第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年天津市南開(kāi)大學(xué)附中高二（下）3月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共9小題，每小題5分，共45分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列選項(xiàng)正確的是(

)A.(sin10°)′=cos10° B.(lg?x)′=1x

C.2.已知集合A={1,2,3,4,8}，B={x|x13∈A}，則A.{1,2,3} B.{2,3,4} C.{3,4,8} D.{2,4,8}3.在最近南京市舉行的半程馬拉松比賽中，某路段設(shè)三個(gè)服務(wù)站，某高校5名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)服務(wù)點(diǎn)做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)服務(wù)點(diǎn)，每個(gè)服務(wù)點(diǎn)至少1人，則不同的安排方法共有(

)A.25種 B.150種 C.300種 D.50種4.“0<m<2”是“方程x2m+y2mA.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.設(shè)隨機(jī)變量X～B(2,p)，Y～B(4,p)，若P(X=0)=49，則D(Y)=(

)A.23 B.43 C.496.用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)的個(gè)數(shù)為(

)A.60 B.48 C.36 D.307.若(ax+1x2)n的展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)之和為32，各項(xiàng)系數(shù)之和為243，則展開(kāi)式中A.32 B.64 C.80 D.1608.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且滿(mǎn)足f(x)=2xf′(π3)?sinx，則f′(πA.12 B.?32 C.9.公司選拔部門(mén)總監(jiān)，根據(jù)投票數(shù)與業(yè)績(jī)?cè)u(píng)分，甲、乙、丙、丁、戊5人以并列第一的得分在選拔中脫穎而出.現(xiàn)在人事部、財(cái)務(wù)部與科研部要分別選擇1人擔(dān)任部門(mén)總監(jiān)，其余2人隨機(jī)分別調(diào)到2個(gè)部門(mén)中擔(dān)任項(xiàng)目經(jīng)理，設(shè)事件A={甲、乙兩人不在同一部門(mén)}，事件B={甲擔(dān)任財(cái)務(wù)部部門(mén)總監(jiān)}，則P(A|B)=(

)A.23 B.25 C.56二、填空題：本題共6小題，共30分。10.如果隨機(jī)變量X～N(5,σ2)，且P(X≤3)=0.3，那么P(3≤X≤7)=11.若zz+1=1?i，則z=______．12.已知函數(shù)f(x)=12x?cosx,x∈[?π213.3名男生和3名女生隨機(jī)站成一排，每名女生至少與一名男生相鄰，則不同的排法種數(shù)為_(kāi)_____．14.已知(13x?215.若函數(shù)f(x)=ex?ax2三、解答題：本題共5小題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。16.(本小題15分)

已知某計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的服務(wù)器有三臺(tái)設(shè)備，只要有一臺(tái)能正常工作，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)就不會(huì)斷掉.如果三臺(tái)設(shè)備各自能正常工作的概率都為0.8，它們之間互相不影響.設(shè)能正常工作的設(shè)備數(shù)為X．

(Ⅰ)求X的分布列；

(Ⅱ)求E(X)和D(X)；

(Ⅲ)求計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)不會(huì)斷掉的概率．17.(本小題15分)

如圖，在四棱錐S?ABCD中，底面ABCD是直角梯形，側(cè)棱SB⊥底面ABCD，BC⊥CD，AD//BC，SB=CD=BC=2，AD=4，點(diǎn)M是棱SC的中點(diǎn)．

(1)求證：BM⊥平面SCD；

(2)求直線(xiàn)SA與平面SCD所成角的正弦值；

(3)求平面SAB與平面SCD夾角的大?。?8.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=alnx?(2a+1)x+x2．

(1)當(dāng)a=?1時(shí)，求f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程；

(2)若a>0，試討論f(x)的單調(diào)性．19.(本小題15分)

已知橢圓C1：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的離心率為12，且過(guò)點(diǎn)(1,32)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)．

(1)求橢圓C1的方程；

(2)過(guò)橢圓C1的右頂點(diǎn)作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C2：y2=2x相交于A，B兩點(diǎn)；

①求證：OA⊥OB；20.(本小題15分)

數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1+3a2+5a3+…+(2n?1)an=3+(n?1)?3n+1．

(1)求數(shù)列{an參考答案1.C

2.B

3.B

4.C

5.D

6.D

7.C

8.A

9.C

10.0.4

11.?1?i

12.?13.288

14.2

15.(0,116.解：(Ⅰ)由題意，臺(tái)設(shè)備各自能正常工作的概率都為0.8，它們之間互不影響，

可得三臺(tái)設(shè)備正常工作的設(shè)備數(shù)X服從二項(xiàng)分布，即X～B(3,0.8)，

X的所有可能取值為0，1，2，3

所以P(X=0)=C30×0.80×(1?0.8)3=0.008，X0123P0.0080.0960.3840.512(Ⅱ)因?yàn)閄～B(3,0.8)，

所以E(X)=3×0.8=2.4，D(X)=3×0.8×(1?0.8)=0.48；

(Ⅲ)要使得計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)不會(huì)斷掉，也就是要求能正常工作的設(shè)備至少有一臺(tái)，即X≥1，

因此所求概率為P(X≥1)=1?P(X<1)=1?P(X=0)=1?0.008=0.992．

17.解：(1)證明：因?yàn)閭?cè)棱SB⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，所以SB⊥CD，

又因?yàn)锽C⊥CD，SB∩BC=B，SB，BC?平面SBC，所以CD⊥平面SBC，

又BM?平面SBC，所以CD⊥BM，

又因?yàn)镾B=BC=2，點(diǎn)M是棱SC的中點(diǎn)，

所以BM⊥SC，

又SC∩CD=C，SC，CD?平面SCD，

所以BM⊥平面SCD．

(2)連接BD，由題意可得BD2=BC2+CD2，可得BD=22，取AD的中點(diǎn)E，

連接BE，則BE⊥AD，則BE=2，AE=2，

所以AB=22+22=22，

所以AB2+BD2=AD2，所以AB⊥BD，

以BA，BD，BS所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A(22,0,0)，B(0,0,0)，D(0,22,0)，C(?2,2,0)，S(0,0,2)，

M(?22,22,1)，

所以SA=(22,0,?2)，

由(1)可得BM⊥平面SCD，

所以平面SCD的一個(gè)法向量為面BM=(?22,22,1)，

設(shè)直線(xiàn)SA與平面SCD所成角為α，

sinα=|cos<SA,BM>|=|18.19.解：(1)由橢圓C1的離心率為12，

可得：a2?b2a2=14，

整理得：3a2=4b2，

則橢圓C1：x2a2+y2b2=1的方程可化為x2a2+4y23a2=1．

代入點(diǎn)(1,32)得a2=4，

則橢圓C1的方程為x24+y23=1．

(2)由橢圓C1方程為x24+y23=1可得：該橢圓的右頂點(diǎn)為(2,0)．

①證明：設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率為0時(shí)，直線(xiàn)AB與拋物線(xiàn)C2只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意．

當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為x=my+2，

聯(lián)立方程組y2=2xx=my+2，

整理得y2?2my?4=0，

則y1，y2為方程y2?2my?4=0的兩不等根，

20.解：(1)已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：a1+3a2+5a3+…+(2n?1)an=3+(