2公式解釋①\\(O_i\\)：表示第\\(i\\)個(gè)觀測(cè)值，即樣本數(shù)據(jù)；②\\(E_i\\)：表示第\\(i\\)個(gè)期望值，即假設(shè)分布下的理論值；③\\(\\sum\\)：表示對(duì)所有觀測(cè)值進(jìn)行求和。2.3公式應(yīng)用在實(shí)際應(yīng)用中，我們需要根據(jù)樣本數(shù)據(jù)和假設(shè)分布計(jì)算出卡方統(tǒng)計(jì)量\\(\\chi^2\\)，然后與卡方分布表中的臨界值進(jìn)行比較，以判斷樣本數(shù)據(jù)是否來自假設(shè)分布。三、單樣本卡方檢驗(yàn)步驟3.1確定假設(shè)在進(jìn)行單樣本卡方檢驗(yàn)之前，需要確定假設(shè)，包括原假設(shè)和備擇假設(shè)。3.2計(jì)算期望值根據(jù)假設(shè)分布，計(jì)算每個(gè)觀測(cè)值的期望值。3.3計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量根據(jù)公式，計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量\\(\\chi^2\\)。3.4查找臨界值根據(jù)卡方分布表，查找與卡方統(tǒng)計(jì)量\\(\\chi^2\\)對(duì)應(yīng)的臨界值。3.5判斷結(jié)果比較卡方統(tǒng)計(jì)量\\(\\chi^2\\)與臨界值，判斷樣本數(shù)據(jù)是否來自假設(shè)分布。四、單樣本卡方檢驗(yàn)實(shí)例分析4.1實(shí)例背景某公司生產(chǎn)一批產(chǎn)品，質(zhì)量檢驗(yàn)部門對(duì)這批產(chǎn)品進(jìn)行了抽樣檢驗(yàn)，共抽取了100個(gè)樣本，其中合格品80個(gè)，不合格品20個(gè)。現(xiàn)在需要檢驗(yàn)這批產(chǎn)品的合格率是否與總體合格率相等。4.2假設(shè)原假設(shè)：這批產(chǎn)品的合格率與總體合格率相等；備擇假設(shè)：這批產(chǎn)品的合格率與總體合格率不相等。4.3計(jì)算期望值根據(jù)總體合格率，計(jì)算每個(gè)樣本的期望值。假設(shè)總體合格率為0.8，則期望值為：\\[E_i=100\\times0.8=80\\]4.4計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量根據(jù)公式，計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量\\(\\chi^2\\)：\\[\\chi^2=\\frac{(8080)^2}{80}+\\frac{(2020)^2}{20}=0\\]4.5查找臨界值根據(jù)卡方分布表，查找自由度為1，顯著性水平為0.05的臨界值，得到臨界值為3.84。4.6判斷結(jié)果由于卡方統(tǒng)計(jì)量\\(\\chi^2\\)小于臨界值3.84，因此不能拒絕原假設(shè)，即這批產(chǎn)品的合格率與總體合格率相等。五、單樣本卡方檢驗(yàn)注意事項(xiàng)5.1樣本量在進(jìn)行單樣本卡方檢驗(yàn)時(shí)，樣本量應(yīng)足夠大，以保證檢驗(yàn)結(jié)果的可靠性。5.2假設(shè)在進(jìn)行單樣本卡方檢驗(yàn)之前，需要明確假設(shè)，包括原假設(shè)和備擇假設(shè)。5.3期望值計(jì)算期望值時(shí)，需要根據(jù)假設(shè)分布進(jìn)行計(jì)算。5.4臨界值查找臨界值時(shí)，需要根據(jù)自由度和顯著性水平進(jìn)行查找。六、[1]，.統(tǒng)計(jì)學(xué)原理與應(yīng)用[M].北京：高等教育出版社，2010